TT19 XIV CONEMI

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ALGORITMO PARA ANÁLISE GRÁFICA E DIMENSIONAMENTO DE EIXOS DE
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA (ALGORITHM FOR SHAFT GRAPHIC ANALYSIS
AND DESIGN)
Conference Paper · September 2014
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André Costa
Federal University of Sergipe, Brazil
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Construindo Hoje a Engenharia do Amanhã 
Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
ALGORITMO PARA ANÁLISE GRÁFICA E DIMENSIONAMENTO DE EIXOS DE 
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 
 
Vitório Pinheiro 
(1)
 (pinheirovitorio@gmail.com), Leonardo Maia Nogueira (loe.nog88@gmail.com), 
André Luiz de Moraes Costa 
(1)
 (andre.costa@ufs.br) 
 
(1) Universidade Federal de Sergipe (UFS); Departamento de Engenharia Mecânica 
 
RESUMO: Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo para calcular e comparar os parâmetros de 
dimensionamento de eixos de transmissão de potência: resistência mecânica, coeficiente de segurança e 
diâmetro da seção. A metodologia de cálculo considera os critérios de falha por fadiga de Goodman e falha 
de escoamento de primeiro ciclo de Langer. A rotina foi implementada usando o software MATLAB e 
fornece gráficos que relacionam as três variáveis estudadas. Comparação com dados da literatura mostram 
que a rotina fornece resultados com boa precisão. Os gráficos gerados dão importantes subsídios par ao 
projetista no projeto de eixos, pois permite visualizar regiões de falha, ponto ótimo de operação e influência 
da resistência no diâmetro da peça. 
 
PALAVRAS-CHAVE: eixo, dimensionamento, falha por fadiga, análise gráfica. 
 
 ALGORITHM FOR SHAFT GRAPHIC ANALYSIS AND DESIGN 
 
ABSTRACT: In this paper an algorithm was developed to calculate and compare the design parameters of 
shafts: strength, safety factor and diameter of the section. The calculation methodology took into account 
the Goodman’s fatigue failure criteria and Langer’s first cycle yield failure criteria. The routine was 
implemented using the MATLAB software and provides graphs that relate the three studied variables. 
Comparison with literature data showed that routine provides results with good accuracy. The generated 
graphs give important information to engineer evolved with shaft’s design, it allows viewing failure regions, 
optimal point of operation and the influence of the resistance on the diameter. 
 
KEYWORDS: shaft, mechanical design, fatigue, graphical analysis. 
 
 
XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
Auditório do Senai CIMATEC - Prédio 2 - 2º andar - Salvador - BA, 
23 a 26 de Setembro de 2014 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
O eixo é um membro rotativo, usualmente de seção transversal circular, usado para 
transmitir potência ou movimento. Ele provê o áxis de rotação, ou oscilação, de elementos tais 
como engrenagens, polias, volantes, manivelas, rodas dentadas e similares. Já o eixo fixo é um 
membro não rotativo que não transmite torque e é usado para suportar rodas girantes, polias e 
similares (BUDYNAS e NISBETT, 2011). 
Devido sua condição de trabalho, os eixos rotativos estão normalmente sujeitos a esforços 
variáveis do tipo compressão-tração. Essa condição aliada a outros fatores como concentradores de 
tensão e modificadores de resistência pode resultar em falha por fadiga. Assim, se isso não for 
levado em conta no dimensionamento do eixo, este pode sofrer uma ruptura brusca durante a 
operação que pode levar a danos materiais e físicos. 
Um eixo também pode falhar por sobrecarga além da tensão de escoamento do material, o 
que normalmente ocorre logo no início do funcionamento (escoamento no primeiro ciclo de carga), 
devido ao dimensionamento incorreto em relação às condições estáticas de carregamento. 
Para o dimensionamento de eixos deve-se inicialmente fazer uma análise das tensões 
envolvidas em cada ponto crítico da peça e utilizar os critérios de falha mais adequados às 
condições de operação. Para isso, devem-se esboçar gráficos dos momentos fletores e torsional ao 
longo do comprimento, e identificar as seções mais críticas, ou seja, aquelas que envolvem maiores 
momentos fletores e de torção, e também concentradores de tensão tais como: ressalto de chaveta, 
sulco de anel de retenção, ressalto para assento de mancais ou engrenagens entre outros. Depois 
disso deve-se calcular as tensões atuantes bem como a resistência à fadiga do material selecionado e 
então obter os coeficientes de segurança a partir do critério de falha utilizado (Norton, 2004) 
A tarefa de dimensionamento é relativamente simples, mas o processo é extremamente 
trabalhoso e demorado, especialmente porque envolve diversas iterações e passos circulares, pois 
muitas opções e modificações devem ser testadas, incluindo a resistência do material, coeficiente de 
segurança e dimensões. 
Atualmente muitos softwares podem ser utilizados para auxiliar nas etapas de 
dimensionamento. Por exemplo, é possível obter os diagramas de momentos fletores a partir do 
software FTOOL, enquanto as rotinas de cálculo podem ser criadas utilizando softwares como 
MATLAB, MATHCAD ou EES. Entretanto, normalmente o engenheiro escreve uma rotina 
específica para um dimensionamento específico. 
Neste contexto, o objetivo deste trabalho foi desenvolver um algoritmo que fornece gráficos 
comparativos entre diversas soluções possíveis para um ponto de operação, de maneira a permitir 
uma rápida otimização de projeto. 
 
 
 
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2. DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES APLICADAS NO CARREGAMENTO 
CÍCLICO 
 
Um eixo de transmissão de potência este normalmente sujeito a carregamento variado de 
torção e flexão. Uma vez conhecido os torques T e momentos M máximos e mínimos atuantes em 
cada ciclo, podem-se determinar as componentes de médias e alternadas pelas equações: 
 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
 (2) 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 (4) 
As componentes das tensões normais ' e de cisalhamento  aplicadas são calculadas pelas 
seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
 
 
 
 
 
 (6) 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
 
 
 
 
 
 (8) 
Onde r = raio do eixo; d = diâmetro do eixo; = concentrador de tensão de fadiga em 
flexão; = concentrador de tensão de fadiga em torção; = momento fletor;=torque; = 
momento de inercia; = momento torcional. Os subscritos a e m correspondem respectivamente às 
componentes alternante e média. 
Utilizando o Critério da Máxima Energia de Distorção (Von Mises) para se obter as tensões 
normais equivalentes temos: 
 
 
 
 
 
 ⁄ (9) 
 
 
 
 
 
 ⁄ (10) 
 
 
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Os fatores de concentração de tensão em fadiga e são obtidos a partir dos fatores de 
concentração de tensão para carregamento estático de e , respectivamente, através das 
equações: 
 (11) 
 (12) 
Onde é o fator de sensitividade ao entalhe dado pela seguinte equação: 
 
 
 
√ 
√ 
 (13) 
Onde √ é a constante de Neuber que depende diretamente da tensão última de tração Sut e R é o 
raio do entalhe (Norton, 2004). 
 
3. CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA E DE ESCOAMENTO NO 
CARREGAMENTO CÍCLICO 
 
A falha por fadiga é resultante da redução da resistência do material devido aos fatores 
modificadores de resistência e ao carregamento cíclico. Já a falha por primeiro ciclo é calculada em 
relação à resistência ao escoamento do material. 
Os critérios de falha por fadiga foram desenvolvidos a partir do ajuste de dados 
experimentais, como mostrado na Figura 1. Sf e Sut são as resistências à fadiga e última de tração do 
material, respectivamente, enquanto 'm e 'a são as tensões média e alternada aplicadas, 
respectivamente. 
 
FIGURA 1. Dados experimentais de falha por fadiga em aços (Budynas e Nisbett, 2011). 
 
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O critério de Goodman modificado é considerado conservador, pois representa o limite 
inferior dos pontos de falha experimentais. Considerando um coeficiente de segurança n, a linha de 
Goodman pode ficar mais distante dos dados experimentais como mostrado na Figura 2. Assim, o 
critério de Goodman admite que a falha por fadiga irá ocorrer apenas se o ponto de operação estiver 
localizado acima de uma linha reta dada pela equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
 
 
FIGURA 2. Linha de Goodman para diferentes coeficientes de segurança n. 
 
O critério de escoamento de primeiro ciclo de Langer considera que a falha vai ocorre se a 
soma das componentes alternada e média da tensão cíclica aplicada for maior que a resistência ao 
escoamento do material Sy. Para um coeficiente de segurança n, a equação da linha de Langer é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
 
A Figura 3 mostra a região de segurança considerando a combinação dos critérios de 
Goodman e de Langer. 
Uma vez determinadas as tensões aplicadas 'm e 'a, deve-se considerar se um acréscimo 
das tensões podem levar à falha por fadiga (cruzando a reta de Goodman), ou falha por escoamento 
 
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(cruzando a reta de Langer). Para um carregamento onde as componentes alternadas e médias 
variam proporcionalmente, o ponto de operação varia apenas sobre a linha de carga, e então fica 
mais fácil determinar o modo de falha possível para este carregamento específico (Figura 4). 
 
FIGURA 3. Região de segurança considerando a combinação dos critérios de Goodman e de 
Langer. 
 
 
FIGURA 4. Pontos de operação 1 e 2 sujeitos a falha por escoamento e falha por fadiga, 
respectivamente. 
 
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4. DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FADIGA DO MATERIAL 
 
A resistência à fadiga do material diminui com o número de ciclos. No caso dos aços existe 
uma resistência mínima experimental S'e chamada de limite de fadiga ou limite para vida infinita, 
que é atingida em torno de 10
6
 ciclos. De acordo com Norton (2004), o limite de fadiga vale: 
 
 para Sut < 1400 MPa (16) 
 MPa para Sut > 1400 MPa (17) 
 
O valor da resistência à fadiga para as condições reais de operação Se é obtido a partir de S'e 
utilizando-se fatores de correção na equação a seguir (Budynas e Nisbett, 2011): 
 
 (18) 
onde: Ka é o fator de condição superficial, Kb é o fator tamanho, Kc é o fator carregamento, Kd é o 
fator temperatura, Ke é o fator confiabilidade e Kf é um fator para efeitos diversos. 
O fator de superfície está diretamente ligado ao acabamento recebido pela peça durante 
sua fabricação. Seu valor é dado pela seguinte equação para Sut em MPa: 
 
 
 (19) 
Os fatores a e b foram obtidos experimentalmente e são mostrados na Tabela 1. 
TABELA 1. Parâmetros para o fator modificação de superfície. 
Acabamento 
superficial 
 
Fator a 
Expoente 
b 
Retificado 1,58 -0,085 
Usinado ou laminado a frio 4,51 -0,265 
Laminado a quente 57,7 -0,718 
Forjado 272 -0,995 
 
O fator de tamanho corrige o valor da resistência de acordo com a dimensão da peça. A 
Equação 20 é válida para diâmetros compreendidos entre 2,79 e 51 mm. Já Equação 21 é válida 
para valores de diâmetro entre 51 e 254 mm. 
 
 (20) 
 
 (21) 
 
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O fator corresponde ao tipo de carregamento aplicado e assume os seguintes valores: 0,85 
para axial e 0,59 para torção. Como o ensaio que calcula o limite de fadiga é normalmente do tipo 
flexão rotativa ele recebe o valor 1, ou seja, não tem influência. 
O material tem comportamentos diferentes em relação à resistência de acordo com a faixa de 
temperatura de trabalho. Com isso, o fator é introduzido para corrigir esse parâmetro de acordo 
com temperatura de trabalho que está submetido de acordo com aEquação 19, substituindo o valor 
da temperatura T em °C. 
 
 
 (22) 
O fator confiabilidade refere-se às condições de análise dos dados experimentais. Uma 
confiabilidade de 50% significa que a curva de resistência foi obtida como uma média dos pontos 
experimentais. Aumentar a confiabilidade significa considerar resistências abaixo da média dos 
pontos de falha experimentais. A Equação 23 calcula o valor de a partir da variável que é dada 
na Tabela 2. Se o valor de confiabilidade não estiver contido na tabela o programa executa uma 
interpolação para encontrar o valor mais adequado. 
 
 (23) 
 
TABELA 2. Fatores de confiabilidade . 
Confiabilidade, % Variante de transformação za Fator de confiabilidade Ke 
50 0 1 
90 1,288 0,897 
95 1,645 0,868 
99 2,326 0,814 
99,9 3,091 0,753 
99,99 3,719 0,702 
99,999 4,265 0,659 
99,9999 4,753 0,62 
 
O fator de efeitos diversos deve ser definido pelo projetista e serve para corrigir efeitos 
não inclusos nos fatores já citados. 
 
5. CÁLCULO DO DIÂMETRO E DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 
Combinando-se equações precedentes pode-se calcular o diâmetro e o coeficiente de 
segurança. Considerando um projeto para vida infinita, para o critério de Goodman tem-se: 
 
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 (
 
 
{
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
 
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
})
 
 ⁄
 (24) 
 (
 
 
) {
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
 
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
}
 
 (25) 
Para o critério de Langer tem-se: 
 (
 
 
{
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
 
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
})
 
 ⁄
 (26) 
 (
 
 
) {
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
 
 
 
[ ( )
 
 ( )
 
]
 
 ⁄
}
 
 (27) 
 
6. ROTINA COMPUTACIONAL 
 
Até o momento foram descritas as fórmulas básicas e essenciais ao dimensionamento de 
eixo. Devido à grande quantidade de equações e também da dependência entre si de alguns fatores é 
de fundamental importância a utilização de softwares de cálculo para otimizar o processo de 
dimensionamento. A utilização de um programa para cálculo permite, além de efetuar de forma 
rápida e precisa os cálculos, verificar a influência da modificação de determinados parâmetros de 
entrada na resposta final. 
A rotina de cálculo deste trabalho foi desenvolvida usando o software MATLAB v. 2010 
devido às possibilidades de utilização do programa, facilidade de obtenção de gráficos desejados e a 
capacidade de criar uma interface amigável para o usuário. 
As configurações do computador utilizado neste trabalho são: 
· Processador Core i5, segunda geração; 
· Placa mãe modelo Capella & IbexPeak-M e fabricante CCE; 
· Memória RAM de 4 Gb, DDR3. 
A rotina criada no MATLAB utiliza todas as equações descritas anteriormente e funciona da 
seguinte maneira: 
 são solicitados como input os valores de Tm, Ta, Mm, Ma, kt, kts 
 são solicitados como input dados para cálculo de Ka, Kb, Kc, Kd, Ke 
 é solicitado como input o valor de d ou n (dependendo da análise a ser feita) 
 é solicitado como input o intervalo de valores de Sut 
 Para cada valor de Sut o programa calcula os valores de d e n para os critérios de Goodman e 
Langer e compara os dois. O tipo de falha indicado para o ponto de operação é aquele que 
fornece o maior d e o menor n. 
 
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 O programa gera gráficos relacionando as variáveis d, n, Sut e o tipo de acabamento 
superficial. 
 
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Inicialmente a rotina foi validada a partir de comparação de resultados apresentados em um 
exemplo de dimensionamento por Budynas e Nisbett (2014, p.388), cujos dados de entrada e saída 
são listados nas Tabelas 3 e 4. 
 
Tabela 3. Dados de entrada utilizados por Budynas e Nisbett. 
Dados de entrada 
Ma (N.m) 468 Ka 0,883 
Mm (N.m) 0 Kb 0,9 
Ta (N.m) 0 Kc 1 
Tm (N.m) 360 Kd 1 
kt 1,7 Ke 1 
kts 1,5 Kf 1 
Sut (MPa) 469 N 1,5 
 
Tabela 4. Dados de saída encontrados por Budynas e Nisbett. 
Dados de saída 
kf 1,7 
kfs 1,5 
S’e (MPa) 234,5 
Se (MPa) 186 
d (mm) 43,2 
 
Utilizando-se os mesmos dados de entrada a rotina calculou os valores para Sut variando de 
300 a 2000 MPa. O resultado é mostrado na figura 5. Para Sut = 469 MPa foi encontrado d = 43,069 
mm, que é um valor muito próximo de 43,2 mm obtido por Budynas e Nisbett (2014). A pequena 
variação é devido à diferença percentual mínima nos valores de para convergência das interações. 
Uma diferença muito pequena torna a rotina muito demorada. 
O gráfico da figura 5 mostra que o diâmetro do eixo diminui acentuadamente com o 
aumento da resistência do material até aproximadamente Sut = 1500 MPa. Esta análise permite ao 
projetista avaliar as possibilidades de fabricação a partir dos materiais disponíveis (resistência e 
dimensões das barras). 
 
 
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Figura 1. Gráfico resistência X diâmetro para o acabamento retificado. 
 
Após a validação nós podemos explorar as possibilidades de análise do programa. Por 
exemplo, a rotina permite fazer simultaneamente a análise para os 4 possíveis tipos de acabamento 
superficial, como mostrado na figura 6. Como esperado, observa-se que quanto pior a condição 
superficial, maior o diâmetro a ser utilizado. Mas é interessante notar que o diâmetro começa a 
aumentar com a resistência a partir de Sut = 1460 MPa. Provavelmente isso acontece por causa de 
um aumento da fragilidade associado à resistência do material. Este efeito é mais perceptível para o 
aço laminado a quente e forjado onde a presença de imperfeições superficiais da própria fabricação 
são maiores, o que aumenta a probabilidade de formação de trincas. 
A figura 7 mostra curvas de variação de diâmetro para diferentes coeficientes de segurança 
(n = 1, 2, 3). Este gráfico pode ser considerado um “mapa de falha”, onde combinações de valores 
entre resistência e diâmetro que estão abaixo da curva para n = 1 vão falhar e são inaceitáveis para o 
projeto. 
 
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FIGURA 6. Gráfico de resistência X diâmetro, para coeficiente de segurança 1,5 e diferentes 
condições de acabamento. 
 
Figura 7. Gráficoresistência x diâmetro para acabamento retificado e diferentes coeficientes de 
segurança. 
 
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A segunda variação do programa é calcular o coeficiente de segurança a partir de 
determinados parâmetros de entrada. Para este caso foram também utilizados dados de Budynas e 
Nisbett (2014) mostrados nas Tabelas 5 e 6. 
Tabela 5. Dados de entrada utilizados por Budynas e Nisbett (análise 2). 
Dados de entrada 
Ma (N.m) 443 Ka 0,883 
Mm (N.m) 0 Kb 0,833 
Ta (N.m) 0 Kc 1 
Tm (N.m) 443 Kd 1 
Kt 2,14 Ke 1 
Kts 3 Kf 1 
Sut (MPa) 469 D 0,042 
 
Tabela 6. Dados de saída encontrados por Budynas e Nisbett (análise 2). 
Dados de saída 
Kf 1,74 
Kfs 2,8 
Se' (MPa) 234,5 
Se (Mpa) 172 
N 1,08 
 
 
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De forma similar ao cálculo anterior, foi obtido uma faixa de coeficiente de segurança para 
um dado diâmetro na faixa de resistência Sut entre 300 e 2000 MPa, como mostrado na figura 8. 
Mais uma vez comprovou-se que os valores obtidos no programa são confiáveis. Neste caso, o valor 
encontrado foi aproximadamente 1,10, muito próximo do valor 1,08 encontrado por Budynas e 
Nisbett (2014). Na figura 9 é observado que o coeficiente de segurança aumenta com o aumento da 
resistência até 1460 MPa quando então sofrem uma inflexão. No caso de acabamentos grosseiros 
observa-se uma queda do coeficiente de segurança. 
Outra possibilidade de gráfico do programa é obter o coeficiente de segurança para vários 
diâmetros a partir de uma gama de resistências, e para determinado tipo de acabamento, como pode 
ser visto na Figura 10. Este gráfico também pode ser visualizado como uma mapa de falha se 
traçarmos linhas horizontais referentes ao coeficientes de segurança. 
 
 
Figura 2. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para acabamento retificado. 
 
 
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Figura 9. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para diversos acabamentos. 
 
 
Figura 10. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para diversos diâmetros. 
 
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8. CONCLUSÕES 
Após comparação dos resultados obtidos no programa com exemplos da literatura, 
constatou-se que a rotina de cálculo elaborada é confiável e apresenta uma boa precisão. 
O programa constitui uma ferramenta interessante na avaliação do comportamento das três variáveis 
tomadas como base nas análises: resistência, diâmetro e coeficiente de segurança. 
 
REFERÊNCIAS 
 
BUDYNAS, R.G.; NISBETT, J.K. Elementos de máquinas de Shigley: projeto de 
engenharia mecânica, Bookman, Porto Alegre, Brasil, 1084p., 2011. 
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. Bookman, Porto 
Alegre, Brasil, 919 p., 2004. 
LENTE, C. S. Learning to program with Matlab: building GUI tools. JohnWiley & Sons, 
Hoboken, USA, 301 p., 2013. 
BALEEIRO, A.C.A.; GONÇALVES, E.M.; LIMA, J.W.N. Introdução ao programa 
"Matlab" com aplicações. Escola de engenharia elétrica e de computação, Goiânia, Brasil, 
81 p., 2007. 
 
 
 
 
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