Prova + Gab - 3ºEE

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Universidade Federal de Pernambuco
Terceira avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear - 2009.1
Gabarito
CCEN - Depto. Matema´tica - A´rea II
Questa˜o 1. Considere em <3 o produto interno
〈(a1, b1, c1), (a2, b2, c2)〉 = 2a1a2 − a1b2 − a2b1 + b1b2 + c1c2
a) (1.0) Determine o aˆngulo entre os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (1, 1,
√
3).
cos θ = 〈(1,1,0),(1,1,
√
3)〉
‖(1,1,0)‖·‖(1,1,√3)‖ =
1√
1·√4 =
1
2
⇒ θ = pi
3
b) (2.0) Ortogonalize a base γ = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}.
Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt.
~v1 = (1, 0, 0)
~v2 = (0, 2, 0)− 〈(0,2,0),(1,0,0)〉〈(1,0,0),(1,0,0)〉(1, 0, 0) = (0, 2, 0)− −22 (1, 0, 0) = (1, 2, 0)
~v3 = (0, 1, 1)− 〈(0,1,1),(1,2,0)〉〈(1,2,0),(1,2,0)〉(1, 2, 0)− 〈(0,1,1),(1,0,0)〉〈(1,0,0),(1,0,0)〉(1, 0, 0) =
(0, 1, 1)− 1
2
(1, 2, 0)− −1
2
(1, 0, 0) = (0, 0, 1)
γ′ = {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 0, 1)}
c) (1.0) Seja W ⊂ <3 o subespac¸o gerado W = [(0, 1, 0), (−1, 0, 1)]. Encontre
seu complemento ortogonal W⊥.
∀(x, y, z) ∈ W⊥
〈(x, y, z), (0, 1, 0)〉 = 0⇒ −x+ y = 0⇒ x = y e
〈(x, y, z), (−1, 0, 1)〉 = 0⇒ −2x+ y + z = 0⇒ −y + z = 0⇒ z = y
(y, y, y) ∈ W⊥,∀y ∈ <, ou W⊥ = [(1, 1, 1)]
Questa˜o 2. Seja T : <3 → <3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (x− z, 2y,−x+ 3z).
Seja α a base canoˆnica do <3.
T (1, 0, 0) = (1, 0,−1)
T (0, 1, 0) = (0, 2, 0)
T (0, 0, 1) = (−1, 0, 3)
⇒ [T ]αα =

1 0 −1
0 2 0
−1 0 3
 .
Version 1.2 15 de junho de 2009
Onde cada coluna i e´ dada por [T (ei)]α, para ei vetor de α.
a) (0.5) T e´ um operador auto-adjunto? (justifique)
Sim, pois o operador T tem matriz [T ]αα sime´trica numa base ortonormal
(a canoˆnica).
b) (0.5) T e´ um operador ortogonal? (justifique)
Na˜o, pois o det([T ]αα) = 4 6= +1 ou− 1.
Outras justificativas sa˜o o fato de suas colunas nem linhas na˜o formarem
um conjunto ortonormal, ou ainda [T ]αα · ([T ]αα)′ 6= I.
c) (0.5) T e´ diagonaliza´vel? (justifique)
Sim, pois todo operador auto-adjunto possui uma base de autovetores, e´
diagonaliza´vel.
Questa˜o 3. (1.0) Escreva na forma matricial a forma bilinear
B((x1, x2), (y1, y2)) = x1y1 + 2x1y2 + 3x2y1 − x2y2.
Como B((1, 0), (1, 0)) = 1, B((1, 0), (0, 1)) = 2, B((0, 1), (1, 0)) = 3 e
B((0, 1), (0, 1)) = −1 temos:
B((x1, x2), (y1, y2)) =
[
x1 x2
]
·
 1 2
3 −1
 ·
 y1
y2

Questa˜o 4. Seja o conjunto de pontos (x, y, z) ∈ <3 cujas coordenadas em
relac¸a˜o a base canoˆnica satisfazem a equac¸a˜o
2x2 + 2y2 − z2 − 6xy +
√
2x−
√
2y = 0
a) (2.5) Encontre uma equac¸a˜o reduzida deste conjunto e o classifique.
Na forma matricial temos:
[
x y z
]
·

2 −3 0
−3 2 0
0 0 −1
 ·

x
y
z
+
[√
2 −√2 0
]
·

x
y
z
 = 0
Seja A a matriz da forma bilinear sime´trica associada a` forma quadra´tica.
det(A− λI) = (2− λ)2(−1− λ)− 9(−1− λ) = (−1− λ)((2− λ)2 − 9) =
(−1− λ)(−1− λ)(5− λ) = 0, assim λ1 = λ2 = −1 e λ3 = 5.
Encontrando os autovetores:
2 −3 0
−3 2 0
0 0 −1
 ·

x
y
z
 = λ

x
y
z

2
Para λ = −1 temos:
2x− 3y = −x⇒ x = y
−3x+ 2y = −y ⇒ x = y
−z = −z
⇒ (y, y, z), yz 6= 0⇔ [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
Observe que ja´ sa˜o ortogonais. Para λ = 5 :
2x− 3y = 5x⇒ x = −y
−3x+ 2y = 5y ⇒ x = −y
−z = 5z ⇒ z = 0
⇒ (−y, y, 0), y 6= 0⇔ [(−1, 1, 0)]
Normalizando os autovetores na˜o unita´rios, obtemos a base ortonormal
de autovetores: β = {(−1√
2
, 1√
2
, 0), ( 1√
2
, 1√
2
, 0), (0, 0, 1)} com autovalores asso-
ciados 5,-1 e -1, respectivamente. Mudando o sistema de coordenadas para
esta base β:
[
x1 y1 z1
]

5 0 0
0 −1 0
0 0 −1


x1
y1
z1
+
[√
2 −√2 0
]

−1√
2
1√
2
0
1√
2
1√
2
0
0 0 1


x1
y1
z1
 = 0
(Usamos [v]α = [I]
β
α[v]β, onde α e´ a base canoˆnica)
5x21 − y21 − z21 − 2x1 = 0 ⇒ 5(x21 − 25x1)− y21 − z21 = 0 ⇒
5(x1 − 15)2 − 15 − y21 − z21 = 0
Mudando de coordenadas pela translac¸a˜o x2 = x1 − 15 , y2 = y1 e z2 = z1:
5x22 − y22 − z22 − 15 = 0 ou 25x22 − 5y22 − 5z22 = 1
E esta equac¸a˜o reduzida nos indica que e´ um Hiperbolo´ide de duas folhas.
b) (1.0) Descreva o sistema de refereˆncia onde temos esta equac¸a˜o reduzida
(centro e eixos).
Os eixos do sistema de refereˆncia tem direc¸a˜o dada pelos autovetores
{(−1√
2
, 1√
2
, 0), ( 1√
2
, 1√
2
, 0), (0, 0, 1)}, respectivamente. E o centro e´ dado por
(x2, y2, z2) = (0, 0, 0) ou equivalentemente (x1, y1, z1) = (
1
5
, 0, 0).
3