Movimento Harmônico Simples: Exemplos

Prévia do material em texto

5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 1
Movimento Harmônico Simples: Exemplos 
 
O protótipo físico do movimento harmônico simples (MHS) visto 
nas aulas passadas – um corpo de massa m preso a uma mola 
executando vibrações de pequenas amplitudes com força 
restauradora dada por F = –kx – é uma situação aproximada. 
 
Apesar disso, uma grande variedade de deformações de sistemas 
físicos, resultantes de trações, compressões, flexões ou torções (ou 
combinações delas) satisfaz, sob determinadas condições, a 
propriedade de que a força restauradora é proporcional ao 
deslocamento. 
 
Nesses casos, a equação diferencial resultante que descreve o 
movimento do sistema é formalmente idêntica à equação de 
movimento de um MHS, 
xx
dt
xd 2
2
2
ω−== && , 
de maneira que o sistema se comporta como um oscilador 
harmônico simples. 
 
Veremos alguns exemplos desses casos nesta aula. 
 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 2
O Sistema Massa-Mola Vertical 
 
O caso do sistema massa-mola na horizontal já foi visto nas aulas 
passadas. Vejamos agora o mesmo sistema, só que oscilando na 
vertical (vamos considerar novamente apenas o caso de pequenas 
oscilações). 
 
A figura abaixo ilustra as situações importantes. 
 
 
Em A, a mola está suspensa verticalmente sem qualquer corpo preso 
à sua extremidade. O comprimento da mola é l. 
 
Em B temos a mola e um corpo de massa m preso à sua 
extremidade. A mola está esticada por um comprimento ∆l e a força 
restauradora feita por ela sobre o corpo é F = k∆l (aponta para cima, 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 3
que é a direção positiva do eixo x). O sistema está em equilíbrio, isto 
é, não oscila. Isto ocorre porque a força feita pela mola sobre o 
corpo se iguala ao peso do corpo: k∆l = mg. 
 
Em C o corpo está deslocado por uma distância x para cima em 
relação à posição de equilíbrio. A força feita pela mola sobre o 
corpo (ainda para cima, pois a mola continua esticada) é agora 
menor; seu valor é F = k(∆l – x). A força resultante sobre o corpo é 
Fr = k(∆l – x) – mg = – kx. A força resultante aponta para baixo e é 
proporcional ao deslocamento x do corpo em relação ao equilíbrio. 
 
Esta situação é formalmente idêntica à do sistema massa-mola na 
horizontal com a mola comprimida por x. 
 
Em D o corpo está deslocado por uma distância x para baixo em 
relação à posição de equilíbrio. A força feita pela mola sobre o 
corpo (novamente para cima, pois a mola continua esticada) é maior 
do que antes, valendo F = k(∆l + x). A força resultante sobre o corpo 
é Fr = k(∆l + x) – mg = kx. A força resultante aponta para cima e é 
proporcional ao deslocamento x do corpo em relação ao equilíbrio. 
 
Esta situação é formalmente idêntica à do sistema massa-mola na 
horizontal com a mola esticada por x. 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 4
Concluímos, portanto, que um corpo de massa m preso a uma mola 
vertical de constante k e realizando pequenas oscilações em relação 
à posição de equilíbrio do sistema massa-mola executa um MHS de 
frequência angular mk=ω , como no caso do sistema oscilando 
na horizontal. 
 
O Pêndulo de Torção 
 
Outro sistema que se comporta como um oscilador harmônico é o 
pêndulo de torção (figura abaixo). 
 
Consideremos um corpo suspenso por um fio (de metal ou qualquer 
outro material elástico) de maneira que a linha OC passe pelo seu 
centro de massa. Quando o corpo é girado por um pequeno ângulo θ 
em relação ao equilíbrio, o fio sofre uma torção e passa a exercer 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 5
sobre o corpo um torque restaurador τ que é bem descrito pela lei de 
Hooke: o torque se opõe ao deslocamento e tem módulo dado por 
θτ K−=
 (1) 
onde K é o chamado módulo de torção do fio, que depende do 
material do qual é feito o fio, da sua grossura e do seu comprimento. 
 
Se I for o momento de inércia do corpo em relação ao eixo OC, a 
equação de movimento (lembre-se de Física I) é 
θθατ &&I
dt
dII === 2
2
. (2) 
Combinando as equações (1) e (2): 
⇒−= θθ KI &&
 
.0⇒+ θθ
I
K
&&
 (3) 
 
Esta é a equação de um oscilador harmônico simples com freqüência 
angular 
.
2
I
K
=ω
 (4) 
A frequência das oscilações é 
I
Kf
pipi
ω
2
1
2
==
 
e o período é 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 6
K
I
fT pi2
1
==
. (5) 
 
O movimento oscilatório é descrito pela solução de (3), 
( )0cos)( ϕθ +Θ= wtt , (6) 
onde Θ é a amplitude angular das oscilações. 
 
O Pêndulo Simples 
 
O pêndulo simples é outro modelo idealizado da física. Ele consiste 
de um corpo de massa m preso a um fio de massa desprezível e 
comprimento l. Supõe-se que o corpo realiza pequenos 
deslocamentos angulares sobre uma circunferência de raio l em 
torno da posição de equilíbrio (posição vertical, com θ = 0). 
 
 
A figura acima ilustra o modelo. Há duas forças atuando sobre o 
corpo, a tensão T e o peso mg. 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 7
Como se faz geral em problemas de mecânica que envolvem 
rotação, pode-se decompor as forças em suas componentes 
tangencial e radial. 
 
A única componente tangencial é a componente do peso ao longo da 
direção tangencial, 
θθ senmgF −= . (7) 
O sinal negativo decorre do fato de que a direção positiva é a que se 
afasta da vertical ao longo da circunferência. 
 
As componentes radiais são a própria tensão e a componente do 
peso ao longo da direção radial. Como o corpo não se move na 
direção radial, essas duas componentes são iguais e de sentidos 
contrários (veja a figura), 
θcosmgT = . (8) 
Esta última equação nos permite calcular o valor da tensão T para 
qualquer valor de θ. 
 
A equação que nos interessa aqui é a (7). O deslocamento do corpo 
ao longo da trajetória em relação ao repouso é medido por 
.θls =
 
Dessa maneira, a aceleração tangencial do corpo é 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 8
.2
2
2
2
dt
dl
dt
sd
a
θ
θ == (9) 
Multiplicando (9) por m para se ter a força tangencial e igualando a 
(7) obtemos a equação de movimento: 
θθ sen2
2
mg
dt
d
ml −= , 
 ou 
.0sen2
2
=+ θθ
l
g
dt
d
 (10) 
Esta equação é diferente da equação do oscilador harmônico 
simples, pois a força restauradora não é proporcional ao 
deslocamento angular θ, mas ao seno de θ. 
 
Quando se mede o ângulo θ em radianos, porém, temos que, para 
ângulos pequenos, 
.sen θθ ≈
 (11) 
Por exemplo, para θ = 0,1745 rad (= 10o), sen θ = 0,1736. Notem 
que os dois valores são muito próximos; o erro relativo vale (0,1745 
– 0,1736)/0,1736 = 0,005 (~ 0,5%). 
 
Portanto, para pequenos desvios em relação à posição de equilíbrio, 
a equação de movimento do pêndulo simples pode ser aproximada 
por, 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 9
02
2
=+ θθl
g
dt
d
, (12) 
com θ medido em radianos. 
 
Esta é a equação de um MHS com frequência angular 
l
g
=ω
. (13) 
A freqüência e o período das pequenas oscilações são, 
respectivamente, 
l
gf
pipi
ω
2
1
2
==
 (14) 
e 
g
l
fT pi2
1
==
. (15) 
Notem que o período T das oscilações do pêndulo simples não 
depende da amplitude das oscilações (desde que elas sejam 
pequenas), mas apenas do comprimento do pêndulo l. 
 
Este fato foi observado por Galileu (1564-1642) em 1602 e constitui 
o que ele chamou de isocronismo do pêndulo. Em cartas a amigos, 
Galileu sugeriu que o isocronismo do pêndulo simples para 
pequenas oscilações poderia ser usado para a construção de 
instrumentos de medida de tempo. 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 10
Por exemplo, supondo que a intensidade do campo gravitacional é a 
mesma para todos os pontos da superfície da Terra e vale g = 9,8 
m/s2, o comprimento l do pêndulo para que o seu período T seja de 1 
segundo pode ser calculado a partir de (15) como: 
m 248,0
4
1)m/s 8,9(
4 2
2
2
2
===
pipi
gTl , 
ou seja, um pêndulo de comprimento 24,8 cm que oscile com 
amplitudes menores que 10o possui período de aproximadamente 1 
segundo com erro da ordem de 0,5%. 
 
Em 1603, um dos amigos de Galileu, o médico Santorio Santorio, 
passou a usar um pendulo simples (que ele chamou de pulsilogium) 
para medir o pulso de seus pacientes. 
 
A aplicação mais importante do isocronismo do pêndulo, no entanto, 
veio em 1656, após a morte de Galileu, com a construção do 
primeiro relógio de pêndulo pelo físico holandês Christiaan Huygens 
(1629-1695). A figura abaixo mostra o esquema do primeiro relógio 
de pêndulo construído por Huygens (a figura foi tirada do site 
http://www.17centurymaths.com/contents/huygens/horologiumpart1.pdf, 
que contém a tradução para o inglês do livro de Huygens sobre o 
relógio de pêndulo Horologium Oscillatorium). 
 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 11
 
 
A energia cinética do pêndulo simples é 
2
2
1
mvK =
. 
A velocidade do pêndulo é 
( )
dt
dl
dt
ld
dt
ds
v
θθ
===
. 
Substituindo esta expressão da velocidade na equação para a energia 
cinética, 
2
2
2
1






=
dt
d
mlK θ
. (16) 
 
Para calcular a energia potencial U do pêndulo, vamos considerar 
que a posição em que U é nula é a posição de equilíbrio θ = 0. Desta 
forma, a energia potencial pode ser calculada como o negativo do 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 12
trabalho realizado pela força restauradora para levar o pêndulo de θ 
= 0 até um valor de θ qualquer diferente de zero: 
( ) ⇒′′=′′−−=−=−= ∫∫ ∫→
θθ θ
θθ θθθθ
00 0
0 sensen dmglldmgdsFWU
 
[ ]θθ 0cos ′−=⇒ mglU . 
Ou seja, 
( )θcos1 −=⇒ mglU . (17) 
 
Observem que as equações (16) e (17) são absolutamente gerais para 
o pêndulo simples, isto é, elas valem mesmo quando não se faz a 
aproximação de pequenos ângulos. 
 
Se, no entanto, fizermos a aproximação de ângulos pequenos, 
θθ ≈sen , 
a energia potencial torna-se 
θθ θθθ
0
2
0 2
)(





 ′
=′′= ∫ mgldmglU . 
Ou seja, 
)1( 
2
1
2
1 2222 <<== θθωθ lmmglU
. (18) 
 
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque 
Aula 3 2010 
 
 13
A energia total (que se conserva) do pêndulo simples para pequenas 
oscilações é então: 
222
2
2
2
1
2
1 θωθ lm
dt
d
mlUKE +





=+=
. (19) 
 
Faça, como exercício, uma análise do movimento do pêndulo 
simples baseada nesta equação da mesma forma que a que foi feita 
na aula anterior para o movimento do sistema massa-mola.