Prova de Segunda Chamada

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Universidade Federal de Pernambuco
Segunda Chamada de A´lgebra Linear - 2012.1
CCEN - Depto Matema´tica - A´rea II
As respostas somente sera˜o aceitas com justificativa. Na˜o ha´ consulta.
Questa˜o 1. Sejam as matrizes: A =


−2 0 −2 2
0 0 −1 2
2 1 −2 2
1 0 −1 −2


e B =


10
20
30
40


a) (1,0) Calcule o determinante da matriz A.
b) (1,0) O sistema AX = B, com X = [x1, x2, x3, x4]
t, tem soluc¸a˜o u´nica?
Questa˜o 2. Seja V um espac¸o vetorial com base β = {v1, v2, v3} e T : V → V
um operador linear cuja matriz
[T ]ββ =


1 2 3
0 1 −1
1 0 5


.
Em func¸a˜o dos vetores v1, v2 e v3, determine:
a) (1,0) Uma base para o nu´cleo da transformac¸a˜o ker(T ).
b) (1,0) Uma base para a imagem da transformac¸a˜o Im(T ).
Questa˜o 3. Seja V = P1 = {p(x) = a0 + a1x ; ∀ai ∈ R} com produto interno
< p(x), q(x) >=
∫
1
−1
p(x)q(x)dx
a) (1,0) Verifique se a base canoˆnica α = {1, x} e´ base ortonormal. Caso
contra´rio, encontre uma base ortonormal a partir dela.
b) (2,0) Seja T : P1 → P1 o operador linear cuja expressa˜o e´ T (a0 + a1x) =√
3
6
(−3a0 + a1) +
√
3
2
(a0 + a1)x. Em relac¸a˜o a este produto interno: T e´
operador auto-adjunto? T e´ operador ortogonal? Justifique.
Questa˜o 4.(3, 0) Seja V = R3 com <,> usual. Observe a qua´drica cuja
equac¸a˜o na base canoˆnica e´ dada por:
2xy + 2yz + 2xz + 4
√
3x+ 4
√
3y + 4
√
3z + 17 = 0 e cuja forma matricial e´:
[
x y z
]


0 1 1
1 0 1
1 1 0




x
y
z


+
[
4
√
3 4
√
3 4
√
3
]


x
y
z


+ 17 = 0
Preprint submitted to Elsevier 29 de junho de 2012
a) (1,5) Encontre uma nova base ortonormal β para R3 de forma que a
equac¸a˜o com coor-denadas em β na˜o tem termo misto (use diagonalizac¸a˜o
da parte quadra´tica).
b) (0,8) Escreva a nova equac¸a˜o com coordenadas em β.
c) (0,7) Determine a equac¸a˜o reduzida e identifique a qua´drica.
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