Apostila Didática CAPÍTULO 1 e 2 Elon seg parte apostila

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Universidade Federal de Pelotas - UFPel 
 
Glênio Aguiar Gonçalves 
 
Cálculo Integral 
 
APOSTILA DIDÁTICA 
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
2 
CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 –––– PRIMITIVASPRIMITIVASPRIMITIVASPRIMITIVAS 
PRIMITIVAS 
 Como procedemos para reverter a derivação? A resposta é a operação chamada primitivação, 
ou antiderivação ou ainda antidiferenciação. 
 
1.1 DEFI�IÇÃO DE PRIMITIVA 
A seguir, daremos a definição de primitiva, e então será visto no decorrer desta seção 1.1 que a pri-
mitivação é um processo inverso da derivação, isto é, é uma antiderivação. 
 
 
 
 
 
Uma primitiva de )(xf é portanto uma função cuja derivada seja precisamente )(xf , no intervalo 
considerado. A Definição 1.1 implica na existência da derivada )(x'F no intervalo I. Isto significa 
que nem toda função f tem primitiva. 
 
 
A primitiva de uma dada função f em um intervalo I, se existir, não será única, porque, 
sendo C uma constante qualquer, tem-se que 
 
( )'CxFx'F += )()( 
pelo que se )(xF for primitiva de f no intervalo I, então CxF +)( também será. Isto será abordado 
pelos dois Teoremas a seguir. 
 
Do Teorema 1.1. decorre o Teorema 1.2 abaixo, já abordado no parágrafo anterior. 
 DEFI�IÇÃO 1.1: 
Uma função F será chamada de primitiva de uma função f num intervalo I se 
)()( xfx'F = para todo x neste intervalo. 
Ixxfx'F ∈∀= ,)()( 
 TEOREMA 1.1: 
Se f e g forem duas funções tais que )()( x'gx'f = para todo x no intervalo I, então 
haverá uma constante C, tal que 
Cxgxf += )()( , Ix∈∀ . 
Nota 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
3 
 
 
 
 
 
A primitivação é um processo de encontrar as primitivas de uma dada função. O símbolo ∫ denota a 
operação de primitivação, ou antiderivação, e escrevemos 
 
 
Assim, vemos que a primitivação é uma operação inversa da diferenciação. E as propriedades a se-
guir podem ser provadas a partir das correspondentes propriedades da diferenciação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMITIVAS IMEDIATAS: 
 Não há, além das propriedades relacionadas acima, outras regras simples que nos auxiliem na 
busca de primitivas de uma dada função. De modo geral, a determinação de primitivas depende 
diretamente do conhecimento das derivadas das funções usuais, que nos permitirá, perante uma dada 
expressão, imaginar uma função cuja derivada seja precisamente a expressão considerada. Assim, 
por exemplo, sabendo que 
CxFdxxf +=∫ )()( , onde )()( xfx'F = 
PROPRIEDADES: 
1. Cxdx +=∫ 
2. ∫∫ = dxxfadxxfa )()( , onde a é uma constante. 
3. Se f1 e f2 estão definidas no mesmo intervalo, então, 
[ ] ∫∫∫ +=+ dxxfdxxfdxxfxf 2121 )()()()( 
(esta propriedade da soma vale para uma soma de qualquer número de fun-
ções.) 
4. C
1n
x
dxx
1n
n +
+
=
+
∫ , se n for um número real e 1n −≠ . 
 TEOREMA 1.2: 
Se F for uma primitiva particular de f em um intervalo I, então a primitiva mais ge-
ral de f será dada por 
CxF +)( , onde C é uma constante arbitrária. 
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4 
2x1
1
xtanarc
xd
d
+
=][ , 
imediatamente se conclui que 
Cxtanarcdx
x1
1
2
+=
+∫
 
 O mesmo raciocínio, aplicado às derivadas das funções mais conhecidas permite 
elaborar uma tabela de primitivas, ditas “imediatas”: 
 
FUNÇÃO PRIMITIVA 
0 C 
1 Cx + 
x1 C|x|ln + 
xe Ce
x + 
xa Ca
aln
1 x + 
xsen Cxcos +− 
xcos Cxsen + 
xsec2 Cxtan + 
xcsc2 Cxcot +− 
xtanxsec Cxsec + 
xcotxcsc Cxcsc +− 
2x1
1
−
 
Cxsenarc + 
2x1
1
+
 
Cxtanarc + 
 
As identidades trigonométricas são freqüentemente usadas para calcular primitivas envolven-
do funções trigonométricas. A seguir são listadas as identidades mais usadas. 
 
 
 
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5 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 1: Avalie a primitiva ( )∫ + dxx/1xx . 
Solução: ( ) ∫∫∫
−
+=+ dxxdxxdxx/1xx 2
1
2
3
2
1
. Usando a propriedade (4), temos 
( ) ( )2121 CCx2x
5
2
C
2
1
x
C
2
5
x
dxx/1xx 2
1
2
52
1
2
5
2
1
+++=










++










+=+∫ . 
Portanto, ( ) Cx2x
5
2
dxx/1xx 52
1
++=+∫ , onde C = C1 + C2. 
 
 Exemplo 2: Avalie ∫
−
dx
xsen
xsen3xcot2 2
. 
Solução: Pelas propriedades (3) e (2) e as identidades trigonométricas, temos: 
∫∫∫∫∫ −=−=
−
dxxsen3dxxcscxcot2dx
xsen
xsen
3dx
xsen
xcot
2dx
xsen
xsen3xcot2 22
. Usando as integrais 
de função trigonométricas já listadas na Tabela, obtemos o resultado 
Cxcos3xcsc2dx
xsen
xsen3xcot2 2
++−=
−
∫ . 
 Exemplo 3: Encontre todas as funções de g tal que 
( ) 5 3x6
x
3
xsen4x'g +−= 
Solução: Queremos encontrar uma primitiva g de 
a. 1xcscxsen = b. 1xsecxcos = c. 1xcotxtan = 
d. 1xcosxsen 22 =+ e. xsec1xtan 22 =+ f. xcsc1xcot 22 =+ 
g. 
xcos
xsen
xtan = h. 
xsen
xcos
xcot = 
i. ( )x2cos1xsen
2
12 −= k. ( )x2cos1xcos
2
12 += 
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6 
( ) 5
3
x6
x
1
3xsen4x'g +−= 
Usando a Tabela dada, junto como o Teorema 1.2, obtemos 
( ) ( )
Cx
4
15
|x|ln3xcos4
C
x
6|x|ln3xcos4
dxx6
x
1
3xsen4dxx'gxg
5
8
5
8
5
8
5
3
++−−=
++−−=
+−== ∫∫ )(
 
Nas aplicações de cálculo é comum situações como a do Exemplo 3, onde é requerido achar uma 
função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equação que envolva as derivadas de uma 
função é chamada equação diferencial. A solução geral de uma equação diferencial envolve constan-
tes arbitrárias, como C deste Exemplo 3, que podem ser determinadas a partir de condições extras 
dadas no problema. 
 
 Contra-Exemplo: 
É bem conhecido o Teorema de Darboux, segundo o qual quando uma função f x( ) é 
diferenciável num intervalo aberto e em dois pontos a e b desse intervalo se tem 
)()( b'fa'f ≠ 
então, dado qualquer valor k compreendido entre f a f b' ( ) ' ( ) e , ter-se-á f c k' ( ) = , para pelo 
menos um ponto c pertencente a esse intervalo (Teorema do Valor Intermediário). Disto resulta 
imediatamente que, por exemplo, a chamada função de Heaviside, definida em ℜ por 



≥
<
=
 se , 
 se , 
)(
0x1
0x0
xH 
não pode ter primitiva no seu domínio. 
 
1.2 TÉC�ICAS DE PRIMITIVAÇÃO 
A maioria das primitivas não é obtida de forma imediata. Assim, faz-se necessário aprender certas 
técnicas que podem ser usadas no cálculo de tais primitivas. Neste capítulo, discutiremos técnicas 
que requerem a regra da cadeia para primitivação; no Capítulo 3 seguiremos com outras importan-
tes técnicas de primitivação. 
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7 
Para ilustrar, consideremos que 
(1) ))(())(( xgfxg'F = . Pela regra da cadeia para a diferenciação, temos: 
(2) )())(())(( x'gxg'FxgF
dx
d
= . 
Substituindo a (1) na (2), obtemos )())(())(( x'gxgfxgF
dx
d
= . Se primitivarmos ambos os lados 
desta equação, então, 
dxx'gxgfCxFdxxgF
dx
d
∫∫ =+= )())(()())(( 
ou seja, 
CxFdxx'gxgf +=∫ )()())(( 
Esta ilustração é a prova do Teorema a seguir chamado Regra da Cadeia para a primitivação. 
 
 Exemplo 5: Calcule dx4x3∫ + . 
Solução: Para aplicarmos o teorema da regra da cadeia para primitivas, observamos que podemos 
tomar 
( ) ( ) ( )dxx'g
3
1
dxdx3dxx'g4x3xg ==∴+= ou 
Assim, fazendo estas substituições, obtemos 
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∫∫∫ =



=+ dxx'gxg
3
1
dxx'g
3
1
xgdx4x3 2
1
 
Agora, se chamarmos ( )xgu = , ( )dxx'gdu= , conforme o Teorema 1.3, então 
 TEOREMA 1.3 - Regra da Cadeia para a Primitivação: 
(Regra da Substituição) 
Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g. Suponha que f 
seja uma função definida em I e que F seja uma primitiva de f em I. Então, 
CxFdxx'gxgf +=∫ )()())(( 
 Alternativamente, se u = g(x), dxx'gud )(= , então 
∫∫ = udufdxx'gxgf )()())(( 
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8 
( )[ ] ( ) C4x3
9
2
Cxg
9
2
Cu
9
2
C
2
3
u
3
1
duu
3
1
dx4x3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
++=+=
+=+==+ ∫∫
 
 Algumas vezes, é possível calcular uma primitiva após efetuarmos uma mudança de variável, 
conforme mostra o exemplo a seguir. 
 
 Exemplo 6: Avalie dxx1x2∫ + . 
Solução: Seja x1u += , dxdu = e 1ux −= , temos então 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) Cx1
3
2
x1
5
4
x1
7
2
Cu
3
2
u
5
4
u
7
2
duuduu2duuduu1u2uduu1udxx1x
2
3
2
5
2
7
2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5
2
1
22
1
22
++++−+=
++−=
+−=+−=−=+ ∫∫∫∫∫∫
 
 
 Exemplo 7: Avalie dx
x
xsen
∫ . 
Solução: Seja xu = , dx
x2
1
du = , isto é, dx
x
1
du2 = , temos então 
Cxcos2
Cucos2duusen2dx
x
xsen
+−=
+−== ∫∫ 
 
 Exemplo 8: Avalie dxxsenxcos1∫ − . 
Solução: Seja xcos1u −= , dxxsendu −= , temos então 
( ) Cxcos1
3
2
Cu
3
2
duuduudxxsenxcos1
2
3
2
3
2
1
+−=
+===− ∫∫∫
 
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CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 –––– INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA 
 
I�TEGRAL DEFI�IDA 
 Temos uma idéia intuitiva do que entendemos por área de certas figuras geométricas. Entre-
tanto, como definir área de uma região plana se ela for limitada por uma curva? Para responder a 
isto, vamos usar somas que envolvem muitas parcelas e para facilitar o cálculo. Posteriormente, este 
problema da área será usado para formular a idéia de uma integral definida, que é o conceito básico 
do cálculo integral. 
 
2.1 SOMATÓRIOS 
Vamos introduzir a notação chamada somatório. Esta notação envolve o símbolo Σ, sigma maiúsculo 
(letra do alfabeto grego). Agora são dados alguns exemplos de somatórias. 
Ilustração 1: 
a. 22222
5
1i
2 54321i ++++=∑
=
 
b. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 102232132032132232i3
2
2i
=+++++++−++−=+∑
−=
 
c. 2333
n
1j
3 n321j ++++=∑
=
K 
A seguir vamos dar uma definição formal de somatório. 
 
 
 
 
 
 
i. Assim, o segundo membro da definição consiste de (n – m + 1) termos; 
 DEFI�IÇÃO 2.1: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nF1nF3mF2mF1mFmFiF
n
mi
+−++++++++=∑
=
K 
onde m e n são inteiros e nm ≤ . 
Notas 
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10 
ii. O número m é chamado limite inferior do somatório, enquanto que o n é chamado limite su-
perior. O símbolo i é chamado de índice do somatório. É um índice “mudo” porque qualquer 
letra pode ser usada para o mesmo propósito. 
Agora, serão dadas quatro fórmulas úteis ao cálculo de somatórios. 
 
 Algumas vezes os termos de uma soma envolvem subscritos, como mostramos a abaixo. 
1. 987654
9
4k
k b9b8b7b6b5b4bk +++++=∑
=
 
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxfxxfxxfxxfxxf 54321
5
1i
i ∆∆∆∆∆∆ ++++=∑
=
 
A seguir, serão dadas propriedades que envolvem os somatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
( )
2
1nn
i
n
1i
+
=∑
=
 2. 
( )( )
6
1n21nn
i
n
1i
2 ++=∑
=
 
3. 
( ) 2n
1i
3
2
1nn
i 


 +=∑
=
 4. 
( )( )
30
1nn9n61nn
i
23n
1i
4 −+++=∑
=
 
1. ncc
n
1i
=∑
=
, onde c é qualquer constante. 
2. ( ) ( )∑∑
==
=
n
1i
n
1i
iFciFc 
3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∑
===
+=+
n
1i
n
1i
n
1i
iGiFiGiF 
4. ( ) ( )∑∑
+
+==
−=
cb
cai
b
ai
ciFiF e ( ) ( )∑∑
−
−==
+=
cb
cai
b
ai
ciFiF 
5. ( ) ( )[ ] ( ) ( )0FnF1iFiF
n
1i
−=−−∑
=
 
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11 
 Exemplo 1: Calcule ( )∑
=
−−
n
1i
1ii 44 . 
Solução: Da propriedade (5), temos que: 
( ) 144444 n0nn
1i
1ii −=−=−∑
=
− 
 Exemplo 2: Calcule ( )∑
=
−
n
1i
2i3i . 
Solução: 
( ) ( )∑∑
==
−=−
n
1i
2
n
1i
i2i32i3i Pela propriedade (3), temos 
 = ( )∑∑
==
−+
n
1i
n
1i
2 i2i3 Pela propriedade (2), temos 
 = ∑∑
==
−
n
1i
n
1i
2 i2i3 Pelas propriedades (2) e (1), temos 
 =
( )( ) ( )
2
1nn
2
6
1n21nn
3
+
−
++
 =
( ) ( )
2
n2n2nn3n2 223 +−++
 
 =
2
nnn2 23 −+
 
 
2.2 ÁREAS 
Começamos por tentar resolver o problema da área. A principal motivação para os conceitos introdu-
zidos aqui se encontra no seguinte problema. Suponhamos dada uma função f :[a, b]→ R, limitada 
no intervalo [a, b]. Admitamos, por simplicidade, que f seja não-negativa, isto é, ( ) 0xf ≥ para todo 
],[ bax∈ . Consideremos o conjunto 
S = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x )} 
 formado pelos pontos do plano compreendidos entre o eixo das abscissas, o gráfico de f, e as retas 
verticais x = a e x = b, conforme Figura 2.1. Qual é área desse conjunto? Primeiro, a área de um sub-
conjunto limitado S do plano R2 deve ser um número real. 
 
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12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. 1 
Para que uma função f seja limitada no intervalo [a, b] é necessário e suficiente que 
exista um número K > 0 tal que K|xf| ≤)( para todo ] ,[ bax∈ . 
 
 Podemos admitir que saibamos calcular áreas de polígonos, polígonos retangulares, por e-
xemplo, formados por retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e, especifica-
mente, as bases inferiores estão sobre o eixo das abscissas, y = 0, e as bases superiores tocam o gráfi-
co da função. 
Agora, podemos tomar como aproximações por falta deste número as áreas desses retângulos 
contidos em S, polígonos retangulares inscritos, conforme Figura 2.2. Isto equivale a dizer: 
 
 
* supremo = menor limitante superior. 
 
Figura 2.2: polígonos retangulares contidos em S (inscritos). 
 
Poderíamos também considerar as áreas dos retângulos que contêm S, polígonos retangulares cir-
cunscritos, como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, teríamos: 
 
 
* ínfimo = maior limitante inferior. 
Nota 
Área de S = ínfimo* das áreas dos polígonos retangulares que contêm S. 
Área de S = supremo* das áreas dos polígonos retangulares contidos em S. 
 
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13 
 
 
Figura 2.3: polígonos retangulares que contêm S (circunscritos). 
 
 Lembre-se de que ao definir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tan-
gente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Uma idéia 
similar será usada aqui para o cálculo de áreas. Em primeiro lugar, aproximamos a região S por re-
tângulos justapostos e então tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos 
o número de retângulos. 
Para tal, primeiro dividimos o intervalo fechado [a, b] em n subintervalos, que não são neces-
sariamente de mesmo comprimento (ou largura), através da escolha de (n−1) pontos entre a e b, de 
modo que 
bxxxxa 1ni21 <<<<<< −KK 
Para tornar coerente a notação, convencionamos denotar a por 0x e b por nx . Assim, 
bxxxxxxa n1ni210 =<<<<<<<= −KK 
O conjunto de todos os subintervalos do intervalo [a, b] é chamado uma partição do intervalo [a, b], 
denotada por P, tal que Pa∈e Pb∈ : 
{ }n1ni210 xxxxxxP ,,,,,,, −= KK 
 Na Figura 2.2 abaixo, há a representação de uma partição P do intervalo [a, b], ressaltando o i-ésimo 
subintervalo, ],[ i1i xx − , da partição. 
 
Figura 2.2: Representação de uma partição do intervalo [a, b]. 
 
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14 
Assim, teremos que cada subintervalo terá comprimento distinto e o comprimento do i-ésimo subin-
tervalo, como mostrado na Figura 2.2 e Figura 2.3, é 
1iii xxx −−=∆ 
A partição P contém n subintervalos, sendo que um deles é maior (podem existir mais de um desses 
subintervalos). O comprimento do maior subintervalo da partição é chamado norma da partição e é 
denotado por ||∆||. 
 
Figura 2.3: 
 Seja f :[a, b]→ R limitada e { }n10 xxxP ,,, K= , uma partição de [a, b]. Para cada i = 1,..., n, 
indicaremos por mi o ínfimo (menor valor) e com Mi o supremo (maior valor) dos valores de f no 
intervalo ],[ i1i xx − . 
Agora podemos falar em soma inferior e soma superior da função f relativamente à partição 
P. Quando f é uma função positiva, a soma inferior, denotada por s(f; P), e soma superior, denotada 
por S(f; P) podem ser interpretadas com áreas de polígonos, inscrito e circunscrito ao gráfico de f, 
respectivamente, e, portanto, como valores aproximados (por falta e por excesso, respectivamente) 
da área compreendida entre esse gráfico e o eixo das abscissas. Isto é: 
∑
=
=
n
1i
ii xmPfs ∆);( e ∑
=
=
n
1i
ii xMPfS ∆);( 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA 2.1: 
Seja f :[a, b]→ R limitada. Quando se refina uma partição P, a soma inferior 
não diminui e a soma superior não aumenta. 
 
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Este Teorema 2.1 tem como conseqüência que para quaisquer partições P e Q de [a, b], tem-se 
);();( QfSPfs ≤ 
ou, em outras palavras, toda soma inferior de f é menor do que ou igual a qualquer soma superior. 
 
PARTIÇÕES REGULARES 
Dada essa introdução teórica, consideremos agora, para efeito de simplificação, uma função 
que seja crescente ou decrescente no intervalo considerado. Neste caso, podemos usar partições que 
tenham o mesmo comprimento, digamos, ∆x, chamadas partições regulares, para representar tanto 
somas inferiores quanto superiores. Logo o comprimento desta partição será dado por 
n
ab
x
−
=∆ 
Analogamente ao que já foi descrito, vamos denotar os extremos desses subintervalos por 
n1n210 xxxxx ,,,,, −K 
onde expressamos 
( ) bxx1naxxiaxxaxax n1ni10 =−+=+=+== − ,∆,,∆,,∆, KK , 
sendo ],[ i1i xx − o i-ésimo subintervalo. 
Portanto, considere n retângulos, cada um com comprimento ∆x unidades e altura )( icf , em 
que ic pertence ao i-ésimo subintervalo e, por exemplo, )( icf é o ínfimo dos valores da função no i-
ésimo subintervalo. Então a área do i-ésimo retângulo inscrito é xcf i ∆)( . Sendo );( nPfs a soma 
inferior das áreas dos n retângulos inscritos, assim 
xcfxcfxcfxcfPfs ni21n ∆)(∆)(∆)(∆)();( +++++= KK 
ou, usando a notação de somatório para escrever estes termos de forma mais compacta, temos, 
∑
=
=
n
1i
in xcfPfs ∆)();( 
onde o sub-índice n indica o número de retângulos que constituem o polígono. Portanto, este somató-
rio dá a soma das medidas de área de todos os retângulos. Com isto, podemos aproximar a área sob o 
gráfico de uma função, no intervalo [a, b], através da soma inferior (ou superior) de retângulos ins-
critos (ou circunscritos). 
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16 
Na Figura 2.4, a região sombreada tem uma área de );( 5Pfs unidades quadradas. Vamos fa-
zer agora n crescer, isto é, refinar a partição. Especificamente, multiplicar n por 2, ou seja, );( 10Pfs ; 
então o número de retângulos vai dobrar, enquanto o comprimento de cada retângulo vai cair pela 
metade. Isto está ilustrado na Figura 2.5, mostrando o dobro de retângulos inscritos da Figura 2.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Figura 2.5 
Comparando as duas Figuras, vemos que a área sombreada na Figura 2.5 se aproxima melhor da área 
da região S (que é 3,72 unidades quadradas) do que a da Figura 2.4. Assim, a soma das medidas das 
áreas dos retângulos na Figura 2.5 está mais próxima do número que desejamos para representar a 
medida da área de S. 
 Enquanto n cresce, a soma inferior );( nPfs representa melhor a área sob o gráfico de f. O 
mesmo pode ser mostrado em relação à soma superior );( nPfS . Assim podemos supor que quando n 
cresce indefinidamente, os valores de );( nPfs e );( nPfS tendem a um mesmo limite. É este limite, 
se existir, que iremos tomar como a definição de medida da área A da região S. 
 Portanto, vamos definir área A da região S, em termos de partições regulares, como: 
 
 DEFI�IÇÃO 2.2: 
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f no intervalo 
fechado [a, b], com 0xf ≥)( para x em [a, b], é o limite, se esse limite existir, da soma 
inferior ou superior. 
xcflimPfSlimPfslimA
n
1i
i
n
n
n
n
n
∆∑
=∞→∞→∞→
=== )();();( , se o limite existir. 
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
17 
 Exemplo 1: Ache a área da região limitada pela curva 2xy = , o eixo x e a reta x = 3, tomando 
a soma inferior (polígonos inscritos). 
Solução: A Figura abaixo mostra a região e o i-ésimo retângulo inscrito. Notamos que no intervalo 
dado, a curva é crescente. Assim, podemos tomar partições regulares e o ínfimo da função estará no 
extremo esquerdo de cada subintervalo. Então, para aplicarmos a definição, dividimos o intervalo 
fechado [0, 3] em n subintervalos, cada um com comprimento ∆x: 
( ) 3xx1nxxixx2xxx0x n1ni210 =−===== − ,∆,,∆,,∆,∆, KK 
n
3
n
03
n
ab
∆x =
−
=
−
= 2xxf =)( 
Como estamos usando o extremo esquerdo de cada subintervalo, 
temos, 
xxflimPfslimA
n
1i
1i
n
n
n
∆∑
=
−
∞→∞→
== )();( 
Como ( ) x1ix 1i ∆−=− , ( )[ ]21i x1ixf ∆)( −=− . Logo, 
[ ] 32
n
1i
2
n
1i
1i
n
1i
1i x1ixxxxxf )()()()( ∆∆∆∆ ∑∑∑
==
−
=
− −== 
 Mas, 
n
3
∆x = , assim, 








+−=
−=
−=
∑∑∑
∑
∑∑
===
=
==
−
n
1i
n
1i
n
1i
3
2
n
1i
3
3
2
n
1i
n
1i
1i
1i2i
n
27
1i
n
27
n
27
1ixxf
2
)(
)()( ∆
 
e usando as fórmulas de somatórios dadas, obtemos 
( )( ) ( )







 +−
=







 +−−++
=



 +
+
−
++
=∑
=
−
2
2
223
3
3
n
1i
1i
n
1n3n2
2
9
6
n6n6n6nn3n2
n
27
n
2
1nn
6
1n1n2n
n
27
xxf ∆)(
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
18 
Então, tomando o limite, 
( )
9
002
2
9
n
1
n
3
2lim
2
9
n
1n3n2
2
9
limA
2n
2
2
n
=
++=




+−=







 +−
=
∞→
∞→
 
Assim, a área da região é de 9 unidades quadradas. 
 
 Exemplo 2: Ache a área da região do Exemplo 1, tomando a soma superior (polígonos cir-
cunscritos). 
Solução: Como a função é crescente no intervalo considerado, podemos tomar partições regulares e o 
supremo da função estará no extremo direito de cada subintervalo, como mostra a Figura. Então, 
xxflimPfSlimA
n
1i
i
n
n
n
∆∑
=∞→∞→
== )();( 
Como xixi ∆= , ( )2i xixf ∆)( = . Logo, 
( ) 32
n
1i
2
n
1i
n
1i
i xixxixxf )()( ∆∆∆∆ ∑∑∑
===
== 
 Mas, 
n
3
∆x = , assim, 
 
( )( )
( )( )[ ]




++=







 ++
=
++=



 ++=
=
=
∑
∑∑
=
==
2
2
2
2
3
2
n
1i
3
3
2
n
1i
n
1i
i
n
1n
3
2
2
9
n
1n3n2
2
9
1n21n
n2
9
6
1n21nn
n
27
i
n
27
n
27
ixxf ∆)(
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
19 
Então, tomando o limite, 
( )
9
002
2
9
n
1
n
3
2
2
9
limA
2n
=
++=




++=
∞→
 
e a área da região é de 9 unidades quadradas, como no Exemplo anterior. 
 
2.3 I�TEGRAL DEFI�IDA 
Vimos na seção anterior que a medida de área de uma região foi definida, em termos de partições 
regulares, como sendo o limite da forma 
xcflim
n
1i
i
n
∆∑
=∞→
)( 
Para chegarmos a esta definição, dividimos o intervalo [a, b] em subintervalos de igual comprimento 
e então tomamos ic como sendo um ponto do i-ésimo subintervalo. Também exigimos que a função 
fosse continua em [a, b], além restringimos os valores da função a serem não-negativos em [a, b]. 
Como já sabemos, o limite acima é um caso particular, visto que uma partição, no caso mais 
geral, não é regular. 
 Então, de forma mais geral, temos que o somatório será posto como 
xcf i
n
1i
i ∆∑
=
)( 
Tal soma é chamada soma de Riemann (homenagem ao matemático Bernhard Riemann). E o limite 
da soma de Riemann é, então, dado por 
xcflim i
n
1i
i
0||||
∆
∆
∑
=→
)( 
 
Fazer ||∆|| → 0 é equivalente, para partição regular, a fazer n → ∞ (o que não é verdade 
para o caso de partição não regular). 
Agora, daremos a este tipo de limite um nome e notação especiais. 
 
 
 DEFI�IÇÃO 2.3: DEFI�IÇÃO DE I�TEGRAL DEFI�IDA. 
Se f for uma função definida no intervalo [a, b], então a integral definida de f de a 
até b, denotada por ( )∫
b
a
dxxf será dada por 
( ) xcflimdxxf i
n
1i
i
0||||
b
a
∆
∆
∑∫
=→
= )( , se o limite existir. 
Nota 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
20 
 
 
 
 
 
 
i. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é chamado sinal de integração. Este símbolo 
lembra um S, o que é apropriado, pois a integral definida é o limite de uma soma; 
ii. Na notação 
 
 
 
 
 
iii. f (x) é chamado de integrando, a e b são chamados limites de integração, a é o limite inferior 
e b é o limite superior, e o símbolo dx por si só não tem significado; 
iv. A integral definida é um número, não dependendo de x, mas depende da função do integrando 
e dos limites de integração. Assim, podemos usar qualquer letra em vez do x sem mudar o va-
lor da integral: 
( ) ( ) ( )∫∫∫ ==
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf 
 A seguinte questão surge agora: sobe que condições uma função é integrável? Uma resposta a 
essa questão é dada pelo teorema a seguir. 
 
 
 
 
A condição de que f seja contínua em [a, b] é uma condição suficiente, mas não necessária: se a fun-
ção for contínua em [a, b], então o Teorema 2.1 assegura que a integral existe, contudo, há funções 
 TEOREMA 2.1: 
Se f for uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então ela será integrável 
em [a, b]. 
 
( )
43421
baf
b
a
dxxf
atédedeIntegral
∫ 
Notas 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
21 
que são descontínuas, descontinuidades removíveis ou de saltos (mas não descontinuidades infini-
tas), cuja integral existe. 
 Agora, vamos redefinir a medida de área de uma região de uma forma mais geral 
 
 
Esta definição estabelece que se f (x) ≥ 0 para todo x em [a, b], a integral definida poderá ser inter-
pretada geometricamente como a medida da área da região S. Se f assumir valores positivos e negati-
vos em [a, b], então a soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x 
e o negativo das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x. Então, neste caso, a integral defini-
da pode ser interpretada como área líquida, isto é, a diferença das áreas da região que estão acima do 
eixo x e as áreas das regiões que estão abaixo do eixo x do gráfico de f. 
 Exemplo 1: Ache o valor da integral ∫
3
1
2 dxx . Interprete geometricamente o resultado. 
Solução: Considere uma partição regular do intervalo fechado [1, 3] em n subintervalos. Como usa-
remos os extremos direitos de cada subintervalo, temos então 
xi1xi ∆+= , ( )2i xi1xf ∆)( += 
Logo, ( ) ∑∑∑
===
++=+=
n
1i
222
n
1i
n
1i
i xxixi21xxi1xxf ∆∆∆∆∆∆ )()( 
 Mas, 
n
2
n
13
∆x =
−
= , assim, 
 DEFI�IÇÃO 2.4: 
Se f for uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e f (x) ≥ 0 para todo x em 
[a, b]. Seja S a região limitada pela curva y = f (x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = 
b. Então a medida A da área da região S é dada por 
( )∫∑ =⇔=
=→
b
a
i
n
1i
i
0||||
dxxfAxcflimA ∆
∆
)( 
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
22 
( ) ( )( )
( ) ( )

















 +




 ++




 ++=









 +++




 ++=









 +++


 ++=
++=






++=
∞→
∞→
∞→
===∞→
=∞→
∑∑∑
∑∫
n
1
2
n
1
1
3
4
n
1
142lim
n
1n2
n
1n
3
4
n
1
142lim
6
1n21nn
n
8
2
1nn
n
8
2lim
i
n
8
i
n
8
n
2
lim
n
2
n
4
i
n
2
i21limdxx
n
n
32n
n
1i
2
3
n
1i
2
n
1i
n
n
1i
2
2
n
3
1
2
 
 tomando o limite, 
3
26
3
8
42dxx
3
1
2 =




 ++=∫ 
A interpretação geométrica do resultado é que como 0x2 ≥ para todo x no intervalo [1, 3], então a 
região limitada por esta curva, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3 tem 26/3 unidades quadradas de 
área. 
PROPRIEDADES DA I�TEGRAL DEFI�IDA 
Quando definimos integral definida, implicitamente assumimos que a < b. Mas a definição como o 
limite de somas de Riemann faz sentido mesmo quando a > b, entretanto, devemos observar que ∆x 
mudará de sinal. Portanto, 
 
 
 
Se a = b, então ∆x = 0, e 
 
 
Vamos apresentar propriedades básicas das integrais que são conseqüências diretas da definição pelo 
limite de somas de Riemann. 
 
 
( ) ( )∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf 
 ( ) 0dxxf
a
a
=∫ 
 Propriedades da Integral: 
Considerando f e g funções contínuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante. 
1. ( )abcdxc
b
a
−=∫ 
2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 
bb
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos comentários a seguir, para a definição de integral definida será usada partição regular. 
A Propriedade 1 estabelece que a integral de uma função constante c é a constante vezes o 
comprimento do intervalo (b –a). Se c > 0, c (b – a) é a área do retângulo 
 
Prova: 
( ) ( )abcabclimxclimxclimdxc
n
n
1i
n
n
1i
n
b
a
−=−===
∞→=∞→=∞→
∑∑∫ ∆∆ 
 
 
 
A Propriedade 2 estabelece que a integral de uma soma (ou subtração) de funções é a soma 
(ou subtração) das integrais destas funções. Em geral, a Propriedade 2 segue do fato que o limite da 
soma (ou subtração) de funções é a soma (ou subtração) dos limites das funções. 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∑∑
∑∫
±=
±=
±=±
=∞→=∞→
=∞→
b
a
b
a
n
1i
i
n
n
1i
i
n
n
1i
ii
n
b
a
dxxgdxxf
xxglimxxflim
xxgxflimdxxgxf
∆∆
∆
 
A Propriedade 3 pode ser provada de forma análoga a da Propriedade 1, 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
24 
( ) ( ) ( ) ( )∫∑∑∫ ===
=∞→=∞→
b
a
n
1i
i
n
n
1i
i
n
b
a
dxxfcxxflimcxxfclimdxxfc∆∆ 
 e estabelece que a integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral da fun-
ção. Em outras palavras, uma constante (mas somente uma constante) pode ser colocada na frente de 
um sinal de integração. 
 Para o caso em que f(x) ≥ 0 e a < c < b, a Propriedade 4, pode ser vista a partir de uma inter-
pretação geométrica: a área sob y = f(x) de a até c mais a área de c até b igual à área total de a até b. 
 
 Exemplo 2: Use as propriedades das integrais pra calcular 
( )∫ +
3
0
2 dxx34 
Solução: Usando as propriedades 2 e 3 das integrais, temos 
( ) ∫∫∫∫∫ +=+=+
3
0
2
3
0
3
0
2
3
0
3
0
2 dxx3dx4dxx3dx4dxx34 
Sabemos da Propriedade 1 que ( ) 12034dx4
1
0
=−=∫ . E encontramos no Exemplo 1 (ou 2) da Seção 
2.2 que 9dxx
3
0
2 =∫ . Logo: 
( ) ( ) 399312dxx34
3
0
2 =+=+∫ 
 Exemplo 3: Exemplo de uma função não integrável em [0, 1]. A função 
( )



=
irracional é se,
racional é se,
x0
x1
xf 
não apresenta integral de Riemann no intervalo [0, 1]. Por trás disto está o fato de que entre dois nú-
meros quaisquer dessa função existe um número racional e outro irracional. Logo, a função salta para 
cima e para baixo em [0, 1] tão erraticamente que a região abaixo de sua curva e acima do eixo x não 
pode ser aproximada por retângulos, por mais estreitos que eles sejam. Assim, as aproximações de 
soma superior, (Sup), e de soma inferior, (Inf), convergem para valores diferentes. 
 Se tomarmos uma partição P de [0, 1] e escolhermos ic par se o valor máximo de f em 
][ 1ii xx −− , então a soma de Riemann correspondente é 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
25 
( ) 1xcflimSup
n
1i
ii
0||||
== ∑
=→
∆
∆
 
pois cada subintervalo contém um número racional onde ( ) 1cf i = . Observe que a soma de compri-
mento dos intervalos da partição é 1. 
 Por sua vez, se escolhermos para ic o valor mínimo de f em ][ 1ii xx −− , então a soma de Ri-
emann é 
( ) 0xcflimInf
n
1i
ii
0||||
== ∑
=→
∆
∆
 
pois cada subintervalo cotem um número irracional ic onde ( ) 0cf i = . O limite da soma de Riemann 
é igual a zero. Como o limite depende das escolhas de ic , a função f não é integrável. 
 Observe que as Propriedades 1−4 são verdadeiras para qualquer ordem de a e b. As Proprie-
dades a seguir, nas quais comparamos tamanhos de funções e tamanhos de integrais são verdadeiras 
somente se ba ≤ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i. Se ( ) 0xf ≥ , então a integral desta função no intervalo [a, b] representa a medida de área sob 
o gráfico de f, logo a interpretação geométrica da Propriedade 5 é simplesmente que as áreas 
são positivas. 
ii. A Propriedade 6 estabelece que uma função maior tem uma integral maior. 
 Propriedades Comparativas da Integral: 
Considerando f e g funções contínuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante. 
5. Se ( ) 0xf ≥ para bxa ≤≤ , então ( ) 0dxxf
b
a
≥∫ . 
6. Se ( ) ( )xgxf ≥ para bxa ≤≤ , então ( ) ( )∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf . 
7. Se ( ) Mxfm ≤≤ para bxa ≤≤ , então 
( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫ . 
 
Notas 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
26 
iii. A Propriedade 7 diz que se f for contínua poderemos tomar, pelo Teorema do Valor Extremo, 
m e M como sendo os valores mínimo e máximo absolutos de f no intervalo [a, b], e neste ca-
so, a Propriedade 7 estabelece que a área sob o gráfico de f é maior que a área do retângulo 
com altura m e base (b – a) e menor do que o retângulo com altura M e base (b – a). 
 
Prova da Propriedade 7: Uma vez que ( ) Mxfm ≤≤ , a Propriedade 7 nos dá 
( ) ∫∫∫ ≤≤
b
a
b
a
b
a
dxMdxxfdxm 
Usando a Propriedade 1 para calcular as integrais do lado esquerdo e direito, obtemos 
( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫ 
Esta Propriedade 7 é importante quando desejamos somente estimar o valor de uma integral definida. 
 
 Exemplo 4: Use a Propriedade 7 para estimar o valor de ∫
4
1
dxx . 
Solução: Uma vez que a função x é crescente, seu mínimo absoluto em [1, 4] ocorre em x = 1 e é 
m = 1 e seu máximo absoluto ocorre em x = 4 e é M = 2. Portanto, a Propriedade 7 nos dá 
( ) ( )142dxx141
4
1
−≤≤− ∫ ou, 6dxx3
4
1
≤≤ ∫ 
Isto significa que a área sob o gráfico da função x em [1, 4] é maior ou igual a 3 e menor ou igual 
a 6 unidades quadradas. 
 
2.4 TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA I�TEGRAIS 
O Teorema do valor médio é importante na prova do Teorema Fundamental do Cálculo − Parte 1. E 
também é relevante porque nos permite calcular valores médios de funções contínuas em um interva-
lo fechado [a, b]. 
 
 
 
 
 TEOREMA 2.2: Teorema do Valor Médio para Integrais: 
Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], existe um número c em [a, b] tal 
que 
( ) ( ) ( )abcfdxxf
b
a
−=∫ 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
27 
 
Prova: Como f é contínua em [a, b], do Teorema do Valor Extremo, f tem valores de máximo e mí-
nimo absolutos em [a, b]. 
 Seja m o valor mínimo absoluto ocorrendo em mxx = . Assim, 
( ) mxf m = , bxa m ≤≤ 
Seja M o valor máximo absoluto ocorrendo em Mxx = . Assim, 
( ) Mxf M = , bxa M ≤≤ 
Temos, então, ( ) Mxfm ≤≤ , para todo x em [a, b]. Da Propriedade 7, segue que 
( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫ 
Agora, dividindo por (b – a) e observando que este valor é positivo, pois b > a, obtemos 
( )
( ) Mdxxf
ab
1
m
b
a
≤
−
≤ ∫ , ou seja, 
( )
( )
( ) ( )M
b
a
m xfdxxf
ab
1
xf ≤
−
≤ ∫ 
Desta igualdade, e do Teorema do Valor Médio existe algum número c num intervalo fechado con-
tendo mx e Mx , tal que 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cfabdxxfcfdxxf
ab
1
b
a
b
a
−=⇔=
− ∫∫ 
como queríamos provar. 
O valor de c no Teorema 2.2 não é necessariamente único. O Teorema 2.2 não dá um 
método para o cálculo de c, mas estabelece que um valor de c existe. Em alguns casos, 
podemos encontrar o valor de c garantido pelo Teorema 2.2. 
 A interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio para Integrais é dada pelo fato 
que, supondo que a função f é positiva, existe um retângulo de altura f (c) que possui a mesma área 
compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, no intervalo [a, b], conforme Figura 2.4 abaixo. 
Nota 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
28 
 
Figura 2.4: Interpretação Geométrica para o Teorema do Valor Médio para Integrais 
 
 O valor f (c) dado pelo Teorema 2.2 é chamado de valor médio de f, denotado por fM, no in-
tervalo [a, b]. É uma generalização da média aritmética de um conjunto finito de números. Isto é, se 
( ) ( ) ( ){ }n21 xf,,xf,xf K 
for um conjunto de n números, então a média aritmética será dada por 
( )
n
xf
n
1i
i∑
=
 
Para generalizar esta definição, considere uma partição regular do intervalo fechado [a, b], que é 
dividido em n subintervalos ( ) nabx −=∆ . Seja ic qualquer ponto no i-ésimo subintervalo. Então o 
quociente abaixo corresponde a média aritmética de n números: 
( )
n
cf
n
1i
i∑
=
 
 Como ( ) nabx −=∆ , temos que ( )abxn1 −=∆ . Substituindo este na expressão anterior da média, 
temos 
( )
( )ab
xcf
n
1i
i
−
∑
=
∆
 
Agora, tomando o limite quando ∞→n (ou, de forma equivalente, 0x→∆ ), temos, se o limite exis-
tir, 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
29 
( )
( ) ( )
( )∫
∑
−
=
−
=
∞→
b
a
n
1i
i
n
dxxf
ab
1
ab
xcf
lim
∆
 
Isto nos leva a seguinte definição. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 1: Determine o valor médio de ( ) 2x1xf −= em [−2, 2]. 
Solução: Reconhecemos esta função como uma funçãocujo gráfico é o semicírculo superior de raio 
2 centrado na origem. 
 A área entre este semicírculo e o eixo x de [−2, 2] pode ser calculada usando a fórmula geo-
métrica 
( ) πππ 22
2
1
r
2
1
A
22 === 
Como f é não negativa, a área também é o valor da integral de f de 
−2 até 2: 
π2dxx1A
2
2
2 =−= ∫
−
. Logo, o valor médio de f é: 
( ) 2
2
4
1
dxx1
22
1
f
2
2
2
M
π
π ==−
−−
= ∫
−
 
 
 Exemplo 2: Determine o valor médio de ( ) xcosxf = em [0, 2π]. 
Solução: Pela Figura que mostra o gráfico da função cosseno no intervalo [0, 2π], podemos notar 
que, como a função é positiva e negativa neste intervalo, a integral definida dá é a área líquida, isto é 
 DEFI�IÇÃO 2.5: 
Se a função f for integrável no intervalo fechado [a, b], o valor médio de f em [a, b], 
também chamado de média, será 
( )
( )∫−=
b
a
M dxxf
ab
1
f 
 
Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM 
 
30 
0AAAdxxcos 321
2
0
=+−=∫
π
, como podemos observar pela Figura. 
Logo, ( ) 00
2
1
dxxcos
02
1
f
2
0
M ==−
= ∫ ππ
π
 
Portanto, o valor médio da função cosseno no intervalo [0, 2π] é 
zero.