engenharia econOmica.parte3 silvia duarte 2017 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE 
PRODUÇÃO
ENGENHARIA ECONÔMICA
PROF. SÍLVIA DUARTE
Juro Composto
• Neste regime, o juro do período n, quando 
não for pago no final neste período, deve ser 
somado ao fluxo inicial do período n 
e, consequentemente, passa a render juro 
para o período seguinte, portanto chamamos 
este processo de CAPITALIZAÇÃO DE JURO 
COMPOSTO.
(Desenho no Quadro.)
Dedução das fórmulas:
t = 1: PV1 : PV
J1 : PV x i
FV1 : PV + (PVi)=P(1 + i)
t = 2: PV2 : FV1 = PV(1 + i)
J2 : PV2 x i = PV(1 + i) i
FV2 : PV2 + J2 = PV(1 + i) + PV(1 + i)i
=PV(1 + i)(1 + i) = PV(1 + i)2
t = n: PVn : PV(1 + i)
n-1
Jn : PV(1 + i)
n-1 x i
FVn : PV(1 + i)
n-1+PV(1 + i)n-1xi
FVn : PV(1 + i)
n-1 x(1+ i) = PV(1 + i)n
então: FV= PV(1 + i)n
Exemplo 1:
Sabendo-se que um indivíduo
colocou R$1.000,00, pelo prazo
de quatro anos, em uma
aplicação que pagou a taxa de
juro composto anual de 12%,
nesse período, qual o valor
resgatado por ele?
Resposta:1573,52
Exemplo 2
Um indivíduo fez uma aplicação cujo
resgate foi de $5800,00. Qual o valor
da aplicação sabendo-se que a taxa
de juro mensal utilizada foi de 2% e o
prazo da aplicação foi de 6 meses?
Resposta: 5.150,23
Comparação entre juro Simples e 
Composto
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
0 0,5 1 1,5 2
Juro Simples
Juro Composto
Juro Composto - Utilização da HP-12C
• Limpar os registros financeiros: [f] [FIN]
• Inserir os valores: digite o valor e aperte a tecla
correspondente.
Ex.: Calcular o valor do resgate de uma aplicação de
$2.500,00 pelo prazo de 2 anos e taxa de rentabilidade anual
de 24,5%.
inserir prazo de 2 anos: [2] [n]
inserir taxa de 24,5% aa: [24,5] [ i ]
inserir valor da aplicação: [2500] [PV]
obtenção do valor do resgate: [FV]
no visor: - 3.875,06
Observações - Utilização da HP-12C
• Obedecer à convenção de sinais do DFC, ou
seja, entradas: sinal +, saídas: sinal -;
• “i” e “n” devem ser compatíveis quanto à
unidade de tempo;
• “i” é informado na forma percentual;
• Atenção para utilização de prazo não inteiro
(pois a calculadora pode fazer as contas da
parte não inteira utilizando juros simples se não
estiver aparecendo C no visor).
Cálculo de juro em operações com 
prazos não inteiros
• Quando o prazo (n) não for um 
número inteiro de períodos de 
capitalização
• Ex.: i = 12% am, 
n = 66dias = 2,2 meses
Poderemos adotar três possibilidades 
para o cálculo da parte fracionária do 
prazo.
Cálculo de juro em operações com 
prazos não inteiros
• No prazo não inteiro, com n1=parte inteira do 
prazo e n2=parte fracionária, pode-se adotar:
- Não incidência de juro:
FV=PV(1+i)n1;
- Incidência de juro simples:
FV=PV(1+in2)(1+i)
n1;
- Incidência de juro composto:
FV=PV(1+i)n;
Cálculo de juro em operações 
com prazos não inteiros
Uso das funções financeiras:
Com C no visor: juro composto no prazo 
fracionário.
Sem C no visor: juro simples no prazo 
fracionário.
Exemplo
Suponha que um indivíduo tivesse
financiado, em uma única parcela, a compra
de um bem de valor R$2.000,00. Admitindo-
se que o pagamento tivesse ocorrido 3,5
meses após a data da compra e que a taxa
de juro mensal tivesse sido de 8%, qual o
valor que ele teria desembolsado para
pagar a compra em cada um dos três casos
possíveis para a parte fracionária do prazo:
a não incidência de juro, juro simples
(convenção de juro linear) e juro composto
(juro exponencial)?
Resposta: 2.519,42; 2.620,20; 2.618,26
Relação entre a taxa de juro e o 
preço de alguns Títulos
• Alguns títulos operados pelo mercado 
financeiro, como duplicatas, notas 
promissórias e vários títulos 
federais, possuem valor de Face pré-fixado 
no futuro. Neste caso, a relação entre a taxa 
de juro e o valor de negociação dos títulos 
possue uma relação inversa.
Exemplo
Um banco adquiriu um título do governo com valor 
de face de R$1.000,00, vencimento em 24 meses e 
rentabilidade mensal de 2% .
a) Determine o preço de aquisição do título.
b) Se a taxa de juro mensal para venda tivesse sido 
de 2,20%, dois meses após a aquisição do título 
pelo banco, por quanto ele poderia ter vendido esse 
título? Qual teria sido o ganho percentual que o 
banco teria nessa operação se tivesse optado pela 
venda?
Resposta: a) 621,72; b)619,56 e -0,1742%am
Aplicação: LTN
Uma letra do Tesouro Nacional (LTN), com 
valor de face de R$ 1.000, foi vendida pela 
taxa de juro de16,92%aa (0,06205%adu). 
Sabendo-se que decorreram 84 dias úteis 
entre essa data e o seu vencimento, a que 
preço foi negociada? 
Resposta: 949,23
Custos de uma Operação 
Financeira
Além do custo referente ao juro, existem 
outros fatores que podem gerar custo às 
operações financeiras. Todos esses 
custos devem ser considerados para que 
se possa avaliar as operações para se 
tomar decisões adequadas.
Custo efetivo Total - CET
• O custo efetivo total de uma operação 
financeira é uma taxa que explicita todos 
os custos relativos à operação de 
empréstimo/financiamento. Esses custos 
podem ser tarifas, tributação, seguro, 
despesas administrativas relacionadas 
com o empréstimo, atraso na liberação de 
recursos, além da taxa de juro da 
operação. 
Custo Devido ao encurtamento 
do prazo das operações
• Um cliente vai a determinado banco para 
obter um empréstimo no valor de 
$15.000,00. O gerente lhe oferece a taxa 
mensal de 12% e o prazo para a quitação 
da dívida será de 30 dias. Se houver um 
atraso de 4 dias na liberação dos 
recursos, qual o custo efetivo total dessa 
operação?
Resposta: 13,91%am
Custo Devido à Tributação
Admita que um empréstimo no valor de 
R$20.000,00 tenha sido concedido para 
pagamento em três meses, com uma única 
parcela. Suponha que a taxa de juro 
mensal cobrada tivesse sido de 5,5% e que 
tivesse ocorrido a incidência de imposto de 
4,5% sobre o valor do crédito, cobrado na 
data da liberação dos recursos. Qual o 
custo efetivo total da operação?
Resposta: 7,13%am
Custo Devido às Tarifas
Admita que um empréstimo, no valor de 
R$5.600,00, para pagamento único em três 
meses, tenha sido concedido. Suponha que 
a taxa de juro tivesse sido de 5,4%am e que 
a instituição que realizou a operação tivesse 
cobrado uma tarifa de R$100,00 no 
momento da liberação do valor para o 
cliente. Assumindo que a tarifa tivesse sido 
o único custo, além do juro, qual o custo 
efetivo total dessa operação?
Resposta: 6,0350%am
Exercício de Fixação
• Suponha que um cliente obteve um
empréstimo no valor de $10.000,00. A
taxa mensal da operação foi de 8% e o
pagamento do empréstimo em 4 meses.
Houve a incidência de imposto no valor de
R$450,00 no final da operação e uma
tarifa de 130,00 na liberação dos recursos.
Qual o custo efetivo total (CET) da
operação?
Resposta: a)13.604,89; b) 9,2390%am
Rentabilidade Líquida
• A rentabilidade líquida de uma
operação financeira é a taxa de
rentabilidade que se obtém
considerando-se todos os
fatores que geram custo para a
operação de aplicação.
Exemplo
• Suponha que um indivíduo tivesse
aplicado R$15.000,00 em um CDB pré-
fixado, pelo período de 4 meses, e que
tivesse obtido a rentabilidade de 2,80%
nesse período. Admita que tivesse
ocorrido a incidência de Imposto de
Renda com alíquota de 22,5% sobre o
ganho, no momento do resgate. Qual teria
sido a taxa de rentabilidade líquida dessa
aplicação?
• Resposta:2,17%ap; 6,6523%aa; 0,5381%am
Transformação de taxas
• Nos nossos cálculos, devemos estar 
atentospara o fato de que a taxa deve ser 
expressa na mesma unidade de tempo 
que o prazo. Se isto não ocorrer, devemos 
fazer a transformação para torná-los 
compatíveis.
• Para tornar prazo e taxas compatíveis 
mediante a conversão de taxas, em juro 
composto, devemos utilizar o conceito de 
taxas equivalentes.
Taxas Equivalentes
• São taxas de juro dadas em
unidades de tempo diferentes mas
que ao serem aplicadas ao mesmo
PV, durante um mesmo
período, fornecem o mesmo
montante no final do período ou
mesmo juro.
Dizemos que a taxa mensal im é equivalente 
à taxa semestral is se: FVm = FVs
Duas taxas são equivalentes se produzirem o mesmo
FV, dado o mesmo prazo, portanto:
FVm = FVs
PV(1 + im)
nm= PV(1 + is)
ns
(1 + im)
nm
m = (1 + is)
ns
,
Equação de equivalência de taxas
im = (1 + is)
ns/nm - 1
OBS.: em juro composto, as taxas equivalentes não são
proporcionais.
Exemplo 1:
Determinar a taxa mensal equivalente a 36% a.s
Equação de equivalência de taxas:
(1 + im)
6 = (1 + is)
1
Substituindo os dados:
(1 + im)
6 = (1 + 0,36)1
im = (1 + 0,36)
1/6 – 1,
portanto:
im = 5,26%am
Transformação de taxas
(Exercício)
a) Transformar a taxa mensal de 5% 
em uma taxa anual.
b) Transformar a taxa anual de 12% 
em uma taxa trimestral.
(com e sem o uso de função financeira da HP-12C)
Resposta: a) 79,5856%aa; b) 2,8737%at
Taxa Efetiva
A taxa efetiva é a taxa de juro
expressa na mesma unidade de
tempo do período de formação e
incorporação do juro ao capital em
uma operação financeira.
Ex.: aplicação que rende 15% a.a. capitalizados
anualmente
Taxa Nominal
A taxa nominal é aquela expressa
em período de tempo diferente do
período de formação e incorporação
do juro ao capital ao longo da
operação.
• Ex.: aplicação que rende 15% a.a. capitalizados
trimestralmente.
Transformação de taxas 
nominais em efetivas
No quadro
Exemplo
Transformar a taxa semestral de 9% com 
capitalização trimestral em:
a) Uma taxa anual com capitalização 
mensal.
RESPOSTAS: a) 17,7366%aa(cap am)
Observações
OBS.: Para os cálculos financeiros devemos
utilizar taxas efetivas e nunca nominais.
OBS.: A equivalência entre as taxas de juro
composto deve ser feita usando-se taxas
efetivas e nunca usando-se taxas nominais.
OBS.: Quando não for mencionado o período
de capitalização, admitir que ele coincide
com o período de tempo ao qual se refere a
taxa.
Exercício de Fixação
• Dada a taxa de juro anual de 20%
com capitalização
trimestral, determinar a taxa de juro
equivalente anual capitalizado
semestralmente.
RESPOSTA: 20,50%aa (cap as)
Taxa Líquida e Taxa Bruta
• Taxa Líquida: é obtida quando se 
considera todos os 
impostos, tarifas, encargos existentes 
na operação (taxa embutida na 
operação).
• Taxa Bruta: é a taxa das operações.
Outros Tipos de Taxas:
Para maior compreensão sobre as outras 
taxas que serão mencionadas, faz-se 
necessário o conhecimento da 
composição de taxas
(explicação no quadro)
Taxa Aparente e Taxa Real 
• Taxa Aparente: taxa que inclui a 
expectativa de inflação no seu cálculo. 
• Taxa Real: taxa obtida com a exclusão 
da inflação da taxa aparente. 
Relação entre taxa aparente, taxa 
real e taxa de inflação
(1+iaparente) = (1+ireal) (1+iinflação)
onde:
ireal : taxa real
iaparente : taxa aparente
iinflação : taxa que expressa a 
expectativa de inflação ou a 
taxa de inflação ocorrida.
Taxa Aparente e Taxa Real 
(exemplo)
A taxa de juro anual de certa operação foi 
de 15%. Sabendo-se que a inflação nesse 
período foi de 5%aa, qual foi a taxa real 
dessa operação?
RESPOSTA: 9,5238%aa
Exercício de Fixação
(Taxa Aparente e Taxa Real)
Exemplo: Uma determinada operação 
financeira, com prazo de um mês, 
proporcionou a taxa de juro mensal de 3%.
Sabendo-se que a inflação nesse período 
foi de 1,2%am, qual foi a taxa real dessa 
operação?
RESPOSTA: 1,7787%am
Exercício de Fixação
Taxa Aparente e Taxa Real 
Exemplo: Uma determinada operação 
financeira, com prazo de um mês, 
proporcionou a taxa de juro líquida mensal 
de 5,60%. Sabendo-se que a inflação nesse 
período foi de 1,9%am, qual foi a taxa real 
líquida dessa operação?
RESPOSTA: 3,6310%am
Taxas pré-fixada e pós-fixada
• Taxa Pré: A taxa é pré-fixada quando no 
momento da realização da operação se 
souber a rentabilidade que irá receber (não 
tem a rentabilidade vinculada a nenhum 
índice). Ex. 2%am
• Taxa Pós: A taxa é pós-fixada quando no 
momento da realização da operação se 
souber apenas da parcela real da taxa de 
juro, ficando o restante de sua rentabilidade 
vinculado à variação de algum índice. 
• Ex. Taxa de 1% + IGPM 
Exemplo
• Sabendo-se que a remuneração de 
certa aplicação é de 1,2%am + IPCA, 
qual o ganho (em Reais) obtido por 
alguém que tivesse aplicado 
R$9.000,00 por um determinado mês 
no qual o IPCA respectivo tivesse 
sido de 0,45%?
RESPOSTA:148,99
Taxa Over Mensal
• (...) É uma taxa nominal expressa em 
mês, mas com capitalização 
diária, porém válida somente em dias 
úteis, ou seja, sua capitalização 
ocorre unicamente em dia de 
funcionamento do mercado financeiro.
iover= 30 X iadu
Taxa Over mensal
Exemplo 1: 
Suponha que uma aplicação com prazo 
de 82 dias úteis proporcionou a taxa de 
14% no período. Qual seria a taxa over 
referente a esta operação?
RESPOSTA:4,7975% over
Exercício de Fixação
Taxa Over
Suponha que uma aplicação com 
prazo de 38 dias úteis proporcionou a 
taxa over de 6,56%. Qual seria a taxa 
de juro expressa ao período referente 
a esta operação?
RESPOSTA:8,6545%ap
Taxas variáveis ao longo do tempo
•Se um capital PV tivesse sido aplicado durante n períodos 
de tempo, nos quais tivessem vigorado as taxas i1, i2, ...,in
, a taxa acumulada do período (iAC) teria sido: 
(1+iAC) = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) 
iAC = [(1+i1) (1+i2) ... (1+in)]-1
•A taxa média ao período teria sido:
(1+im) (1+im) ... (1+im) = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) 
(1+im)
n = (1+i1) (1+i2) ... (1+in)
im = [(1+i1) (1+i2) ... (1+in)]
1/n -1
•O valor de resgate teria sido :
•FV = PV (1+i1) (1+i2) ... (1+in) OU FV = PV (1+im)
n
Exemplo
• Suponha que um indivíduo tivesse aplicado
R$40.000,00 na bolsa de valores durante
quatro meses consecutivos nos quais tivesse
obtido as seguintes rentabilidades mensais
respectivas de 3,6%, -2,3%, 1,7% e 4,0%.
Determine a taxa acumulada nesse período, a
taxa média mensal dessa aplicação e o ganho
do indivíduo.
Resposta: a)7,0554%ap; b)1,7190%am; c) 2.822,16
Valor Presente de um Conjunto 
de Fluxos
O valor presente de um conjunto 
de fluxos qualquer é a soma do 
valor presente de cada fluxo 
individual.
Valor Presente de um 
Conjunto de Fluxos
Exemplo: Calcular o valor presente do conjunto 
de fluxos do DFC abaixo (na referência t=0), 
considerando-se a taxa de juro de 2%am.
Resposta:549,95
 
150 170
130 130
0 1 2 3 4 5 meses
PV = ?
Utilização da HP-12C
Como resolver um problema com vários 
fluxos utilizando as funções financeiras 
da calculadora 
HP-12C?
Cálculo do PV com o Uso da 
Função NPV
[ f ] [REG]
0 [ g ] [CF0]
[fluxo na data t=1 com respectivo sinal] [ g ] [CFj]
Se não houver fluxo no tempo, digite: 0 [ g ] [CFj]
Repetir o mesmo procedimento para todos os fluxos
Se um mesmo fluxo ocorrer x vezes consecutivas, 
[inserir o fluxo com respectivo sinal] [ g ] [CFj]
[ x ] [ g ] [ Nj ]
[Taxa no formato percentual] [ i ]
[ f ] [NPV] 
Exercício
• Calcule o valor presente dos fluxos colocados 
abaixo,com e sem o uso da função 
NPV, admitindo-se a taxa de juro de 10%am.
35 em t=1 mês
25 em t=3 meses
40 em t=7 meses
40 em t=8 meses
40 em t=9 meses
20 em t=10 meses
Resposta: 114,46
Equivalência de Fluxos 
Fluxos (ou conjuntos de Fluxos) 
equivalentes em uma data focal 
(referência) também serão 
equivalentes em quaisquer outras 
datas focais.
Exemplo 
Equivalência de Fluxos 
• Um empresário tomou emprestado uma quantia
comprometendo-se a devolvê-la em três parcelas: a
primeira, de $1.000,00 em 2 meses; a segunda, de
$2.000,00 em 4 meses; e a terceira, de
$3.000,00, em 6 meses. Verifique se seria
equivalente quitar essa dívida em 2 parcelas: uma
de $2.500,00 em 3 meses e outra de $3.233,26 em
5 meses. Admita que a taxa de juro mensal foi de
10%. Use como data focal t=0.
Resposta: sim, pois o valor dos dois conjuntos é igual (3.885,89)
Métodos para a Avaliação de 
Projetos de Investimentos
Método do VPL
Método da TIR
Desenho clássico de um projeto de 
investimento: (no quadro)
Valor Presente Líquido (VPL)
• É um critério muito utilizado para analisar 
alternativas de investimento. 
Onde o fluxo no tempo t=0 é o investimento com o devido 
sinal (negativo)
Avaliação: 
se VPL>0, o projeto é economicamente viável.
se VPL<0, o projeto é economicamente inviável.
se VPL=0, o projeto é indiferente.
  

n
1j
j
j
0
i1
F
FVPL
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• É um outro critério para análise de investimento. A TIR é 
a taxa que produz um VPL igual a zero. É a taxa de 
retorno esperada do investimento. 
Avaliação : Avaliação: 
se TIR>k, o projeto é economicamente viável.
se TIR<k, o projeto é economicamente inviável.
se TIR=k, o projeto é indiferente.
.
K é a taxa de atratividade (podemos utilizar o custo de 
oportunidade), ou taxa requerida do projeto.
       n
n
2
21
0
n
1j
j
j
o
i1
F
...
i1
F
i1
F
F
i1
F
F0







 

Determinação do VPL e da TIR na 
HP-12C
Inserção do fluxo referente ao t=0:
<fluxo na data t=0 com respectivo sinal> [g] [CF0]
Inserção dos outros fluxos referentes a t=j, para j=1,2,...n:
<fluxo na data t=1 com respectivo sinal> [g] [CFj]
Onde não houver fluxo, digite: <0> [g] [CFj]
Se um mesmo fluxo ocorrer x vezes consecutivas:
<fluxo>[g] [CFj] <x>[g] [Nj]
Inserir a taxa utilizada:
<taxa> [ i ]
Obter o VPL: [ f ] [NPV]
Se o objetivo for obter a TIR: [ f ] [IRR]
Exemplo
O fluxo de caixa anual do projeto para ampliação 
da linha de produção de certa 
empresa está registrado na tabela
a seguir.
Considerando-se que a taxa anual requerida para 
esse projeto seja de 15% e que o investimento 
seja de $1.000,00, faça a avaliação econômica 
desse projeto pelo método do VPL e pelo método 
da TIR.
Resposta:
VPL = 176,51. Como VPL>0, projeto economicamente viável.
TIR=21,32%aa. Como TIR>irequerida, projeto economicamente viável.
Anos Fluxos
1 250,00
2 300,00
3 350,00
4 400,00
5 550,00
Série de Pagamentos/Recebimentos
É uma sequência finita ou infinita de entradas ou 
saídas de fluxos (constantes ou não) com o 
objetivo de :
Amortização de um empréstimo (ex.: financiamento 
imobiliário e CDC);
Capitalização de um montante (ex.: títulos de 
capitalização, consórcios);
Geração de renda perpétua (ex.: planos de 
previdência).
Séries de Pagamentos
• 1)Periódicas: os fluxos de pagamentos 
ocorrem a intervalos regulares (ex.: 
mensalmente);
• 2) Não Periódicas: os intervalos não são 
regulares.
Desenho no quadro.
Séries de Pagamentos
• 3)Postecipadas: séries em que os 
fluxos ocorrem ao final do período.
• 4)Antecipadas: séries em que os 
fluxos ocorrem no início do período.
Desenho no quadro.
Séries de Pagamentos
• 5) Diferida (ou com período de carência): 
É aquela em que o primeiro pagamento 
não ocorre no primeiro período.
• 6) Imediata: é aquela na qual o primeiro 
fluxo da série ocorre no primeiro período. 
Desenho no quadro.
Séries de Pagamentos
• 7) Uniforme: É caracterizada por 
apresentar todos os fluxos iguais
• 8) Não Uniforme: É caracterizada por 
apresentar fluxos diferentes
Séries de Pagamentos
• 9) Finita: Também chamada de série 
temporária, é caracterizada por possuir 
uma quantidade definida de fluxos.
• 10) Infinita:Também chamada de série 
perpétua ou de perpetuidade, possui uma 
quantidade indefinida de fluxos.
Revisão de PG
•Dada uma sequência X1, X2,...Xn, diremos que formarão 
uma PG se a razão entre um termo e seu anterior for igual a 
R (razão da PG): 
•Se X1 for o 1
o termo de uma PG,
X2 = X1×R
X3 = X2×R =X1×R×R = X1×R
2
X4 = X3×R =X1×R×R×R =X1×R
3
Então concluímos que Xt = X1×R
t-1
Assim, conhecendo o 1o termo e a razão da 
PG, determinamos qualquer outro termo.
R
X
X
t
1t 
Soma de n termos de uma PG
•Sn = X1+ X2+ X3+ ... + Xn = X1+ X1×R+ X1×R
2 + ... + X1×R
n-1
Se multiplicarmos os dois lados da equação por R e diminuirmos 
Sn, teremos:
(Sn×R) - Sn = (X1R + X1R
2+... + XnR
n) – (X1+ X1R+ X1R
2 +...+ XnR
n-1 )
(SnR) - Sn = -X1+ (XnR
n)
(SnR) - Sn = -X1+ (XnR
n), multiplicando por (-1):
-(SnR) + Sn = X1-(XnR
n), colocando em evidência:
Sn(1-R) = X1(1-R
n), então obteremos:
 
 R
RX
S
n
n



1
11
Série Uniforme Postecipada Finita 
• Série uniforme, postecipada e finita:
Desenho do DFC no quadro.
• Podemos observar que se trata de um somatório de uma 
PG com razão e primeiro termo iguais a 1/(1+i). 
Substituindo na equação de soma de n termos de uma 
PG, encontramos o Valor Presente desta série.
       
        




















n
n
iiii
PMTPV
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PV
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
...
111
32
32
Série Uniforme Postecipada Finita 
• Valor Presente (PV):
• Valor futuro (FV):
• Prestação (A):
• Prazo (n):
  1i1
iFV
PMT
n



  1 ni1
i
PMT
FV
 i1log
1
PMT
iFV
log
n








  






n
i1
1
1
i
PMT
PV
Série Uniforme Postecipada Infinita
• Modelo: Série infinita, uniforme, postecipada.
• Série uniforme, periódica, postecipada e infinita
Temos que:
Observamos que a expressão acima é a soma de uma PG 
com termos infinitos, com 1o termo e razão iguais a 1/(1+ i).
Se a PG for infinita, então: Sn= X1/ (1-R) , portanto,
Sn= [1/(1+i)]/ [(1-(1/1+i))] = 1/i, então: PV=PMT/i
       ni
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PV








1
...
111
32
Exemplo 
• Suponha que a cada três meses, um
indivíduo tivesse depositado R$1.000,00 em
uma aplicação, que tivesse proporcionado a
rentabilidade mensal de 0,85%. No final de
um ano e meio, quanto ele teria acumulado
com essa aplicação?
Resposta: i=2,57%at; FV=6.398,97
Utilização da HP-12C
Série Uniforme Finita (Séries de pagamentos) :
Postecipada :
Ativar: [g] [END]
Antecipada: 
Ativar: [g] [BEG]
OBS.: Para Série Uniforme infinita (Perpetuidade ou anuidade) : fazer n 
grande.
Exercício 1
A compra de um bem será realizada em 20 parcelas mensais iguais 
e consecutivas de R$300,00. A taxa de juro mensal cobrada pela loja 
é de 5,5%. 
a) Assumindo-se que a primeira parcela ocorrerá em 1 mês, qual o 
valor do bem?
b) Se a primeira parcela tivesse ocorrido em 3 meses, a partir da 
data da compra, qual teria sido o valor do bem?
c) Se a primeira parcela tivesse sido desembolsada noato da 
compra, qual teria sido o valor do bem?
d) Suponha que um indivíduo tivesse aplicado R$300,00, ao final de 
cada mês, por 20 meses, sem retiradas nesse período. Quanto teria 
conseguido juntar ao final do 20º período, se a rentabilidade da 
aplicação tivesse sido de 0,7%am? 
Resposta: a) 3.585,11; b) 3.221,06; c) 3.782,30; d) 6.416,27.
Exercício 2
A compra de um eletrodoméstico no valor de R$2.500,00 
será realizada em 15 parcelas mensais iguais e 
consecutivas. A taxa de juro cobrada pela loja é de 
6,3%am. 
a) Assumindo-se que a primeira parcela ocorrerá em 1 
mês, qual o valor dos pagamentos?
b) Assumindo-se que a primeira parcela ocorrerá em 3 
meses, a partir da data da compra, qual o valor dos 
pagamentos?
c) Se a primeira parcela for paga no ato da compra, qual o 
valor dos pagamentos?
d) Suponha que um indivíduo tivesse resolvido aplicar ao 
final de cada mês um valor igual ao pagamento do item 
a), pelo mesmo período de tempo (15 meses), sem 
retiradas, nesse período. Quanto teria conseguido juntar 
ao final do 15º mês, se a rentabilidade da aplicação for de 
0,7%am? 
Respostas: a)262,48; b)296,59; c)246,92; d)4.136,10
Exercício de Fixação
A compra de um bem foi realizada em 10
prestações iguais e consecutivas de
R$500,00. A taxa de juro cobrada pelaloja
foi de 5%am. Qual o valor do bem,
sabendo-se que a primeira prestação
ocorreu ao final do 3º mês?
Resposta: R$3.501,92
Exercício de Fixação
A compra de um bem que custou
R$2.000,00 foi realizada em 18 prestações
mensais, iguais e consecutivas. A taxa de
juro cobrada pela loja foi de 6%am. Qual o
valor das prestações, sabendo-se que a
primeira prestação ocorreu ao final do 1º
semestre?
Resposta: R$247,19.
Exemplo
Admita que você comprou um veículo no valor de
R$32.500,00 para pagar com uma entrada de
R$5.000,00 mais 24 prestações mensais calculadas
pelo sistema PRICE com taxa de juro anual de 27,6%
(primeiro pagamento em um mês). Com base nessas
informações:
a) Monte as três primeiras linhas da tabela para esse
financiamento.
b) Qual o valor do juro e da amortização ocorridos ao final
do décimo quinto mês? (sem montar a tabela).
Resposta: a)SD0 = 27.500,00; PMT=1.503,83; Am1=871,33; J1=632,50;
SD1=26.628,67; Am2=891,37; J2=612,46; SD2=25.737,30;
b) J15=305,83; Am15=1.197,96