Introdução à Trigonometria

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Trigonometria 
 
1. ARCO e ÂNGULO 
Um ARCO de circunferência é uma “parte”, um “pedaço” da circunferência. 
Um ÂNGULO é uma região do plano, delimitada por duas semi-retas que possuem a mesma 
origem. É muito comum considerarmos ângulos na circunferência. Um ângulo em uma 
circunferência é a região delimitada por duas semi-retas que contêm dois de seus raios e cuja 
origem comum é o centro da circunferência. 
 Em uma circunferência, a cada arco corresponde um ângulo. Basta, para isso, considerar o 
ângulo de tal forma que os raios que o definem sejam aqueles que passam pela origem e pela 
extremidade do arco considerado. 
 
 
 Ângulo AÔB, com vértice O. Arco AB. Arco AB corresponde ao 
 ângulo central AÔB. 
 
2. Unidades de medidas de ângulos e arcos 
Destacam-se duas unidades para medidas de ângulos e de arcos: o GRAU e o RADIANO. 
� 1º equivale à medida do ângulo obtido pela divisão de um círculo em 360 partes iguais. 
Dessa forma, 1º é igual a 1/360 do arco de uma volta. Em atividades comuns, usamos 
um instrumento para medir ângulos (apenas em graus), chamado TRANSFERIDOR, 
que nada mais é do que um círculo (ou metade dele, se for o caso do transferidor de 
meia volta), dividido em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes tem medida de 1 
grau (1° ). 
� A unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano. O arco de 1 
radiano (rad) é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que 
o contém. 
Observação: Todo ângulo central de uma circunferência corresponde a um único arco e todo arco 
de circunferência corresponde a um único ângulo central da mesma. Isso nos possibilita adotar 
uma mesma unidade para medir arcos e ângulos. Consequentemente, a medida de um ângulo 
 2 
 
central, relativo a uma circunferência, e a medida do arco correspondente, numa mesma unidade, 
são iguais. 
 
 
3. Relação entre as unidades de medidas 
 Conhecemos a relação que permite calcular o comprimento de uma circunferência: 
2C rpi= , onde 3,14.pi ≅ 
 Sabemos que o ângulo de uma circunferência completa mede 360º. 
 Usando uma regra de três simples e direta obtemos a seguinte relação: 
 180 � equivale a pi rad. 
 
Assim, por exemplo, 
� O arco que mede 360º, mede 2pi rad; 
� O arco que mede 90º, mede 
2
pi
 rad; 
� O arco que mede 45º, mede 
4
pi
rad; 
� O arco que mede 
3
pi
 rad, mede 60º; 
� O arco que mede 3
2
pi
 rad, mede 270º. 
 
4. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Além da relação métrica mais utilizada em um triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras: o 
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos), nos interessam três razões 
que relacionam as medidas de ângulos agudos com as medidas dos catetos e da hipotenusa. São 
elas: 
 
 3 
 
� O seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. 
� O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. 
� A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
 
 
 
5. Razões trigonométricas de ângulos notáveis 
 Para alguns ângulos é possível determinar o valor EXATO das razões trigonométricas. São 
os ângulos notáveis e os valores de suas razões trigonométricas estão resumidos no quadro a 
seguir. 
 
30° ou 
6
pi
 rad 45° ou 
4
pi
rad 60° ou 
3
pi
 rad 
sen 1
2
 
2
2
 
3
2
 
cos 3
2
 
2
2
 
1
2
 
tan 3
3
 
1 3 
 
� Confirme esses valores usando a calculadora. 
 
6. Circunferência Trigonométrica 
 A circunferência trigonométrica é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro 
coincide com a origem do plano cartesiano (0, 0) e para a qual definimos o seguinte: 
� o ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem considerados na circunferência; 
� se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida atribuímos o sinal negativo; 
� se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida atribuímos o sinal 
positivo. 
 4 
 
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes, 
numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. 
 
 A cada ponto da circunferência trigonométrica associamos a medida (em graus ou em 
radianos) do arco com origem em A(1,0) e extremidade no ponto escolhido. 
Veja, por exemplo, que partindo de A e girando uma volta completa no sentido positivo, 
associamos as seguintes medidas aos pontos A, A’, B e B’: 
 
 
 
De forma semelhante, partindo de A e girando uma volta completa no sentido negativo, 
associamos as seguintes medidas aos pontos A, A’, B e B’: 
 
 
Observe que, cada vez que “andamos” 1/4 da circunferência, contamos 90º ou 
2
pi
 rad, no 
sentido positivo ou no negativo. 
 5 
 
Por exemplo, se dividimos a circunferência trigonométrica em 6 partes iguais, cada arco 
mede 60º ou 
3
pi
 rad e podemos associar a extremidade de cada arco cuja medida é múltiplo dele 
“contando “ essas partes. Veja: 
 
� Faça uma circunferência trigonométrica para cada letra e proceda da mesma forma para 
marcar a extremidade dos arcos cujas mediadas são: 
(a) 30º (ou 
6
pi ), 60º (ou 2
6 3
pi pi
= ), 90º (ou 3
6 2
pi pi
= ), 120º (ou 4 2
6 3
pi pi
= ), 150º (ou 5
6
pi ), 
180º (ou 6
6
pi
pi= ), 210º (ou 7
6
pi ), 240º (ou 8 4
6 3
pi pi
= ), 270º (ou 9 3
6 2
pi pi
= ), 300º (ou 
10 5
6 3
pi pi
= ), 330º (ou 11
6
pi ) e 360º (ou 12 2
6
pi
pi= ). 
(b) Faça o mesmo que na letra (a), apenas considerando o sentido negativo. 
(c) Faça o mesmo que na letra (a) para os múltiplos de 45º (ou 
4
pi
rad). 
 
Obs. : Um arco pode dar mais do que uma volta completa na circunferência trigonométrica; basta 
que o módulo de sua medida seja maior que 360º ou 2pi rad. 
Por exemplo, para obter a extremidade do arco de medida 7
3
pi
rad, pensamos o seguinte: 
7 6 1 2
3 3 3 3
pi pi pi pi
pi= + = + . Isto significa que o arco dá uma volta completa no sentido positivo e vai 
parar na mesma extremidade que o 
3
pi
. Veja a figura: 
 6 
 
 
 De forma semelhante, a extremidade de 9
2
radpi− vai coincidir com a extremidade de 
2
pi−
, 
após dar duas voltas completas no sentido negativo. Veja: 
9 8 4
2 2 2 2
pi pi pi pi
pi
− − − −
= + = − + . Observe a figura: 
 
 
� Faça uma figura para cada caso e localize a extremidade do arco cuja medida é: 
(a) 15
2
radpi 
(b) 37
6
radpi 
(c) 11
4
radpi− 
 
7. Simetrias 
 É útil relacionar medidas de arcos com extremidades simétricas em relação aos eixos 
coordenados ou à origem do sistema cartesiano. Isso nos ajudará mais adiante na determinação 
dos valores de seno e cosseno desses arcos. 
 Para um arco de medida α no primeiro quadrante (em graus ou radianos), os simétricos 
estão definidos na figura: 
 7 
 
 
 
Por exemplo, os simétricos a 
6
radpi são: 
a) em relação ao eixo dos x: 112
6 6
pi pi
pi − = 
b) em relação ao eixo dos y: 5
6 6
pi pi
pi − = 
c) em relação à origem: 7
6 6
pi pi
pi + = 
Veja figura: 
 
 
� Faça uma figura em cada caso e determine os simétricos de: 
(a) 
3
radpi 
(b) 
4
radpi 
(c) 3
8
radpi 
 
8. Razões trigonométricas na circunferência 
 Para uma extensão dos conceitosde seno e cosseno vistos no triângulo retângulo, 
consideremos a circunferência trigonométrica e um arco de medida α no primeiro quadrante. 
 8 
 
Veja a figura e observe que, do triângulo retângulo OMP, como o raio da circunferência 
trigonométrica é igual a 1, temos: 
.
cos ( )
1
cat adj OP OP abscissa M
hip
α = = = = 
. . ( )
. 1
cat op MP
sen MP ordenada M
hip
α = = = = 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Veja a figura: 
 
Considerando a definição, um modo simples de determinar o seno é tomar o y do ponto (0, 
y) que liga o centro do círculo à projeção da extremidade do arco sobre o eixo vertical do sistema 
cartesiano (eixo dos senos). De forma semelhante, um modo de determinar o cosseno é tomar o 
x do ponto (x, 0) que liga o centro do círculo à projeção da extremidade do arco sobre o eixo 
horizontal do sistema cartesiano (eixo dos cossenos). 
 Veja figura: 
O seno de um ângulo central, num círculo trigonométrico, é a ordenada do ponto que é 
extremidade do arco por ele subentendido. 
O cosseno de um ângulo central, num círculo trigonométrico, é a abscissa do ponto 
que é extremidade do arco por ele subentendido. 
 9 
 
 
 
 Se considerarmos as simetrias e os valores conhecidos para seno e cosseno de arcos 
notáveis, podemos concluir a respeito desses valores para diversos arcos. Por exemplo, sabendo 
que 1
6 2
sen
pi
= e 
3
cos
6 2
pi
= , podemos determinar os seguintes valores (relacionando-os com os 
simétricos): 
 
 
 
� Faça figuras que permitam determinar os valores solicitados relacionando-os, quando possível, 
com valores de arcos que estão no primeiro quadrante: 
(a) ( ) ( )960 ;cos 360 ; 180 ;cos 270o o o osen sen− − 
 10 
 
(b) 4 4;cos
3 3
sen
pi pi
 
(c) 11 11;cos
6 6
sen
pi pi
 
(d) 3 3;cos
4 4
sen
pi pi
 
(e) 11 11;cos
4 4
sen
pi pi
 
(f) 5 5;cos
6 6
sen
pi pi− −   
   
   
 
(g) 5 5;cos
3 3
sen
pi pi− −   
   
   
 
........................................................................................................................................................ 
 
Algumas figuras foram retiradas de: 
PAIVA, Manoel. Matemática. V. 1. São Paulo: Moderna, 2000. 
SMOLE, Kátia e KIYUKAWA, Rokusaburo. Matemática. V. 1. São Paulo: Saraiva, 1998.