Física Moderna

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Sexto encontro
 Oscilador harmônico
 Átomos de um elétron
Oscilador harmônico
• Um sistema “massa-mola” quântico é definido por uma 
partícula quântica de massa m sob ação de um 
potencial da forma 
• Assim como na Física Clássica, o oscilador harmônico 
também tem uma importância fundamental na Mecânica 
Quântica. O motivo para isso é que sempre podemos 
aproximar o ponto de equilíbrio de um potencial 
qualquer, V(x), pelo potencial parabólico do oscilador 
harmônico.
• Analiticamente, podemos encontrar o potencial harmônico que 
aproxima V(x) na vizinhança do ponto x = a, em que V(x) tem um 
mínimo, considerando a expansão em série de Taylor em torno 
do mínimo, 
• já que a primeira derivada do potencial, em x = a, é nula, por se 
tratar de um mínimo. Assim, vemos que o potencial de oscilador 
harmônico com 
• Desta forma, o potencial harmônico pode ser utilizado em casos 
em que existem pequenas oscilações em torno de pontos de 
equilíbrio estável, como, por exemplo, no estudo de vibrações de 
moléculas ou dos átomos em um sólido. 
Solução da equação de Schrodinger
• No caso do oscilador harmônico, a equação de 
Schrödinger tem a forma: 
que tem soluções para valores positivos da energia E. 
Costuma-se reescrever a equação acima utilizando as 
defições da freqüência angular do oscilador clássico 
e das variáveis adimensionais
• A equação de Schrodinger obtida depois dessas substituições é 
chamada equação de Hermite e é uma maneira bem conveniente 
de resolver a equação de Schrodinger para o oscilador harmônico 
quântico.
Oscilador harmônico quântico
( ) ( )
2 2
2 2
2 0
2
x m kxE x
x
ψ ψ∂  + − = ÷∂  h
As soluções desta equação são:
1 / 0,1, 2, 3,...
2n
E n k m nω ω = + = = ÷ h
- Observe que a contagem inicia em n = 0 !
Quântico ou Clássico? Quando tratamos com sistemas macroscópicos raramente 
levamos em contar o caráter quântico. Por exemplo, a distância entre níveis de um 
pêndulo macroscópico com ω=1s-1 e m=10-3kg é pequeno comparado com kBT :
341 10E Jω −∆ = ≈ ×h ( ) ( )231 1.4 10 / 1BT K k T J K K−= → ≈ ×
A distância entre níveis depende de k → aumento de ∆E com k!
Espectro de energia
Intervalos de energia entre níveis 
adjacentes são proporcionais a n :
( ) 2 21 1 2 1n nE E n n n+ − µ + − = +
• Perceba as diferenças com relação ao oscilador harmônico 
clássico. No caso clássico, a energia pode ter qualquer valor, 
sendo determinada pelas condições iniciais do problema 
(velocidade e posição iniciais da massa). Já no caso quântico, o 
espectro de energias consiste em um número infinito de níveis 
discretos .
Espectro de energia
• O nível de menor energia corresponde a n = 0 é . 
Este valor finito da energia do estado fundamental, é 
chamado de energia de ponto zero, um fenômeno que está 
relacionado ao Princípio da Incerteza. 
• Os estados ligados dos sistemas em uma dimensão são 
não-degenerados, também no caso do oscilador harmônico 
quântico existe apenas uma função de onda associada a 
cada energia En.
Autofunções para o oscilador harmônico
As funções Hn são chamadas polinômios de Hermite:
m y xωα α≡ ≡h
ψ0 ( x )=(απ )
1/4
e− (1/ 2 )αx
2
ψ1 ( x )=(4α 3π )
1/4
xe− (1/ 2 ) αx
2
ψ2 ( x )=(α4π )
1 /4
(2αx2−1 )e−(1/2 )αx
2
ψ3 ( x )=(α39π )
1/4
(2αx3−3x )e− (1/2 ) αx
2
2 /2
0
xeψ −µEstado fundamental 
(n=0)
- Gaussiana
1 2 3
Esboçando funções de onda:
 E-U < 0 – ψ(x) e d2 ψ /dx2 têm o mesmo sinal;
 E-U > 0 – ψ(x) e d2 ψ /dx2 têm sinais opostos;
 potencial simétrico: funções de onda simétrica ou 
antisimétricas.
 1º estado 
excitado (n=1)
2º estado excitado (n=2)
2 /2
1
xx eψ −µ ×
Princípio da correspondência
• Previsões da mecânica quântica aproximam-se das previsões 
clássicas no limite de grandes números quânticos.
1 2n n
n
E E
E n
+ − µ
A discretização do espectro torna-se insignificante quando ∆E/E<<1. 
classical 
particle in a 
potential well 
Exemplo 1 - Valores esperados
2axe dx
a
pi∞
−
−∞
=∫
A função de onda do estado fundamental de uma partícula em um potecial 
harmônico tem a forma:
2
0 0 exp 2
mC xωψ  = − ÷ h
onde é m a massa da partícula e /k mω = é a frequência angular.
(a) Encontre a funlção de onda normalizada ψ0;
(b) encontre o valor esperado da posição da partícula nesse estado;
(c) encotre o valor esperado da energia potencial e da energia 
cinética da partícula nesse estado.
Integrais úteis:
2
0axxe dx
∞
−
−∞
=∫ 22 12axx e dx a api
∞
−
−∞
=∫
(a) 2 1dxψ
∞
−∞
=∫ - normalização
1/4
2 2 2
0 0 0exp 1
m m mC x dx a C C
m
ω ω pi ω
ω pi
∞
−∞
     
− = = = = → = ÷  ÷  ÷     ∫ hh h h
1/4
2
0 exp 2
m m xω ωψ
pi
   
= − ÷  ÷   h h
Exemplo 2
(b) 2* 0x x dx x dxψ ψ ψ
∞ ∞
−∞ −∞
= = =∫ ∫ - O integrando é impar!
(c) ( )
1/22 2
2* 2
0 0 00
1/2
exp
2 2
1
2 2 4
kx kx m mU U x dx dx x dx
m k
m m
ω ωψ ψ ψ
pi
ω pi
ω
pi ω ω
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
   
= = = − ÷  ÷   
 
= × = ÷ 
∫ ∫ ∫ h h
h h hh
2 2
*
0 020 2
K dx
m x
ψ ψ
∞
−∞
 ∂
= − ÷∂ ∫
h
0 0 0
1
2
E K U ω= + = hDe maneira mais simples:
Cálculo direto
0
1
4
K ω= h
0
?K
Exemplo 3
A autofunção do 1 º estafo excitado de 
um oscilador harmônico é
3/4 1/4
2
1
4 exp
2
m mx xω ωψ
pi
     
= × − ÷  ÷  ÷     h h
onde m é a massa do oscilador e /k mω =
(a) Encontre o valor esperado da energia potencial nesse estado;
(b) esboce a função do onda do sétimo estado excitado e da 
correspondente probabilidade.
(a)
(b)
3/2 1/22
2 2
3/2 1/2 3/2 1/2 5/2
4 2
4 exp
2
4 4 3 3exp
2 2 4 4
kx m mU x x dx
k m m k mx x dx
m
ω ω
pi
ω ω ω
pi ω
pi pi ω
∞
−∞
∞
−∞
     
= × − = ÷  ÷  ÷     
           
= − = = ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           
∫
∫
h h
h hh h h
( )7 xψ ( ) 27 xψ
( )2 2exp
2
y y dy pi
∞
−∞
− =∫( )2exp y dy pi
∞
−∞
− =∫ ( )4 2 3exp 4y y dy pi
∞
−∞
− =∫
Exemplo 4
Seja uma partícula de massa m no potencial
( ) ( )1 2
0, 0
exp , 0
x
x
x x x
ψ
≤
= 
× − >
(a) Encontre a função de onda normalizada.
x
( )U x
Sua função de onda não 
normalizada é
( ) 2 2
, 0
2 , 0
x
U x
x x
m
∞ ≤
= 
>
h
24 2,k
m m
ω
 
= = ÷ 
h h
1,2,3,...n =
(a) ( ) 1/42 2 2 2 3/2
0
1 81 exp 2 2
2 4
A x x dx A Api
pi
∞  
= × − = ⇒ =  ÷ ∫
(b)Encontre o valor mais provável da posição x do elétron.
(c) Encontre o valor esperado da posição x do elétron.
(b) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1exp 2 2 4 exp 2 0
2
d dx x x x x x x x
dx dx
ψ  = × − = − − = ⇒ = 
(c) ( ) ( )1/2 1/2 1/2 1/22 2 3 2
0 0
8 8 8 1 1 24 exp 2 4 exp 2 4
4 2
x x x dx x x dx
pi pi pi pi
∞ ∞       
× × − = × − = = ÷  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫
Átomos de um elétron
• Os átomos de um único elétron são os sistemas ligados mais simples 
que ocorrem na natureza. Eles consistem em um núcleo carregado 
positivamente e um elétron com carga negativa, ligados pela atração 
Coulombiana. Esse potencial, em coordenadas esféricas, tem a 
forma:
( )
2
04
eU U r
rpiε
= = −
E < 0 – espectro discreto,
E > 0 – espectro contínuo
O nosso objetivo: resolver a equação de Schrodinger independente 
do tempo para E<0.
Três dimensões – esperamos que o 
movimento seja caracterizado por três 
números quânticos (sem considerar o 
spin). 
• Vemos que esse é um problema de potencial é central (núcleo de 
carga positiva Ze e no entorno elétrons de carga negativa -e), já que 
depende apenasdo módulo da distância da partícula à origem de 
coordenadas. Deste modo, a equação de Schrödinger se escreve
onde μ é a massa reduzida do sistema núcleo-átomo,
em que Mn representa a massa do núcleo do átomo (a massa do próton 
no caso do átomo de hidrogênio), e m é a massa do elétron. 
• Como a massa do elétron é muito menor que a massa do núcleo (no 
caso do núcleo mais leve, o hidrogênio, ela é 1.836 vezes menor), 
temos que, com boa aproximação, μ ≈ m. Porém, a pequena diferença 
entre μ e m é relevante experimentalmente e facilmente detectável por 
métodos espectroscópicos.
Movimento orbital na mecânica clássica
rr vr
2 2
3 2
04
e mvF r r
r rpiε
= − = −
r r r 2mvF
r
 
= ÷ 
( )2 22 2
2 2 2
r tp pmv pK
m m
+
= = =
O momento algular L r p= ×
r r r
Força central: direção da força ao longo da linha que une o 
elétron ao próton (elétron na origem).
Interação coulombiana:
Energia 
cinética
pr e pt – componentes radial e tangencial do momento
( )r t tL r p r p p r p= × = × + = ×r r r r r r r r
( )2 2 2 2
22 2 2
r t r
p p p LK
m m mr
+
= = + Para o 
movimento 
circular
2
22
LK
mr
=
Como L é conservado, ele é útil para analisar o movimento em um 
campo de força central.
Para um torque não nulo, teremos em função de L:
dL
dt
τ =
r
r
0dL dpr r F
dt dt
τ = = × = × =
r r rr r rPara uma força central o torque é 
nulo e o momento conservado:
( ) ( )ˆ , , , ,H x y z E x y zψ ψ=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
2 2 2
, , , , , , , , , , , ,
, , , , ,
2
x y z t x y z t x y z t x y z t
i U x y z x y z t
t m x y z
 ∂Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ
= − + + + Ψ ∂ ∂ ∂ ∂ 
hh
• O potencial é independente do tempo, logo pode ser separado 
como já vimos em aulas anteriores:
2 2 2 2
2 2 2
ˆ ( , , )
2
d d dH U x y z
m dx dy dz
 
≡ − + + + ÷ 
h
Operador K Operator U
( ) ( )dT ti ET t
dt
=h
Equação de Schrödinger 3D:
( ) ( ), ˆ ,x ti H x t
t
∂Ψ
= Ψ
∂
h
( )
2 2
2 2 2
00
, ,
44
e eU x y z
rx y z piεpiε
= − = −
+ +
( ) ( ), expE iEtx t xψ − Ψ =  ÷ h
Laplaciano ∇2 ˆ d d dp
i dx dy dz i
 
= + + = ∇ ÷ 
h h
Coordenadas esféricas
• Potencial com simetria central(U(r) 
não depende de θ ou φ ). Usaremos 
coordenadas polares esféricas por 
conveniência.
2 2 2r x y z= + +
1
2 2 2
cos z
x y z
θ −=
+ +
1tan y
x
φ −=
- Distância da 
origem a P
- Observe o elemento de volume 
usado para a integração.
 
Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
2
, , , , , ,1 1 1sin
sin sin
2 , , , , 0
r r r
r
r r r r r
m E U r r
ψ θ φ ψ θ φ ψ θ φθ
θ θ θ θ φ
θ φ ψ θ φ
∂ ∂ ∂   ∂ ∂
+ +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ − =  h
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
, , , , , ,x y z x y z x y z
x y z
ψ ψ ψ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
Multiplicando por r2sinθ
2 2
2 2 2 2
2 2
0
2sin sin sin sin 0
4
m er r E
r r r
ψ ψ ψθ θ θ θ ψ
θ θ φ piε
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + + =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     h
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
2 2 2
, , , , , , , ,
, , , , , ,
2
x y z x y z t x y z t
U x y z x y z E x y z
m x y z
ψ ψ ψ ψ ψ
 ∂ ∂ ∂
− + + + = ∂ ∂ ∂ 
h
Separação de variáveis
2 2
2 2 2 2
2 2
0
2sin sin sin sin 0
4
m er r E
r r r
ψ ψ ψθ θ θ θ ψ
θ θ φ piε
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + + =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     h
Podemos propor a separação ( ) ( ) ( ) ( ), ,r R rψ θ φ θ φ= Θ Φ
2 2 2
2 2 2
2 2
0
sin sin 1 2sin sin 0
4
d dR d d d m er r E
R dr dr d d d r
θ θ θ θ
θ θ φ piε
 Θ Φ   
+ + + + =    Θ Φ     h
Arrumando os termos:
2 2 2
2 2 2
2 2
0
sin sin 2 1sin sin
4
d dR d d m e dr r E
R dr dr d d r d
θ θ θ θ
θ θ piε φ
 Θ Φ   
+ + + = −    Θ Φ     h
Ambos os membos são iguais a mesma 
constante (aqui chamamos de m):
2
2
2
1
l
d m
dφ
Φ
− =
Φ
22
2 2
2 2
0
1 2 1 sin
4 sin sin
lmd dR m e d dr r E
R dr dr r d d
θ
piε θ θ θ θ
  Θ   
+ + = −    Θ    h
Dividindo por 
sin2θ e 
arrumando:
Observe aqui a nova constante de separação. Vamos chamá-la l(l+1):
2
2
2
1
l
d mφ
Φ
− =
Φ ∂
( )
2
2 2
2
0
1 2 1
4
d dR m er r E l l
R dr dr rpiε
  
+ + = +     h
Assim:
( )
2
2
1 sin 1
sin sin
lm d l l
d
θ
θ θ θ θ
∂Θ 
− = + Θ ∂ 
Equação para R(r)
Equação para Θ(θ)
Equação para Φ(φ)
Na forma mais 
convencional:
( )22
2 2 2
0
11 2 0
4
l ld dR m er E R
r dr dr r rpiε
 +  
+ + − =  ÷     h
( )
2
2
1 sin 1 0
sin sin
lmd l l
d
θ
θ θ θ θ
 ∂Θ 
+ + − Θ =  ∂   
2
2
2 0l
d mφ
Φ
+ Φ =
∂
Parte azimutal
2
2
2 0l
d mφ
Φ
+ Φ =
∂
limAe φΦ =
( )2ll imimAe Ae φ piφ +=
0, 1, 2,......,lm l= ± ± ±
ml inteiro
ml – número quântico magnético
Intervalo de ml 
( )
2
2
1 sin 1 0
sin sin
lmd l l
d
θ
θ θ θ θ
 ∂Θ 
+ + − Θ =  ∂   
- A solução deve 
obedecer ll m≥
Assim,
ˆ
zL i φ
∂
=
∂
h
2 2 2ˆ
z lL mΦ = − Φh
Autovalores discretos 
para o momento angular 
no eixo z: 
ˆ lim
z lL Ae mi
φΦ = = Φh h
z lL m= h
Parte radial R(r)
( )22
2 2 2
0
11 2 0
4
l ld R m er E R
r dr r r rpiε
 + ∂ 
+ + − =  ÷ ∂    h Esta equação tem a energia total
( ) ( )
22
2 2 2
12 2 0
2
l ld R dR m E U r R
dr r dr mr
 + 
+ + − − =   
h
h
( ) ( )
22 2
2 2
12ˆ
2 2r
l ld dH U r
m dr r dr mr
+ 
= − + − + ÷ 
hh
( ) ( )ˆ rH R r ER r=
Este termo corresponde a energia cinética do 
movimento radial (energia cinética total menos a 
energia cinética do movimento tangencial)
Escrevendo a parte 
radial na forma
Lembrando da 
mecânica clássica 
que:
2
2
2
1
2 r
LK p
m r
 
= + ÷ 
2 2
22 2
r
r
p LK K
m mr
= = − ( )
2
22r
LE K U r
mr
= − + ( )2 2 1L l l= +h - Autovalores do operador 2Lˆ
( )22
2 2 2
0
11 2 0
4
l ld R m er E R
r dr r r rpiε
 + ∂ 
+ + − =  ÷ ∂    h
Para os estados ligados:
- O espectro dessa equação é 
contínuo para E>0 e discreto para 
E<0.
4
1
2 2 2 2 2
0
1 1, 2, 3,...
32n
EmeE n
n npi ε
 
= − = = ÷ h
e 1n l≥ +
( )0,1, 2,......, 1l n= −Condições para l 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,ˆ ˆl l l l ln l m nl l m m n nl l m mH HR r E R rψ θ φ θ φ= Θ Φ = Θ Φ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , ,ˆ ˆ 1l l l l ln l m nl l m m nl l m mL L R r l l R rψ θ φ θ φ= Θ Φ = + Θ Φ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,ˆ ˆl l l l lz n l m z nl l m m l nl l m mL L R r m R rψ θ φ θ φ= Θ Φ = Θ Φ
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, , , nl l l iE tn l m n l l m mr t R r eθ φ θ φ −Ψ = Θ Φ
Quantização
1, 2, 3,...n = ( )0, 1, 2, 3,......, 1
, , , ,
l n
s p d f
= − 0, 1, 2,......,lm l= ± ± ±
Autofunções do átomo de hidrogênio: ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, , , nl l l iE tn l m n l l m mr t R r eθ φ θ φ −Ψ = Θ Φ
( ) ( ) ( ) ( )2,1,0 21 10 0, ,
2, 1, 0l
r R r
n l m
ψ θ φ θ φ≡ Θ Φ
→ = = =
Número total de estados com o mesmo 
número quântico principal
Número 
Quântico 
principal.
N. Q. orbital. N. Q. magnético
( ) ( )1 2
0
1 2 1 1
2 1
2
n
l
n
l n n
−
=
+ − +  + = =∑
Nível de degenerescência
O que é degenerescência?
4
1
2 2 2 2 2
0
1 1, 2, 3,...
32n
EmeE n
n npi ε
 
= − = = ÷ h
A energia do elétron do átomo de H 
não depende do momento angular!
• Diferentes autoestados com mesmo n mas diferentes l podem ter o 
mesmo autovalor (energia).
• Degenerescência: se dois ou mais estados quânticos diferentes têm a 
mesma energiasão ditos degenerados.
Espectro de energia
4
1
2 2 2 2 2
0
1 1, 2, 3,...
32n
EmeE n
n npi ε
 
= − = = ÷ h
4
1 2 2 2
0
13.6
32
meE eV
pi ε
= − = −h
Estado fundamental(n = 1, l = 0, ml = 0)
( )
2
2 2
2 2 0d R dR m E U r R
dr r dr
+ + − =  h
( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 1
1,0,0 1, 0 0, 0 0
/
3/2
0
, , ,
1
l l
iE t
n l l m m
r a iE t
r t R r e
e e
a
θ φ θ φ
pi
−
= = = = =
− −
Ψ = Θ Φ
=
2
0
0 2
4a
me
piε
=
h Raio de Bohr
0 0.53A=0.053nma ≈
o
A probabilidade de encontrar um elétron entre cascas 
esféricas de raios r e r+dr:
( ) 2P r d R dτ τ= ΘΦ
Para todos os estados s (l=0) o momento angulatr é 
zero:
Estado fundamental (n = 1, l = 0, ml = 0):
( )1, 0n lR r= =
( )
2 2
P r
R r
µ
2 sind r drd dτ θ θ φ=
( )
2
2 2 2 22 2
0 0
sinP r dr R r dr d d R r dr
pi pi
θ θ φ= Θ Φ =∫ ∫
Outros estados l = 0 (estados s)
n=2
n=3
Para todo estado s, o momento angular é zero: 1, 2, 3,...n = 0l = 0lm =
 Autofunções para n ≥ 2, l ≠ 0
s p d
1
2
3
2ψ
l =1 – estado p 
 l =2 – estado d
Comparação com o modelo de Bohr
• Este modelo tem uma grande importância histórica. 
• Ele é um modelo pobre e não corresponde à realidade do átomo de hidrogênio.
• O cálculo da probabilidade de encontrar um elétron a uma distância r não 
corresponde à realidade usando o modelo de Bohr. Por exemplo, para o 
momento angular zero, o pico da probabilidade da posição do elétron fica no 
núcleo!
Niels Bohr (1913) propôs um modelo semiclássico para o 
átomo.
Usando a terminologia de de Broglie: um elétron podem estar em 
torno do núcleo somente se ele tem um número inteiro de 
comprimentos de onda de de Broglie.
2 nn rλ pi= 0
4 rh h
p e m
piελ = =
2 2
20
12 1, 2, 3,...n
n hr n r n
me
ε
pi
= = =
2 2 2
0 0 08 4 8
n
n n n
e e eE K U
r r rpiε piε piε
= + = − = − Combinando essas duas 
equações, obtemos a forma 
correta para os autovalores 
energia.4
1
2 2 2 2 2
0
1 1, 2, 3,...
32n
EmeE n
n npi ε
 
= − = = ÷ h
Exemplo
1. Encontre o valor médio de 1/r para um elétron 1s do átomo de H. 
3
1 0 0 0 0 0 0 00 0
1 4 2 1 2 2 2 1exp exp
s
r r r rr dr d
r a a a a a a a
∞ ∞       
= − = − = ÷  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫
2. Calcule a probabilidade de encontrar um elétron no estado 1s for a da primeira órbita 
de Bohr.
0
0 0
2
1 2
3
0 0 0 0 0
4 2 1 2 2 2exp exp
2
s
r a
a a
r r r rP r dr d
a a a a a
∞ ∞
>
       
= − = − ÷  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫
( )2 2 2 2x xx e dx e x x− −= − + +∫ ( ) ( )01 2 2 2
2
1 1exp 2 2 2 2 0.68
2 2
s
r aP x x dx e
∞
−
> = − = + × + ≈∫
x xe dx e− −= −∫
( )1x xxe dx e x− −= − +∫
( )2 2 2 2x xx e dx e x x− −= − + +∫
( )3 3 23 6 6x xx e dx e x x x− −= − + + +∫
0
!n xx e dx n
∞
−
=∫
( )2 2
0
exp
4
y y dy pi
∞
− =∫( )2
0
exp
2
y dy pi
∞
− =∫
( )4 2
0
3exp
8
y y dy pi
∞
− =∫
( )2
0
1exp
2
y y dy
∞
− =∫
( )3 2
0
1exp
2
y y dy
∞
− =∫ ( )5 2
0
exp 1y y dy
∞
− =∫
Algumas integrais
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