Zeros Reais de Funções Reais - Explicação & Exercícios

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3. ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS
Introdução
Em muitas áreas das ciências exatas ocorrem situações que envolvem resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Este número é chamado raiz da equação f(x)=0 ou zero da função f(x).
Resolução através do Método Analítico.
As equações do 1º e 2º graus;
Certas classes de 3º e 4º graus;
Algumas equações transcendentes.
Resolução através de Métodos Numéricos.
De um modo geral, Polinômios de grau superior ao 2º;
Maioria das equações transcendentes.
Embora os métodos que aproximam as soluções, não forneçam raízes exatas, elas podem ser calculadas com a exatidão que o problema requeira.
Cálculo de uma Raiz
Localizar ou isolar a raiz, que consiste em obter um intervalo para o qual contém uma raiz;
Melhorar o valor da raiz aproximada, sucessivamente até o grau de exatidão requerido.
3.1 Isolamento das Raízes.
Seja a equação algébrica ou transcendente:
	f(x)=0
	(Eq.1)
As raízes reais da (Eq.1) podem ser obtidas através de representações gráficas de f(x) em função de x, (fig.1).
Graficamente, os zeros reais são representados pelas as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo dos x.
 y
 x1 x2 x3 x4 x5 x 
			(fig. 1)
As raízes x1, x2,... de f(x)=0 são os pontos em que a curva representativa de f(x) corta o eixo dos x.
Obs. A precisão dos resultados obtidos pelo método gráfico depende fundamentalmente da habilidade do desenhista.
Por outro lado, a partir da (Eq.1) é possível obter uma equação equivalente f(x) = g(x) - h(x) = 0, esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo sistema de eixo cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso f(r) = 0 e g(r) = h(r).
 y
 
 g(x)
 h(x)
 r1 r2 x
Esboços de algumas Funções
y = senx
y = cosx
y = tgx
a > 1
0 < a <1
y = x a para a = 3, 5, 7, ...
y = x b b = 2, 4, 6, ...
y = e a x
a > 0
a < 0
Exercícios.
Localize graficamente as raízes reais das equações a seguir:
ex – sen(x) = 0
4cos(x) – e2x = 0
2x – tg(x) = 0
x + ln(x) = 0
x3 – e2x + 3 = 0
2x3 + x2 – 4 = 0
sen(x) – ln(x) = 0
x3 – 5x2 +x +3 = 0
ecos(x) + x3 – 3 = 0
0,1x3 – e2x + 3 = 0
ex + cos(x) – 5 = 0
10x + x3 + 2 = 0
ex + tg(x) = 0
e-0,1x + x2 - 10 = 0
x3 – cox(x) = 0
�
3.2 REFINAMENTO
Depois de isolar a raiz no intervalo [a ; b], passa-se ao refinamento da raiz através de métodos numéricos, estes métodos devem fornecer uma seqüência {xi} de aproximações, cujo limite é a raiz exata "r"
A forma de refinamento é que diferencia os métodos e todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos.
Um método iterativo consiste em uma seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos.
A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração utiliza resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um resultado próximo o suficiente do resultado esperado.
3.2.1 CRITÉRIOS DE PARADA
Seja "r" uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equação f(x) = 0, com "r" e xn pertencentes ao intervalo [a ; b].
Seja ( a tolerância de avaliação da raiz exata "r". O resultado esperado é atingido quando um dos critérios abaixo for satisfeito:
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�PAGE �4�
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