Lista de Exercícios - Função Inversa 1

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Fundamentos de Matemática 
 
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Lista de Exercícios - Função Inversa 
 
 
1) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos 
( 3, 4)− e (3, 0) . Se 1f − é a função inversa de f , determine 1(2)f − . 
 
4 ( 3)
3 4
y ax b
a b
a b
= +
= − +
− + =
 0 (3)
3 0
y ax b
a b
a b
= +
= +
+ =
 
 
 
3 4
 3 0
 2 4
 2
a b
a b
b
b
− + =

+ =
=
=
 
3 0
3 2 0
3 2
2
3
a b
a
a
a
+ =
+ =
= −
= −
 
 
 
2 2
3
y ax b y x= + ⇒ = − + 
 
1
1
1
2 2
3
2 2
3
3 2 6
2 6 3
6 3
2
6 3( )
2
6 3(2)(2)
2
(2) 0
y x
x y
x y
y x
xy
xf x
f
f
−
−
−
= − +
= − +
= − +
= −
−
=
−
=
−
=
=
 
 
2) Seja a função f de 
−
ℝ em +ℝ , definida por 2( )f x x= . Qual é a função 
inversa de f ? 
 
A função dada é 2( )f x y x= = com 0x ≤ e 0y ≥ . 
 
Aplicando a regra prática, temos: 
 
I) permutando as variáveis: 
 
 
2x y= com 0y ≤ e 0x ≥ 
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 II) expressando y em função de x 
 
 
2
 ou x y y x y x= ⇒ = = − 
 
Considerando que na função inversa 1f − devemos ter 0y ≤ e 
0x ≥ , a lei de correspondência da função inversa será 1( )f x x− = − . 
 
 Resposta: É a função 1f − de +ℝ em −ℝ definida por 1( )f x x− = − . 
 
3) Seja a função bijetora f , de { }2−ℝ em { }1−ℝ definida por 1( ) 2
xf x
x
+
=
−
. 
Qual é a função inversa de f ? 
 
A função dada é 1( )
2
xf x y
x
+
= =
−
 com 2x ≠ e 1y ≠ . 
 
Aplicando a regra prática, temos: 
 
I) permutando as variáveis: 
 
 
1
2
y
x
y
+
=
−
 com 1x ≠ e 2y ≠ 
 
 II) expressando y em função de x 
 
 
1
1 2 12 1 2 1 ( 1) 2 1
2 1
2 1( )
1
y x
x xy x y xy y x y x x y
y x
xf x
x
−
+ +
= ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ =
− −
+
=
−
 
 
Resposta: É a função 1f − de { }1−ℝ em { }2−ℝ definida por 
1 2 1( )
1
xf x
x
−
+
=
−
. 
 
4) Obtenha a função inversa da função f , de { }3−ℝ em { }1− −ℝ definida 
por 4( )
3
xf x
x
−
=
−
. 
 
A função dada é 4( )
3
xf x y
x
−
= =
−
 com 3x ≠ e 1y ≠ − . 
 
Aplicando a regra prática, temos: 
 
I) permutando as variáveis: 
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4
3
y
x
y
−
=
−
 com 1x ≠ − e 3y ≠ 
 
 II) expressando y em função de x 
 
 
1
4 3 43 4 3 4 ( 1) 3 4
3 1
3 4( )
1
y x
x xy x y xy y x y x x y
y x
xf x
x
−
− +
= ⇒ − = − ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ =
− +
+
=
+
 
 
Resposta: É a função 1f − de { }1− −ℝ em { }3−ℝ definida por 
1 3 4( )
1
xf x
x
−
+
=
+
. 
 
5) Seja a função f de { }2− −ℝ em { }4−ℝ definida por 4 3( ) 2
xf x
x
−
=
+
. Qual 
é o valor do domínio de 1f − com imagem 5 ? 
 
Queremos determinar { }4a ∈ −ℝ tal que 1( ) 5f a− = ; para isso, 
basta determinar a tal que (5)f a= . 
 
4(5) 3 17 17(5) 
5 2 7 7
a f a−= = = ⇒ =
+
 
 
6) Seja a função f de { }/ 1A x x= ∈ ≤ −ℝ em { }/ 1B y y= ∈ ≥ℝ definida por 
2( ) 2 2f x x x= + + . Qual é o valor do domínio de 1f − com imagem 3− ? 
 
Resolução 1: 
 
A função dada é 2( ) 2 2f x y x x= = + + com 1x ≤ − e 1y ≥ . 
 
Aplicando a regra prática, temos: 
 
I) permutando as variáveis: 
 
 
2 2 2x y y= + + com 1x ≥ e 1y ≤ − 
 
 II) expressando y em função de x 
 
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( ) ( )222 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1
1 1 1 1
x y y x y y x y y
y y x y x y x
y x y x
= + + ⇒ = + + ⇒ = + +
+ + + = ⇒ + + = ⇒ + = −
+ = ± − ⇒ = − ± −
 
 
 Como 21 1 1y y x≤ − ⇒ = − − − 
 
 Portanto 1 2( ) 1 1f x x− = − − − 
( ) ( )
2
2
2
2 22
2
2
3 1 1
1 1 3
1 2
1 2
1 4
5
5
x
x
x
x
x
x
x
− = − − −
− = − +
− =
− =
− =
=
= ±
 
 
 Como 1 5x x≥ ⇒ = 
 
Resolução 2: 
 
Queremos determinar { }/ 1a B x x∈ = ∈ ≥ℝ tal que 1( ) 3f a− = − ; para 
isso, basta determinar a tal que ( 3)f a− = . 
 
2( 3) ( 3) 2 ( 3) 2 5a f a= − = − + ⋅ − + ⇒ = ± 
 
 Como 1 5x a≥ ⇒ = 
 
7) Sejam os conjuntos { }/ 1A x x= ∈ ≥ℝ e { }/ 2B y y= ∈ ≥ℝ e a função f de 
A em B definida por 2( ) 2 3f x x x= − + . Obtenha a função inversa de f . 
 
A função dada é 2( ) 2 3f x y x x= = − + com 1x ≥ e 2y ≥ . 
 
Aplicando a regra prática, temos: 
 
I) permutando as variáveis: 
 
 
2 2 3x y y= − + com 2x ≥ e 1y ≥ 
 
 II) expressando y em função de x 
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( )
( )
22 2
2
2 3 2 1 3 1 1 2
1 2 1 2 1 2
x y y x y y x y
y x y x y x
= − + ⇒ = − + + − ⇒ = − + ⇒
⇒ − = − ⇒ − = ± − ⇒ = ± −
 
 
Considerando que na função inversa 1f − devemos ter 2x ≥ e 
1y ≥ , a sentença que define a função inversa é 1( ) 1 2f x x− = + − . 
 
8) Seja a função f em ℝ definida por ( ) 2 1 2 4f x x x x= + + − − . Determine 
a função inversa de f . Calcule 1(42)f − . 
 
 1, 1 0 1
1
1, 1 0 1
x se x x
x
x se x x
+ + ≥ ⇒ ≥ −
+ = 
− − + < ⇒ < −
 
 
 2 4, 2 4 0 2
2 4
2 4, 2 4 0 2
x se x x
x
x se x x
− − ≥ ⇒ ≥
− = 
− + − < ⇒ <
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 5, 1
( ) 2 3 3, 1 2
2 5, 2
x x se x
f x x x se x
x x se x
+ − < −

= + − − ≤ <

− + ≥
 
 
3 5, 1
( ) 5 3, 1 2
5, 2
x se x
f x x se x
x se x
− < −

= − − ≤ <
 + ≥
 
 
1
3 5
3 5
3 5
5
3
5( )
3
y x
x y
y x
xy
xf x−
= −
= −
= +
+
=
+
=
 
1
5 3
5 3
5 3
3
5
3( )
5
y x
x y
y x
xy
xf x−
= −
= −
= +
+
=
+
=
 
1
5
5
5
( ) 5
y x
x y
y x
f x x−
= +
= +
= −
= −
 
 
-1 2 
1x + =
2 4x − =
1 2 4x x+ − − =
1x− − 1x + 1x +
2 4x− + 2 4x− + 2 4x −
5x − 3 3x − 5x− +
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1
5
, 1
3
3( ) , 1 2
5
5, 2
x
se y
xf x se y
x se y
−
+
< −

+
= − ≤ <

 − ≥


 
 
 
5 1 5 3 8
3
xx x
+
< − ⇒ + < − ⇒ < − 
 
 
31 2 5 3 10 8 7
5
x
x x
+
− ≤ < ⇒ − ≤ + < ⇒ − ≤ < 
 
5 2 7x x− ≥ ⇒ ≥ 
 
 
 
1
5
, 8
3
3( ) , 8 7
5
5, 7
x
se x
xf x se x
x se x
−
+
< −

+
= − ≤ <

 − ≥


 
 
Para 1 1 142 ( ) 5 (42) 42 5 (42) 37x f x x f f− − −= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = 
 
9) Dadas as funções f e g em ℝ , definidas por ( ) 3 2f x x= − e 
( ) 2 5g x x= + , determine a função inversa de g o f . 
 
Determinamos inicialmente g o f e em seguida ( ) 1 g o f − : 
 
( ) ( ) ( ( )) 2 ( ) 5 2(3 2) 5 6 1g o f x g f x f x x x= = + = − + = + 
 
Aplicando a regra prática, temos: 16 1
6
x
x y y −= + ⇒ = ; portanto, 
 
( ) 1 1 ( ) 6
xg o f x− −=