Lista 2 - Derivadas

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Universidade Paulista 
 Curso: Ciências Econômicas 
 Disciplina: Métodos Quantitativos 
 Prof. Dra. Deiby Santos Gouveia 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
 
Lista n. 2: Derivadas 
1. Calcular a TMV das seguintes funções: 
 
a) 𝑦 = 4 𝑥0 = 2 𝑒 𝑥1 = 4 
b) 𝑦 = −𝑥 𝑥0 = 5 𝑒 𝑥1 = 8 
c) 𝑦 = 4𝑥 𝑥0 = 2 𝑒 𝑥1 = 3 
d) 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 𝑥0 = 2 𝑒 𝑥1 = 4 
e) 𝑦 =
1
𝑥
 𝑥0 = 1 𝑒 𝑥1 = 3 
f) 𝑦 =
2𝑥+4
3𝑥−2
 𝑥0 = 0 𝑒 𝑥1 = 1 
g) 𝑦 = √𝑥
3
+ 1 𝑥0 = 8 𝑒 𝑥1 = 27 
h) 𝑦 = 23𝑥+1 𝑥0 = −
1
3
 𝑒 𝑥1 = 1 
 
2. Para cada função f(x), determine a derivada f’(x0) no ponto x0 indicado. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑥0 = 4 
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 𝑥0 = 1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 𝑥0 = 2 
d) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑥0 = 5 
 
3. Um automóvel desloca-se obedecendo a seguinte função 𝑆 = 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 2𝑡, sendo S as posições ou 
marcos quilométricos pelos quais o automóvel passou e t o instante dessas posições em horas. Calcule: 
a) A velocidade média do automóvel entre 0 e 2 horas 
b) A velocidade do automóvel no instante t = 2h. 
 
4. Mostre que a derivada 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 10 é 𝑦 = 2𝑥 + 3 para todo xR. 
 
 
 
 
 
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5. Calcular a derivada de cada função: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 10 
b) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 
c) 𝑓(𝑡) = 3𝑡2 − 6𝑡 − 10 
d) 𝑓(𝑥) = 10 ln 𝑥 − 3𝑥 + 6 
e) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 − 3𝑥 + 5). (2𝑥 − 1) 
f) 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 + 5√𝑥
3
+ 10 
g) 𝑓(𝑥) =
ln 𝑥
√𝑥
 
h) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥2
+
1
𝑥
+ 1)
3
 
i) 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥2 − 2𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
3
 
k) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1 
l) 𝑓(𝑥) = √
ln 𝑥
𝑒𝑥
 
 
6. Calcular as tres primeiras derivadas de cada uma das funções: 
 
a) 𝑦 = 𝑘 
b) 𝑦 = 𝑥 
c) 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥 + 1 
d) 𝑦 =
2
𝑥
 
e) 𝑦 = (𝑥 + 1)4 
f) 𝑦 = 0,4𝑥0,1 
 
7. Calcular os limites abaixo usando a regra de L´Hôpital. 
 
a) lim𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
 
b) lim𝑥→−2
𝑥+2
𝑥2+3𝑥+2
 
c) lim𝑥→1
𝑥9−1
𝑥5−1
 
d) lim𝑥→1
ln 𝑥
𝑥−1
 
 
 
 
 
 
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Regras de Derivação 
 
 
Função Simples Derivada Função Composta Derivada 
 𝑦 = 𝑘 𝑦′ = 0 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑦′ = 𝑛. 𝑢𝑛−1. 𝑢′ 
 𝑦 = 𝑥 𝑦′ = 1 𝑦 = 𝑒𝑢 𝑦′ = 𝑒𝑢. 𝑢′ 
 𝑦 = 𝑘. 𝑥 𝑦′ = 𝑘 y = ln 𝑢 𝑦′ =
𝑢′
𝑢
 
 𝑦 = 𝑥𝑛 𝑦′ = 𝑛. 𝑥𝑛−1 𝑦 = log𝑎 𝑢 𝑦′ =
𝑢′
𝑢. ln 𝑎
 
 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦′ = 𝑒𝑥 𝑦 = 𝑎𝑢 𝑦′ = 𝑎𝑢. ln 𝑎. 𝑢′ 
 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦′ = 𝑎𝑥 . ln 𝑎 𝑦 = √𝑢 𝑦′ =
𝑢′
2√𝑢
 
 𝑦 = ln 𝑥 𝑦′ =
1
𝑥
 
 𝑦 = log𝑎 𝑥 𝑦′ =
1
𝑥 ln 𝑎
 
 Operações 
 (𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′ 
 (𝑢. 𝑣)′ = 𝑢′. 𝑣 + 𝑣′. 𝑢 
 (𝑘. 𝑢)′ = 𝑘. 𝑢′ 
 (
𝑢
𝑣
)
′
 =
𝑢′. 𝑣 − 𝑣′. 𝑢
𝑣2
 
 ℎ = 𝑣(𝑢(𝑥)) ℎ′ = 𝑣′(𝑢(𝑥)). 𝑢′(𝑥)