Cálculo Diferencial e Integral

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
 
FÍSICA TEÓRICA 1 
 
MÓDULO: Cinemática 
TEMA: Cálculo Diferencial e Integral 
 
1 Copyright©2020 – Juliana de Fatima Prestes Souza 
 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Departamento Acadêmico de Física (DAFIS) 
𝑓(𝑥) = 𝐶 𝑥𝑛 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
Nas aulas anteriores foi visto como obter a velocidade e aceleração de um corpo num instante de tempo 
específico, ou seja, suas velocidade e aceleração instantâneas. O método utilizado foi o método gráfico, onde uma 
reta tangente à curva no ponto P, de coordenadas (xp,tp), era traçada. A inclinação da tangente, definida como o 
limite da razão Δx/Δt quando o valor de Δt tende a zero, fornecia o valor da grandeza instantânea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro método bastante eficaz, é um método matemático, com origem no cálculo diferencial e integral: a 
derivada. A derivada possui sua definição dada pelo limite discutido nas aulas anteriores. Perceba que a derivada 
não é um limite de uma grandeza específica, mas sim o limite da razão entre duas grandezas, quando a do 
denominador tende à zero. Uma de suas aplicações está em problemas de cinemática, como será mostrado à seguir. 
1) Derivada 
A derivada é um operador matemático. Os operadores matemáticos mais simples conhecidos são soma, 
subtração, multiplicação e divisão. Porém, a derivada é um operador que se aplica em funções. Ao aplicar a derivada 
numa função, outra função é gerada como resposta. A derivada mais simples que pode se apresentar é a derivada de 
uma função polinomial. Seja uma função f(x), dada por 
 
 
onde C e n são números naturais. A função f(x) é dita polinomial, pois é definida por um polinômio de grau n, dado 
pelo expoente da função. Para derivar a função f(x) basta usar a seguinte regra 
 
 
 
(1) 
(2) 
(3) 
𝐷′𝑓(𝑥) = 𝐷′(𝐶 𝑥𝑛) 
Símbolo do 
operador derivada 
𝐷′𝑓(𝑥) = 𝑛 ∙ (𝐶 𝑥𝑛−1) 
Figura 1: Esta figura representa o gráfico de posição (x) versus tempo (t). A inclinação da reta tangente 
ao ponto P representa v(tP), ou seja, a velocidade instantânea no instante tP. 
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Ex 1.1) Dada a função f(x) = 3 x2 + x5, encontre sua derivada em função da variável x. 
 
 
 
 
 
Uma das aplicações mais utilizadas na Física é a derivada de uma função em relação ao tempo, ou seja, a 
derivada de uma função f(t), onde t representa o tempo. O resultado dessa derivação fornece como resposta 
importantes grandezas da Cinemática. Considerando as funções x(t) e v(t) como posição e velocidade, 
respectivamente. Suas derivadas em relação ao tempo são dadas por 
 
 
 
 
 
Note que a resposta é outra função do tempo. Para saber o valor de velocidade ou aceleração instanâneas num 
instante t qualquer, basta substituir o valor do instante desejado no lugar da variável t. 
 
Ex 1.2) A posição de um objeto em função do tempo é dada por x(t) = 2,1 t3 + 1,0 t2 – 4,1 t + 3, onde x é dado em 
metros e t em segundos. (a) Escreva a velocidade em função do tempo. (b) Qual a velocidade do objeto em 
t = 10,0 s? (c) Qual a velocidade média no intervalo de tempo entre 10,0 s e 20,0 s? (d) Quando o objeto se encontra 
em repouso? (e) Qual a aceleração do objeto em função do tempo? (f) Qual a aceleração média no intervalo de 
tempo entre 10,0 s e 20,0 s? (g) Em algum instante de tempo a aceleração é zero? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷′𝑓(𝑥) = 𝐷′(3 𝑥2) + 𝐷′( 𝑥5) 
𝐷′𝑓(𝑥) = 2 ∙ (3 𝑥2−1) + 5 ∙ (𝑥5−1) 
𝐷′𝑓(𝑥) = (6 𝑥) + (5 𝑥4) 
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑣(𝑡) 
A derivada da posição em relação ao 
tempo é a velocidade 
𝑑
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑎(𝑡) 
A derivada da velocidade em relação 
ao tempo é a aceleração 
(4) 
(5) 
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2) Integral 
A integral é a operação inversa da derivada. Ela é definida como um somatório, o que será discutido com maior 
ênfase nas próximas aulas. Por hora, vamos trabalhar a integral de funções polinomiais, as mais simples 
encontradas. Novamente, seja uma função dada pela expressão (1). Sua integral é dada pela seguinte regra 
 
 
 
 
 
 
 
Ex 2.1) Aplique a integral na função f(x) = 6 x + 5 x4 e compare a resposta com a função dada no exemplo 1.1. Como 
você explica esse resultado? 
 
 
 
 
 
 
Assim como no caso da derivada, a integral também possui aplicação na Cinemática, quando a integral de uma 
função é obtida em relação ao tempo. O resultado dessas integrais fornecem, também, grandezas da Cinemática 
como resposta. Considerando as funções x(t), v(t) e a(t) como posição, velocidade e aceleração, respectivamente, 
suas integrais em relação ao tempo são dadas por 
 
 
 
 
 
 
Símbolo de integral 
 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 𝑥𝑛 𝑑𝑥 
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐶 ∙
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
 
A integral da aceleração em relação 
ao tempo é a velocidade 
 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡) 
A integral da velocidade em relação 
ao tempo é a posição 
 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡) 
(6) 
(7) 
(8) 
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No caso da integral, uma nova função também é obtida. Para saber uma grandeza num determinado intervalo de 
tempo, basta substituir as variáveis t por seus instantes fornecidos nos limites de integração. Deve-se fazer sempre o 
limite superior menos o limite inferior. 
 
Ex 2.2) Aplique a integral na função f(x) = 2 t3 e , entre os limites t = 4 e t = 1. 
 
 
 
 
 
 
Ex 2.3) Dada a aceleração de uma partícula com a(t) = 2 t + 5 t3, encontre (a) sua velocidade em função do tempo, 
(b) sua velocidade no intervalo de tempo entre 2 e 3 segundos, (c) sua posição em t = 0,5 s e (d) seu deslocamento 
no intervalo de tempo entre 2 e 3 segundos. 
 
4 
 2 𝑡3𝑑𝑡
4
1
= 2
𝑡4
4
 = 
𝑡4
2
 
1 
∫ 2 𝑡3𝑑𝑡
4
1
= 
44
2
− 
14
2
= 127,5 𝑢𝑛𝑖