Calculo2_Unidade2

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Prof. Paulo Henrique Nobre Parente
Matemática Aplicada à 
Administração II
Unidade 02 - Introdução às funções reais com várias variáveis
Administração Prof. Paulo Parente 2
1. Espaço n-dimensional
2. Funções de duas variáveis
3. Limites e continuidade de duas variáveis
4. Derivadas para funções de duas variáveis
5. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
6. Introdução às funções de três ou mais variáveis
Sumário
Administração Prof. Paulo Parente
Exercícios
3
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1. Espaço n-dimensional
• Espaço bidimensional 
• Situações que envolvem mais de duas variáveis:
‣ Demanda de um produto em função do seu preço unitário e de seu substituto.
‣ Custo unitário em função do desempenho de três departamentos de produção.
‣ Preferência do consumidor em relação ao consumo de dois bens quaisquer.
• Conjunto bidimensional:
‣ Conjunto formado por todos os pares ordenados de reais, indicado por ou :
‣
ℝ2
ℝxℝ ℝ2
ℝ2 = {(a, b) |a ∈ ℝ e b ∈ ℝ}
4
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1. Espaço n-dimensional
• Relações em 
• Chama-se relação no a todo subconjunto de :
‣ Seja 
‣ Seja 
‣ Seja 
ℝ2
ℝ2 ℝ2
A = {(x, y) ∈ ℝ2 |y = 2x + 1}
B = {(x, y) ∈ ℝ2 |y ≥ 2x + 1}
C = {(x, y) ∈ ℝ2 |x2 + y2 ≤ 4}
5
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1. Espaço n-dimensional
• Distância entre dois pontos 
• Sejam e dois elementos de , representados geometricamente 
pelo pontos e . A distância entre eles é dada por:
‣
(x1, y1) (x2, y2) ℝ2
P1 P2
d(P1, P2) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
6
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1. Espaço n-dimensional
• Espaço tridimensional 
• Conjunto tridimensional:
‣ Conjunto formado por todas as triplas ordenadas de reais, indicado por ou :
‣ :
‣ Um elemento do pode ser representado por um ponto de abscissa , ordenada e cota 
, num sistema de eixos , e perpendiculares dois a dois.
ℝ3
ℝxℝxℝ ℝ3
ℝ3 = {(a, b, c) |a ∈ ℝ, b ∈ ℝ e c ∈ ℝ}
(a, b, c) ℝ3 P a b
c Ox Oy Oz
7
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1. Espaço n-dimensional
• Relações em 
• Chama-se relação no a todo subconjunto de :
‣ Se 
‣ Se 
ℝ3
ℝ3 ℝ3
A = {(x, y, z) |x = 0}
B = {(x, y, z) |z = 2}
8
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1. Espaço n-dimensional
• Equações do plano 
• Toda relação do que satisfaz uma equação do tipo 
(com reais e não nulos simultaneamente) tem por representação 
geométrica um plano no espaço tridimensional.
‣ Exemplo: 
ℝ3
ℝ3 ax + by + cz + d = 0
a, b, c, d a, b, c
2x + 3y + z − 6 = 0
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1. Espaço n-dimensional
• Distância entre dois pontos em 
• Sejam e dois elementos de representados pelos pontos 
 e . A distância entre eles é dada por:
‣
ℝ3
(x1, y1, z1) (x2, y2, z2) ℝ3
P1 P2
d(P1, P2) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
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1. Espaço n-dimensional
• O conjunto 
• Seja o conjunto dos números reais. O conjunto formado pelas ênuplas 
ordenadas de reais é chamado de espaço n-dimensional e é indicado por .
‣ é um elemento de 
‣ é um elemento de 
‣ é um elemento de 
ℝn
ℝ
ℝn
(3, 4, 2, 6) ℝ4
(2, 1, 6, 3, − 5) ℝ5
(2, − 3, 4) ℝ3
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2. Funções de duas variáveis
• Introdução 
• Função de várias variáveis 
‣ Descreve quantitativamente a forma pela qual várias variáveis se relacionam.
‣ Função de duas variáveis: 
‣ A demanda por manteiga depende do preço unitário e do preço unitário da margarina . 
Assim, a quantidade demandada é função de e : .
‣ Aplicação de função de duas variáveis: 
‣ A função de Cobb-Douglas é uma função de produção que relaciona a quantidade produzida 
de algum bem em certo intervalo de tempo com os insumos variáveis necessários a essa 
produção (trabalho, terra, capital e outros). .
p1 p2
q p1 p2 q = f(p1, p2)
P = f(L, K) = A . Kα . L1−α
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2. Funções de duas variáveis
• Função de duas variáveis 
• Definição
‣ Seja um subconjunto do . Chama-se função de em toda relação que associa 
a cada par ordenado pertencente a um único número real indicado por . 
O conjunto é chamado domínio da função, e é chamado de imagem de 
ou valor de em .
‣ Exemplo: 
‣ Seja e .
‣ Calcule e .
D ℝ2 D ℝ
(x, y) D f(x, y)
D f(x, y) (x, y)
f (x, y)
D = ℝ2 f(x, y) = x2 + y2
f(2, 3) f(1, − 2)
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2. Funções de duas variáveis
• Gráfico de funções de duas variáveis 
• Apresentação gráfica das funções
‣ O estudo de funções de uma variável tem seu gráfico definido pelo conjunto 
representado por: .
‣ O estudo de funções de duas variáveis tem seu gráfico definido pelo conjunto 
representado por: .
{(x, y) ∈ ℝ |y = f(x) e x ∈ D}
{(x, y, z) ∈ ℝ3 |z = f(x, y) e (x, y) ∈ D}
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2. Funções de duas variáveis
• Gráfico de funções de duas variáveis 
• Apresentação gráfica das funções
‣ A obtenção do gráfico de duas variáveis pode ser um problema em algumas situações.
‣ Costuma-se utilizar uma forma alternativa de apresentação de gráficos: curvas de nível.
‣ Determine o gráfico da função , cujo domínio é dado por:
‣
f(x, y) = x + y
D = {(0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1,1), (2,1), (0,2), (1,2), (2,2)}
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2. Funções de duas variáveis
• Gráfico de funções de duas variáveis 
• Apresentação gráfica das funções
‣ Considere a função constante , com domínio .
‣ Considere a função , com domínio .
f(x, y) = 4 D = ℝ2
f(x, y) = 6 − 2x − 3y D = ℝ2
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2. Funções de duas variáveis
• Gráfico de funções de duas variáveis 
• Apresentação gráfica das funções
‣ Considere a função de , com domínio .
‣ Precisamos obter seções paralelas ao plano e ao plano .
z = x0,5 . y0,5 D = {(x, y) ∈ ℝ2 |x ≥ 0 e y ≥ 0}
x0z y0z
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2. Funções de duas variáveis
• Curvas de nível 
• Introdução e definição
‣ Dificuldade de desenhar o gráfico de uma função de duas variáveis.
‣ O conjunto de pontos do domínio que têm a mesma cota .
‣ As curvas de nível de uma função de duas variáveis são aquelas com equação 
, onde é uma constante na imagem de .
c
f
f(x, y) = k k f
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2. Funções de duas variáveis
• Curvas de nível 
• Introdução e definição
‣ Seja a função . As curvas de nível , e são:
‣ 
‣ 
‣
f(x, y) = x2 + y2 c = 1 c = 2 c = 4
c = 1 ⇒ x2 + y2 = 1
c = 2 ⇒ x2 + y2 = 2
c = 2 ⇒ x2 + y2 = 4
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2. Funções de duas variáveis
• Curvas de nível 
• Exemplo 1
‣ Esboce as curvas de nível das funções:
‣ , nos níveis de e 
‣ , nos níveis de , , e 
‣ , nos níveis de e 
f(x, y) = 3x + 4y c = 12 c = 24
f(x, y) = xy c = 1 c = − 1 c = 2 c = − 2
f(x, y) =
1
x2 + y2
c = 1 c = 4
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2. Funções de duas variáveis
• Curvas de nível 
• Exemplo 2
‣ Dada a função 
‣ Esboce o domínio da função.
‣ Descreva duas curvas de nível quaisquer.
f(x, y) = 9 − x2 − 3y2
21
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2. Funções de duas variáveis
• Curvas de nível 
• Exemplo 3
‣ Seja a receita de vendas de dois produtos de quantidades e . Esboce o 
gráfico dos pontos para os quais a receita vale .
R = 2x + 3y x y
(x, y) $120,00
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Definição
‣ O limite de quando tende ao ponto é o número (se existir) do qual 
se aproxima quando se aproxima de , por qualquer caminho, sem 
no entanto ficar igual a . Indicamos por:
‣ 
‣ Caso seja igual a , dizemos que é contínua ; caso contrário, é dita 
descontínua em .
f(x, y) (x, y) (x0, y0) L
f(x, y) (x, y) (x0, y0)
(x0, y0)
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
L f(x0, y0) f (x0, y0) f
(x0, y0)
23
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 1
‣ Seja . Determine o limite de quando se aproxima do ponto 
:
‣ 
‣ Como , é contínua em .
f(x, y) = x + y f(x,y) (x, y)
(2,3)
lim
(x,y)→(2,3)
f(x, y) = 5
f(2,3) = 5 f (2,3)
24
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 2
‣ Seja . O limite de quando se aproxima 
de é . Isto é:
‣ 
‣ Como , é descontínua em .
f(x, y) = {x + y, se  (x,y) ≠ (2,3)6, se  (x,y) = (2,3) f(x, y) (x, y)
(2,3) 5
lim
(x,y)→(2,3)
f(x, y) = 5
f(2,3) = 6 f (2,3)
25
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Continuidade
‣ Uma função , diz-se contínua em se 
‣ , ou seja,
1. existe;
2. este limite é igual a .
f : D ⊂ ℝ2 → ℝ (x0, y0) ∈ D
lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0)
lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y)
f(x0, y0)
26
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Proposições:
‣ Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio . Exemplo: 
.
‣ O produto e o quociente de funções contínuas são funções contínuas (nos pontos do 
seu domínio). Exemplo: é contínua em .
‣ A composição de funções contínuas é uma função contínua (nos pontos do seu 
domínio). Exemplo: é contínua em 
D = ℝ2
f(x, y) = x2 + y2 − xy
f(x, y) = x
2 + y2
xy − 1 D = ℝ
2 : xy ≠ 1
f(x, y) = sen(x2 + y2) D = ℝ2
27
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 1
‣ Dada a função , obtenha o .f(x, y) = 2x + 3y lim(x,y)→(3,4) f(x, y)
28
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 2
‣ Dada a função , obtenha o .f(x, y) =
x3 − x2y
x − y lim(x,y)→(1,1) f(x, y)
29
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 3
‣ Seja , se e se . 
‣ Para que valor de a função é contínua em ? 
‣ Para este valor de , é contínua em ?
f(x, y) = x
5 − y5
x − y x ≠ y f(x, y) = L x = y
L (1,1)
L f (2,2)
30
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3. Limites e continuidade
• Limite e continuidade 
• Exemplo 4
‣ Calcule, se existir, o .lim(x,y)→(0,0) f(x, y) =
xy
x2 + y2
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4. Derivadas
• Derivadas parciais 
• Definição (em relação a )
‣ Identificar a variação de a partir de pequenas variações de e .
‣ Abordagem de cálculo consiste em manter uma das variáveis constantes: derivadas parciais.
‣ Considere um ponto ; se mantivermos constante no valor e variamos o valor 
para , a função dependerá apenas da variável : 
‣ Taxa média de variação de em relação a :
‣
x
z = f(x, y) x y
(x0, y0) y y0 x0
x0 + Δx x Δf = f(x0 + Δx, y0) − f(x0, y0)
f x
Δf
Δx
=
f(x0 + Δx, y0) − f(x0, y0)
Δx
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4. Derivadas
• Derivadas parciais 
• Definição (em relação a )
‣ A derivada parcial de no ponto em relação a é o limite (se existir e for um número 
real) de , quando tende a . 
‣ Logo, o cálculo da derivada parcial é indicada por um:
‣
x
f (x0, y0) x
Δf
Δx
Δx 0
∂f
∂x
(x0, y0) = fx(x0, y0) = limΔx→0
Δf
Δx
33
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4. Derivadas
• Derivadas parciais 
• Definição (em relação a )
‣ Identificar a variação de a partir de pequenas variações de e .
‣ Abordagem de cálculo consiste em manter uma das variáveis constantes: derivadas parciais.
‣ Considere um ponto ; se mantivermos constante no valor e variamos o valor 
para , a função dependerá apenas da variável : 
‣ Taxa média de variação de em relação a :
‣
y
z = f(x, y) x y
(x0, y0) x x0 y0
y0 + Δy y Δf = f(x0, y0 + Δy) − f(x0, y0)
f y
Δf
Δy
=
f(x0, y0 + Δy) − f(x0, y0)
Δy
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4. Derivadas
• Derivadas parciais 
• Definição (em relação a )
‣ A derivada parcial de no ponto em relação a é o limite (se existir e for um número 
real) de , quando tende a . 
‣ Logo, o cálculo da derivada parcial é indicada por um:
‣
y
f (x0, y0) y
Δf
Δy
Δy 0
∂f
∂y
(x0, y0) = fy(x0, y0) = limΔy→0
Δf
Δy
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4. Derivadas
• Derivadas parciais 
• Exemplo 1
‣ Seja . Calcule, pela definição, e .f(x, y) = 2x + 3y fx (4,5) fy (4,5)
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4. Derivadas
• Função derivada parcial 
• Definição
‣ O cálculo de e num ponto genérico gera duas funções de e :
‣ A função é chamada de função derivada parcial de em relação a 
‣ A função é chamada de função derivada parcial de em relação a 
‣ Para o cálculo de e , pode-se aplicar as regras de derivação estudadas em funções de uma 
variável, desde que:
‣ No cálculo de considere como constante
‣ No cálculo de considere como constante
fx fy (x, y) x y
fx(x, y) f x
fy(x, y) f y
fx fy
fx y
fy x
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4. Derivadas
• Função derivada parcial 
• Definição
‣ Se , então:
‣ 
‣ 
‣ Para calcular e , basta substituir por e por nas derivadas:
‣ 
‣
f(x, y) = x2 + y2
fx(x, y) = 2x
fy(x, y) = 2y
fx(3,4) fy(3,4) x 3 y 4
fx(3,4) = 2x3 = 6
fy(3,4) = 2x4 = 8
38
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4. Derivadas
• Função derivada parcial 
• Definição
‣ Se , então:
‣ 
‣ 
‣ Para calcular e , basta substituir por e por nas derivadas:
‣ 
‣
f(x, y) = x3 + y2 + 2xy
fx(x, y) = 3x2 + 2y
fy(x, y) = 2y + 2x
fx(1,1) fy(1,1) x 1 y 1
fx(1,1) = 3 + 2 = 5
fy(1,1) = 2 + 2 = 4
39
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4. Derivadas
• Função derivada parcial 
• Exemplo 1
‣ Suponha que a quantidade de batata demandada por semana (em kg) num supermercado seja 
a função do seu preço unitário (por kg) e do preço unitário (por kg) do arroz, de acordo com 
a relação . Calcule e . Interprete o resultado.
x y
q = f(x, y) = 1.000 − 2x2 + 15y fx(3,4) fy(3,4)
40
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4. Derivadas
• Interpretação geométrica das derivadas parciais 
• Situação em que é mantido constante ( ) 
• Encontrar a derivada da função (de ) no ponto , cujo gráfico é a intersecção do 
gráfico de com o plano de equação .
y y = y0
x x0
f y = y0
41
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4. Derivadas
• Interpretação geométrica das derivadas parciais 
• Situação em que é mantido constante ( ) 
• Encontrar a derivada da função (de ) no ponto , cujo gráfico é a intersecção do 
gráfico de com o plano de equação .
x x = x0
y y0
f x = x0
42
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Considere a função dada por , calculemos a variação de sofrida 
pela função quando e sofrem variações e a partir do ponto :
• Calcule , se: 
• , 
• e 
•
f(x, y) = 2x2 + 3y2 Δf
x y Δx Δy (x0, y0)
Δf = f(x0 + Δx, y0 + Δy) − f(x0, y0)
Δf
x0 = 5
y0 = 6
Δx = Δy = 0,01
43
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Ao analisar a expressão , nota-se que:
‣ e 
‣ são desprezíveis quando comparados com 
‣
Δf = 4x0Δx + 6y0Δy + 2Δx2 + 3Δy2
4x0 =
∂f
∂x
(x0, y0) 6y0 =
∂f
∂y
(x0, y0)
2Δx2 + 3Δy2 4x0Δx + 6y0Δy
Δf ≈
∂f
∂x
(x0, y0)Δx +
∂f
∂y
(x0, y0)Δy
44
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Seja uma função com duas variáveis e seja um ponto de seu domínio. Seja 
a variação sofrida por ao passarmos do ponto para o ponto 
. Ou seja:
‣
f (x0, y0) Δf
f(x, y) (x0, y0)
(x0 + Δx, y0 + Δy)
Δf = f(x0 + Δx, y0 + Δy) − f(x0, y0)
45
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Dizemos que é diferencial no ponto se puder ser escrita da forma:
‣ 
• Em que as funções e têm limites iguais a zero quando tende a .
f (x0, y0) Δf
Δf =
∂f
∂x
(x0, y0) . Δx +
∂f
∂y
(x0, y0) . Δy+Δx . h1(Δx, Δy) + Δy . h2(Δx, Δy)
h1 h2 (Δx, Δy) (0,0)
46
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Retomando para a expressão . 
• Encontramos:
‣ 
‣ 
‣ e , ambas com limites nulos quando tendem a 
, concluímos que é diferenciável num ponto genérico .
Δf = 4x0Δx + 6y0Δy + 2Δx2 + 3Δy2
4x0 =
∂f
∂x
(x0, y0)
6y0 =
∂f
∂y
(x0, y0)
h1(Δx, Δy) =2Δx h2(Δx, Δy) = 3Δy (Δx, Δy)
(0,0) f (x0, y0)
47
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Definição 
• Seja uma função com duas variáveis. Se as derivadas parciais e são contínuas 
num conjunto aberto A, então é diferenciável em todos os pontos A.
‣ Exemplo: A função é diferenciável em todos os pontos de , pois as 
derivadas parciais e são contínuas em . A diferencial de num ponto 
genérico é igual a: .
f
∂f
∂x
∂f
∂y
f
f(x, y) = 2x2 + 4y3 ℝ2
∂f
∂x
= 4x
∂f
∂y
= 12y2 ℝ2 f
(x, y) df = 4x . Δx + 12y2 . Δy
48
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Exemplo 1 
• Considere a função receita , calcule o diferencial da 
função em , e .
f(x, y) = − x2 − y2 + 100x + 200y
x = 10 y = 30 Δx = Δy = 0,01
49
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4. Derivadas
• Diferencial de uma função 
• Exemplo 2 
• Considere a função receita , calcule o diferencial da 
função em , , e .
f(x, y) = − 4xy2 + 2x3y − 3
x = 1 y = 2 Δx = 0,01 Δy = − 0,02
50
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4. Derivadas
• Função composta 
• Derivada por substituição 
• Considere a função de produção , em que e são as quantidades 
de dois insumos, capital e trabalho, e , a quantidade produzida de um produto. 
Suponhamos que o capital cresça com o tempo , de acordo com a relação 
, e que o trabalho cresça de acordo com a relação .
P(x, y) = 6x0,5y0,5 x y
P
x t
x = 0,16t y y = 0,09t
51
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4. Derivadas
• Função composta 
• Regra da cadeia 
• Para funções de uma variável, , onde , a função composta toma a 
forma e sua regra da cadeia .
• Para funções de duas variáveis, podemos ter as seguintes situações na composição 
de funções:
‣ e 
‣ , e 
‣ , e 
y = f(x) x = g(t)
y = f(g(t))
dy
dt
=
dy
dx
.
dx
dt
y = f(x) x = x(u, v) ⇒ y = f(x(u, v))
z = f(x, y) x = x(t) y = y(t) ⇒ z = f(x(t), y(t))
z = f(x, y) x = x(u, v) y = y(u, v) ⇒ z = f(x(u, v), y(u, v))
52
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4. Derivadas
• Função composta 
• Regra da cadeia (Caso 1) 
• Se tem derivadas parciais em e tem derivada em , 
então, a função composta tem derivadas parciais em , dadas por: 
‣ 
‣
x = x(u, v) (u, v) y = f(x) x(u, v)
y = f(x(u, v)) (u, v)
∂y
∂u
=
dy
dx
.
∂x
∂u
∂y
∂v
=
dy
dx
.
∂x
∂v
53
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4. Derivadas
• Função composta 
• Regra da cadeia (Caso 2) 
• Suponhamos e sejam deriváveis em relação a t e que é 
diferenciável no ponto . Então a composta é uma função 
derivável em relação a dada por:
‣
x = x(t) y = y(t) z = f(x, y)
(x(t), y(t)) z = f(x(t), y(t))
t
df
dt
=
∂f
∂x
.
dx
dt
+
∂f
∂y
.
dy
dt
54
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4. Derivadas
• Função composta 
• Regra da cadeia (Caso 3) 
• Suponhamos que e tenham derivadas parciais no ponto e 
que seja diferenciável em . Então, tem 
derivadas parciais em dadas por:
‣ 
‣
x = x(u, v) y = y(u, v) (u, v)
z = f(x, y) (x(u, v), y(u, v)) z = f(x(u, v), y(u, v))
(u, v)
∂f
∂u
=
∂f
∂x
.
∂x
∂u
+
∂f
∂y
.
∂y
∂u
∂f
∂v
=
∂f
∂x
.
∂x
∂v
+
∂f
∂y
.
∂y
∂v
55
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4. Derivadas
• Funções implícitas 
• Teorema da função implícita 
• Sejam e funções contínuas num domínio e . Se 
e , então existe um intervalo , com centro em , em que a equação 
 define implicitamente uma única função derivável , tal que 
 e , .
• Exemplo:
‣
f(x, y) ∂f/∂y D (x0, y0) ∈ D f(x0, y0) = 0
∂f/∂y (x0, y0) ≠ 0 I x0
f(x0, y0) = 0 y = h(x)
y0 = h(x0) f(x, h(x)) = 0 ∀x ∈ I
f(x, y) = x3y + xy3 + x2y2 + xy + 4 = 0
56
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4. Derivadas
• Funções implícitas 
• Derivada da função implícita 
• A derivada da função definida implicitamente é encontrada através:
‣
• Exemplos:
‣ 
‣
dy
dx
= −
∂f
∂x
∂f
∂y
f(x, y) = 2x2 + y − 1 = 0
f(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0
57
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4. Derivadas
• Funções homogêneas 
• Introdução 
• Seja uma função de duas variáveis e . Dizemos que é homogênea de grau se, 
para toda constante positiva , tivermos: .
• Exemplos:
‣ 
‣
f x y f m
λ f(λx, λy) = λm f(x, y)
f(x, y) = 3x2 + 6xy
P(x, y) = k . xα . y1−α
58
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4. Derivadas
• Funções homogêneas 
• Aplicação 
• Seja uma função de produção homogênea de grau , dizemos que:
‣ Se , então tem retornos crescente de escala.
‣ Se , então tem retornos constante de escala.
‣ Se , então tem retornos decrescente de escala.
• Homogeneidade das derivadas parciais — Seja uma função em . Se é uma 
função homogênea de grau , então suas derivadas parciais de primeira ordem são 
homogêneas de grau .
f(x, y) λ
λ > 1 f
λ = 1 f
λ < 1 f
f(x, y) ℝ2 f
λ
λ − 1
59
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4. Derivadas
• Funções homogêneas 
• Teorema de Euler 
• Seja uma função de duas variáveis e , homogênea de grau . Então,
‣ 
• Exemplos:
‣ 
‣ 
‣
f x y k
k . f(x, y) = x .
∂f
∂x
(x, y) + y .
∂f
∂y
(x, y)
f(x, y) = xy − x2
f(x, y) = xy + 5x
f(x, y) = 2x2 − 3xy − y2
60
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4. Derivadas
• Derivadas parciais de segunda ordem 
• Definição 
• Seja uma função de duas variáveis de e , e suas derivadas parciais. Se 
calcularmos as derivadas parciais de e , obteremos quatro funções chamadas 
derivadas parciais de segunda ordem: , , , .
• Exemplos:
‣ 
‣ 
‣
f x y fx fy
fx fy
fxx fxy fyx fyy
f(x, y) = 4x2 + 3y2 − 6xy
f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2
f(x, y) = 6x0,5y0,5
61
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Introdução 
• Aplicação de derivadas parciais no estudo de otimização de funções.
• Otimizar significa encontrar seu ponto de máximo ou de mínimo.
• Identificar máximos e mínimos (locais e/ou globais).
• Problemas de otimização:
‣ Determinar a máxima produção de uma empresa com um dado orçamento
‣ Encontrar a combinação de insumos que permite obter nível de produção, a custo mínimo
62
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Introdução 
• Seja uma função de duas variáveis e . Dizemos que um ponto do domínio 
 é um ponto de máximo relativo de se existir uma bola aberta de centro e 
raio , tal que, para todo ponto do domínio situado no interior dessa bola aberta, 
tenhamos: . Ao número damos o nome de valor máximo de .
f x y (x0, y0)
D f (x0, y0)
r P(x, y)
f(x, y) ≤ f(x0, y0) f(x0, y0) f
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Introdução 
• Seja uma função de duas variáveis e . Dizemos que um ponto do domínio 
 é um ponto de mínimo relativo de se existir uma bola aberta de centro e 
raio , tal que, para todo ponto do domínio situado no interior dessa bola aberta, 
tenhamos: . Ao número damos o nome de valor máximo de .
f x y (x0, y0)
D f (x0, y0)
r P(x, y)
f(x, y) ≥ f(x0, y0) f(x0, y0) f
64
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Introdução 
• Seja uma função de duas variáveis e . Dizemos que um ponto do domínio 
 é um ponto de máximo global (ou absoluto) de se para todo ponto do 
domínio, tivermos: .
• Seja uma função de duas variáveis e . Dizemos que um ponto do domínio 
 é um ponto de mínimo global (ou absoluto) de se para todo ponto do 
domínio, tivermos: .
f x y (x0, y0)
D f P(x, y)
f(x, y) ≤ f(x0, y0)
f x y (x0, y0)
D f P(x, y)
f(x, y) ≥ f(x0, y0)
65
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 1 
• Seja uma função com duas variáveis e e seja um ponto no interior ao 
domínio. Se for um ponto de máximo ou de mínimo de e se existirem as 
derivadas parciais e , então: e .
• Exemplo:
‣ 
‣
f x y (x0, y0)
(x0, y0) f
fx fy fx(x0, y0) = 0 fy(x0, y0) = 0
f(x, y) = x2 + y2 − 2x + 1
f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y + xy
66
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4. Derivadas• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 1 
• Convém ressaltar que o teorema não garante a existência de ponto máximo ou de 
mínimo, mas sim possíveis pontos de máximo ou de mínimo. Assim, pode ocorrer de 
termos e sem que seja ponto de máximo ou de 
mínimo.
• Exemplos:
‣ 
‣
fx(x0, y0) = 0 fy(x0, y0) = 0 (x0, y0)
f(x, y) = xy
f(x, y) = 6 − 2x − 3y
67
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 2 
• Seja , contínua, com derivadas parciais até segunda ordem contínuas. Seja 
 um ponto crítico de . Chamemos o determinante:
• de Hessiano de no ponto . Se:
‣ e , então será ponto de máximo de .
‣ e , então será ponto de mínimo de .
‣ , então será ponto de sela de .
z = f(x, y)
(x0, y0) f
H(x0, y0) =
fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)
fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)
f (x0, y0)
H(x0, y0) > 0 fxx(x0, y0) < 0 (x0, y0) f
H(x0, y0) > 0 fxx(x0, y0) > 0 (x0, y0) f
H(x0, y0) < 0 (x0, y0) f
68
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 2 
• Considere a função abaixo, identifique o ponto crítico e classifique-o.
‣ f(x, y) = x2 + y2 − 2x
69
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 2 
• Considere a função abaixo, identifique o ponto crítico e classifique-o.
‣ f(x, y) = −
1
4
x4 −
1
4
y4 + x + y
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 2 
• Considere a função abaixo, identifique o ponto crítico e classifique-o.
‣ f(x, y) =
1
5
x5 − x +
1
5
y5 − 16y
71
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Teorema 2 
• Considere a função abaixo, identifique o ponto crítico e classifique-o.
‣ f(x, y) = x2 − 2xy + y2
72
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Análise do ponto de fronteira 
• Análise da otimização sem uso dos teoremas.
• Utilizar as curvas de nível da função a ser otimizada.
• Exemplo:
‣ Considere a função dada por , definida no domínio dado pelas inequações
, e .
f f(x, y) = 2x + y D
x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≤ 7
73
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos para funções de duas variáveis 
• Análise do ponto de fronteira 
• Análise da otimização sem uso dos teoremas.
• Utilizar as curvas de nível da função a ser otimizada.
• Exemplo:
‣ Considere a função dada por , definida no domínio dado pelas inequações
, , e .
f f(x, y) = x + y D
x ≥ 0 y ≥ 0 2x + y ≥ 10 x + 2y ≥ 10
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Introdução 
• Considere uma função , com domínio . Se restringir o domínio aos pontos 
que satisfazem uma dada relação e procurarmos, entre esses pontos, os 
pontos de máximo e mínimo, estamos resolvendo um problema de máximo e mínimo 
de condicionados à restrição .
f(x, y) D (x, y)
Φ(x, y) = 0
f Φ(x, y) = 0
75
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método da substituição 
• Tal método consiste em substituir (ou ) obtido a partir da restrição , na 
função . Obtém-se, dessa forma, uma função de uma única variável, e o problema se 
reduz à determinação de máximos e mínimos de funções de uma variável.
• Exemplo:
‣ 
‣
x y Φ(x, y) = 0
f
f(x, y) = x2 + y2
Φ(x, y) = x + y = 4
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método dos multiplicadores de Lagrange 
• Suponha que a função , sujeita à restrição , tenha um ponto de máximo e 
que o gráfico da restrição seja a curva (esquerda). Suponha também que as curvas de 
nível de tenham a forma das curvas (centro). É intuitivo admitir que, no ponto máximo 
de , sujeita à restrição , a curva de nível de e 
admitam uma tangente em comum (direita).
f Φ(x, y) = 0
f
f Φ(x, y) = 0 f(x, y) = c Φ(x, y) = 0
77
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método dos multiplicadores de Lagrange 
• As funções estão definidas implicitamente e compartilham um ponto em comum:
‣
• Ou seja, deve existir um número , tal que:
‣ e 
• O número é chamado de multiplicador de Lagrange.
−
∂f
∂x
∂f
∂y
= −
∂Φ
∂x
∂Φ
∂y
⇒
∂f
∂y
∂Φ
∂y
=
∂f
∂x
∂Φ
∂x
= λ
λ
∂f
∂y
= λ
∂Φ
∂y
∂f
∂x
= λ
∂Φ
∂x
λ
78
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método dos multiplicadores de Lagrange 
• Seja uma função com duas variáveis e uma restrição. Se e 
admitirem derivadas parciais contínuas e for um ponto de máximo (ou de 
mínimo) de , interior ao domínio, condicionado à restrição e, ainda, se 
 ou , então existe um número , tal que:
‣ 
‣
f Φ(x, y) = 0 f(x, y) Φ(x, y)
(x0, y0)
f Φ(x, y) = 0
∂Φ
∂x
(x0, y0) ≠ 0
∂Φ
∂y
(x0, y0) ≠ 0 λ
∂f
∂x
(x0, y0) = λ
∂Φ
∂x
(x0, y0)
∂f
∂y
(x0, y0) = λ
∂Φ
∂y
(x0, y0)
79
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método dos multiplicadores de Lagrange 
• Frequentemente, o sistema de equações
‣ , , 
• aparece na forma:
‣ , , 
• em que .
∂f
∂x
= λ
∂Φ
∂x
∂f
∂y
= λ
∂Φ
∂y
Φ(x, y) = 0
∂F
∂x
= 0
∂F
∂y
= 0
∂F
∂λ
= 0
F(x, y, λ) = f(x, y) − λ . Φ(x, y)
80
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4. Derivadas
• Máximos e mínimos condicionados 
• Método dos multiplicadores de Lagrange 
• Seja uma função sujeita à restrição .f(x, y) = x2 + y2 x + y − 4 = 0
81
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Exercícios
82
Prof. Paulo Henrique Nobre Parente
Obrigado!