Capitulo 5 - Capitalização de períodos não inteiros

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Disciplina:Matemática Financeira – Unidade 5 – Períodos não inteiros de Capitalização 
Professora: Magda Leyser – magda.leyser@gmail.com 
 
 
5. Período não inteiro em relação ao prazo definido pela taxa: convenção 
exponencial e linear 
 
Ocorre que em algumas operações financeiras o prazo não corresponde a um número inteiro em relação 
a regularidade de capitalização definida pela taxa. Exemplo: taxa de juros 5%ao ano e prazo da aplicação 2 anos 
e 3 meses. Considerando que o período de capitalização é anual, o prazo inteiro é de 2 anos e o fracionado é de 
3 meses. Quando calculamos o prazo proporcional em anos temos o valor de 
 
 
 Assim a 
parte inteira de capitalização é 2 anos e a parte fracionária é de 0,25 anos. 
 
Seria inconveniente não remunerar a parte fracionária, assim adotam-se duas formas de solucionar essa 
situação: a primeira solução é a adotamos no capítulo 3 de capitalização composta, a partir de agora 
chamaremos essa modalidade de capitalização de capitalização composta pela convenção exponencial. 
Nesta modalidade de capitalização temos o juro composto para a parte inteira e para a parte fracionária. 
Essa é a solução mais adotada na prática. A fórmula para o cálculo do montante nesta situação é: 
 





 k
m
n
iPVFV )1( 
Onde n representa a parte inteira do prazo e 
k
m
representa a parte fracionária do prazo. 
 
A calculadora HP12 executa normalmente o cálculo com prazo de períodos fracionado de tempo. Mas é 
importante observar que no display da calculadora deve será indicado um “C” no canto inferior direito. Esse “C” 
indica que a programação da calculadora realiza o cálculo pelo método da convenção exponencial – parte inteira 
e fracionária – a juros compostos. Quando no display não é exibido “C” , a calculadora executará o cálculo pelo 
método da convenção linear, nesta modalidade a parte inteira é capitalizada a juros compostos e a parte 
fracionária será capitalizada a juros simples. O que ocasionará um valor diferente e maior que o valor da 
convenção exponencial. Para ativar e desativa o ”C” pressione as teclas <STO> <EEX>. 
 A convenção linear é usada para calcular o saldo devedor de conta corrente e a convenção exponencial é o 
método usado mais largamente. 
 
Exemplo 1: Seja um capital de $25.000,00 emprestado à taxa de 18%a.a, pelo prazo de 4 anos e 9 meses. 
Calcular o montante pela convenção exponencial. 
PV=$25.000,00 
i =18%aa 
n = 4 anos 
k
m
= 9 meses=
 
 
 
 
FV= ? 
  k
m
n
iPVFV

 1
 
  12
9
4
18,0125000

FV
 
    75,0418,125000
 
=
  75,418,125000
 
1950253222,225000
 
 
Na HP 
 
1 <enter> 0.18<+> 
4 <enter> 
9<enter>12<÷><+> 
<y
x
> 
25000 <x> 
 
 
 
Resolvendo na HP12 
Teclas Visor Observação 
<f><REG> 0 Limpa os registradores 
<STO> <EEX> 0 c Introduz “c” no visor 
25000 <CHS> <PV> - 25000 c Insere o valor presente 
18<i> 18 c Insere a taxa anual 
4<enter> 9<enter>12<÷> <+> <n> 4,75 c Insere o prazo 
<FV> 54.875,63 c Valor do montante 
Contudo temos uma segunda modalidade de convenção para solucionar esse tipo de situação de prazo 
de capitalização diferente de um número inteiro. Essa segunda modalidade chamaremos de capitalização 
composta pela convenção linear. Nesta alternativa temos o cálculo do juro composto para a parte inteira e sobre 
2 
 
esse montante calculamos o juro simples para a parte fracionária do prazo. Essa é a solução menos adotada na 
prática. 
No exemplo acima em que o prazo é de prazo de 4 anos e 9 meses onde deduzimos que são 4 anos e 
0,75 ano teremos a capitalização composta dos 4 anos através da fórmula: 
 niPVFV  1
 
 418,0125000 FV
 
93877776,125000FV
 
44,469.48FV
 
 Agora na segunda etapa usamos o valor futuro calculado na capitalização composta como o capital a 
ser remunerado na capitalização simples, ou seja, calculamos a capitalização simples de 18%a.a para o prazo 
de 0,75 ano usando C=$48.469,44, ou seja: 
81,012.55
)135,1(44,469.48
)135,01(44,469.48
)18,075,01(44,469.48
)1(





M
M
M
M
niCM
 
 Mas podemos incorporar as duas fórmulas dizendo que na parte inteira capitalizamos pelo juro 
composto o prazo n obtendo: 
 
Esse valor futuro será o capital na capitalização simples da parte fracionário do prazo que 
representaremos por 
 
 
 , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, calcular o montante pela convenção linear um capital de $25.000,00 emprestado à taxa de 
18%aa, pelo prazo de 4 anos e 9 meses pode ser determinado diretamente por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que para a convenção exponencial o valor futuro da aplicação no prazo de 4,75 anos a taxa 
de 18%a.a. gerou um valor futuro de e pela convenção linear o valor futuro neste prazo é de 
 . Ou seja, na convenção linear temos uma remuneração maior para esse prazo, no caso o juros na 
exponencial é de e na linear o juros é de 
 
Resolvendo na HP12 
Teclas Visor 
<f><REG> 0 Limpa os registradores 
25000 <CHS> <PV> -25000 Insere o valor presente 
18<i> 18 Insere a taxa anual 
4<enter> 9<enter>12<÷> <+> <n> 4,75 Insere o prazo 
<FV> 55.012,82 Valor do montante 
Observe que para que a convenção linear seja calculada no lado direito visor abaixo dos algarismos 
não pode estar aparecendo a letra “C” 
3 
 
Por exemplo, no exemplo acima m=3 e k=12. Pois m e k devem estar descritos na mesma unidade de 
tempo, sendo que k deve ser a equivalência entre o período usado na descrição da taxa i. Assim, no exemplo 
k=12, pois a taxa é de 5%a.a., portanto 1 ano é equivalente a 12 meses, sendo que k corresponde a fração de 
ano descrito em meses que não completa mais um ano inteiro. 
Observe que para que a convenção linear seja calculada no lado direito do visor, abaixo dos algarismos não 
pode estar aparecendo a letra “C” . 
 
 
Exemplo 2: Pedro fez uma aplicação de $3.500,00 por 19 meses à taxa de 15%a.a.. Determinar o montante 
recebido, utilizando as convenções linear e exponencial. 
Prazo de remuneração = 19 meses = 
 
 
 assim e 
 
 
 
 
Convenção linear: $4.377,19 Convenção exponencial: $4.366,90 
 
Exemplo 3: Marcos aplicou $3.500,00 numa instituição financeira pelo prazo de 216 dias, a uma taxa de 32% 
a.a. pela convenção exponencial e linear. Calcule o valor do resgate nas duas modalidades. 
Resposta: 
Prazo de remuneração = 216 dias = 
 
 
 assim e 
 
 
 
 
 Linear $4.172,00 Exponencial $4.134,399 que arredondando temos $4.134,40. 
 
Observação A calculadora HP 12 tem a função calendário exato com os anos de 365 dias contanto bissextos e 
meses de 28,29,30 e 31 dias. 
 
Teclas Visor Observação 
<g> <DMY> 0 DMY c Estabelece o formato de digitação da data dia/mês/ano 
8,032000 <ENTER> 8,03 DMY c Data da aplicação 
14,062000 <ENTER> 14,062000 DMY c Data do resgate 
<g> <ΔDYS> 98 DMY c Número de dias entre as duas datas 
Resposta da HP usa 365 dias no ano. Caso use o ano 
comercial de 360 dias então teremos 96 dias. 
 
 
Exemplo 4: Paulo aplicou, em uma instituição financeira, a importância de $2.500,00 por 4 meses e 24 dias à 
taxa de 3,25%a.m. Calcular o valor de resgate pelas convenções linear e exponencial. 
Resposta: prazo = 4 meses e 24 dias =
8,48,04
30
24
4 
 portanto e 
 
 
 
Convenção linear: $2.915,06 exponencial: $2.914,82 
Consideraçõesa respeito do uso da calculadora hp12c: A sequência das teclas [STO] [EEX] exibirá no visor a 
letra “C”, a qual identifica a configuração de funcionamento das funções onde ocorre a convenção exponencial 
durante os cálculos. Caso você deseja que a calculadora funcione na convenção linear pressione novamente a 
sequência das teclas [STO] [EEX] para que “C” desapareça do visor.