Avaliação 1 sexta

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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Nota
Cálculo I - 1a Avaliação - 14 de julho de 2017
Aluno(a):
Professor(a): Turma:
• NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA.
• JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS.
1. (2 pontos) Seja f (x) = x2 + 10 sen(x). Mostre que existe c tal que f (c) = 1000.
SOLUÇÃO: Observe que f é uma função contínua em R, pois é soma da função
polinomial x2 com a função trigonométrica sen x. Como
• f (0) = 02 + sen(0) = 0 < 1000 e
• f (100pi) = (100pi)2 + sen(100pi) = 10000pi2 + 0 > 1000.
Temos pelo Teorema do Valor Intermediário com N = 1000 que existe c entre 0 e 100pi
tal que f (c) = 1000.
2. Calcule os seguintes limites, caso existam:
a) (1 ponto) L = lim
x→4
x− 4
x2 − x− 12.
SOLUÇÃO: Observe que f (x) =
x− 4
x2 − x− 12 é uma função racional com domínio
D( f ) = R \ {−3, 4}, logo não podemos usar substituição direta. Contudo, fatorando
o polinômio de grau 2 no denominador temos que
L = lim
x→4
x− 4
x2 − x− 12
= lim
x→4
���x− 4
���
�(x− 4)(x+ 3)
= lim
x→4
1
x+ 3
=
1
4+ 3
=
1
7
b) (1 ponto) L = lim
x→1
√
x− 1
x− 1 .
SOLUÇÃO: Observe que f (x) =
√
x− 1
x− 1 é uma função contínua em seu domínio,
entretanto não podemos usar substituição direta pois 1 6∈ D( f ). Porém, racionalizando
o numerador da função obtemos que
L = lim
x→1
√
x− 1
x− 1
= lim
x→1
√
x− 1
x− 1 ·
√
x+ 1√
x+ 1
= lim
x→1
(
√
x)2 − 12
(x− 1)(√x+ 1)
= lim
x→1
���x− 1
���
�(x− 1)(√x+ 1)
= lim
x→1
1√
x+ 1
=
1√
1+ 1
=
1
2
3. (2 pontos) Determine os valores de a de modo que a função f (x) =
 cos(x) + a , x ≤ 0a2 − 2a+ x2 + 3
x+ 1
, x > 0
seja contínua em x0 = 0.
SOLUÇÃO: Para que a função f seja contínua em x0 = 0 devemos ter que f (0) =
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0+
f (x). Note que
i. valor da função em x0 = 0:
f (0) = cos(0) + a = 1+ a;
ii. limite à esquerda:
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
[cos(x) + a] = cos(0) + a = 1+ a;
iii. limite à direita:
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
a2 − 2a+ x2 + 3
x+ 1
=
a2 − 2a+ 02 + 3
0+ 1
= a2 − 2a+ 3.
Logo devemos ter, 1+ a = a2 − 2a+ 3 assim a2 − 3a+ 2 = 0, donde obtemos que a = 1
ou a = 2.
4. (2 pontos) Seja s = f (t) = t3 − t a função posição de uma partícula t medido em
segundos e s em metros. Encontre a velocidade da partícula, usando a definição de
derivada, quando t = 3s.
SOLUÇÃO: Da definição de derivada (velocidade instantânea) temos que a velocidade
quando t = 3 é
v(3) = lim
h→0
f (3+ h)− f (3)
h
= lim
h→0
[(3+ h)3 − (�3+ h)]− (33 − �3)
h
= lim
h→0
(��33 + 3 · 32 · h+ 3 · 3 · h2 + h3)− h−��33
h
= lim
h→0
26h+ 9h2 + h3
h
= lim
h→0
(26+ 9h+ h2)
= 26+ 9 · 0+ 02
= 26m/s.
5. (2 pontos) Determine, caso existam, as assíntotas do gráfico da função f (x) =
x3 − 2
x3 − 1.
SOLUÇÃO: A função f (x) =
x3 − 2
x3 − 1 é uma função racional, e assim contínua em seu
domínio D( f ) = {x ∈ R : x3 − 1 6= 0} = {x ∈ R : x 6= 1} = (−∞, 1) ∪ (1,+∞). Assim
a possível assíntota vertical ocorre no valor de descontinuidade x0 = 1. Calculando os
limites laterais temos:
• observe que lim
x→1−
(x3 − 2) = 13 − 2 = −1, enquanto lim
x→1−
(x3 − 1) = 0−. Logo
lim
x→1−
x3 − 2
x3 − 1 = +∞;
• analogamente, lim
x→1+
(x3 − 2) = 13 − 2 = −1, enquanto lim
x→1+
(x3 − 1) = 0+. Logo
lim
x→1+
x3 − 2
x3 − 1 = −∞.
Portanto, a reta x = 1 é uma assíntota vertical. Para determinar as assíntotas horizontais
precisamos calcular os limites no infinito:
lim
x→−∞
x3 − 2
x3 − 1 = limx→−∞
��x3(1− 2x3 )
��x3(1− 1x3 )
= lim
x→−∞
1−
�
��7
0
2
x3
1−
�
���
0
1
x3
=
1− 0
1− 0 = 1;
analogamente,
lim
x→+∞
x3 − 2
x3 − 1 = limx→+∞
��x3(1− 2x3 )
��x3(1− 1x3 )
= lim
x→+∞
1−
�
��7
0
2
x3
1−
�
���
0
1
x3
=
1− 0
1− 0 = 1.
Portanto, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal.
BOA PROVA!