P2 2015 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Francesco Noseda, Luiz
Carlos Guimarães, Mário de Oliveira, Milton Ra-
mirez, Paulo Goldfeld e Nilson Roberty
Data: 14 de Maio de 2015
Segunda Prova
1. Calcule a soma dos MÓDULOS dos autovalores da
matriz
A =

3 2 0 0
−4 −3 0 0
0 0 −7 −5
0 0 10 8
 .
(a) 7
(b) 9
(c) 5
(d) 3
(e) Não sei.
2. Sejam A e B matrizes 2 × 2. Considere as seguintes
afirmativas:
I. Se A não tem autovetores, então AB não tem au-
tovetores
II. Mesmo que A tenha apenas uma direção de auto-
vetores, AB pode ter duas direções distintas de auto-
vetores
(a) I é falsa e II é verdadeira
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é verdadeira e II é falsa
(d) Ambas são falsas
(e) Não sei.
3. Os autovalores da matriz
�−3 −2
−2 −3
�
são:
(a) −1,−5
(b) −1, 6
(c) −5, 6
(d) −6,−5
(e) Não sei.
4. Seja A uma matriz quadrada. Considere as afirmati-
vas abaixo:
(I) Se a soma dos elementos de cada linha de A é igual
a uma constante k, então k é um autovalor de A
(II) Se a soma dos elementos de cada coluna de A é
igual a uma constante k, então k é um autovalor de
A
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) I é verdadeira e II é falsa
(e) Não sei.
5. Seja A uma matriz quadrada, n × n. Considere as
afirmativas abaixo:
(I) Se A é injetiva, então o sistema A�x = �b sempre
tem mais de uma solução
(II) Se A é sobrejetiva, então o sistema A�x = �b sempre
tem solução única.
(a) Ambas são falsas
(b) I é verdadeira e II é falsa
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são verdadeiras
(e) Não sei.
6. Sejam {v1,v2,v3} um subconjunto LI de R4, e
T : R4 → Rk uma transformação linear. Diga se as
afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
(I) Se {T (v1), T (v2), T (v3)} é LI então podemos
concluir que T é injetiva.
(II) Se {T (v1), T (v2), T (v3)} é LD então podemos
concluir que a dimensão da imagem de T é no
máximo 2.
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são falsas
(e) Não sei.
7. (Questão Extra) João viverá exatamente 70 anos
e durante toda a sua vida ou ele estará alegre, ou
estará triste. Se estiver alegre num dia, então há três
chances em cinco dele estar alegre no dia seguinte.
Porém, se ele estiver triste, poderá igualmente estar
triste ou alegre no dia seguinte. Qual a probabilidade
aproximada de João estar alegre no dia em que ele
partir desta para melhor?
(a) 35
(b) 47
(c) 59
(d) 711
(e) Não sei.
8. Os autovalores da matriz A =
�
12
5
1
5
6
5
13
5
�
são 3 e 2. Seja S = {�v1,�v2, ...} uma sequência de ve-
tores, onde �vk é a primeira coluna da matriz Ak. A
inclinação dos vetores da sequência S tende à inclina-
ção de uma reta. Qual?
(a) t(1,−2)
(b) t(1,−3)
(c) t(1, 3)
(d) t(1, 4)
(e) Não sei.
Nome: Teste 587, pág. 1
9. Seja T : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em relação
a uma reta. Sabendo-se que v = (1, 2) é um autovetor
associado ao autovalor 1, T (x, y) é dada por:
(a) T (x, y) = (−3x+ 4 y, 4x+ 3 y)
(b) T (x, y) = (x5 +
2 y
5 ,− 2 x5 + y5 )
(c) T (x, y) = (− 3 x5 + 4 y5 , 4 x5 + 3 y5 )
(d) T (x, y) = (x,−y)
(e) Não sei.
10. Seja A uma matriz m × n. Considere as afirmativas
abaixo:
(I) A pode ser sobrejetiva somente se n ≥ m
(II) A pode ser injetiva somente se m ≥ n
(a) Ambas são falsas
(b) I é verdadeira e II é falsa
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são verdadeiras
(e) Não sei.
11. Seja A, 3×3 e �v, não nulo, tal que A�v = �0. Considere
as afirmativas abaixo:
(I) Existe �w, não nulo, tal que AT �w = �0
(II) Existem {�v1, �v2, �v3} tal que {AT �v1, AT �v2, AT �v3}
é um conjunto LI
(a) I é falsa e II é verdadeira
(b) I é verdadeira e II é falsa
(c) Ambas são falsas
(d) Ambas são verdadeiras
(e) Não sei.
12. Seja A uma matriz 2x2 e �v um vetor não-nulo qual-
quer. Considere as afirmativas abaixo e assinale a
alternativa CORRETA:
I - Se o traço de A é menor que zero, então
limk→∞Ak�v sempre vai existir
II - Se o determinante de A é maior que zero,
então limk→∞Ak�v sempre vai existir
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é verdadeira e II é falsa
(d) I é falsa e II é verdadeira
(e) Não sei.
13. Assinale a transformação linear, T : R2 → R2, resul-
tante da reflexão ortogonal através da reta y = 2x se-
guida da reflexão ortogonal através da reta y = −3x:
(a) T (x, y) = (− 4 x5 − 3 y5 ,− 3 x5 + 4 y5 )
(b) T (x, y) = (y,−x)
(c) T (x, y) = (− 3 x5 + 4 y5 , 4 x5 + 3 y5 )
(d) T (x, y) = (−y, x)
(e) Não sei.
14. A matriz A =
5 0 10 2 0
1 0 5
 possui os autovalores
2, 4, 6. Os autovetores de A associados ao seu maior
autovalor são da forma:
(a) t(0, 1, 0), t �= 0.
(b) t(1, 0,−1), t �= 0.
(c) t(0, 2, 0), t �= 0.
(d) t(2, 0, 2), t �= 0.
(e) Não sei.
15. Sejam A ∈Mn×n uma matriz quadrada e v ∈ Rn um
autovetor de A associado ao autovalor λ = 3. Diga
se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
(I) O vetor v é um autovetor de 2A associado ao
autovalor 6.
(II) O vetor 2v é um autovetor de A associado ao
autovalor 6.
(a) Ambas são verdadeiras
(b) Ambas são falsas
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) I é verdadeira e II é falsa
(e) Não sei.
16. Considere a transformação linear T : R2 → R2, tal
que existe um vetor �v, não-nulo, onde T�v = �v. Se o
determinante da matriz de T for igual a 0, então:
(a) T é uma reflexão pela reta definida por �v
(b) T é uma expansão
(c) T é uma projeção na reta definida por �v
(d) T é uma rotação
(e) Não sei.
Nome: Teste 587, pág. 2
 1 A
 2 A
 3 A
 4 B
 5 C
 6 D
 7 C
 8 C
 9 C
10 D 
11 B 
12 A 
13 D 
14 D 
15 D 
16 C