P1 Aula 1 TCQ revisão estatística

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1 
UFF 
Eng. de Produção 
 
Revisão de Estatística 
 
Níveis de Mensuração das Variáveis 
Escala nominal (QUALITATIVA) 
Os indivíduos são classificados em categorias segundo uma 
característica. Ex: 
•  sexo (masculino, feminino), 
•  Setor da empresa (produção, montagem, financeiro, CQ, etc) 
•  Pessoal (próprio, terceirizado) 
Não existe ordem entre as categorias e suas representações, 
se numéricas, são destituídas de significado numérico. 
Ex: sexo masculino=1, sexo feminino = 2. Os valores 1 e 2 são 
apenas rótulos. 
Escala ordinal (QUALITATIVA) 
Os indivíduos são classificados em categorias que possuem algum 
tipo de ordem inerente. 
Neste caso, uma categoria pode ser "maior" ou "menor" do que 
outra. 
Ex: classificação de fornecedores (A a E onde E é a pior 
classificação de excluído); 
Embora exista ordem entre as categorias, a diferença entre 
categorias adjacentes não tem o mesmo significado em toda a 
escala. 
Níveis de Mensuração das Variáveis 
Níveis de Mensuração das Variáveis 
Nível intervalar (quantitativo/intervalar) 
Nos indica a distância exata entre as categorias. 
Pode ser uma escala discreta ou contínua. 
Escala discreta: 
Existe um número finito de valores possíveis entre dois valores quaisquer. 
Ex: nota em prova objetiva, número de NC em um lote de produtos. 
Escala contínua: 
Existe um número infinito de valores possíveis entre dois valores 
quaisquer. 
Ex: tempo de vida , peso (g), altura (cm), pressão arterial (mmHg). 
Dados Quantitativos 
Histogramas 
Distribuição de dados de Variáveis 
Quantitativas: HISTOGRAMA 
R = Maior valor – Menor valor 
1. Tabule os dados disponíveis. 
2. Verifique o número de dados 
disponíveis, contando-os (n). 
3. Determine a amplitude R dos 
dados. 
 
4.  Divida R em um número de classes 
 pela regra de Sturges (k = 1 + 3,222 x log n) 
ou pela tabela 
5.  Largura aprox. da classe = R/(nº de classes) 
 Pode ser arredondado para um número mais conveniente 
HISTOGRAMA 
Exemplo: 
•  R = 33 – 12 = 21 
•  Número de intervalos para n=20 => 5 
•  Largura aproximada da classe = 21/5 = 4,2 => 5 
•  Limites de classe (opção) (10 – 14) a (30 – 34) 
12 14 19 18
15 15 18 17
20 27 22 23
22 21 33 28
14 18 16 13
TABELA 2.2 TEMPO EM DIAS DE AUDITORIA DE SMS
TABELA 2.3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA DOS TEMPOS DE AUDITORIA
Tempo de 
auditoria 
(dias)
Freqüência
.10 |-| 14 4
15 |-| 19 8
20 |-| 24 5
25 |-| 29 2
30 |-| 34 1
Total 20
Em algumas situações usa-se o ponto médio entre os limites 
de classe. Neste caso: 12, 17, 22, 27 e 32. 
12
17
22
27
32
Tempo de 
auditoria 
(dias)
Freqüência
12 4
17 8
22 5
27 2
32 1
Total 20
 12 17 22 27 32 
FREQ. 
4 
8
5 
2 1 
Tempo de Auditoria em dias (ponto médio) 
10	
5	
10|-|14 15|-|19 20|-|24 25|-|29 30|-|34 
11 
Medidas de Variabilidade 
 
Variância, Desvio-padrão 
12 
VARIÂNCIA (σ2 ou s2) 
•  É a medida de variabilidade que utiliza todos os dados. 
•  É a média do quadrado das diferenças dos indivíduos em 
relação à média da população envolvida. 
Aluno Média
Antônio 10 10 5 0 0 5
Notas
Dispersão = (10-5) + (10-5) + (5-5) + (0-5) + (0-5) = 
 5 + 5 + 0 + (-5) + (-5) = 0 
Logo, eleva-se ao quadrado a 
diferença para eliminar os 
valores negativos 
VariânciaAntônio:….[52 + 52 +02 +(-5)2 +(-5)2 ]/4= 25 
1
)(
2
2
−
−
= ∑
n
xxs i
13 
Variância de uma amostra (s2) 
Geralmente, entretanto, lidamos com amostras e não com o 
universo completo de indivíduos. 
Assim a definição de variância para amostra deve levar em 
consideração os graus de liberdade e como para a Variância 
usamos uma outra estatística (a Média), perdemos um grau de 
liberdade, logo: 
1
)(
2
2
−
−
= ∑
n
xxs i
A Variância do Universo é 
definida por: N
ix
2)(2 ∑ −= µσ
14 
A desvantagem da variância: 
 
Apresenta uma medida da dispersão em 
que é o quadrado da unidade da variável 
estudada. 
Ex: Estatura das pessoas em metros (m) 
 Variância em metros quadrados (m2). 
15 
DESVIO-PADRÃO 
Para evitar diferenças de unidade usa-se a raiz quadrada 
da variância que é chamada de DESVIO-PADRÃO, 
assim as unidades da variável da dispersão ficam iguais. 
( )
1
2
−
−
= ∑
n
xx
s i
16 
MEDIDAS DE POSIÇÃO RELATIVA 
•  Onde z é a distância de xi à média em desvios-padrão 
•  Se zi = 2, então xi está a 2s da média 
s
xxz i −=
• Em uma distribuição podemos usar a média e o desvio 
padrão para encontrarmos a posição de um indivíduo i em 
relação ao ponto central da distribuição. 
• Podemos comparar esta distância com o desvio-padrão, 
assim: 
x- Distância de xi à média = (xi - ) 
• Comparando com s temos: 
INTRODUÇÃO	À	
PROBABILIDADE	
Prof. Fernando Toledo Ferraz 
PROBABILIDADE 
•  Probabilidade	é	a	medida	numérica	da	possibilidade	de	
ocorrência	de	um	evento.	
•  O	valor	de	uma	Probabilidade	será	sempre	entre	0	e	1.	
•  Uma	Probabilidade	próxima	a	0	indica	um	evento	com	
poucas	ou	quase	nenhuma	esperança	de	ocorrer.	
•  Uma	Probabilidade	próxima	de	1	indica	um	evento	
muito	possível	de	ocorrer.		
•  Uma	Probabilidade	de	0,5	indica	um	evento	em	que	é	
tão	esperada	sua	ocorrência	como	sua	não	ocorrência.	
Experimento, espaço amostral e ponto 
amostral 
•  Um experimento é um processo que gera 
resultados bem definidos. 
 
•  O espaço amostral de um experimento é o 
conjunto de resultados experimentais. 
 
•  Um ponto amostral é um elemento de um 
espaço amostral, qualquer um resultado 
experimental particular. 
EXEMPLO 
Um investidor investe em duas empresas (X e Y) 
e considera que seus rendimentos em 3 meses 
podem ser os seguintes em função da evolução 
dos cenários: 
30	
5	
0	
-10	
PERDAS	E	GANHOS	EM	3	MESES	(x	R$	1.000,00)	
	 	 	 	Empresa	X	 		 	 	Empresa	Y	
15	
5	
0	
REGRAS DE CONTAGEM 
•  Consideremos as letras A, B e C, de quantas 
maneiras podem ser arrumadas? 
ABC, BAC, BCA, ACB, CAB, CBA ou 
Ax1x2	
x1Ax2	
x1x2A	
By	
yB	
C	
A	variando	de	posição	
Pode	assumir	3	posições	
B	variando	de	posição	
Pode	assumir	2	posições	
C	variando	de	posição	
Pode	assumir	1	posição	
Poderíamos	formar	
3x2x1	arranjos	
diferentes	
Etapa	1	 Etapa	2	 Etapa	3	
REGRA	DE	CONTAGEM	PARA	MÚLTIPLAS	ETAPAS	
(1,2...i)	
N	=	n1.n2.	...	.ni,					onde	:	
N=	número	total	de	possibilidades	em	todas	as	etapas	
n1=	número	de	possibilidades	para	etapa	1	
n2=	número	de	possibilidades	para	etapa	2	
...	
ni=	número	de	possibilidades	para	etapa	i	
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
O número de arranjos possíveis, portanto, seria: 
3x2x1 = 6 
Para n objetos teríamos 
n . (n-1) . (n-2)..... 2 . 1 = n! 
Caso quiséssemos arranjar um grupo de letras de uma 
palavra onde houvesse r letras repetidas como CARRO 
(5 letras com 2 repetições), teríamos que dividir o total 
pelas possibilidade de arranjo das letras repetidas (r!): 
P5(2)= 5!/2!=(5 . 4 . 3 . 2. 1)/(2 .1) = 
60 possibilidades 
Obs:	A	permutação	é	um	caso	parXcular	de	experimento	de	múlXpla	etapa	onde	
cada	etapa	tem	1	possibilidade	a	menos	que	a	anterior.	
ARRANJO SIMPLES 
Arranjos simples de N elementos p a p 
são agrupamentos de p elementos 
distintos tomados de um conjunto de N 
que se diferenciam pela natureza ou 
ordem dos elementos. 
 
Por exemplo, com os elementos de 
A = {a, b, c} 
podemos formar os arranjos dois a dois: 
ab, ba, ac, ca, bc, cb. 
Ou: A(3,2)=3.2.1/(3-2)!=6/1 
De	um	modo	geral:AN,p=N!/(N-p)!	
COMBINAÇÕES 
Combinações simples dos elementos de um 
conjunto tomados p a p são agrupamentos de p 
elementos de A, que se diferenciam apenas pelanatureza de seus elementos. 
 
As combinações simples dos elementos de {a, b, c} 
tomados 2 a 2 são: ab, ac e bc. 
ab ≡ ba, ac ≡ ca, cb ≡ bc 
Assim: 3
)1.(1.2
1.2.3
)!23(!2
!33
2 ==−
=C
De	um	modo	geral:	
)!(!
!
nNn
NCNn −
=
Um auditor tem 50 relatórios para auditar. 
Decide tomar 4 ao acaso. Quantas 
possibilidades ele teria de combinar os 50 
relatórios em grupos de 4? 
A	ordem	dos	relatórios	não	importa,	isto	
é:	R13, R25, R44 e R48 ≡ R44, R48, R25 e R13	
ARRANJOS	E	COMBINAÇÕES	
LOGO:	
230300
)!46!.(4
!46.47.48.49.50
)!450(!4
!5050
4 ==−
=C
Um pesquisador identificou 9 variáveis importantes para seu 
tema. Ele busca relações entre variáveis de 2 a 2. Quantas 
possibilidades de experimentos ele tem caso considere a 
definição de variável dependente e independente importante 
para a metodologia e quantas caso isto não seja relevante? 
a) Se definição de var. depend/independente importa 
=> Arranjo Simples 
b) Se NÃO importa => Combinação 
LOGO:	
36	
)	!	7	!.(	2	
!	7	.	8	.	9	
)!	2	9	(	!	2	
!	9			)	 9	2	 =	=	-	
=	C	b	
72	
)	!	7	(	
!	7	.	8	.	9	
)!	2	9	(	
!	9			)	 9	2	 =	=	-	
=	A	a	
EXERCÍCIO 
Quantos	resultados	são	
possíveis	para	o	experimento		
Lançar	um	dado,	jogar	uma	
moeda	e	reXrar	um	naipe	de	
um	baralho?	
•  Um	evento	é	uma	coleção	de	pontos	
amostrais.	
•  A	probabilidade	de	qualquer	evento	é	igual	
à	soma	das	probabilidades	dos	pontos	
amostrais	do	evento.	
Eventos	e	suas	Probabilidades	
EXEMPLO 
Qual o evento do investidor ter lucro? (i.e. um 
resultado >0) 
30	
5	
0	
-10	
	 	PERDAS	E	GANHOS	EM	3	MESES	(x	R$	1.000,00)	
	 	 	 	Empresa	X	 	 	 	Empresa	Y	
15	
5	
0	
30,15 5,15 0,15 -10,15 
30,5 5,5 0,5 -10,5 
30,0 5,0 0,0 -10,0 
30,15 5,15 0,15 -10,15 
30,5 5,5 0,5 -10,5 
30,0 5,0 0,0 -10,0 
Atribuição	de	Probabilidades	a	
resultados	experimentais	
•  Método	Clássico	
	A	atribuição	de	probabilidades	é	feita	a	parXr	da	
premissa	de	que	todos	os	resultados	têm	a	
mesma	chance	de	ocorrência.	(dados	ou	cartas)	
•  Método	da	Freqüência	RelaXva	
	A	probabilidade	é	atribuída	em	função	de	dados	
históricos	disponíveis.	(vendas	ou	acidentes)	
•  Método	SubjeXvo	
	A	atribuição	de	probabilidades	é	feita	a	parXr	da	
experiência	ou	intuição.	(cenários	políXcos)	
Considere que um analista experiente atribuiu as probabi-
lidades (método subjetivo) abaixo para os resultados da sua 
carteira de investimento. Dado isto, qual a probabilidade do 
evento lucro maior que R$ 10.000,00 na sua carteira? 
				Resultado	(xR$1.000,00)									Lucro/Perda										Probabilidade	
	 					(30,15) 										 	 	$45,000 	Lucro 										.10	
	 					(30,	5)																		 	$35,000 	Lucro 										.10	
	 					(30,	0)									 										 	$30,000 	Lucro 										.10	
	 					(5,	15)																		 	$20,000 	Lucro 										.05	
	 					(5,	5)	 										 	 	$10,000 	Lucro 										.05	
	 					(5,	0)				 												 	 	$5,000	 	Lucro	 										.05	
	 					(0,	15)		 										 	 	$15,000 	Lucro 										.05	
	 					(0,	5)	 												 	 	$5,000	 	Lucro 										.10	
	 					(0,	0)	 										 						 	$0 					 	 	 	- 										.20	
	 					(-10,	15)	 											 	$5,000	 	Lucro	 										.05	
	 					(-10,	5)	 									 	 	($5,000)	 	Perda	 										.05	
	 					(-10,	0)	 								 	 	($10,000) 	Perda	 										.10 		
RESP.:	
40%	
Complemento	de	um	Evento	
•  O	complemento	de	um	evento	A	é	definido	
como	o	evento	composto	de	todos	os	
pontos	amostrais	que	não	pertencem	a	A.	
•  	O	complemento	de	A	é	denotado	por	Ac.	
•  O	Diagrama	de	Venn	abaixo	ilustra	o	
conceito	de	complemento.	
Ac Evento A 
•  A	união	de	dois	eventos	A	e	B	é	o	evento	
que	contém	todos	os	pontos	amostrais	de	
A	e	todos	os	pontos	amostrais	de	B.	
•  A	união	é	denotada	por	A	∪ B.
•  A	união	de	A	e	B	é	representada	abaixo.	
União	de	Dois	Eventos	
Espaço 
Amostral S 
Evento A Evento B 
Interseção	de	dois	Eventos	
•  A	interseção	dos	eventos	A	e	B	é	o	conjuntos	de	
todos	os	pontos	amostrais	que	estão	tanto	em		
A	como	em	B.
•  A	interseção	é	denotada	por	A	∩ Β.
•  A	interseção	de	A	e	B	é	a	área	da	sobreposição	
na	figura	abaixo.	
Espaço Amostral S 
Evento A Evento B 
interseção 
EVENTOS EXAUSTIVOS 
P(azul)	 	=	3/9	
P(verm.)		 	=	2/9	
P(verde) 	=	2/9	
P(laranja) 	=	1/9	
P(lilás) 	=	1/9	
Se	P(A∪B)	=	1,	então	A	e	B	são	exaus`vos	ou	se	
P(A∪B∪C∪D)=1	,	então	A,	B,	C	e	D	são	exaus`vos		
∑Pi = 1	
P	(azul	ou	verm.	ou	verde	ou	laranja	ou	lilás)	=	1	
P(todos)	=	1		
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
Qual	a	probabilidade	de	um	Mineiro	com	Pais	Belgas?	
P(Mineiro	e	P.Belgas)	=	0	(zero)	
	
Evento	MINEIROS	e	evento	PAIS	BELGAS	são	MUTUAMENTE	
EXCLUSIVOS,	
Cariocas	 Pais	Japoneses	
Comunidade	
Mineiros	
João	
Joaquina	
Maria	
Carlos	
José	
Takashi	
Pedro	
Pais	Belgas	
Hans	
pois	M∩PB	é	vazio	e	P(M∩PB)	=	0	
LEI DA ADIÇÃO 
É	úXl	quando	queremos	calcular	a	
probabilidade	de	acontecer	um	
evento	ou	outro.	
Se	quisermos	saber	a	probabilidade	de	
Xrarmos	um	elemento	do	conjunto	A	
ou	um	do	conjunto	B	temos	a	UNIÃO	
de	dois	conjuntos:	A ∪ B 
A	
B	
A∩B	
SOMA DE PROBABILIDADES 
Qual	a	probabilidade	de	um	membro	ser	Mineiro	ou	ter	Pais	
Japoneses?	
Cariocas	 PJ	=	Pais	
Japoneses	
Comunidade	
M	=	Mineiros	
João	
Joaquina	
Maria	
Carlos	
José	
Takashi	
Pedro	
Pais	Belgas	
Hans	
Contei	Carlos	duas	vezes!!!	
N	=	8	
Carlos	é	{M	∩ PJ}	
P(M	ou	PJ)	=	P(M	∪	PJ)	=	P	(M)	+	P(PJ)	=	3/8+3/8	=	6/8	=	¾	P(M	ou	PJ)	=	P(M	∪	PJ)	=	P	(M)	+	P(PJ)	=	3/8+3/8	=	6/8	=	¾	
Mas	não	são	5	mineiros	ou	com	pais	japoneses???????	
Carlos	
LEI DA ADIÇÃO 
Se	queremos	calcular	P	(A ∪ B),	
portanto,	temos	que	subtrair	a	
interseção	deles.	
Assim:	
A	
B	
A∩B	
P	(AUB)	=	P(A)	+	P(B)	-	P	(A∩B)	
E	no	nosso	exemplo:	
P	(MUPJ)	=	3/8	+	3/8	–	1/8	=	5/8	
CARLOS	
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS 
Para	eventos		MUTUAMENTE	EXCLUSIVOS,	temos:	
P(Mineiros∩Pais	Belgas)	=	0	(ZERO)	e	
P(Mineiros	U	Pais	Belgas)	=	P(M)	+	P(PB)		
Cariocas	 Pais	Japoneses	
Comunidade	
Mineiros	
João	
Joaquina	
Maria	
Carlos	
José	
Takashi	
Pedro	
Pais	Belgas	
Hans	
Se E1 é o evento “extração de uma dama de um 
baralho” e E2 é o da “extração de uma carta de 
copas”, qual a probabilidade de se extrair uma 
dama ou uma carta de copas? 
P(E1	U	E2)	=	P(E1)	+	P(E2)	-	P(E1∩E2)	
=		4/52	+	13/52	–	1/52	=	16/52	=	4/13	
SOMA	DE	PROBABILIDADES	
Alunos	
Um professor descobriu que 5 dos seus 50 alunos 
não faziam as listas de exercícios, que 10 
chegavam sempre atrasados e que 3 não faziam as 
listas nem chegavam na hora. 
Qual a probabilidade de um aluno chegar na hora 
e fazer as listas? 
P(ÑH)	=	0,20	
P(ÑL)	=	0,10	
P(ÑH	∩	ÑL)	=	0,06	
P(H	e	L)	=	1-	P(ÑH	ou	ÑL)	=	1-(0,10	+	0,20	–	0,06)	=	0,76	
ÑL	
ÑH	
ÑL∩ÑH	
Homens (H) Mulheres (M)
Promovidos (P) 288 36 324
Não Promovidos (NP) 672 204 876
960 240 1.200
PROMOÇÕES NA POLÍCIA NOS ÚLTIMOS 2 ANOS
PROBABILIDADE	CONDICIONAL	
Seja:	
P	–	Evento	oficial	promovido	
NP	–	Evento	oficial	não	promovido	(Pc)	
H	–	Evento	oficial	Homem	
M	–	Evento	oficial	Mulher	
P (P∩H) = 288/1200 = 0,24 
P (NP∩H) = 672/1200 = 0,56 
P (P∩M) = 36/1200 = 0,03 
P (NP∩M) = 204/1200 = 0,17 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Qual a probabilidade do oficial ter sido promovido dado 
que ele é homem? 
Homens (H) Mulheres (M)
Promovidos (P) 0,24 0,03 0,27
Não Promovidos (NP) 0,56 0,17 0,73
0,80 0,20 1,00
PROBABILIDADE PARA PROMOÇÕES
Probabilidades	
marginais	
P(P|H)	=	288/960	=	
288 	36 		
672 	204 		
	 	(288/1200)/(960/1200)	=	
=	0,24/0,80	=	P(P∩H)/P(H)	
960									240	
324										
876	
1200	
288960	
Logo: 
 
P (A|B) = P (A∩B) 
 P(B) 
 
P (B|A) = P (A∩B) 
 P(A) 
PROBABILIDADE	CONDICIONAL	
Se tirarmos dois clipes, qual a 
probabilidade dos dois serem azuis? 
•  Se eu recoloco o clipe teremos 3 chances em 9 nas 
duas retiradas (do primeiro e do segundo), logo: 
 P(2 azuis) = P(1 azul) x P (1 azul) = 3/9 x 3/9 
•  Se não recoloco o 1º clipe teremos apenas 2 
chances em 8 se o 1º for azul (que é o que 
queremos calcular), logo: 
 P(2 azuis) = P(1º azul) x P´(1azul) 
 = 3/9 x 2/8 =1/12 
EVENTOS DEPENDENTES E 
INDEPENDENTES 
•  No primeiro caso dizemos que as retiradas 
são EVENTOS INDEPENDENTES. 
 
P(E1 e E2) = P(E1∩E2) = P(E1E2 ) 
 = P(E1) . P(E2) 
No segundo caso são eventos DEPENDENTES 
e precisamos considerar a PROBABILIDADE 
CONDICIONAL, probabilidade de x dado y. 
 P(E1∩E2) = P(E1) . P(E2|E1) ou 
 P(E2|E1) = P(E1∩E2) / P(E1) 
 (lê-se probabilidade de E2 dado E1) 
EVENTOS	DEPENDENTES	E	
INDEPENDENTES