Gaba 2007 05 11 AD1a

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Instituto de Física
UFRJ
Gabarito da Avaliação à Distância de Física 1a
11 de maio de 2007
1. (a) Conhecida a função-movimento da partícula, r = R cos(αt2/2)ux+R sen(αt2/2)uy,
e utilizando as definições de velocidade e aceleração, obtemos
v =
dr
dt
= −Rα t sen
(
αt2
2
)
ux +Rα t cos
(
αt2
2
)
uy (1)
a =
dv
dt
=
[
−Rα sen
(
αt2
2
)
− Rα2 t2 cos
(
αt2
2
)]
ux
+
[
Rα cos
(
αt2
2
)
− Rα2 t2 sen
(
αt2
2
)]
uy (2)
(b) Fazendo t =
√
2pi/α na função-movimento da partícula e nas expressões de sua
velocidade e sua aceleração obtidas no item (a), obtemos
r = −Rux ; v = −R
√
2piαuy ; a = 2 pi Rαux −Rαuy . (3)
(c) Da função-movimento vemos que x = R cos(αt2/2) e y = R sen(αt2/2). Con-
seqüentemente, x2 + y2 = R2, ou seja, a partícula descreve uma circunferência de
raio R e centro na origem (0, 0). Para descobrirmos o sentido de seu movimento,
basta analisarmos a sua velocidade num dado instante do intervalo [0,
√
2pi
α
], por
exemplo em t = 0. Obtemos, nesse caso, v0 = Rα t uˆy. Lembrando que, em t = 0,
a posição da partícula é r0 = −Rux, concluímos que o sentido do movimento nesse
intervalo de tempo é anti-horário. Confira, na figura, as afirmativas anteriores.
R
O X
Y
(d) Usando a expressão para a velocidade v obtida no item (a), temos
|v|2 = R2 α2 t2
[
sen2
(
αt2
2
)
+ cos2
(
αt2
2
)]
= R2 α2 t2. (4)
1
Analogamente, o módulo da aceleração da partícula é dado por
|a|2 = R2 α2 +R2 α4 t4. (5)
Comparando as duas últimas equações, concluímos que
|a| =
√√√√(αR)2 +
( |v|2
R
)2
. (6)
2. (a) Da definição de aceleração, obtemos a velocidade por integração no tempo, isto é,
dv
dt
= a =⇒ v = v0 +
∫ t
0
dt′ a =
∫ t
0
[
αt′
2
ux + (β − γt′)uy
]
. (7)
Usando o fato de que v0 = 0 e efetuando a integral, obtemos
v =
α
3
t3 ux +
(
β t− γ
2
t2
)
uy. (8)
A função-movimento da partícula é encontrada integrando-se uma vez mais no
tempo, ou seja,
dr
dt
= v =⇒ r = r0 +
∫ t
0
dt′ v =
∫ t
0
dt′
[
α
3
t′
3
ux +
(
β t′ − γ
2
t′
2
)
uy
]
. (9)
Como o foguete estava na origem em t = 0, obtemos
r =
α
12
t4 ux +
(
β
2
t2 − γ
6
t3
)
uy. (10)
(b) Quando o foguete atinge sua altura máxima, a componente vertical de sua veloci-
dade se anula. Usando essa condição, podemos encontrar o instante desejado. Da
expressão de vy encontrada no item anterior, obtemos
tmax =
2 β
γ
. (11)
Substituindo esse resultado na expressão da função-movimento da partícula, con-
cluímos que a altura máxima h atingida pelo foguete é dada por
h =
β
2
t2max −
γ
6
t3max =
2
3
β3
γ2
. (12)
(c) O instante em que o foguete retorna à altura zero, designado por tr, é encontrado
igualando a sua coordenada y a zero. Com isso, obtemos
tr = 3
β
γ
. (13)
Para encontrarmos o deslocamento horizontal do foguete no intervalo [0, tr], desig-
nado por ∆xr, basta encontrar o valor de sua coordenada x em tr, o que nos fornece
∆xr =
27
4
α β4
γ4
. (14)
2
3. A segunda lei de Newton nos permite escrever para cada um dos blocos as seguintes
equações
T1 − T2 = m1 ω2R, (15)
T2 = m2 ω
2(2R) , (16)
onde a distância entre a primeira partícula e o centro C é R, a distância entre a segunda e
o centro C é 2R e ω é a freqüência angular comum aos movimentos das duas partículas.
Fazendo a divisão das duas equações anteriores e rearranjando o resultado, obtemos
T1
T2
=
m1 + 2m2
2m2
. (17)
4. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton para o bloco de massa m, temos
F − R = ma, (18)
f1 −mg = 0, (19)
e para o bloco de massa M ,
R− µcN = Ma , (20)
N − f1 −Mg = 0, (21)
onde f1 é o módulo da força de atrito estático entre os dois blocos, µcN é o módulo
da força de atrito cinético entre o bloco de massa M e a superfície horizontal e uti-
lizamos o fato de que não há deslizamento entre os blocos. De (19) e (21), obtemos
o valor de N ,
N = (m+M)g , (22)
que substituído na equação (20), nos leva à equação
R− µc(m+M)g = Ma . (23)
Somando as equações (18) e (23), obtemos
F − µc(m+M)g = (m+M)a =⇒ a = F
(m+M)
− µcg . (24)
Substituindo esse resultado para a aceleração na equação (18) e isolando R, obte-
mos, finalmente,
R =
M
M +m
F + µcmg. (25)
(b) Da equação (19), obtemos a relação f1 = mg. Como o bloco de massa m está na
iminência de deslizar sobre o bloco de mass M , concluímos que f1 está com seu
valor máximo, isto é, f1 = Rµc, o que nos permite escrever
R =
mg
µe
. (26)
(c) Das duas últimas equações eliminamos R e obtemos, então, o menor valor que F
pode ter para que não haja deslizamento entre os blocos. em termos das quantidades
desejadas,
F =
m(M +m)
M
g
µe
(1− µc µe). (27)
3