Aula 13

Prévia do material em texto

Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
%setcounterpage533
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Meta
Apresentar os conceitos de trabalho e energia cinética e o Teorema Trabalho-
Energia Cinética.
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. calcular trabalhos de forças constantes e variáveis;
2. aplicar o Teorema do Trabalho-Energia Cinética em problemas de Di-
nâmica da Partícula.
Introdução
Todos nós temos um conceito intuitivo de energia, mesmo sem estudá-lo
formalmente. Sabemos que há muita energia envolvida em uma colisão entre
dois carros ou em uma explosão, por exemplo. Percebemos isso no nosso
cotidiano, através da transformação de energia potencial gravitacional em
energia de movimento, ocorrida em um simples balanço, que as crianças
usam para brincar, e por meio, também, da energia elétrica que é conseguida a
partir da energia contida em uma quedas d’água, em uma usina hidroelétrica,
ou contida no vento, em uma usina eólica por exemplo.
447 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Figura 13.1: A hidroelétrica transforma energia potencial gravitacional em
energia elétrica.
Grande parte dessa naturalidade com que pensamos em energia é devida
ao fato de que o mundo é movido à base do armazenamento e da transfor-
mação de energia de um tipo em outro.
Existem vários tipos de energia: cinética, potencial gravitacional, po-
tencial elétrica, térmica, nuclear etc.
Figura 13.2: Aparelhos elétricos.
E uma das propriedades importantes
da energia é a possibilidade de um
tipo se transformar em outro. Por
exemplo, a energia elétrica produ-
zida nas usinas é transportada pela
corrente elétrica até as nossas resi-
dências, onde é transformada em ou-
tros tipos de energia, como a ener-
gia cinética nos motores de liquidifi-
cadores, a energia térmica de ferros
elétricos ou a energia luminosa que
emana da tela de um computador.
Para que haja a transformação de um tipo de energia em outro, é
preciso que uma força realize trabalho sobre o sistema. É o trabalho da força
gravitacional que transforma a energia potencial gravitacional em energia
cinética e a energia cinética em energia potencial gravitacional. Assim como
é o trabalho da força elétrica que transforma a energia potencial elétrica em
energia cinética e a energia cinética em energia potencial elétrica. Por sua
vez, é o trabalho da força de atrito que transforma energia cinética em energia
térmica etc.
CEDERJ 448
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Nesta aula, você vai aprender a calcular os trabalhos de forças constan-
tes e variáveis. Demonstraremos o Teorema do Trabalho-Energia Cinética,
que relaciona a variação da energia cinética com o trabalho da força resul-
tante. Você vai verificar que esse teorema aparece naturalmente, quando
tentamos resolver problemas da Dinâmica da Partícula envolvendo forças
dependentes das posições das partículas.
O problema inverso do sistema massa-mola
sem atrito
Vamos mostrar a seguir que a solução do problema inverso do sistema
formado por uma mola de massa desprezível ligada a um bloco que desliza
sobre uma superfície sem atrito não é imediata como nos casos em que a ace-
leração da partícula depende do tempo. Isso ocorre porque a força que atua
no bloco depende da coordenada x(t) deste, que é a função desconhecida do
tempo que desejamos determinar. Essa afirmativa ficará mais clara quando
analisarmos a expressão da aceleração do bloco, a seguir.
Você aprendeu, na Aula 9, que uma mola deformada exerce uma força
sobre um corpo que está ligado a ela. A força puxa ou empurra o corpo para
a posição de equilíbrio da mola, conforme mostrado pela Figura 13.3. Se
a mola é linear e tem massa desprezível, o módulo da força é proporcional
ao módulo da variação do comprimento da mola, isto é, F = k |` − `0|, em
que `0 é o comprimento de equilíbrio da mola e ` é o comprimento da mola
quando ela está deformada (esticada ou comprimida).
Figura 13.3: Sistema massa-mola, com mola linear de massa desprezível.
449 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Escolhendo o eixo OX para coincidir com a direção da mola e a origem
do sistema de eixos coordenados na posição de equilíbrio da mesma, como
mostra a Figura 13.4, a força da mola pode ser escrita, portanto, da seguinte
forma:
~F = Fmx ıˆ = −k (`− `0) ıˆ = −k x ıˆ.
Figura 13.4: Representação da força da mola linear no eixo OX.
Observe que o sinal da componente vale para o caso da elongação e da
compressão, uma vez que:
• se a mola está alongada, a coordenada x do bloco é positiva e a com-
ponente Fmx = −k x é negativa (o que produz uma força com sentido
contrário ao do vetor unitário ıˆ);
• se a mola está comprimida, a coordenada x do bloco é negativa e a
componente Fmx = −k x é positiva (o que produz uma força com o
mesmo sentido do vetor unitário ıˆ).
Com a finalidade de obter a aceleração do bloco, vamos fazer o seu
diagrama de forças para aplicar a Segunda Lei de Newton a ele. O ar, a mola
e o piso estão em contato com o bloco. Logo, somente eles podem exercer
forças de contato sobre ele. Vamos desprezar as forças exercidas pelo ar. O
piso empurra o bloco para cima com a normal ~N . A mola puxa-o de volta
para a origem com a força ~Fm. A única força gravitacional que atua no bloco
é o seu peso ~P . O diagrama de forças do bloco foi representado na Figura
13.5.
CEDERJ 450
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Figura 13.5: Diagrama de forças do bloco.
A aplicação da Segunda Lei de Newton ao bloco nos mostra que:
~N + ~P + ~Fm = m~a⇒
Nx + Px + Fmx = max e Ny + Py + Fmy = may.
Como o bloco permanece no piso, a componente ay = 0 da sua aceleração é
nula. Já as componentes das forças são iguais a:
Nx = 0, Px = 0, Fmx = −k x e Ny = N, Py = −mg, Fmy = 0.
A substituição dessas componentes da aceleração e das forças na Se-
gunda Lei de Newton nos mostra que:
max = −k x e N = mg.
Logo, a componente x da aceleração do bloco é igual a
ax = −k x
m
.
451 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Consequentemente, temos que:
dvx
dt
= −k x
m
⇒ dvx = −k x
m
dt⇒ (13.1)
vx(t1)− vx(0) = −
∫ t1
0
k x
m
dt.
Observe que não conseguimos encontrar a velocidade do bloco como função
do tempo através da integração direta, porque, para encontrar a integral que
fornece a velocidade do bloco, é necessário encontrar a primitiva da função
desconhecida
k x
m
.
Para resolver o problema, vamos tentar eliminar a diferencial dt da
equação da aceleração do bloco, multiplicando os dois lados da equação 13.1
por dx, isto é,
dvx
dt
dx = −k x
m
dx⇒ dvx dx
dt
= −k x
m
dx⇒
vx dvx = −k x
m
dx⇒
d(v2x)
2
= −k x
m
dx
⇒∫ t1
0
d(v2x)
2
=
1
2
∫ t1
0
d(v2x) = −
∫ x(t1)
x(0)
k x
m
dx⇒
v2x(t1)
2
− v
2
x(0)
2
= −
∫ x(t1)
x(0)
k x
m
dx = −k x
2(t1)
2m
+
k x2(0)
2m
⇒
v2x(t1) = v
2
x(0)−
k x2(t1)
m
+
2 k x2(0)
m
⇒
vx(t) =
√
v2x(0)−
k
m
[x2(t)− x2(0)] (13.2)
A Equação 13.2 é a primeira integral da equação do movimento
do bloco. Ela relaciona a velocidade do bloco com a sua coordenada
x(t) no instante inicial e no instante t. Para obtê-la foi preciso utilizar
os seguintes fatos:
1. A derivada de uma função é a razão entre duas diferenciais, isto é,
dvx
dt
= dvx
1
dt
.
2. A diferencial do quadrado da componente vx da velocidade do bloco é
dada por: d(v2x) = 2 vx d(vx). Logo, temos que vx d(vx) =
d(v2x)
2
.
3. A integral da diferencial de uma função entre o instante inicial e o
instante t1 é a diferença dos valores da função nesses instantes, isto é,∫ t1
0
d(v2x) = v
2
x(t1)− v2x(0).
CEDERJ 452
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
4. Como o instante t1 é um instantequalquer, podemos denominá-lo t.
A coordenada x(t) da partícula pode ser obtida da equação 13.2 da
seguinte forma:
vx(t) =
√
v2x(0)−
k
m
[x2(t)− x2(0)]⇒
dx
dt
(t) =
√
v2x(0)−
k
m
[x2(t)− x2(0)]⇒
dx√
v2x(0)− km [x2(t)− x2(0)]
= dt⇒
∫ x(t1)
x(0)
dx√
v2x(0)− km [x2(t)− x2(0)]
=
∫ t1
0
dt⇒
∫ x(t1)
x(0)
dx√
v2x(0)− km [x2(t)− x2(0)]
= t1 − 0 = t1. (13.3)
Observe que o lado esquerdo da equação 13.3 é uma integral de uma
função da coordenada x do bloco. Ela pode ser obtida utilizando-se as téc-
nicas de integração. Mas como não apresentamos na Aula 2 as técnicas de
integração necessárias para resolvê-la, deixaremos a sua solução para a dis-
ciplina de Física 2. Trabalharemos apenas com a equação 13.2, que, apesar
de ser apenas uma solução parcial do problema, fornece várias informações
sobre o movimento do bloco. Essas informações serão discutidas na Aula 14.
A primeira integral do movimento de uma partícula que se desloca
sobre o eixo OX, sob a ação de uma força resultante que depende apenas da
sua coordenada do movimento (x), pode ser obtida utilizando-se a técnica
aplicada ao sistema massa-mola sem atrito, isto é, integrando-se o produto
da componente x da aceleração da partícula pela diferencial dx, como será
feito a seguir:
max = Fx ⇒
m
dvx
dt
dx = Fx dx⇒ mdvx dx
dt
= Fx dx⇒
mvx dvx = Fx dx⇒ m d(v
2
x)
2
= Fx dx⇒
m
2
∫ t1
0
d(v2x) =
∫ x(t1)
x(0)
Fx dx⇒
mv2x(t1)
2
− mv
2
x(0)
2
=
∫ x(t1)
x(0)
Fx dx. (13.4)
453 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Observe que, no lado esquerdo da equação 13.4, aparece a diferença da
quantidade Ec =
1
2
mv2 entre os instantes inicial e t1. Essa quantidade é
chamada de energia cinética e, como você deve ter visto no Ensino Médio,
está associada ao movimento da partícula. Portanto, do lado esquerdo da
equação 13.4 aparece a variação da energia cinética da partícula. É fácil
observar que essa energia é nula quando a partícula está em repouso e au-
menta à medida que a sua velocidade cresce. Também podemos observar, na
expressão de Ec, um fato que é intuitivo para nós: a energia cinética de um
objeto de maior massa é maior do que a de outro objeto de menor massa que
tenha a mesma velocidade.
Outra observação importante diz respeito à integral da componente da
força que apareceu do lado direito da equação 13.4. Essa integral definida
que aparece do lado esquerdo é chamada de trabalho de uma força em
um deslocamento x(0)→ x(t1).
Wx(0)→x(t1)(Fx) =
∫ x(t1)
x(0)
Fx dx.
Logo, ao tentar resolver o problema de uma partícula que tem movi-
mento unidimensional no eixo OX e que está submetida a uma força re-
sultante que depende apenas da sua coordenada x, aparecem naturalmente
os conceitos de energia cinética e de trabalho de uma força. Constatamos,
então, que a variação da energia cinética da partícula é o trabalho da força
resultante que atua sobre ela.
mv2x(t1)
2
− mv
2
x(0)
2
=
∫ x(t1)
x(0)
Fx dx (13.5)
Mostraremos, nas próximas seções, que esse resultado é geral.
CEDERJ 454
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Trabalho de uma força constante em uma tra-
jetória retilínea
Por definição, o trabalho de uma força constante ~F , associado a um
deslocamento retilíneo ~d entre os pontos A e B, é igual a:
WA→B = F dcos(θ),
em que θ é o menor ângulo entre a força e o deslocamento, como mostra a
Figura 13.6.
Figura 13.6: Representação dos vetores força e deslocamento em um bloco.
Na Aula 4 você aprendeu o produto escalar entre dois vetores. Observe
que o trabalho de uma força é o produto escalar entre a força e o desloca-
mento, isto é,
WA→B = F dcos(θ) = ~F · ~d = Fx dx + Fy dy + Fz dz. (13.6)
A unidade de trabalho no sistema de unidades MKSA é o Joule, que
é representado pela letra J (N.m).
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você já leu nesta aula, resolva esta questão.
Um bloco de massa m está deslizando sobre um plano horizontal, puxado
por um fio de massa desprezível. Esse fio aplica sobre o bloco uma tensão
de módulo T , que forma um ângulo θ com a horizontal, conforme mostrado
na Figura 13.7. Os coeficientes de atrito cinético e estático entre o bloco
e o plano são, respectivamente, iguais a µe e µc. Considere a Terra como
referencial inercial e suponha que a aceleração da gravidade g é conhecida.
1. Calcule o trabalho de cada uma das forças que atuam sobre o bloco no
deslocamento ~d, entre os pontos A e B.
455 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Figura 13.7: Deslocamento ~d do bloco sobre o plano horizontal.
2. Calcule o trabalho da força resultante que atua sobre o bloco no mesmo
deslocamento ~d.
Respostas Comentadas
Vamos resolver o problema no referencial da Terra, suposto inercial.
Para calcular o trabalho das forças, é necessário calcular primeiro as forças
que atuam sobre o bloco. Para isso, faremos o diagrama de forças do bloco e
aplicaremos a Segunda Lei de Newton a ele. O bloco foi desenhado separado
do seu exterior na Figura 13.8.
O plano, o fio e o ar estão em contato com o bloco. Desprezando a força que
o ar exerce sobre o bloco, só exercem forças de contato sobre ele o plano e o
fio. A superfície do plano empurra o bloco para cima com a força normal ~N ,
enquanto o bloco está sendo puxado pelo fio, que exerce sobre ele a tensão ~T .
Como a superfície inferior do bloco desliza para a direita, o plano dificulta
esse deslizamento, puxando essa superfície inferior para a esquerda com a
força de atrito cinética ~fac. A única força gravitacional que atua no bloco é o
seu peso ~P . O diagrama das forças do bloco foi representado na Figura 13.8.
Podemos observar que as componentes das forças de atrito, normal e peso
são iguais a:
Nx = 0 , Ny = N, Px = 0, Py = −P = −mg, facx = −fac e facy = 0.
CEDERJ 456
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Figura 13.8: Diagrama de forças do bloco.
Já as componentes da tensão são dadas por:
Tx = T cos(θ) e Ty = T sen(θ).
O módulo da normal pode ser obtido aplicando-se a Segunda Lei de Newton
ao bloco.
~T + ~N + ~P + ~fac = m~a⇒ Ny + Py + Ty + facy = 0⇒
Ny + Py + Ty = 0⇒ N −mg + T sen(θ) = 0⇒ N = mg − T sen(θ).
Por termos uma força de atrito cinética, o seu módulo é igual a:
fac = µcN = µc(mg − T sen(θ)).
O trabalho de uma força constante é o produto escalar entre a força e o deslo-
camento. Na Aula 4, você aprendeu que podemos calcular o produto escalar
entre dois vetores de duas formas diferentes. Na primeira forma, utilizamos
os módulos dos vetores e o menor ângulo entre eles. Na segunda, utilizamos
as componentes dos vetores. Nesta atividade, calcularemos o trabalho das
forças da primeira forma. A Figura 13.9 mostra os ângulos entre cada uma
das forças e o deslocamento.
1. Os trabalhos realizados por cada uma das forças são iguais a:
WA→B( ~N) = ~N · ~d = N dcos(90o) = 0,
WA→B(~P ) = ~P · ~d = P dcos(90o) = 0,
WA→B(~T ) = ~T · ~d = T dcos(θ) d,
WA→B(~fac) = ~fac · ~d = fac dcos(180o) = −µc(mg − T sen(θ)) d.
457 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Figura 13.9: Ângulos entre as forças que atuam no bloco e o deslocamento
~d.
2. O trabalho da força resultante que atua sobre o bloco durante o deslo-
camento ~d é dado por:
WA→B( ~N + ~P + ~T + ~fac) = ( ~N + ~P + ~T + ~fac) · ~d⇒
WA→B( ~N + ~P + ~T + ~fac) = ~N · ~d+ ~P · ~d+ ~T · ~d+ ~fac · ~d⇒
WA→B( ~N + ~P + ~T + ~fac) = T dcos(θ) d− µc(mg − T sen(θ)) d.
Na obtenção do trabalho da força resultante, foi utilizado o fato de que
o produto escalar é distributivo em relação à soma.
A Atividade 1 mostrou resultados que são propriedades gerais do trabalho
de uma força. Essas propridades e a equação 13.5, que fornece a variação da
energia cinética de uma partícula, nos permitem concluir o seguinte:
1. O trabalhode uma força perpendicular ao deslocamento de uma par-
tícula é nulo, como ocorreu com as forças normal e peso na atividade.
Portanto, as forças cujos trabalhos são nulos não contribuem para a
variação da energia cinética da partícula.
2. O trabalho de uma força que tem componente paralela ao deslocamento
da partícula é positivo, como ocorreu com a tensão na atividade. Sendo
assim, as forças que produzem trabalhos positivos contribuem para o
aumento da energia cinética da partícula.
3. O trabalho de uma força, que tem componente com a mesma direção
e sentido contrário ao deslocamento da partícula é negativo, como foi
o caso da força de atrito na atividade. As forças que produzem tra-
balhos negativos contribuem para a diminuição da energia cinética da
partícula.
CEDERJ 458
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Pensar nessas propriedades ajuda a verificar os sinais obtidos nos
cálculos dos trabalhos de forças, minimizando possíveis erros.
Atividade 2
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, resolva esta questão.
Um bloco atinge a base de um plano inclinado com velocidade ~v0, como
mostra a Figura 13.10. A massa do bloco é m e os coeficientes de atrito
cinético e estático entre ele e o plano são, respectivamente, iguais a µe e µc.
Sabe-se que o plano inclinado forma um ângulo θ com a vertical, que o bloco
sobe o plano sem girar e para após se deslocar por uma distância d sobre o
plano inclinado.
Resolva o problema do referencial da Terra, considerado inercial. Considere
o bloco como uma partícula e despreze a resistência do ar. São conhecidos a
massam do bloco, o ângulo θ que o plano forma com a vertical, os coeficientes
de atrito µe e µc, o módulo do deslocamento d e a aceleração da gravidade g.
Figura 13.10: Bloco se deslocando em um plano inclinado entre os pontos A
e B.
1. Calcule o trabalho de cada uma das forças que atuam sobre o bloco du-
rante o seu deslocamento total ~d sobre o plano inclinado.
2. Calcule o trabalho da força resultante que atua sobre o bloco durante o
seu deslocamento sobre o plano inclinado.
459 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Respostas Comentadas
1. Para encontrar o trabalho das forças, vamos calcular primeiro as forças
que atuam sobre o bloco. Para isso, faremos o diagrama de forças do
bloco e aplicaremos a Segunda Lei de Newton a ele.
O plano e o ar estão em contato com o bloco. Como a força de resis-
tência do ar é desprezível, as únicas forças de contato que atuam sobre
o bloco são exercidas pelo plano inclinado. Este empurra o bloco com
a força normal ~N e tenta evitar o deslocamento relativo entre as super-
fícies do bloco e do plano, empurrando-o com a força de atrito cinética
~fac para a base do plano. A única força gravitacional não desprezível
que atua sobre o bloco é o seu peso ~P . O diagrama de forças do bloco
foi desenhado na Figura 13.11.
Figura 13.11: Diagrama de forças do bloco subindo o plano inclinado.
2. A aplicação da Segunda Lei de Newton ao bloco fornece:
~N + ~P + ~fac = m~a⇒ Px +Nx + facx = max e Ny +Py + facy = may.
Utilizando o sistema de eixos indicado na Figura 13.11, como temos o
vínculo de que o bloco permanece sobre o plano inclinado, a componente
ay da aceleração é nula. Além disso, as componentes da força de atrito
e da normal são iguais a:
Nx = 0, Ny = N, facx = −fac e facy = 0.
CEDERJ 460
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
As componentes da força peso são dadas por:
Px = −P cos(β) e Py = −P sen(β).
A direção do peso é paralela ao lado vertical do plano e a direção do
vetor projetado ~Px é paralela ao seu lado inclinado. Logo, o ângulo β
entre o peso e o vetor projetado ~Px tem os lados paralelos aos do ângulo
θ. Por isso, esses ângulos são iguais e as componentes do peso podem
ser reescritas da seguinte forma:
Px = −P cos(θ) e Py = −P sen(θ).
A substituição das componentes da aceleração e das forças que atuam
no bloco na Segunda Lei de Newton fornece o módulo da normal:
Py +Ny + facy = 0 ⇒ −P sen(θ) +N = 0⇒ N = P sen(θ).
A força de atrito, por ser cinética, é fac = µcN = µcmg sen(θ).
Como vimos na Atividade 1, podemos calcular o trabalho de uma força
de duas formas diferentes. Nesta atividade, vamos calculá-lo da se-
gunda forma, utilizando as componentes da força e do deslocamento.
Para isso, precisamos das componentes do vetor deslocamento ~d. Uma
análise das Figuras 13.10 e 13.11 permite concluir que essas compo-
nentes são iguais a:
dx = d e dy = 0.
Portanto, os trabalhos das forças são dados por:
WA→B( ~N) = ~N · ~d = Nx dx +Ny dy = 0,
WA→B(~P ) = ~P · ~d = Px dx + Py dy = −P cos(θ) d = −mg cos(θ) d,
WA→B(~fac) = ~fac · ~d = facx dx = −µcmg sen(θ) d.
Observe que os trabalhos do peso e da força de atrito são negativos.
Isso está de acordo com as observações feitas anteriormente, uma vez
que essas forças estão, ambas, trabalhando para frear o bloco, isto é,
estão diminuindo o módulo de sua velocidade.
3. O trabalho da força resultante que atua sobre o bloco quando este sofre
o deslocamento ~d é dado por:
WA→B( ~N + ~P + ~fac) = ( ~N + ~P + ~fac) · ~d⇒
WA→B( ~N + ~P + ~fac) = ~N · ~d+ ~P · ~d+ ~fac · ~d⇒
WA→B( ~N + ~P + ~fac) = −mg cos(θ) d− µcmg sen(θ) d⇒
WA→B( ~N + ~P + ~fac) = −mg d (cos(θ) + µc sen(θ)).
461 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Trabalho de uma força variável em uma
trajetória curvilínea
Até aqui, só tratamos de casos de forças constantes em deslocamentos
em linha reta, nos quais era válida a equação 13.6. Vamos definir agora o
trabalho de uma força variável em uma trajetória curvilínea C. Com essa
finalidade, dividiremos a trajetória em pequenos deslocamentos ∆~ri, (i =
1...N). A seguir, denominaremos ~Fi um dos valores da força nesses intervalos,
de tal forma que em cada deslocamento ∆~ri ela varie pouco e possa ser
considerada constante, conforme mostra a Figura 13.12.
Figura 13.12: Trajetória C dividida em N intervalos. ~Fi é um dos valores
que a força assume no intervalo ∆~ri.
Como dividimos a trajetória em intervalos pequenos ∆~ri, a força é quase
constante nesses intervalos. Nesse caso, o produto escalar entre a força ~Fi e o
deslocamento ∆~ri representa o trabalho da força constante ~Fi nesse intervalo,
isto é,
W (~Fi) = ~Fi ·∆~ri.
A hipótese de que a força seja constante em cada um dos intervalos se torna
mais precisa à medida que o número N de intervalos tende a infinito. Por
isso, generalizamos o conceito de trabalho para forças variáveis em tra-
jetórias curvilíneas da seguinte forma:
WC(~F ) = lim
N→∞
N∑
i=1
~Fi ·∆~ri =
∫ B
A
~F · d~r =
∫ B
A
(Fx dx+ Fy dy + Fz dz).
(13.7)
Por definição, o limite dessa soma é uma integral.
CEDERJ 462
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
A integral que define o trabalho é denominada integral de linha,
porque nela são considerados apenas os valores do produto escalar
sobre a linha (trajetória da partícula). As integrais de linha depen-
dem, em geral, dos pontos A e B e da linha C, isto é, o trabalho que
uma força fornece a uma partícula depende, em geral, dos pontos
A e B e da trajetória da partícula .
Note que a expressão 13.7, que define trabalho realizado por uma força
~F , não depende das outras forças. Por isso, pode ser utilizada, independen-
temente de haver ou não outras forças atuando sobre a partícula.
A Figura 13.13 mostra uma trajetória curvilínea C, na qual atua uma
força constante.
Figura 13.13: Uma força constante ~F atua em uma partícula que descreve a
trajetória curvilínea C.
Quando a força é constante, podemos tirá-la da integral e o seu trabalho
se reduzirá a:
WC(~F ) =
∫ B
A
~F · d~r = ~F ·
∫ B
A
d~r ⇒
WC(~F ) = ~F · (~rB − ~rA) = ~F ·∆~rAB, (13.8)
em que ∆~rAB é o deslocamento entre os pontos A e B, conforme mostrado
na Figura 13.13.
Observe que, quando a forçaé constante e a trajetória é retilínea, a
equação 13.8 se reduz a 13.6, uma vez que, nesse caso, ∆~rAB = ~d, isto é,
WC(~F ) = ~F · ~d.
463 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
No caso em que uma partícula se desloca em uma dimensão, escolhida
como a direção do eixo OX, o trabalho de uma força ~F que atua sobre ela
se reduz a
WC(~F ) =
∫ B
A
Fx dx.
Faremos alguns exemplos e atividades a seguir, com a finalidade de
ressaltar particularidades do trabalho de forças que são utilizadas frequen-
temente na Dinâmica da Partícula: peso, normal, força de atrito, tensão e
força da mola.
Atividade 3
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Um bloco é deslocado entre os pontos A e B, que estão separados por uma dis-
tância d, sobre uma superfície com atrito, conforme mostra a Figura 13.14.
O módulo da força de atrito é constante e igual a fac.
Figura 13.14: Nesta atividade, a força de atrito tem sentido contrário ao do
deslocamento.
CEDERJ 464
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
1. Calcule o trabalho realizado pela força de atrito quando o bloco é des-
locado diretamente de A até B.
2. Calcule o trabalho realizado pela força de atrito quando o bloco é des-
locado de A até B, a seguir, de B até A e, novamente, de A até B.
3. O trabalho realizado pela força de atrito, quando o bloco é deslocado
de A até B, depende da trajetória do bloco? Justifique a sua resposta.
Respostas Comentadas
1. Vamos nomear o caminho que vai direto de A até B de C1. Durante
todo esse deslocamento, a força de atrito é constante (tem módulo,
direção e sentido iguais) e, com isso, podemos utilizar a equação 13.6,
isto é,
WA→B = F dcos(θ) = ~F · ~d = Fx dx + Fy dy + Fz dz.
Observando que a força de atrito é antiparalela ao deslocamento, o Um vetor é an-
tiparalelo a ou-
tro quando tem a
mesma direção e
sentido contrário
ao do outro vetor.
trabalho realizado por ela quando o bloco é deslocado pelo caminho C1
é dado por:
WC1(
~fac) = ~fac · ~dAB = fac dABcos(180o) = fac dcos(180o) = −fac d.
2. Vamos nomear o caminho que vai de A até B, a seguir, de B até A e,
novamente, de A até B de C2. Note que, como a força de atrito se opõe
ao movimento, nesse caso, ela inverte seu sentido duas vezes, quando
há também a inversão no sentido do movimento (de A para B ou de
B para A). Sendo assim, a força de atrito não é constante durante o
deslocamento pelo caminho C2 e não podemos utilizar diretamente a
equação 13.6.
Para encontrarmos o trabalho nesse caso, é preciso dividir o desloca-
mento em três etapas, que são definidas pelas inversões no sentido da
força de atrito.
465 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
O trabalho realizado pela força de atrito, quando o bloco é deslocado
de A até B pelo caminho C2, é dado por:
WC2(
~fac) = ~fac · ~dAB + ~fac · ~dBA + ~fac · ~dAB ⇒
WC2(
~fac) = fac dABcos(180
o) + fac dBAcos(180
o) + fac dABcos(180
o)⇒
WC2(
~fac) = −3 fac d.
3. Os resultados dos itens 1 e 2 mostram que os trabalhos realizados pela
força de atrito, quando o bloco é deslocado entre A até B pelos cami-
nhos C1 e C2, são diferentes. Logo, o trabalho realizado pela força
de atrito depende da trajetória do bloco.
Atividade 4
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Um bloco é deslocado entre os pontos 1 e 3 por uma mão, conforme mostra
a Figura 13.15. Durante todo o deslocamento, atua sobre ele uma força
normal de módulo constante e igual a N , mas que pode mudar de direção.
A distância entre os pontos 2 e 3 é igual a d .
Figura 13.15: Força normal aplicada ao bloco durante o seu deslocamento.
1. Calcule o trabalho realizado pela normal quando o bloco é deslocado
diretamente de 1 até 3. A direção da normal durante esse deslocamento
foi indicada na Figura 13.15.
2. Calcule o trabalho realizado pela normal, quando o bloco é deslocado
de 1 até 3, passando pelo ponto 2. As direções da normal durante esses
deslocamentos foram indicadas, em cada parte da trajetória, também
na Figura 13.15.
3. O trabalho realizado pela normal, quando o bloco é deslocado de 1 até
3, depende da trajetória do bloco? Justifique a sua resposta.
CEDERJ 466
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Respostas Comentadas
1. Vamos nomear o caminho que vai direto de 1 até 3 de C1. Durante
todo esse deslocamento, a normal é constante e igual a ~N13. Portanto,
o trabalho realizado pela normal, quando o bloco é deslocado de 1 até
3 pelo caminho C1, é dado por:
WC1( ~N) = ~N13 · ~d13 = N13 d13cos(90o) = 0.
2. Vamos nomear o caminho que vai de 1 até 3, passando pelo ponto
2, de C2. Assim como ocorreu na atividade anterior, a força muda de
direção durante o deslocamento e deixa de ser constante. Dessa forma,
precisamos dividir a trajetória em duas etapas para calcular o trabalho
realizado pela normal. Assim, quando o bloco é deslocado de 1 até 3
pelo caminho C2, o trabalho da força normal é dado por:
WC2( ~N) = ~N12 · ~d12+ ~N23 · ~d23 = N12 d12cos(90o)+N23 d23cos(0o) = N d.
3. Os resultados dos itens 1 e 2 mostram que os trabalhos realizados pela
normal, quando o bloco é deslocado de 1 até 3 pelos caminhos C1 e C2,
são diferentes. Logo, a exemplo do que aconteceu com a força de atrito,
o trabalho realizado pela força normal depende da trajetória
do bloco.
Podemos fazer, a partir da Atividade 4, dois comentários importantes.
O primeiro é que, como verificamos no caminho C1, sempre que uma força
for perpendicular ao deslocamento, ela não realizará trabalho. Esse
fato pode ser observado a partir da própria definição de trabalho, na equa-
ção 13.7. O outro comentário é a respeito de um erro comum cometido
por alunos, que é o de achar que o trabalho realizado pela força
normal é sempre nulo. É importante notar que a força normal
é perpendicular à superfície que a aplica sobre o objeto, mas não
necessariamente é perpendicular ao deslocamento. Acabamos de ver
que ela realiza trabalho no deslocamento dado pelo caminho C2.
467 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Atividade 5
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Um bloco é deslocado entre os pontos 1 e 3 por uma corda, através de dois
caminhos diferentes (ver Figura 13.16). O módulo da tensão é constante e
igual a T . As distâncias d12, d22 e d23 são conhecidas.
Figura 13.16: Tensão aplicada ao bloco, através de uma corda, durante o seu
deslocamento.
1. Calcule o trabalho realizado pela tensão quando o bloco é puxado sobre
um plano inclinado diretamente de 1 até 3.
2. Calcule o trabalho realizado pela tensão quando o bloco é puxado de
1 até 2 sobre um plano horizontal, e é levantado pela corda de 2 até 3
(ver Figura 13.16).
3. O trabalho realizado pela tensão, quando o bloco é deslocado de 1 até
3, depende da trajetória do bloco? Justifique a sua resposta.
CEDERJ 468
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Respostas Comentadas
1. Vamos nomear o caminho que vai direto de 1 até 3 de C1. O trabalho
realizado pela tensão, quando o bloco é deslocado de 1 até 3 pelo caminho
C1, é dado por:
WC1(~T ) = ~T13 · ~d13 = T13 d13 cos(0o) = T d13.
2. Vamos nomear o caminho que vai de 1 até 3, passando pelo ponto 2, de
C2. O trabalho realizado pela força tensão, quando o bloco é deslocado de 1
até 3 pelo caminho C2, é dado por:
WC2(~T ) = ~T12 · ~d12 + ~T23 · ~d23 = T12 d12 cos(0o) + T23 d23 cos(0o)⇒
WC2(~T ) = T (d12 + d23).
3. Os resultados dos itens 1 e 2 mostram que os trabalhos realizados pela
tensão, quando o bloco é deslocado de 1 até 3 pelos caminhos C1 e C2, são
diferentes. Logo, o trabalho realizado pela força tensão depende da
trajetória do bloco.
Atividade 6
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Um bloco que estánas proximidades da superfície da Terra é deslocado por
uma mão entre os pontos A e B sobre a trajetória C, representada na Fi-
gura 13.17. Considere conhecidas a massa m do bloco, as coordenadas x e
y dos pontos A e B e o módulo g da aceleração da gravidade. Calcule o tra-
balho realizado pelo peso do bloco quando ele é deslocado sobre a trajetória
C entre os pontos A e B. Esse trabalho depende da trajetória que liga os
pontos A e B?
Figura 13.17: A curva C é a trajetória do bloco entre os pontos A e B.
469 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Resposta Comentada
O peso do bloco nas proximidades da superfície da Terra é constante. Logo,
o trabalho realizado por ele, quando se desloca entre os pontos A e B sobre
a trajetória C, é dado pela equação 13.8:
WC(~P ) = ~P · (~rB − ~rA) = ~P ·∆~rAB.
A Figura 13.18 mostra que as componentes do peso são iguais a Px = 0 e
Py = −mg. Logo, o trabalho se reduz a :
WC(~P ) = Py (yB − yA) = −mg (yB − yA).
Observe que, como o peso é constante, o trabalho sempre será escrito como
W (~P ) = ~P ·∆~r. Ou seja, o trabalho do peso, quando o bloco desloca
entre dois pontos A e B, só depende das coordenadas dos pontos,
isto é, ele não depende da trajetória do bloco.
Figura 13.18: O peso realiza trabalho sobre o bloco que percorre a trajetória
C. Esta tem início e fim nos pontos A e B, com coordenadas yA e yB.
CEDERJ 470
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Atividade 7
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Um bloco, que está ligado por uma mola linear de massa desprezível a uma
parede, como mostra a Figura 13.19, é deslocado entre os pontos A e B
por duas trajetórias diferentes.
Figura 13.19: Sistema massa-mola, que se desloca entre A e B.
Na primeira trajetória, denominada C1, ele é deslocado diretamente do ponto
A até o ponto B. Na segunda, denominada C2, ele é deslocado de A até B,
a seguir, de B até A e, novamente, de A até B.
Considere conhecidas a massa m do bloco, as coordenadas x e y dos pontos
A e B e a constante elástica k da mola.
1. Calcule o trabalho realizado pela força da mola quando o bloco é des-
locado pela trajetória C1.
2. Calcule o trabalho realizado pela força da mola quando o bloco é des-
locado pela trajetória C2.
3. O trabalho realizado pela força da mola, quando o bloco é deslocado
de A até B, depende da trajetória do bloco? Justifique a sua resposta.
471 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Respostas Comentadas
Como a força da mola é variável, não podemos aplicar, como fizemos nos
outros casos, a equação 13.8. Portanto, o trabalho realizado por ela é dado
por:
WC(~Fm) =
∫ B
A
~Fm · d~r =
∫ B
A
(Fmx dx+ Fmy dy + Fmz dz).
Escolhendo o sistema de eixos de maneira que a posição de equilíbrio da
mola coincida com a origem do eixo OX, e a sua direção com a desse eixo, as
componentes da força da mola se reduzem a Fmx = −k x, Fmy = 0 e Fmz = 0.
Logo, somente o primeiro termo da equação é diferente de zero, e temos que:
WC(~Fm) =
∫ B
A
Fmx dx = −k
∫ B
A
x dx.
1. O trabalho realizado pela força da mola, quando o bloco é deslocado
pela trajetória C1, é dado por:
WC1(~Fm) = −k
∫ B
A
x dx = −k x
2
B
2
+
k x2A
2
.
2. Já para calcular o trabalho realizado pela força da mola quando o bloco
é deslocado pela trajetória C2, dividimos a trajetória de acordo com as
inversões no movimento, de A para B ou de B para A. Com isso, o
trabalho é dado por:
WC2(~F )m = −k
∫ B
A
x dx− k
∫ A
B
x dx− k
∫ B
A
x dx⇒
WC2(~Fm) = −
k x2B
2
+
k x2A
2
− k x
2
A
2
+
k x2B
2
− k x
2
B
2
+
k x2A
2
= −k x
2
B
2
+
k x2A
2
.
3. Comparando os dois casos, percebemos que os trabalhos realizados pela
força da mola, quando o bloco se desloca entre os pontos A e B pelas
trajetórias C1 e C2, são iguais. E isso vai ser verdade mesmo que faça-
mos várias idas e vindas. Ou seja, o trabalho realizado pela força
da mola não depende da trajetória do bloco.
CEDERJ 472
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Exemplo 13.1
Um corpo de massa m, que está afastado da superfície da Terra, é deslocado
entre os pontos A e B sobre a trajetória C, representada na Figura 13.20.
As variações do peso do corpo sobre a trajetória C não podem ser despreza-
das. Calcule o trabalho realizado pelo peso do corpo quando ele é deslocado
sobre a trajetória C entre os pontos A e B. Esse trabalho depende da traje-
tória que liga tais pontos?
Figura 13.20: Trajetória C da massa m, sujeita à força peso em uma região
distante da Terra.
Considere conhecidas, além da massa m do corpo, a massa mT da Terra, as
distâncias r dos pontos A e B ao centro da Terra e a constante da gravitação
universal G.
Resolução
O peso do corpo é a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele, e é dado
por: ~P = −mmT G
r2
rˆ. Logo, o trabalho realizado por ele, quando o corpo se
desloca entre os pontos A e B sobre a trajetória C, é dado por:
WC(~P ) =
∫ B
A
~P · d~r = −
∫ B
A
(
mmT G
r2
rˆ
)
· d~r = −
∫ B
A
(
mmT G
r2
)
( rˆ · d~r).
473 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
A Figura 13.21 mostra que a projeção do deslocamento infinitesimal d~r,
na direção do unitário rˆ, é a distância radial percorrida no deslocamento
infinitesimal: rˆ · d~r = dr.
Figura 13.21: Projeção do deslocamento d~r, na direção do unitário rˆ.
Por isso, temos que:
WC(~P ) = −
∫ B
A
(
mmT G
r2
)
dr = −mmT G
∫ B
A
(
1
r2
)
dr.
A primitiva da função
1
r2
é −1
r
, uma vez que −d(r
−1)
dr
= +r−2 =
1
r2
.
Consequentemente, temos que:
WC(~P ) = mmT G
(
1
rB
− 1
rA
)
.
Observe que o trabalho do peso, quando o corpo se desloca entre os
pontos A e B, só depende das coordenadas dos pontos, isto é, ele
não depende da trajetória do corpo.
Vimos, nas atividades de 4 até 7 e no Exemplo 13.1, que os trabalhos
realizados por algumas forças, como o peso e a força da mola, não dependem
das formas das trajetórias, mas apenas das posições iniciais e finais do bloco.
Na Aula 14, veremos que esse fato está relacionado ao conceito de energia
potencial.
CEDERJ 474
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Teorema do Trabalho-Energia Cinética
Dissemos, na Introdução desta aula, que o Teorema Trabalho-Energia
Cinética aparece naturalmente quando tentamos resolver os problemas da
Dinâmica da Partícula que envolvem forças dependentes das posições das
partículas. Já chegamos na equação 13.5, que é o resultado para partículas
com movimento unidimensional. Faremos, a seguir, a demonstração geral
desse teorema.
A equação proveniente da aplicação da Segunda Lei de Newton a uma
partícula é denominada equação do movimento da partícula . Vamos
encontrar, a seguir, a primeira integral dessa equação. Com essa finalidade,
vamos integrar o produto escalar da equação do movimento da partícula pela
diferencial d~r do vetor posição dessa partícula.
m~a = ~F ⇒ m d~v
dt
· d~r = ~F · d~r ⇒ m d~r
dt
· d~v = ~F · d~r ⇒
m~v · d~v = ~F · d~r ⇒ m di (v
2)
2
= ~F · d~r ⇒
m
∫ B
A
d (v2)
2
· d~r =
∫ B
A
~F · d~r ⇒
mv2B
2
− mv
2
A
2
=
∫ B
A
~F · d~r. (13.9)
Na obtenção da equação 13.9, foi utilizada a seguinte identidade:
d(v2) = d(v2x + v
2
y + v
2
z) = 2 vx dvx + 2 vy dvy + 2 vz dvz ⇒
d(v2) = 2~v · d~v ⇒ ~v · d~v = dv
2
2
.
A equação 13.9 é denominada Teorema do Trabalho-Energia Ci-
nética .
mv2B
2
− mv
2
A
2
=
∫ B
A
~F · d~r.
Esse teorema é válido para qualquer situação. É importante ressaltar
que, para chegar ao teorema, foi utilizada a Segunda Lei de New-
ton. Ou seja, ele é sobre o trabalho da força resultante que atua
sobre uma partícula . Esse teorematem grande importância prática, pois
afirma que a variação da energia cinética só ocorre quando a força
resultante realiza trabalho. Logo, para produzir uma variação de ener-
gia cinética grande, é necessário que a força resultante realize um trabalho
grande também.
475 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Por isso, quando existe uma colisão de um carro em alta velocidade com um
poste, os danos provocados no carro são grandes, uma vez que, para haver
essa grande variação de energia cinética, é preciso que a força resultante que
o poste exerce sobre carro seja grande. Como na colisão o deslocamento do
carro é pequeno, é necessário que a força resultante tenha intensidade alta.
Muitas vezes, a estrutura do carro rompe quando ele é submetido a uma
força com alta intensidade, destruindo-o.
O Teorema do Trabalho-Energia Cinética pode servir, como a Segunda
Lei de Newton, para encontrar as variáveis cinemáticas da partícula. Por
exemplo, observe que, quando a força resultante é constante em um movi-
mento unidimensional, o teorema dá origem à equação de Torricelli, uma vez
que, se escolhermos o eixo OX na direção do movimento, temos que:
mv2B
2
− mv
2
A
2
= ~F ·∆~rAB = Fx ∆x = max ∆x⇒
v2B − v2A = 2 ax ∆x.
Atividade 8
Atende ao Objetivo 2
Um bloco de massa m é colocado em repouso sobre um plano inclinado sem
atrito. A altura inicial do bloco é hA e ele atinge o ponto B do plano com
uma velocidade ~vB, como mostra a Figura 13.22.
Considere o referencial da Terra inercial e o bloco como se ele fosse uma
partícula. Despreze a força que o ar exerce sobre ele e suponha que o módulo
g da aceleração da gravidade é conhecido. Calcule o módulo da velocidade
do bloco no ponto B .
Figura 13.22: O bloco desce um plano inclinado liso.
CEDERJ 476
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Resposta Comentada
Vamos resolver o problema do referencial da Terra. A velocidade do bloco
no ponto A era nula e queremos encontrar o módulo dessa velocidade no
ponto B. Vamos resolver a atividade com o Teorema do Trabalho-Energia
Cinética. Para calcular o trabalho da força resultante, é preciso encontrar as
forças que atuam sobre o bloco. Este foi desenhado separado do seu exterior
na Figura 13.23. O plano e o ar estão em contato com o bloco. As forças
que o ar exerce sobre ele são desprezíveis. Como o plano é liso, não existe
atrito entre ele e o bloco. Por isso, o plano exerce somente a força normal ~N
sobre ele. A única força gravitacional que atua no bloco é o seu peso ~P . As
forças normal e peso foram desenhadas na Figura 13.23.
477 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Figura 13.23: Diagrama de forças do bloco deslizando sobre o plano inclinado.
A força resultante que atua sobre o bloco é a soma do peso com a normal.
Logo, temos que:
mv2B
2
− mv
2
A
2
=
∫ B
A
(~P + ~N) · d~r =
∫ B
A
~P · d~r +
∫ B
A
~N · d~r.
O trabalho da normal é nulo nesse caso, porque ela é perpendicular ao des-
locamento em todos os pontos, ou seja, ~N · d~r = N |d~r|cos(90o) = 0.
Já o trabalho da força peso já foi calculado na Atividade 6 e depende apenas
da variação da altura da partícula. Ele é dado por: −mg (yB − yA). A
Figura 13.23 mostra o eixo OY escolhido e os valores das coordenadas y
dos pontos A e B: yA = hA e yB = hB. Nesse caso, temos que:∫ B
A
~P · d~r = −mg (hB − hA).
Consequentemente, como a velocidade no ponto A é nula, temos que:
mv2B
2
= −mg (hB − hA)⇒ vB =
√
2 g (hA − hB).
CEDERJ 478
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Exemplo 13.2
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Uma partícula com massa igual a 2 kg desloca-se ao longo do eixo OX. Entre
x = 0 m e x = 7 m, ela está submetida a uma força resultante variável, cuja
componente Fx está representada no gráfico da Figura 13.24.
Figura 13.24: Gráfico da componente Fx da força em função da coordenada
x da partícula.
Qual o módulo da velocidade da partícula depois de ter percorrido 7 m, sa-
bendo que a componente x da sua velocidade em relação à Terra em x = 0 m
era igual a vx(0 m) = 3 m/s?
Resolução
Vamos resolver o problema no referencial da Terra, suposto inercial. A ve-
locidade da partícula no ponto x = 0 m e a força resultante que atua na
partícula quando ela se desloca entre x = 0 m e x = 7 m são conhecidas.
Como queremos calcular a velocidade da partícula no ponto x = 7 m, vamos
utilizar o Teorema do Trabalho-Energia Cinética. Por esse teorema, temos
que:
mv2B
2
− mv
2
A
2
=
∫ B
A
Fx dx,
em que xA = 0 m, xB = 7 m e vxA = 3 m/s.
Já vimos anteriormente que a integral de uma função de uma
variável é a área sob a curva que essa função descreve .
479 CEDERJ
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
Sendo assim, o trabalho da força resultante é a área sob a curva de Fx,
limitada pelas retas xA = 0 m, xB = 7 m. É importante ressaltar que a área
algébrica sob a curva é positiva nas regiões onde Fx > 0 e negativa onde
Fx < 0, uma vez que dx > 0 é positivo quando integramos de xA = 0 m até
xB = 7 m. Como a área de um retângulo é o produto da área da base pela
altura do retângulo e a área do triângulo é metade do produto da base pela
altura do triângulo, temos que o trabalho da força resultante é igual a:∫ B
A
Fx dx = −2 N · 2 m− 2 N · 1 m
2
+
2 N · 1 m
2
+ 2 N · 2 m + 2 N · 1 m
2
= 1 J.
Consequentemente, pelo Teorema do Trabalho-Energia Cinética, temos que:
mv2B
2
− mv
2
A
2
= WA→B =
∫ B
A
Fx dx⇒
vB =
√
v2A +
2WA→B
m
=
√
(3 m/s)2 +
2 · (1 J)
2 kg
=
√
10 m/s.
Conclusão
Nesta aula, você aprendeu a calcular a energia cinética e o trabalho de
forças constantes e variáveis, e verificou que a energia cinética só pode ser
modificada se a força resultante realizar trabalho sobre o corpo. A relação
entre o trabalho da força resultante e a variação da energia cinética foi ex-
pressa no Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
Com esses novos conhecimentos, você está preparado para aprofundar
as noções sobre a energia e sobre o Teorema da Conservação da Energia, que
serão apresentados na Aula 14.
Resumo
A energia cinética de uma partícula com massa m, que está se deslocando
com uma velocidade ~v, é igual a:
mv2
2
.
O trabalho que uma força ~F realiza sobre uma partícula, quando ela se
desloca entre os pontos A e B sobre uma trajetória C, é, por definição, igual
a:
WC(~F ) =
∫ B
A
~F · d~r =
∫ B
A
(Fx dx+ Fy dy + Fz dz).
CEDERJ 480
Aula 13 - Trabalho e energia cinética
MÓDULO 2 - AULA 13
Figura 13.25: Partícula que se desloca pela trajetória C, sujeita à força ~F .
Os trabalhos das forças dependem, em geral, dos pontos iniciais e finais da
trajetória. Porém, vimos, nas atividades, que existem algumas forças cujos
trabalhos só dependem das coordenadas dos pontos inicial e final, e não da
forma da trajetória da partícula. Esses são os casos do peso e da força da
mola, por exemplo.
A relação entre o trabalho da força resultante e a variação da energia cinética
é expressa no Teorema do Trabalho-Energia Cinética:
mv2B
2
− mv
2
A
2
=
∫ B
A
~F · d~r.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, você vai estudar os conceitos de energia mecânica e vai
aprender o Teorema do Trabalho-Energia Mecânica.
Leituras recomendadas
Leia sobre energia cinética e trabalho de uma força variável no livro Curso
de Física Básica 1: Mecânica, de Moysés Nussenzveig.
Referências bibliográficas
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física básica I : Mecânica. 3. ed.
São Paulo: Edgard Blücher, 1981.
481 CEDERJ