54699030-Dinamica-I-Cinetica-das-Particulas

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SSOOCCIIEEDDAADDEE UUNNIIVVEERRSSIITTÁÁRRIIAA RREEDDEENNTTOORR 
FFAACCUULLDDAADDEE RREEDDEENNTTOORR 
CCUURRSSOO DDEE GGRRAADDUUAAÇÇÃÃOO EEMM EENNGGEENNHHAARRIIAA MMEECCÂÂNNIICCAA 
 
 
Dinâmica I 
 
Prof. MSc. Valtency Ferreira Guimarães 
 
 
 
 
EMENTA: 
 
Dinâmica de partículas: Introdução à Dinâmica, Cinemática de Partículas, Cinética de Partículas e Cinética 
de sistemas de partículas. 
 
OBJETIVOS 
 
GERAIS: 
 
Com ênfase na compreensão correta dos princípios da mecânica e na sua aplicação à solução de 
problemas de engenharia, esta disciplina juntamente com “Dinâmica II” tem como principal objetivo 
desenvolver no estudante a capacidade de analisar quaisquer problemas de modo prático e lógico e aplicar 
à solução destes alguns princípios básicos bem assimilados. 
 
ESPECÍFICOS: 
 
Neste curso o aluno deverá interpretar e analisar sistemas físicos que representam situações reais, além 
de realizar experiências como forma de aplicação dos conceitos teóricos. Ao final do curso o aluno será 
capaz de analisar a dinâmica de sistemas mecânicos envolvendo sistemas de partículas
Unidade VI. Cinética de Partículas 
 
1 - Introdução 
De acordo com a segunda lei de Newton, uma partícula irá acelerar quando estiver sujeita a forças 
não equilibradas. A Cinética é o estudo das relações entre as forças desequilibradas e as 
variações resultantes no movimento. 
 
A Cinética das Partículas requer que sejam combinados os conhecimentos das propriedades das 
forças e da cinemática. Com o auxílio da segunda lei de Newton, pode-se combinar esses dois 
tópicos e resolver problemas de engenharia envolvendo forças, massa e movimento. 
 
2 - Segunda Lei de Newton 
A relação básica entre força e aceleração se encontra na segunda lei de Newton F = ma, cuja 
verificação é inteiramente experimental. 
Se uma partícula de massa for submetida à ação de uma força F1, a razão dos módulos da força e 
da aceleração adquirida por essa partícula F1/a1 será algum número C1 cujo valor depende das 
unidades usadas para as medidas de força e aceleração. Submetendo-se a mesma partícula a 
uma força diferente F2 e medindo a correspondente aceleração a2, a razão F2/a2 dos módulos irá 
novamente produzir um número C2. Essa experiência pode ser repetida inúmeras vezes. 
Destaca-se que as razões da força aplicada pela correspondente aceleração são todas iguais a 
um mesmo número, desde que as unidades empregadas para as medidas não sejam alteradas. 
Assim: C
a
F
a
F
a
F
==== ...
2
2
1
1
 
Conclui-se que a constante C é uma medida de alguma propriedade invariante da partícula. Essa 
propriedade é a inércia da partícula, que é a resistência a taxas de variação de velocidade. Para 
uma partícula de alta inércia (C grande), a aceleração será pequena para uma dada força F. Por 
outro lado, se a inércia é pequena, a aceleração será grande. A massa m é usada como uma 
medida quantitativa da inércia e, desse modo, pode-se escrever a expressão C = km, onde k é 
uma constante introduzida para levar em conta as unidades empregadas. Assim, pode-se 
expressar a relação obtida: F = kma 
onde F é o módulo da resultante de forças atuando sobre a partícula de massa m, e a é o módulo 
da aceleração resultante da partícula. A aceleração está sempre na direção da força aplicada. 
Assim, a equação anterior se torna uma relação vetorial, e deve ser escrita: 
akmF r
r
=
 60
F = kma ou 
 61
3 - Sistema de Unidades 
É normal adotar k igual à unidade na equação anterior, colocando assim a relação na forma usual 
da segunda lei de Newton: 
 F = ma 
Um sistema de unidades para o qual k é unitário é conhecido como um sistema cinético. Assim, 
para um sistema cinético as unidades de força, massa e aceleração não são independentes. Nas 
unidades SI, as unidades de força (newtons, N) são obtidas da segunda le de Newton a partir das 
unidades básicas de massa (quilograma, Kg) vezes aceleração (metros por segundo ao quadrado, 
m/s2). Esse sistema é conhecido como absoluto, uma vez que a unidade para a força é 
dependente do valor absoluto da massa. 
 
4 - Equação de Movimento e Solução de Problemas 
Quando uma partícula de massa m está sujeita à ação de forças concorrentes F1, F2, F3,... Cujo 
vetor soma é ∑F, a equação se torna: 
 ∑F = ma 
Quando se aplica essa relação para resolver problemas, em geral ela é expressa em sua forma 
escalar em componentes empregando um dos sistemas de coordenadas já desenvolvidos. A 
escolha de um sistema de coordenadas apropriado depende do tipo de movimento envolvido, e é 
uma etapa vital na formulação de qualquer problema. 
A equação acima, ou qualquer uma das formas em componentes da equação força-massa-aceleração, é 
comumente chamada de equação de movimento. 
São encontrados dois tipos de problemas quando se aplica a equação de movimento. No primeiro 
tipo, a aceleração da partícula é especificada ou pode ser determinada diretamente das condições 
cinemáticas conhecidas. Determinam-se então as forças correspondentes que atuam sobre a 
partícula diretamente, através da substituição na equação da segunda lei. Esse problema 
geralmente é muito simples. 
No segundo tipo de problema, as forças agindo sobre a partícula são especificadas e deve-se 
determinar o movimen8to resultante. Se as forças são constantes, a aceleração também é 
constante e é facilmente encontrada a partir da equação. Quando as forças são funções do tempo, 
posição ou velocidade, a equação de movimento se torna uma equação diferencial que deve ser 
integrada para determinar a velocidade e o deslocamento. Estes tipos de problemas são 
normalmente mais interessantes, uma vez que a força pode ser uma função mista de duas ou 
mais variáveis do movimento. 
 
 62
Comentário 
Existem dois tipos fisicamente de movimento, ambos descritos pela equação de movimento. O primeiro tipo 
é o movimento sem restrição, em que a partícula está livre de guias mecânicos e segue uma trajetória 
determinada por seu movimento inercial e pelas forças que são aplicadas por fontes externas sobre ela. Um 
avião ou um foguete em voo e um elétron se movendo em um campo carregado são exemplos de movimento 
sem restrição. 
O segundo tipo é o movimento restrito, em que a trajetória da partícula é parcial ou totalmente determinada 
por guias restritivos. Um disco de hóquei é parcialmente restrito a se mover em um plano horizontal pela 
superfície do gelo. Um trem se movendo sobre seus trilhos e um cursor deslizando ao longo de um eixo fixo 
são exemplos de movimentos mais restritos. 
Algumas forças agindo sobre uma partícula durante o movimento restrito podem ser aplicadas por fontes 
externas, e outras podem ser as reações das guias restritivas sobre a partícula. Todas as forças, tanto as 
aplicadas quanto as reativas, que atuam sobre a partícula dever ser levadas em conta na aplicação da equação 
de movimento ∑F = ma. 
 
5 - Diagrama de Corpo Livre 
Quando se aplica qualquer uma das equações de movimento força-massa-aceleração, deve-se 
levar em conta todas as forças atuando sobre a partícula. Forças que podem ser desprezadas são 
aquelas cujos módulos são muito pequenos quando comparados com outras forças agindo sobre 
a partícula, como os módulos das forças de atração entre duas partículas comparadas às atrações 
devidas a corpos celestiais, como a Terra e o Sol. A soma ∑F da equação significa a soma 
vetorial de todas as forças atuando sobre a partícula em questão. 
 
A maneira confiável de levar em conta, de forma consistente, todas as forças é isolar a partícula 
em consideração de todos os corpos em contato que a influenciam e substituir os corpos 
removidos pelas forças que eles exercem sobre a partícula isolada. 
O objetivo principal do diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um corpo de 
forma clara, lógica e organizada. Consiste emseparar o “corpo de interesse” de todos os corpos 
do sistema com o qual ele interage. Neste corpo isolado (partícula) são representadas todas as 
forças que nele atuam assim como as forças de interação. 
 
O emprego cuidadoso e consistente do método do diagrama de corpo livre é a mais importante 
das lições a ser aprendida no estudo da engenharia mecânica. 
 
A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são removidos e 
substituídos pelas forças que exercem no corpo em questão. 
 Destaca-se que sempre que há o contato entre dois corpos deve-se levar em conta o 
princípio da ação e reação. 
 
Exemplos de corpos e representações dos diagramas de corpo livre para análises dos 
movimentos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Deve-se enfatizar acentuadamente a partícula a ser isolada e sua representação através de correto diagrama de 
corpo livre. Somente após esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a equivalência 
entre as forças externas e suas resultantes. De igual importância na análise de movimentos retilíneos ou 
curvilíneos, é a compreensão da cinemática envolvida. Muito frequentemente as dificuldades experimentadas 
nesses estudos estão relacionadas diretamente com cinemática. Deve ser reconhecido, na formulação da 
solução de um problema que as direções de certas forças ou acelerações não sejam conhecidas no começo, de 
tal modo que, seja necessário fazer hipóteses iniciais cujas validades serão aprovadas ou desaprovadas, 
quando a solução é efetuada. É essencial, entretanto, que todas as hipóteses feitas sejam coerentes com o 
princípio da ação e reação e com quaisquer requisitos cinemáticos, que também são chamados de condições 
de construção. 
 
6 - Movimento Retilíneo 
Aplicam-se agora os conceitos discutidos aos problemas de movimento de partículas, iniciando 
com o movimento retilíneo. Serão analisados corpos que podem ser tratados como partículas; 
para isso será fonte de estudo apenas o movimento do centro de massa do corpo. Nesse caso, 
pode-se considerar as forças como concorrentes no centro de massa. 
 63
 
Se a direção x, por exemplo, for escolhida como a direção do movimento retilíneo de uma 
partícula de massa m, as acelerações nas direções y e z serão nulas e as componentes escalares 
da equação ∑F = ma tornam-se : 
∑Fx = max 
∑Fy = 0 
∑Fz = 0 
 
Para os problemas em que não há liberdade de escolha da direção ao longo da qual ocorre o 
movimento, tem-se o caso geral de todas as três equações das componentes: 
∑Fx = max 
∑Fy = may
∑Fz = maz
 
Onde a aceleração e a resultante de forças são dadas por: 
222
222
)()()(
ˆˆˆ
ˆˆˆ
zyx
zyx
zyx
zyx
FFFF
kFjFiFF
aaaa
kajaiaa
Σ+Σ+Σ=Σ
Σ+Σ+Σ=Σ
++=
++=
r
r 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 1 
Um caixote de 50 Kg é lançado ao longo do chão com uma velocidade inicial de 7 m/s em x = 0. O 
coeficiente de atrito dinâmico é 0,40. Calcule o tempo necessário para o caixote parar e a 
correspondente distância x percorrida. 
 
 
 
 
Resolução 
Após desenhar o diagrama de corpo livre para o caixote aplica-se a equação do movimento para 
as direções x e y. 
 64
 
 
2/92,3)81,9)(4,0(
;00
smgamamg
maNmaFmaF
mgNmgNF
dinxxdin
xdinxatritoxx
y
−=−=−=⇒=−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−→=−→=Σ
==−→=Σ
μμ
μ
 
 
 
Aplicando a cinemática ao problema, temos: 
 
mx
x
xxavv
24,6
)0)(92,3(270
)(2
2
0
2
0
2
=
−−=−
−=−
st
t
atvv
784,1
92,370
0
=
−=
+=
 
 
 
Exercício resolvido 2 
Suponha agora que o caixote do exercício anterior seja lançado para baixo em um plano inclinado, 
como mostrado, com velocidade inicial de 7 m/s. Determine o tempo t necessário para o caixote 
parar e a correspondente distância x percorrida se θ = 15º. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
2/251,1
º15cos4,0º15(81,9)cos(
cos:
cos;0cos0:0
sma
senasenga
mgmgsenmaFPmaF
mgNmgNPNF
x
xdinx
dinxatritoxxx
yy
−=
−=⇒−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−→=−=Σ
==−→=−=Σ
θμθ
θμθ
θθ
 
Aplicando a cinemática ao problema, temos: 
 
mx
x
xxavv
58,19
)0)(251,1(270
)(2
2
0
2
0
2
=
−−=−
−=−
st
t
atvv
59,5
251,170
0
=
−=
+=
 
 
 
Exercício resolvido 3 
 65
Qual fração n do peso do avião a jato deve ser o empuxo (empuxo no bocal T menos a resistência 
do ar R) exigido para que o avião se eleve com uma aceleração a na direção de voo em um 
ângulo θ com a horizontal? 
 
Resolução 
O diagrama de corpo livre para o avião (considerado uma partícula) indica as forças que agem 
sobre ele. Aplicando a 2ª lei na direção do movimento, temos: 
 
g
asen
W
RTn
a
g
WWsenRTmaF xx
+=
−
=
=−−=Σ
θ
θ:
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 4 
Um homem de 75 Kg se encontra parado sobre uma balança de mola em um elevador. Durante os 
primeiros 3 segundos do movimento a partir do repouso a tração T no cabo de sustentação do 
elevador é de 8300 N. Encontre a leitura R da balança em Newtons durante esse intervalo de 
tempo. A massa total do elevador, do homem e da balança é de 750 Kg. 
 
Resolução 
A força registrada na balança depende da aceleração do elevador, que é constante durante o 
intervalo para o qual as forças são constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
A partir do diagrama de corpo livre do elevador, da balança e do homem considerados juntos, a 
aceleração é: 
 [ ∑Fy = may ] T – P = may → 8300 – 7360 = 750ay ; ay = 1,257 m/s2 
 
Sabendo que a balança lê a força para baixo exercida sobre ela pelos pés do homem, e que a 
reação R é igual a esta ação (mostrado no diagrama de corpo livre do homem sozinho com o seu 
peso), a equação do movimento para ele fornece: 
 [ ∑Fy = may ] 
 66
 R – Phomem = m.ay → R – 736 = 75.(1,257) ; R = 830 N 
Exercício resolvido 5 
Calcule a aceleração vertical a do cilindro de 150 Kg para cada um dos dois casos ilustrados. 
Despreze o atrito e as massas das polias. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Representam-se as forças que agem sobre os corpos nas duas situações: 
 
 
 
 
 
 
aTKg
aTKg
maF
200)81,9(200:)200(
150)81,9(150:)150(
=−
=−
=Σ
2/27,3
150
)81,9(50
150)81,9(150)81,9(200
sma
a
maF
==
=−
=Σ 
 
Resolvendo simultaneamente: 
 
2/401,1
1682
sma
NT
=
=
 
 
 
Atividades 
1. Durante um teste de frenagem, um carro para a partir de uma velocidade inicial de 100 Km/h 
em uma distância de 50 m. Se todas as quatro rodas contribuem igualmente para o teste, 
determine a força de frenagem F em cada uma das rodas. Suponha uma desaceleração constante 
para o carro de 1500 Kg. 
R: F = 2890 N 
 
 
 
 67
 
2. O avião A de 340 t tem quatro motores, cada um dos quais produzindo um empuxo quase 
constante de 200 kN durante a decolagem. Uma pequena aeronave B taxia em direção à 
extremidade da pista de decolagem com uma velocidade vB = 25 Km/h. Determine a velocidade 
que A parece ter relativamente a um observador em B 10 segundos depois que A inicia sua 
corrida de decolagem. Despreze as resistências do ar e ao rolamento. 
R: vA/B = – 29,5 i – 3,47 j (m/s) 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a tração P no cabo que irá fornecer ao bloco de 50 Kg uma aceleração permanente 
de 2 m/s2 para cima no plano inclinado. 
R: P = 227 N 
 
 
 
 
 
4. Uma bola de aço é suspensa no chassi acelerado por duas cordas A e B. Determine a 
aceleração a do chassi, que faz com que a tração em A seja o dobro daquela em B. 
R: a = g√3/9 
 
 
 
 
5. O coeficiente de atrito entre a caçamba plana de um caminhão e o caixote que ele transporta é 
de 0,30. Determine a menor distância de parada s que o caminhão pode ter a partir da velocidade 
de 70 Km/h, com desaceleração constante, se o caixote não deve deslizar para frente. 
 68
R: s = 64,3 m 
 
 
 
6. Pequenos objetos são liberados para a rampa inclinada de 2 m por uma esteira A que se move 
a uma velocidade v1 = 0,4 m/s. Se a esteira B possui velocidade v2 = 0,9 m/s e os objetos são 
liberados para ela sem deslizamento, calcule o coeficientede atrito μd entre os objetos e a rampa. 
R: μd = 0,558 
 
 
 
 
7. Durante um teste de confiabilidade, um placa de circuito de massa m é presa a um vibrador 
eletromagnético e submetida a um deslocamento harmônico x = X sen ωt, onde X é a amplitude 
do movimento, ω é a frequência do movimento em radianos por segundo e t é o tempo. Determine 
o módulo Fmáx da força máxima horizontal que o vibrador exerce sobre a placa de circuito. 
R: Fmáx = mXω2
 
 
 
8. Um motor para propulsão no espaço profundo é projetado para produzir um empuxo de 2,5 N 
por longos períodos. Se o motor deve mover uma espaçonave de 70 t para uma missão 
interplanetária, calcule o tempo t necessário para um aumento de velocidade de 40000 Km/h para 
65000 Km/h. Admita que a espaçonave está se movendo em uma região remota do espaço, onde 
o empuxo do seu motor é a única força atuando sobre a espaçonave na direção do seu 
movimento. R: t = 2251 dias ~ 6,16 anos 
 
9. Em um teste de resistência ao movimento em um banho de óleo, uma pequena bola de aço de 
massa m é liberada do repouso na superfície (y = 0). Se a resistência ao movimento é dada por 
R = kv, onde k é uma constante, desenvolva uma expressão para a profundidade h necessária 
para a bola atingir a velocidade v. (Não é necessário expressar h em termos de ln) 
R: a = g – (k/m)v 
 
 
 69
10. Para que valor(es) do ângulo θ a aceleração do bloco de 35 Kg será 9 m/s2 para a direita? 
R: θ = 11,88º ; 41,3º 
 
 
Unidade VII. Cinética de Partículas – Trabalho e Energia 
 
1 - Introdução 
Vimos a segunda lei de Newton F = ma estabelecida para vários problemas de movimento de 
partículas para estabelecer a relação instantânea entre a força líquida atuando sobre a partícula e 
a resultante aceleração da partícula. Quando se necessitava determinar a variação na velocidade 
ou o correspondente deslocamento da partícula, integrava-se a aceleração calculada através do 
uso das equações cinemáticas apropriadas. 
Veremos que pode-se incorporar os resultados dessas integrações diretamente nas equações do 
movimento, de tal modo que se torne desnecessário resolvê-las para obter a aceleração. 
A integração de forças desequilibradas com relação ao deslocamento da partícula leva às equações de 
trabalho e energia. 
 
2 - Definição de Trabalho 
A figura mostra uma força F atuando sobre uma partícula em A que se move ao longo da trajetória 
mostrada. O vetor posição r medido a partir de alguma origem O conveniente localiza a partícula 
conforme ela passa pelo ponto A, e dr é a diferencial do deslocamento associada a um movimento 
infinitesimal desde A até A’. 
O trabalho realizado pela força F durante o deslocamento dr é definido como: U = F.dr 
 
 
 
 
 
 
O módulo desse produto escalar é dU = F.ds.cosα, onde α é o ângulo entre F e dr e onde ds é o 
módulo de dr. 
 
 70
A expressão dU = F.ds.cosα pode ser interpretada como o deslocamento multiplicado pela 
componente de força Ft = Fcosα na direção do deslocamento, como representado pelas linhas 
tracejadas na figura abaixo. 
 
 
 
 71
Alternativamente, o trabalho dU pode ser interpretado como a força multiplicada pela componente 
de deslocamento ds.cosα na direção da força, como representado pelas linhas cheias na figura. 
 
Com essa definição de trabalho, deve-se notar que a componente normal ao deslocamento Fn = F.senα não 
realiza trabalho. Assim, o trabalho dU pode ser escrito como: dU = Ft ds 
 
Destaca-se que o trabalho é positivo se a componente que realiza trabalho Ft está no sentido do 
deslocamento, e negativo se ela está no sentido contrário. 
As forças que realizam trabalho são denominadas forças ativas. As forças de restrição que não realizam 
trabalho são ditas forças reativas. 
As unidades SI de trabalho são aquelas de força (N) vezes deslocamento (m), ou N.m; que recebe o nome 
especial de joule (J). 
 
3 - Cálculo do Trabalho 
Durante um movimento finito do ponto de aplicação de uma força, a força realiza uma quantidade 
de trabalho igual: 
U = ∫ F.dr 
U = ∫ (Fxdx + Fydy + Fzdz) 
U = ∫ Ft ds 
De modo a resolver essa integração, é necessário conhecer a relação entre as componentes de 
força e suas respectivas coordenadas ou a relação entre Ft e s. 
 
- Trabalho de Molas Lineares 
Um exemplo comum do trabalho realizado sobre uma partícula por força variável é encontrado na 
ação de uma mola fixada a um corpo móvel. Considera-se aqui a mola linear simples de rigidez k, 
onde a força F na mola, de tração ou compressão, é proporcional à sua deformação x, de tal modo 
que: F = kx. 
 
A figura abaixo mostra os dois casos em que o corpo é colocado em movimento por uma força P 
e, então estica ou comprime a mola uma distância x. Como a força exercida pela mola sobre o 
corpo em cada caso está no sentido contrário ao do deslocamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a força exercida pela mola sobre o corpo em cada caso está no sentido contrário ao do 
deslocamento, ela realiza trabalho negativo sobre o corpo. Assim, tanto para a mola se esticando 
quanto se comprimindo o trabalho realizado sobre o corpo é negativo, e é dado por: 
 
)(
2
1 2
1
2
221
2
1
2
1
xxkkxdxFdxU
x
x
x
x
−−=−=−= ∫∫− 
 
Observação: A expressão F = kx é, na verdade, uma relação escalar válida apenas quando os elementos da 
mola não têm reação. O comportamento dinâmico de uma mola quando sua massa é levada em consideração 
é um problema ligeiramente mais complexo, que não trataremos. Deve-se proceder que a massa da mola é 
pequena quando comparada com as massas das outras partes do sistema, e nesse caso a mola linear estática 
não envolverá um erro apreciável. 
 
- Trabalho e Movimento Curvilíneo 
Considera-se o trabalho realizado sobre uma partícula de massa m movendo-se ao longo de uma 
trajetória curva sob a ação de uma força F, que representa a resultante ∑F de todas as forças 
atuando sobre a partícula. A posição de m é especificada pelo vetor posição r, e seu 
deslocamento ao longo da trajetória durante o intervalo de tempo é representado pela variação dr 
em seu vetor posição. 
 
 
 
 
 
 
 
O trabalho realizado por F durante um movimento finito de uma partícula do ponto 1 até o ponto 2 
é igual: 
∫∫ ==−
2
1
2
121
.
s
s t
dsFrdFU r
r
 
 72
onde os limites especificam os pontos inicial e final do deslocamento. 
Quando se substitui a segunda lei de Newton F = ma, a expressão para o trabalho de todas as 
forças se torna: 
∫∫ ==−
2
1
2
121
.. rdamrdFU rrr
r 
 
mas a.dr = atds, onde at é a componente tangencial da aceleração de m. Em termos da velocidade 
v da partícula, sabemos que atds = vdv. Assim, a expressão para o trabalho de F se torna: 
 
)(
2
1.. 21
2
2
2
121
2
1
vvmdvmvrdFU
v
v
−=== ∫∫−
rr
 
onde a integração é desenvolvida entre os pontos 1 e 2 ao longo da curva, nos quais as 
velocidades possuem módulos v1 e v2, respectivamente. 
 
4 - Princípio do Trabalho e da Energia Cinética 
A energia cinética T de uma partícula é definida como: T = ½ mv² 
Ela representa o trabalho total que deve ser feito sobre uma partícula para levá-la do estado de repouso para 
uma velocidade v. A energia cinética T é uma grandeza escalar com unidades N.m ou Joules (J) no SI. A 
energia cinética é sempre positiva, independentemente do sentido da velocidade. 
 
A relação entre trabalho e energia pode ser escrita da forma: U1-2 = T2 – T1 = ΔT 
Que é a equação de trabalho-energia para uma partícula. Essa equação estabelece que o trabalho total 
realizado sobre todas as forças atuando sobre a partícula conforme ela se move de um ponto 1 até um ponto 2 
é igual à correspondente variação na energia cinética da partícula. 
 
Apesar de T ser sempre positiva, a variação ΔT pode ser positiva, negativa ou nula. Quando 
escrita na forma U1-2 = T2 – T1 = ΔT essa relação diz que o trabalho sempre resulta em uma 
variação na energia cinética. 
Alternativamente, a relação trabalho-energia pode ser expressa comoa energia cinética inicial T1 
mais o trabalho realizado U1-2 igual à energia cinética final T2, ou 
 T1 + U1-2 = T2
 
Observação: A maior vantagem do método trabalho e energia é que ele evita a necessidade de calcular a 
aceleração e fornece diretamente as variações de velocidade como funções das forças que realizam trabalho. 
Além disso, a equação de trabalho-energia envolve apenas aquelas forças que realizam trabalho e, dessa 
forma, contribuem para as variações no módulo das velocidades. 
 73
 
5 - Potência 
A capacidade de uma máquina é medida pela taxa de variação no tempo na qual ela pode realizar 
trabalho ou liberar energia. O trabalho total ou a energia de saída não é uma medida dessa 
capacidade, uma vez que um motor, não interessando o quão pequeno ele seja, pode liberar uma 
grande quantidade de energia se for dado tempo suficiente. Por outro lado, é preciso ter uma 
máquina grande e potente quando se necessita liberar uma elevada quantidade de energia em um 
curto período de tempo. Assim, a capacidade de uma máquina é caracterizada pela sua potência, 
que é definida como a taxa de variação no tempo do trabalho realizado. 
De acordo com a definição, a potência P desenvolvida por uma força F que realiza uma 
quantidade de trabalho U é: 
 P = dU/dt = F.dr/dt 
como dr/dt é a velocidade v, pode-se escrever: P = F.v 
 
 
Exercício resolvido 1 
Calcule a velocidade v de um caixote de 50 Kg quando ele atinge o final do plano inclinado em B 
se ele tem uma velocidade inicial de 4 m/s no topo do plano. O coeficiente de atrito dinâmico é 
0,30. 
 
 
 
 
Resolução 
O diagrama de corpo livre do caixote é desenhado e inclui a força normal N e a força de atrito 
dinâmico Fat calculadas da maneira usual. O trabalho realizado pela componente do peso para 
baixo no plano é positiva, enquanto o trabalho realizado pela força de atrito é negativo. 
 
 
 
 
O trabalho total realizado sobre o caixote durante o movimento é 
 [U = F.s] U1-2 = [50(9,81)sen15º – 142,1]10 = – 151,9 J 
A variação na energia cinética é T2 – T1 = ΔT 
 74
 [T = ½mv²] ΔT = ½(50)(v² – 4²) 
A equação de trabalho-energia fornece 
 [U1-2 = ΔT] -151,9 = 25(v² – 16) 
 v² = 9,93 → v = 3,15 m/s 
 
Exercício resolvido 2 
A mola se encontra na sua posição não deformada quando x = 0. Se o corpo se move a partir da 
posição inicial x1 = 100 mm para a posição final x2 = 200 mm, (a) determine o trabalho realizado 
pela mola sobre o corpo e (b) determine o trabalho realizado sobre o corpo por seu peso. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
JUxxkU 60)2,01,0)(4000(
2
1)(
2
1 22
21
2
2
2
121 −=−=→−= −−(a) [U1-2 = - ∫ kx dx] 
 
 (b) [U1-2 = ∫ mg dy] JsenUyymgU 35,2)20.1,0)(81,9(7)( 0212121 ==→−= −−
 
Exercício resolvido 3 
O bloco de 50 Kg em A está montado sobre roletes, de tal modo que se move ao longo da guia 
horizontal com atrito desprezível sob a ação de uma força constante de 300 N no cabo. O bloco é 
liberado do repouso em A, com a mola que está conectada a ele estendida de uma quantidade 
inicial x1 = 0,233m. A mola tem rigidez k = 80 N/m. Calcule a velocidade v do bloco quando ele 
atinge a posição B. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 75
O diagrama de forças ativas para o sistema composto pelo bloco e pelo cabo é mostrado para 
uma posição genérica. A força F = 80x na mola e a tração T = 300N são as únicas forças externas 
a esse sistema que realizam trabalho sobre o sistema. A força exercida pelo bloco pela guia, o 
peso e a reação da pequena polia sobre o cabo não realizam trabalho sobre o sistema, e não 
estão incluídos no diagrama de forças ativas. 
 
 
 
 
 
Conforme o bloco se move de x = 0,233 m até x = 0,233 + 1,2 = 1,433 m, o trabalho realizado pela 
força da mola atuando sobre o bloco é negativo e igual a: 
JxdxxU 8040.80 433,1 233,0
433,1
233,0
2
21 −=−=−= ∫−[U = ∫ F dx] 
 
O trabalho realizado sobre o sistema pela força constante de 300 N no cabo é a força vezes o 
movimento horizontal líquido do cabo sobre a polia C, que é x² = (1,2)² + (0,9)² - 0,9 → x = 0,6 m 
Assim, o trabalho é igual a: 
 U = F.s → U = 300.(0,6) = 180 J 
 
Aplica-se agora a equação de trabalho-energia ao sistema e obtém-se: 
 [U1-2 = ΔT] - 80 + 180 = ½(50)(v² - 0) → v = 2 m/s 
 
Exercício resolvido 4 
Um satélite de massa m é colocado em uma órbita elíptica em torno da Terra. Em um ponto A, sua 
distância da Terra é h1 e sua velocidade é v1. Determine uma expressão para a velocidade v2 do 
satélite quando ele atinge o ponto B, a uma distância h2 da Terra. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 76
O satélite está se movendo fora da atmosfera da Terra, de modo que a única força atuando sobre 
ele é a atração gravitacional da Terra. Com a massa e o raio da Terra expressos por mT e R, 
respectivamente, a lei gravitacional fornece F = GmmT/r² = gR²m/r² utizando a substituição 
GmT = rR². O trabalho realizado por F é devido apenas à componente radial do movimento ao 
longo da linha de ação de F, e é negativo com o aumento de r. 
 
∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−=−=−
2
1
2
1 12
2
2
2
21
11.
h
h
r
r hh
mgR
r
drmgRdrFU
 
Utilizando a equação de trabalho-energia U1-2 = ΔT, temos: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
12
22
1
2
2
2
1
2
2
12
2
112
)(
2
111
hh
gRvv
vvm
hh
mgR
 
 
 
 
Atividades 
1. Um pequeno corpo apresenta uma velocidade vA = 5 m/s no ponto A. Desprezando o atrito, 
determine a sua velocidade vB no ponto B após ele ter sido elevado 0,8 m. O conhecimento do 
formato da trajetória é necessário? 
R: vB = 3,05 m/s B
 
 
 
2. Um caixote de 30 Kg desliza para baixo da trajetória curva no plano vertical. Se o caixote possui 
uma velocidade de 1,2 m/s para baixo no plano inclinado em A e uma velocidade de 8 m/s em B, 
calcule o trabalho Uat realizado sobre o caixote pelo atrito durante o movimento de A até B. 
R: Uat = - 827 J 
 
 
 
 
 
 77
3. Um guindaste de demolição está se movendo com uma velocidade constante de 3 Km/h 
quando subitamente pára. Calcule o ângulo máximo θ que o cabo da bola de demolição oscila. 
R: θ = 6,23 º 
 
 
 
 
4. No projeto de um pára-choque com mola para um carro de 1500 Kg, deseja-se que o carro pare 
a partir de uma velocidade de 8 Km/h em uma distância igual a 150 mm de deformação da mola. 
Especifique a rigidez k necessária para cada uma das duas molas atrás do pára-choque. As molas 
estão sem deformação no início do impacto. 
R: k = 164,6 kN/m 
 
 
 
 
5. Um pequeno cursor de massa m é liberado do repouso em A e desliza para baixo, na haste 
curva no plano vertical, com atrito desprezível. Expresse a velocidade v do cursor quando ele 
atinge a base B em termos das condições dadas. 
R: v = √2gh 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um carro de 1200 Kg desce a uma ladeira com inclinação de 8 % a uma velocidade de 100 
Km/h. O motorista aplica os freios, de modo a levá-lo para uma velocidade de 25 Km/h em uma 
distância de 0,5 Km medidos ao longo da estrada. Calcule a perda de energia Q dissipada pelos 
freios na forma de calor. Despreze qualquer perda por atrito a partir de outras causas, como a 
resistência do ar. 
R: Q = 903 kJ 
 
7. O vetor posição de uma partícula é dado por r = 8t i + 1,2t2 j – 0,5(t3 – 1) k, onde t é o tempo em 
segundos a partir do início do movimento e onde r é expresso em metros. Para a condição em que 
t = 4s determine a potência P desenvolvida pela força F = 40i – 20j – 36 k (N) que atua sobre a 
partícula. 
R: P = 0,992 kW 
 
 78
8. Pequenos blocos de metal são descarregados com uma velocidade de 0,45 m/s em uma rampa 
pela esteira superior, como mostrado. Se o coeficiente de atrito dinâmico entre os blocos e a 
rampa é de 0,30, calcule o ângulo θ que a rampa deve fazer com a horizontalde modo que os 
blocos sejam transferidos sem deslizar para a esteira inferior se movendo a velocidade de 
0,15 m/s. 
R: θ = 16,62 º 
 
 
 
 
 
 
 
6 - Energia Potencial Gravitacional 
Considera-se inicialmente o movimento de uma partícula de massa m próxima da superfície da 
Terra, onde a atração gravitacional (peso) mg é essencialmente constante. 
 
 
 
 
 
 
A energia potencial gravitacional Vg da partícula é definida como o trabalho mgh realizado contra o campo 
gravitacional para elevar a partícula a uma distância h acima de algum plano de referência arbitrário, onde Vg 
é tomado como zero. Assim, podemos escrever a energia potencial como: 
 Vg = mgh 
 
Esse trabalho é chamado de energia potencial, porque pode ser convertido em energia se a 
partícula for liberada a realizar trabalho sobre um corpo que a sustente enquanto retorna ao seu 
plano de origem, abaixo da posição de partida. Ao se deslocar de um nível em h = h1 para um 
nível mais elevado em h = h2, a variação na energia potencial se torna: 
 ΔVg = mg(h2 – h1) = mgΔh 
 79
O correspondente trabalho realizado pela força gravitacional sobre a partícula é – mgΔh. Assim, o trabalho 
realizado pela força gravitacional é o simétrico da variação na energia potencial. 
7 - Energia Potencial Elástica 
O segundo exemplo de energia potencial ocorre na deformação de um corpo elástico, tal como 
uma mola. O trabalho que é realizado sobre uma mola para deformá-la é armazenado na mola e é 
denominado energia potencial elástica Ve. Essa energia é recuperada na forma de trabalho 
realizado pela mola sobre um corpo conectado a sua extremidade móvel durante sua liberação ou 
deformação. 
Para uma mola linear unidimensional de rigidez k, a força suportada por ela com qualquer 
deformação x, de tração ou compressão, a partir da posição não-deformada é F = kx. Assim, 
define-se a energia potencial elástica da mola como o trabalho realizado sobre ela para deformá-la 
de uma quantidade x, e tem-se: 
∫ ==
x
e kxdxkxV 0
2
2
1. 
 
Se a deformação, seja de tração ou compressão, de uma mola aumentá-la de x1 para x2 durante o 
movimento, então a variação na energia potencial da mola é o seu valor final menos seu valor 
inicial, ou 
)(
2
1 2
1
2
2 xxkVe −= 
que é positivo. 
Ao contrário, se a deformação da mola diminui durante o intervalo de movimento, então a variação 
na sua energia potencial se torna negativa. 
Como a força exercia sobre a mola pelo corpo móvel é igual e oposta à força F exercida pela mola sobre o 
corpo, segue-se que o trabalho realizado sobre a mola é o simétrico do trabalho realizado sobre o corpo. 
 
8 - Equação de Trabalho-Energia 
Sendo U’1-2 o trabalho de todas as forças externas além das forças gravitacionais e de molas, 
pode-se escrever a relação entre trabalho e energia como: 
 U’1-2 = ΔT + ΔVg + ΔVe
 
Essa forma alternativa da equação de trabalho-energia normalmente é mais conveniente do que 
U1-2 = ΔT, uma vez que o trabalho das forças gravitacionais e de molas é levado em conta ao se 
prestar atenção nas posições inicial e final da partícula e nos comprimentos inicial e final da mola 
elástica. Assim, o caminho seguido entre essas posições inicial e final não terá consequência na 
avaliação de ΔVg e Δve. 
A equação pode ser reescrita na forma equivalente: 
 80
 T1 + Vg1 + Ve1 + U’1-2 = T2 + Vg2 + Ve2
Pode-se reescrever ainda a relação trabalho-energia alternativa para uma partícula como: 
 EVVTU eg Δ=++Δ=− )(' 21
 
onde ΔE = T + Vg + Ve é a energia mecânica total da partícula. Esta equação estabelece que o trabalho 
líquido realizado sobre o sistema por todas as forças, além das forças gravitacionais e forças elásticas, é igual 
à variação na energia mecânica total do sistema. 
 
Para problemas em que as únicas forças são as gravitacionais, elásticas e forças de restrição que 
não realizam trabalho, o termo U’ é nulo, e a equação da energia se torna simplesmente: 
 ΔE = 0 ou E = constante (lei da conservação da energia dinâmica) 
Quando E é constante, nota-se que pode haver transferência entre a energia cinética e a energia potencial, 
enquanto a energia mecânica total não varia. 
 
 
Exercício resolvido 1 
Um cursor de 1,2 Kg é liberado do repouso na posição A e desliza sem atrito no plano vertical ao 
longo da guia mostrada. Determine a velocidade vB do cursor quando ele passa pela posição B. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Como não há atrito e força de contato cursor-guia é perpencidular ao movimento (e por isso não 
realiza trabalho), pode-se considerar apenas as variações de energia devido ao trabalho realizado 
pela força peso. Observando que há conservação de energia, e tomando o ponto A como posição 
padrão, escreve-se: 
 
smghv
mghmv
VTVT
BB
BB
BBAA
/4,9)5,4)(81,9(22
2
100 2
===
−=+
+=+
 
 
 
 81
 
Exercício resolvido 2 
O cursor de 3 Kg é liberado do repouso no ponto A e desliza, com atrito vertical, em um plano 
vertical ao longo da haste circular. A mola conectada possui rigidez de 350 N/m e um comprimento 
não-deformado de 0,6 m. Determine a velocidade do cursor quando ele passa na posição B. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
O trabalho realizado pelo peso e pela mola sobre o cursor será tratado com a variação nas 
energias potenciais, e a reação da haste sobre o cursor é normal ao movimento e não realiza 
trabalho. Assim, U’1-2 = 0. As variações nas energias potencial e cinética para o sistema de cursor 
e mola são: 
 { }[ ] JxxkV ABe 2,52)6,0(6,0)6,0()6,0()350(2
1)(
2
1 22222 −=−−+=−=Δ
 
 JhWVg 66,17)6,0)(81,9(3 −=−=Δ=Δ
 
2222 5,1)0(3
2
1)(
2
1
BBAB vvvvmT =−=−=Δ 
 smvvVVT BBeg /82,602,5266,175,1]0[
2 =→=−−⇒=Δ+Δ+Δ
 
 
Exercício resolvido 3 
Uma haste leve é pivotada em O e carrega as partículas de 2 e 4 Kg. Se a haste é liberada do 
repouso em θ = 60º e oscila no plano vertical, calcule a velocidade v da partícula de 2 Kg pouco 
antes de atingir a mola na posição tracejada. 
 
 82
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Uma vez que não existem forças dissipativas pode-se considerar U’1-2 = 0, ou seja, ocorre 
conservação de energia mecânica total do sistema. Sabendo que a relação entre as velocidades 
angulares é ωA = ωB → vB = (RB B/RA)vBB
A variação nas energias potencial e cinética para o sistema será: 
 
smv
sensenvv
VT g
/162,1
0)º603,0)(81,9(4)º6045,0)(81,9(2)
450
300)(4(
2
1)2(
2
1
0
22
=
=−++
=Δ+Δ
 
 
 
 
Exercício resolvido 4 
Considerando a haste leve é pivotada em O do exemplo anterior, calcule a compressão máxima x 
da mola. Admita que x é pequeno, de modo que a posição da haste quando a mola é comprimida 
é essencialmente horizontal. 
 
Resolução 
Nesse caso ΔT = 0, e pode-se escrever a variação na energia total como: 
 
mmmx
xsensen
VV eg
07,1201207,0
0)10.35(
2
1)º603,0)(81,9(4)º6045,0)(81,9(2
0
23
==
=+−
=Δ+Δ
 
 
 
 
Atividades 
1. O cursor de 4 Kg é liberado do repouso em A e desliza com atrito desprezível para baixo, na 
haste circular no plano vertical. Determine a velocidade v do cursor quando ele atinge a parte 
inferior em B. 
R: v = 3,43m/s 
 
 
 
 
 
2. Considerando ainda o cursor do problema anterior determine a máxima deformação x da mola. 
 83
R: x = 48,5 mm 
3. As molas não estão deformadas na posição mostrada. Se o cursor de 6 Kg é liberado do 
repouso na posição onde a mola inferior se encontra comprimida de 125 mm, determine a 
compressão xB da mola superior. 
R: x = 176,6 mm 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se o sistema é liberado do repouso, determine as velocidades de ambas as massas após B ter-
se deslocado 1 m. Despreze o atrito e as massas das polias. 
R: vA = 0,616 m/s; vB = 0,924 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 84
5. Um projétil é disparado verticalmente para cima a partir do Polo Norte com umavelocidade v0. 
Calcule o valor mínimo v0 que irá permitir que o projétil escape da força gravitacional da Terra, 
admitindo que não exista resistência atmosférica. Adote energia potencial gravitacional igual a 
mgR²/r, e que v = 0 quando r = ∞. 
R: v0 = √2gR 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um satélite é colocado em uma órbita elíptica em torno da Terra e apresenta uma velocidade vP 
na posição de perigeu P. Determine a expressão para a velocidade vA na posição de apogeu A. 
Os raios de A e P são, respectivamente, rA e rP. Note que a energia total permanece constante. 
 
 R: v0 = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−v 2
AP
P rr
gR 1122
 
 
 
 
 
7. Os carros da montanha-russa de um parque de diversões têm velocidade v1 = 90 Km/h na parte 
mais baixa dos trilhos. Determine a velocidade v2 dos carros na parte mais alta dos trilhos. 
Despreze a energia perdida por atrito, e considere que a diferença de altura entre o ponto mais 
baixo e o ponto mais alto igual a 27 m. 
R: v2 = 9,75 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade VIII. Cinética de Partículas – Impulso Linear e Quantidade de Movimento 
 
1 - Introdução 
Vimos que as equações de trabalho e energia são obtidas pela integração da equação de 
movimento F = ma com relação ao deslocamento da partícula. Vimos que as variações de 
velocidade podem ser expressas diretamente em termos do trabalho realizado ou em termos das 
variações totais na energia. 
Veremos agora a equação do movimento integrada com relação ao tempo em vez de ao 
deslocamento. Essa abordagem leva às equações de impulso e quantidade de movimento, que 
facilitam muito a solução de alguns problemas nos quais as forças aplicadas agem durante 
 85
períodos extremamente curtos (como em problemas de impacto) ou ao longo de intervalos de 
tempo especificados. 
 
2 - Impulso Linear e Quantidade de Movimento Linear 
Considerando novamente o movimento curvilíneo genérico no espaço de uma partícula de massa 
m, onde a partícula é localizada pelo seu vetor posição r medido a partir da origem fixa O. A 
velocidade da partícula é v = dr/dt e é tangente à sua trajetória, como mostrado pela linha 
tracejada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resultante ∑F de todas as forças sobre m está na direção da sua aceleração a = dv/dt. Pode-se 
escrever a equação de movimento básica para a partícula como: 
 86
 ou 
Onde o produto da massa e da velocidade é definido como a quantidade de movimento linear 
G = mv da partícula. 
∑ == )( vmdt
dvmF r&r
r
∑ = GF &
rr
 
A equação estabelece que a resultante de todas as forças atuantes sobre uma partícula é igual à taxa 
de variação no tempo da quantidade de movimento linear. No SI as unidades da quantidade de movimento 
linear m.v consistem em Kg.m/s, que é também igual a N.s. 
∑ = GF &
rr
 
Como se trata de uma equação vetorial, verifica-se que além da igualdade de módulos de e 
a direção da força resultante coincide com a direção da taxa de variação da quantidade de 
movimento linear, que é a direção da taxa de variação da velocidade. 
∑F
r
G&
r
Esta equação é uma das mais úteis e importantes relações na dinâmica, e é válida desde que a 
massa da partícula não esteja variando com o tempo. 
Pode-se escrever as três componentes escalares da equação como: 
∑ = zz GF & ∑ = xx GF & ∑ = yy GF &
Essas equações podem ser aplicadas independentemente uma das outras. 
3 - O princípio do Impulso-Quantidade de Movimento 
Até aqui, tudo que foi feito é reescrever a segunda lei de Newton em uma forma alternativa, em 
termos da quantidade de movimento. Agora é possível descrever o efeito da resultante de forças 
∑F sobre a quantidade de movimento linear da partícula ao longo de um período finito de tempo 
simplesmente pela integração da equação com relação ao tempo t. Multiplicando-se a 
equação por dt tem-se ∑F dt = dG, que é integrado do instante t1 ao instante t2 para obter 
∑ = GF &
rr
 
∫ ∑ Δ=−=
2
1
12
t
t
GGGdtF
r&r&rr
 
Aqui a quantidade de movimento linear no instante t2 é G2 = m.v2, e a quantidade de movimento 
linear no instante t1 é G1 = m.v1. 
O produto da força e do tempo é definido como o impulso linear da força, e a equação acima estabelece que 
o impulso linear total sobre m é igual à correspondente variação da quantidade de movimento linear de m. 
 
Obs.: A integral do impulso é um vetor que, em geral, pode envolver variações tanto no módulo 
quanto na direção durante o intervalo de tempo. Sob tais condições, será preciso expressar ∑F e 
G na forma de componentes e depois combinar as componentes integradas. As componentes da 
equação se tornam as equações escalares: ∫ ∑ Δ=−=
2 GGF
1
12
t
t
Gdt
r&r&rr
 
∫ ∑
∫ ∑
∫ ∑
−=
−=
−=
2
1
2
1
2
1
12
12
12
)()(
)()(
)()(
t
t zzz
t
t yyy
t
t xxx
mvmvdtF
mvmvdtF
mvmvdtF
 
 
 
 
Essas três equações escalares de impulso-quantidade de movimento são completamente independentes. As 
expressões escalares correspondentes às equações vetoriais são simplesmente o rearranjo dessas equações. 
 
4 - Conservação da Quantidade de Movimento Linear 
Se a força resultante sobre a partícula é nula durante um intervalo de tempo, é imediato perceber 
da expressão que a quantidade de movimento G será constante. Nesse caso, diz-se que 
a quantidade de movimento linear de uma partícula é conservada. 
∑ = GF &
rr
 
 87
Consideremos então o movimento de duas partículas a e b que interagem durante um intervalo de 
tempo. Se as forças de interação F e -F entre elas são as únicas forças desequilibradas atuando 
sobre as partículas durante o intervalo de tempo, seque que o impulso linear sobre a partícula a é 
simétrico do impulso linear sobre a partícula b. 
Desse modo, a partir da equação a variação na quantidade de 
movimento ΔG total para o sistema de duas partículas permanece constante durante o intervalo 
de tempo, e pode-se escrever: 
∫ ∑
 88
 
 ΔG = 0 ou G1 = G2
Que é o princípio da conservação da quantidade de movimento linear! 
 
Exercício resolvido 1 
Uma partícula de 0,2 Kg se move no plano y-z vertical (z para cima, y horizontal) sob a ação de 
seu peso e da força F que varia com o tempo. A quantidade de movimento linear da partícula em 
newtons-segundos é dada pela expressão G = 3/2(t2 +3)j – 2/3(t³ – 4)k, onde t é o tempo em 
segundo. Determine a força F e seu módulo para o instante em que t = 2s. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Expressando o peso como um vetor é -0,2(9,81)k N. Assim, a equação de força-quantidade de 
movimento se torna: 
 [ ] 
Δ=−=2
1
12
t
t
GGGdtF
 
 para t = 2s: 
 
 
 
 
Exercício resolvido 2 
Uma bala de 50 g, deslocando-se a 600 m/s, atinge um bloco de 4 Kg centralmente e fica alojada 
dentro dele. Se o bloco desliza sobre um plano liso com uma velocidade de 12 m/s na direção 
mostrada antes do impacto, determine a velocidade v do bloco e da bala alojada imediatamente 
após o impacto. 
 
 
 
r&r&rr
∑ = GF &
rr
ktjtktjt
dt
dkF ˆ²2ˆ3ˆ)4³(
3
2ˆ)3²(
2
3ˆ)81,9(2,0 −=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−+=−
r
)(ˆ04,6ˆ6ˆ)²2(2ˆ)2(3ˆ)81,9(2,0 NkjkjkF −=−+=
r
NF 51,8²04,6²6 =−=
Resolução 
Uma vez que a força de impacto é interna ao sistema composto pelo bloco e pela bala, e desde 
que não existem outras forças atuando sobre o sistema no plano do movimento, segue que a 
quantidade de movimento linear do sistema é conservada. Assim: 
)/(ˆ33,13ˆ26,10
)050,04()ˆº30ˆº30)(cos12(4)ˆ600(050,0
smjiv
vjsenij
+=
+=++
r
r[G1 = G2] 
 
a velocidade final e sua direção são dadas por: 
 
º4,52299,1
26,10
33,13
/83,16)²33,13()²26,10(22
=⇒==→=
=+=→+=
θθθ tg
v
v
tg
smvvvv
x
y
yx
 
 
 
 
Exercício resolvido 3 
O carro de 1500 Kg apresenta uma velocidade de 30 Km/h para cima em uma ladeira de 
inclinação10 % quando o motorista aplica mais potência por 8 s, para levar o carro a uma 
velocidade de 60 Km/h. Calcule a média no tempo da força F total tangente à pista exercida sobre 
os pneus durante os 8 s. Trate o carro como uma partícula, e despreze a resistência do ar. 
 
 
 
 
 
Resolução 
O diagrama de corpo-livre representa as forças que agem no carro considerado uma partícula. A 
inclinação do plano pode ser calculada fazendo: 
 
tg θ = 1/10 → θ = 5,71º 
 
 
 
 
Sabendo que somente as forças F e a componente Px do peso são responsáveis pela variação da 
quantidade de movimento do carro, temos: 
 89kNNF
senFGdtF xx
03,33030
6,3
30
6,3
6015008º.71,5)81,9(1500][
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−→Δ=Σ∫ 
 
Atividades 
1. A velocidade de uma partícula de 1,2 Kg é dada por v = 1,5 t³i + (2,4 – 3t²)j + 5k, onde v está 
em metros por segundos e o tempo t está em segundos. Determine a quantidade de movimento 
linear G da partícula e seu módulo G quando t = 2 s. 
R: G = 14,4i – 11,52j + 6k Kg.m/s; G = 19,39 Kg.m/s 
 
2. Um projétil de 75 g se desloca a 600 m/s, atingindo e permanecendo alojado no bloco de 50 Kg 
que está inicialmente parado. Calcule a energia perdida durante o impacto. 
R: ΔE = 13,48 kJ 
 
 
 
3. Um avião com propulsão a jato e massa de 10 t está voando horizontalmente com uma 
velocidade constante de 1000 Km/h sob a ação do empuxo do motor T e da força de resistência 
do ar R igual e oposta. O piloto aciona duas unidades motoras auxiliares, cada uma das quais 
desenvolvendo um empuxo para frente T0 de 8 kN por 9 s. Se a velocidade do avião em seu voo 
horizontal é de 1050 Km/h no final dos 9 s, calcule o aumento médio no tempo ΔR na resistência 
do ar. A massa do combustível usado é desprezível, comparada com aquela do avião. 
R: ΔR = 568 N 
 
 
 
4. O vagão de carga A, com uma massa total de 80 t, está se movendo ao longo de um trilho 
horizontal no parque de conexão a 3 Km/h. O vagão de carga B, com uma massa total de 60 t e se 
movendo a 5 Km/h, ultrapassa o vagão A e é acoplado a ele. Determine a velocidade comum v 
dos dois vagões quando eles se movem juntos, após terem sido acoplados. 
R: v = 3,86 Km/h 
 
 
 
 
5. Considerando a situação dos vagões de carga e B da atividade anterior, determine a perda de 
energia |ΔE| devido ao impacto. 
 90
R: ΔE = 5,29 kJ 
6. Um bloco de 9 Kg está se movendo para a direita com uma velocidade de 0,6 m/s sobre uma 
superfície horizontal quando uma força P é aplicada a ele no instante t = 0. Calcule a velocidade v 
do bloco quando t = 0,4 s. O coeficiente de atrito dinâmico é μdin = 0,3. 
R: v = 1,823 m/s 
 
 
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