Aula 3 - fisica

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Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
Aula 3 - A descrição dos movimentos
Meta
Definir os conceitos de referenciais, trajetórias e vetores, necessários à des-
crição dos movimentos dos corpos.
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. conceituar uma partícula;
2. identificar quando um corpo pode ser tratado como partícula;
3. definir a trajetória de uma partícula;
4. definir referencial e observador;
5. identificar as coordenadas cartesianas de um ponto;
6. definir e calcular os vetores deslocamentos;
7. somar e multiplicar vetores por um número real.
Introdução
A Teoria de Ptolomeu afirma que o Sol e todos os planetas giram em torno da
Terra, enquanto a Teoria de Copérnico diz que são os planetas que giram em
torno do Sol. Uma pessoa com pouca cultura científica, ao ser questionada se
é a Terra que gira em torno do Sol ou se é o Sol que gira em torno da Terra,
poderá responder que é o Sol que gira em torno da Terra. Essa resposta pode
se dar pois, todos os dias, nós observamos o Sol se deslocar no céu do leste
para o oeste.
Afinal de contas, é a Terra que gira em torno do Sol ou é o Sol que gira
em torno da Terra? As duas respostas estão corretas porque a pergunta está
incompleta. Para se descrever o movimento de um corpo é necessário definir o
que (objeto de estudo) está sendo observado e quem (observador) está fazendo
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
a observação. A pergunta anterior está incompleta pois o observador não foi
especificado. Para um observador fixo na Terra, é o Sol que gira em torno
dela. Todavia, para um observador fixo no Sol, é a Terra que gira em torno
dele. Incorreto é dizer que todos os planetas e o Sol giram em círculos em
torno da Terra. Galileu apresentou argumentos para demonstrar que a órbita
de Vênus em torno da Terra não podia ser circular.
Figura 3.1: Nesta figura existem observadores diversos (1, 2 e 3). O movi-
mento da carrocinha do pipoqueiro, para cada um deles, é diferente.
A escolha do ponto de observação é muito importante na descrição dos mo-
vimentos dos corpos. Por exemplo, no parque de diversões mostrado na
Figura 3.1, a carrocinha do pipoqueiro (objeto de estudo) está em repouso
para a criança que espera pacientemente a sua pipoca (observador 1), está
se deslocando em linha reta para a mãe que acompanha o filho no passeio do
trenzinho (observador 2) e está girando em alta velocidade para o adolescente
que está no círculo da morte (observador 3). Portanto, podemos concluir que
a descrição de um movimento é diferente para diferentes observadores, isto é,
todo movimento é relativo a um observador. Além disso, existem pontos de
observação onde a descrição do movimento é mais simples. No caso do nosso
exemplo, ele é mais simples para o menino que está esperando a pipoca. Por
isso, quando for possível, escolheremos o ponto de observação que permita a
descrição mais simples do movimento. Do ponto de vista prático, nem sem-
pre é possível analisar o movimento de um ponto de observação onde a sua
descrição é a mais simples. Por exemplo, na ocasião em que foram feitos os
estudos para descobrir qual era o movimento dos planetas do Sistema Solar,
as observações só eram possíveis a partir da Terra. No entanto, a descrição
do movimento dos planetas é mais simples com o ponto de observação no
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MÓDULO 1 - AULA 3
Sol.
Discutiremos nesta aula os conceitos de referencial, trajetórias e vetores. Eles
são necessários para uma descrição detalhada dos movimentos. Contudo, an-
tes de começar a sua leitura, veja se você é capaz de responder às seguintes
perguntas:
1. O que é uma partícula?
2. Quando um corpo pode ser tratado como partícula? Dê um exemplo.
3. O que é a trajetória de uma partícula?
4. O que são coordenadas cartesianas planas?
5. O que são coordenadas cartesianas tridimensionais?
6. Qual a definição do vetor deslocamento?
7. Qual é a regra para somar vetores?
8. Qual é a regra para multiplicar um vetor por um número real?
9. Quais as propriedades da soma de vetores e da multiplicação de um
vetor por um número real?
Se você não conseguiu responder a algumas delas, não desanime, ao longo
desta aula você verá todos esses conceitos.
Partículas e suas trajetórias
Um corpo pode ter um movimento simples em que ele translada sem se
deformar, como na Figura 3.2, ou um movimento mais complicado, em que
translada girando e se deformando, como na Figura 3.3.
Figura 3.2: Um corpo que translada sem girar e sem se deformar.
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Figura 3.3: Um corpo que translada girando e se deformando.
Um exemplo de movimento simples é o de um carro trafegando em uma
rodovia reta, e um exemplo de um movimento mais complicado é o caso de
um atleta de saltos ornamentais que, após pular de um trampolim, se encolhe
e gira até chegar à água. O carro se desloca no espaço sem girar e sem se
deformar, enquanto o atleta se desloca no espaço girando e se deformando.
Dizemos que o carro apenas se translada no espaço.
Nesta aula definiremos conceitos relevantes para a descrição dos mo-
vimentos de corpos que se deslocam no espaço, sem girar nem se deformar
(como na Figura 3.2). Nesse caso, o conhecimento da forma do corpo e
do movimento de um dos seus pontos (por exemplo, do ponto A) permite a
descrição completa do seu movimento. Dizemos, então, que o corpo pode ser
tratado como uma partícula.
Partícula é um modelo utilizado na descrição do movimento de um
corpo em que se supõe que toda a sua massa está em um único ponto. A
linha gerada pelo deslocamento de uma partícula é denominada trajetória .
A descrição do movimento de corpos que transladam e giram (como na Fi-
gura 3.3) só será apresentada na disciplina de Física 1B.
Em algumas ocasiões, quando estamos interessados em descrever par-
cialmente o movimento de um corpo, podemos, por aproximação, tratar sis-
temas que giram e se deformam como partículas. Por exemplo, na descrição
da órbita da Terra em torno do Sol (ponto de observação), podemos tra-
tar a Terra como uma partícula porque a distância média da Terra ao Sol é
muito maior do que o raio da Terra. Isso torna as suas dimensões irrelevantes
para analisar a órbita do planeta em torno do Sol. No entanto, se quisermos
analisar as estações do ano, ela não pode ser tratada como partícula.
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Atividade 1
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
Baseado no que você leu nesta aula, responda às seguintes perguntas:
1. O que é uma partícula?
2. Quando um corpo pode ser tratado como partícula? Dê um exemplo.
3. O que é a trajetória de uma partícula?
Respostas Comentadas
1. Partícula é um modelo utilizado na descrição do movimento de um
corpo em que se supõe que toda a massa do corpo está em um ponto.
2. Um corpo que se desloca no espaço sem girar e sem se deformar pode
ser tratado como uma partícula. Por exemplo, uma caixa rígida que é
empurrada sem girar sobre um piso horizontal.
3. A linha gerada pelo deslocamento de uma partícula é denominada tra-
jetória.
Chamaremos, a partir de agora, o corpo ou o conjunto de corpos que
estão sendo observados de sistema . Todo o resto do Universo será denomi-
nado exterior . Por exemplo, se a Terra for o nosso sistema, o exterior será
constituído por tudo que não é a Terra, como corpos celestes, poeira cósmica
etc.
Na realidade, é possível demonstrar que, para qualquer sistema, sempre
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existe um ponto que se comporta como partícula. Esse ponto é denominado
centro de massa . O centro de massa é um ponto imaginário do sistema
que se comporta como uma partícula que tem a massa igual à massa total
do sistema e que sofre as mesmas ações que o exterior exerce sobre ele. Porexemplo, se considerarmos a Terra como uma esfera rígida, o centro de massa
será o centro da esfera. Se considerarmos que somente o Sol atua sobre a
Terra, isto é, que as ações dos outros corpos celestes sobre ela são desprezí-
veis, a trajetória do centro de massa será igual à de uma partícula que tenha
a massa da Terra e que sofra apenas a ação do Sol. A trajetória do centro
de massa fornece informações relevantes para o movimento do sistema.
A definição do centro de massa já foi apresentada em um dos
complementos do módulo de Mecânica de ICF1. O estudo da
trajetória do centro de massa e da relação entre a sua trajetória
e o movimento do sistema será apresentado na disciplina de
Física 1B.
Referenciais, observadores e sistemas de
coordenadas
Coordenadas cartesianas no plano são o par ordenado que fornece
as distâncias perpendiculares de um ponto do plano aos dois eixos perpendi-
culares que o definem. Na Figura 3.4 as coordenadas cartesianas do ponto
A são (XA, YA).
Figura 3.4: Coordenadas cartesianas no plano.
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Coordenadas cartesianas tridimensionais são o conjunto orde-
nado com três números que fornecem as distâncias perpendiculares de um
ponto a três eixos perpendiculares que se cruzam em um ponto O. Na Fi-
gura 3.5 as coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto A são (XA, YA, ZA).
Figura 3.5: Coordenadas cartesianas no espaço.
O conceito de referencial necessita da definição de corpo rígido, que é
um corpo cujas distâncias relativas entre os seus pontos não mudam com o
tempo.
Referencial é um corpo rígido em relação ao qual se podem especificar
as coordenadas espaciais e temporais de eventos físicos. O observador é um
agente físico em um referencial capaz de realizar medições. Ele pode ser uma
pessoa ou aparelho programado para medir. A medida de distâncias é feita
com réguas e a de tempo, com relógios. Um referencial S pode ser visualizado
em termos bem concretos, por exemplo: três barras rígidas definindo um
sistema de eixos cartesianos, que podem ser tomadas como comprimentos
unitários, para medidas das coordenadas e um relógio para medida de tempo
(ver Figura 3.6).
Figura 3.6: Referencial.
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É comum representar os referenciais nas figuras dos livros apenas pelo
seu sistema de eixos cartesianos. É essa representação gráfica simplificada
dos referenciais que será adotada neste módulo.
Atividade 2
Atende aos Objetivos 4 e 5
Baseado no que você leu nesta aula, responda às seguintes perguntas:
1. O que são coordenadas cartesianas planas?
2. O que são coordenadas cartesianas tridimensionais?
3. O que é um referencial?
4. O que é um observador?
Respostas Comentadas
1. Coordenadas cartesianas planas são o par ordenado que fornece as dis-
tâncias perpendiculares de um ponto do plano aos dois eixos perpendi-
culares que o definem.
2. Coordenadas cartesianas tridimensionais são o conjunto ordenado com
três números que fornecem as distâncias perpendiculares de um ponto
a três eixos perpendiculares que se cruzam em um ponto O.
3. Referencial é um corpo rígido em relação ao qual se podem especificar
as coordenadas espaciais e temporais de eventos físicos. Para medir
distâncias utilizam-se réguas e para medir tempos, relógios.
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4. Observador é um agente físico em um referencial capaz de realizar me-
dições.
Atividade 3
Atende aos Objetivos 3 e 5
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
A Figura 3.7 apresenta a foto estroboscópica de um carrinho que se desloca
em um trilho de ar, para a direita.
Figura 3.7: Carrinho sobre um trilho de ar.
1. Nesse movimento, o carrinho pode ser tratado como partícula? Justifique
a sua resposta.
2. Escolha um dos pontos do carrinho (A) e desenhe na Figura 3.7 a sua
trajetória para o referencial S, que está fixo no trilho e tem os eixos coorde-
nados OXY desenhados na Figura 3.7.
3. Meça na Figura 3.7 as coordenadas x(t) do ponto A para o sistema de
referência S representado pelos eixos coordenados OXY desenhados. Utilize
a régua da figura. Construa uma tabela com esses dados.
4. Faça um gráfico de x versus t para o carrinho. O intervalo de tempo
entre as fotografias é o mesmo. Utilize a Figura 3.8 e considere o intervalo
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de tempo entre as fotos como unitário.
Figura 3.8: Gráfico de x versus t do carrinho sobre um trilho de ar.
5. Meça na Figura 3.7 as coordenadas x′(t) do ponto A para o sistema
de referência S ′ representado pelos eixos coordenados O′X ′Y ′ desenhados.
Utilize a régua da figura e construa uma tabela com esses dados.
6. Faça um gráfico de x′ versus t para o carrinho. O intervalo de tempo
entre as fotografias é o mesmo. Utilize a Figura 3.9 e considere este inter-
valo como unitário.
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Figura 3.9: Gráfico de x′ versus t do carrinho sobre um trilho de ar.
Respostas Comentadas
1. Nesse movimento, o carrinho pode ser tratado como partícula porque ele
não gira nem se deforma ao se deslocar.
2. O ponto A escolhido com as suas trajetórias em relação aos observadores
S e S ′ foram representados na Figura 3.10.
Figura 3.10: Trajetória do ponto A para os observadores S e S ′.
3. As coordenadas x(t) foram colocadas na Tabela 3.1. A incerteza na
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medida do tempo foi desprezada. A unidade de tempo não foi especificada.
t δt x (cm) δx (cm)
0 0 14 1
1 0 31 1
2 0 50 1
3 0 68 1
4 0 84 1
5 0 101 1
Tabela 3.1: Referencial S.
4. O gráfico de x versus t foi representado na Figura 3.11. Ele sugere que
o carrinho está em movimento retilíneo uniforme. As barras de incerteza da
coordenada x não foram lançadas porque elas são muito pequenas.
Figura 3.11: Gráfico x(t) versus t para o observador S.
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5. As coordenadas x′(t) foram colocadas na Tabela 3.2. A incerteza na
medida do tempo foi desprezada. A unidade de tempo não foi especificada.
t δt x (cm) δx (cm)
0 0 109 1
1 0 91 1
2 0 72 1
3 0 54 1
4 0 37 1
5 0 21 1
Tabela 3.2: Referencial S ′.
6. O gráfico de x′ versus t foi representado na Figura 3.12. As barras
de incerteza da coordenada x′ não foram lançadas porque elas são muito
pequenas.
Figura 3.12: Gráfico x′(t) versus t para o observador S ′.
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
O gráfico sugere que o carrinho está em movimento retilíneo uniforme tam-
bém neste referencial. Todavia, ao contrário do que ocorre com o referencial
S, neste, a coordenada x′ diminui com o tempo.
Atividade 4
Atende aos Objetivos 3 e 5
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
A Figura 3.13 é uma foto estroboscópica de uma esfera em queda livre.
Figura 3.13: Esfera em queda livre.
1. Nesse movimento, a esfera pode ser tratada como partícula? Justifique a
sua resposta.
2. Escolha um dos pontos da esfera (A) e desenhe na Figura 3.13 a sua
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trajetória para o referencial S fixo na Terra e com os eixos coordenados OXY
desenhados.
3. Meça na Figura 3.13 as coordenadas y(t) do ponto A para o sistema
de referência S representado pelos eixos coordenados OXY desenhados, uti-
lizando a régua da própria figura. Construa uma tabela com esses dados.
4. Faça um gráfico de y versus t para o ponto A da esfera. O intervalo
de tempo entre as fotografias é o mesmo. Considere esse intervalo como uni-
tário. Utilize a Figura 3.14.
Figura 3.14: Gráfico de y versus t da esfera em queda livre.
Respostas Comentadas
1. Nesse movimento, a esfera pode ser tratada como partículaporque ela
não gira nem se deforma ao se deslocar.
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
2. O ponto A escolhido foi o centro da esfera. Ele não foi representado na
Figura 3.15 porque a esfera é muito pequena. A trajetória do ponto A em
relação ao observador S foi representada na Figura 3.15.
Figura 3.15: Trajetória do centro da esfera (ponto A).
3. As coordenadas y(t) foram colocadas na Tabela 3.3. A incerteza na
medida do tempo foi desprezada e a unidade de tempo não foi especificada.
A coordenada y foi especificada em termos da unidade da régua ur represen-
tada pela sua menor divisão.
t δt y (ur) δy (ur) t δt y (ur) δy (ur)
0 0 41,5 0,5 6 0 27,5 0,5
1 0 40,0 0,5 7 0 23,0 0,5
2 0 39,0 0,5 8 0 18,0 0,5
3 0 37,0 0,5 9 0 12,5 0,5
4 0 34,0 0,5 10 0 6,5 0,5
5 0 31,0 0,5 11 0 0,0 0,5
Tabela 3.3: Queda livre.
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4. O gráfico de y versus t foi representado na Figura 3.16. As barras
de incerteza da coordenada y não foram lançadas porque elas são pequenas.
Esse gráfico é parecido com o de um movimento uniformemente acelerado.
Você já estudou esse movimento nas aulas sobre Mecânica da Partícula do
Ensino Médio e na disciplina Introdução às Ciências Físicas 1. Esse mo-
vimento é uniformemente acelerado com a aceleração igual à da gravidade.
Figura 3.16: Gráfico y(t) versus t para o observador S. Na figura, a unidade
de medida da régua foi denominada ur.
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
Vetores
Vetor deslocamento
Iniciaremos nossa discussão sobre vetores analisando deslocamentos en-
tre dois pontos.
Em um plano, o menor caminho entre dois pontos é uma linha reta.
Na Figura 3.17 representamos o menor caminho ente os pontos A e B,
localizados em um plano.
Figura 3.17: O menor caminho entre dois pontos em um plano é uma reta.
Em um espaço curvo, porém, o menor caminho entre dois pontos não
é uma reta. A Figura 3.18 mostra que em uma superfície esférica o menor
caminho entre os pontos A e B é o arco de círculo
_
AB.
Figura 3.18: Menor caminho entre dois pontos em uma superfície esférica.
A superfície da Terra pode ser considerada aproximadamente como uma
esfera com raio da ordem de 6.400 km. As áreas das cidades terrestres são
muito menores do que a área da Terra. Por isso, podemos tratar as super-
fícies das cidades como planos. Nelas, o menor caminho entre dois pontos é
uma reta. Mais do que isso, devido ao raio da Terra ser muito grande, no
nosso dia a dia, percebemos a superfície da Terra como plana, e não como
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
curva. Certamente, essas são razões pelas quais os deslocamentos retilíneos
adquiriram importância no estudo do movimento dos corpos.
Vamos estudar agora as propriedades relevantes desses deslocamentos.
Para entender quais as propriedades importantes de um deslocamento retilí-
neo, vamos imaginar que, em uma gincana, a última tarefa da equipe consiste
em encontrar um objeto que foi enterrado em um terreno com forma retan-
gular. O terreno está completamente vazio e o seu centro foi marcado por
uma pequena pedra (ver Figura 3.19).
Figura 3.19: Terreno retangular.
A organização da gincana fez três mapas sem desenhos. Os mapas só
contêm informações escritas. Eles são sorteados entre as equipes e os seus
conteúdos são:
Mapa 1: "A partir do centro do terreno, ande um metro."
Mapa 2: "A partir do centro do terreno, ande um metro na direção perpen-
dicular ao portão."
Mapa 3: "A partir do centro do terreno, ande um metro, aproximando-se do
portão e na direção perpendicular a ele."
Quem vai encontrar o objeto primeiro? Certamente, a equipe que tem
a maior chance de encontrá-lo é aquela que recebeu o mapa 3. Descrevemos
a seguir os pontos indicados por cada um dos mapas.
A equipe que recebeu o mapa 1 só sabe que o objeto se encontra a 1 m
do centro. Por isso, os seus componentes têm que procurar o objeto enterrado
em um círculo com o centro na pedra e raio 1 m (ver Figura 3.20).
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
Figura 3.20: Mapa 1.
A equipe com o mapa 2 tem mais informação que a anterior. Os seus
componentes sabem em qual direção devem seguir, a partir do centro do
terreno. Porém, não sabem se devem se aproximar ou se afastar do portão. A
equipe precisa procurar o objeto apenas nos pontos A e B (ver Figura 3.21).
Figura 3.21: Mapa 2.
Já a equipe com o mapa 3 pode ir direto ao local em que o objeto está
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
enterrado, que é o ponto A da Figura 3.22.
Figura 3.22: Mapa 3.
A discussão anterior mostra que, para determinar univocamente um
deslocamento, é necessário conhecer, além do seu tamanho (1 m), a sua di-
reção (perpendicular ao muro que contém o portão) e o seu sentido (aproxi-
mando do portão). A figura geométrica que contém todas essas informações
é um segmento de reta orientado com comprimento de 1 m, conforme mos-
trado na Figura 3.23, a seguir:
Figura 3.23: Representação geométrica de um deslocamento.
Para reforçar que um deslocamento é um segmento de reta orientado,
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
é costume representá-lo por uma letra com um segmento de reta orientado
em cima, por exemplo, ~d. Dizemos que ~d é a representação simbólica de um
deslocamento e o segmento de reta orientado é a representação geométrica
do deslocamento. Consideraremos iguais os deslocamentos com a mesma di-
reção, o mesmo módulo e o mesmo sentido, independentemente de serem
aplicados em pontos diferentes. Por exemplo, na Figura 3.24, estão mos-
trados dois deslocamentos iguais ~d1 e ~d2, que partem de pontos diferentes (A
e B).
Figura 3.24: Deslocamentos iguais.
Apesar de o menor caminho entre dois pontos ser uma reta, nem sempre
é possível se deslocar em linha reta entre dois pontos. Por exemplo, o muro
que cerca o terreno representado na Figura 3.25 impede o deslocamento
retilíneo de uma pessoa entre os pontos C e D.
Figura 3.25: Devido ao muro que contorna o terreno, o deslocamento do
ponto C para o ponto D só pode ser feito por dois deslocamentos retilíneos
distintos.
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
Nesse caso, o menor caminho possível entre os pontos C e D é cons-
tituído por dois deslocamentos retilíneos. O primeiro deslocamento é um
segmento de reta orientada que vai de C para E, com tamanho d1, e o se-
gundo é um segmento de reta orientado que vai de E para D e tem tamanho
d2, conforme mostrado na Figura 3.26.
Figura 3.26: O deslocamento ~d3 é composto pelos dois deslocamentos retilí-
neos ~d1 e ~d2.
Dizemos que se deslocar de C para E e, a seguir, de E para D, é
equivalente a se deslocar diretamente de C para D, pois o deslocamento
começa e termina nos mesmos pontos. Na Figura 3.26 está representado o
segmento de reta orientado associado ao deslocamento de C para D (~d3). Na
realidade, podemos pensar que os deslocamentos foram “somados”.
Soma de deslocamentos
Por definição, somar dois deslocamentos significa encontrar um deslo-
camento que permita sair diretamente do ponto de origem (C) e ir até o
ponto de chegada (D). Na prática, isso significa fazer as seguintes operações:
Passo 1: Ligar o final do segmento de reta orientado que representa o pri-
meiro deslocamento (parte com a seta) com o início do segmento de reta
orientado que representa o segundo deslocamento (parte sem a seta), con-
forme representado na Figura 3.27.
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
Figura 3.27: Soma de deslocamento − Passo 1, ligar o final do primeiro
deslocamento ao início do segundo.
Passo 2: Ligar, com um segmento de reta orientado, o início do segmento de
reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte sem a seta) com
o final dosegmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento
(parte com a seta), conforme indicado na Figura 3.28.
Figura 3.28: Soma de deslocamento − Passo 2, ligar, com um segmento de
reta orientado, o início do primeiro deslocamento com o final do segundo.
Na Figura 3.28 estão representados os deslocamentos sucessivos ~d1 e ~d2
e a sua soma, que é o deslocamento ~d3. A representação simbólica da operação
descrita na figura 3.28 é ~d3 = ~d1+~d2. A regra que foi utilizada na Figura 3.28
para somar deslocamentos é denominada Regra do Triângulo.
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MÓDULO 1 - AULA 3
Atividade 5
Atende ao Objetivo 7
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
A Figura 3.29 mostra vários vetores deslocamentos. Faça as seguintes ope-
rações com esses deslocamentos: ~d1 + ~d2, ~d1 + ~d3, ~d1 + ~d4 e ~d4 + ~d1.
Figura 3.29: Deslocamentos.
Resposta Comentada
Todas as somas foram realizadas na Figura 3.30, de acordo com os passos
1 e 2 da definição da soma de deslocamentos.
Figura 3.30: Soma dos deslocamentos.
É importante ressaltar os seguintes fatos:
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
1. Somente no caso em que os deslocamentos da soma (~d1 + ~d2) têm as
mesmas direções e os mesmos sentidos, o módulo da soma dos desloca-
mentos é igual à soma dos módulos dos deslocamentos. Por exemplo, é
fácil ver que o módulo de ~d1+ ~d2 é igual à soma dos módulos individuais
|~d1| e |~d2|.
2. No caso em que os deslocamentos da soma (como, por exemplo, ~d1 +
~d3) têm as mesmas direções e sentidos contrários, o módulo da soma
dos deslocamentos é igual ao módulo da diferença dos módulos dos
deslocamentos, isto é, |~d1 + ~d3| = |~d1| − |~d3|.
3. No caso em que os deslocamentos da soma (~d1 + ~d4) têm direções dife-
rentes, o módulo da soma dos deslocamentos é igual ao tamanho do lado
do triângulo que define a soma dos deslocamentos. Logo, ele é menor
que a soma dos módulos dos deslocamentos, isto é, |~d1+ ~d4| < |~d1|+|~d4|.
4. A Figura 3.30 sugere que as somas ~d1 + ~d4 e ~d4 + ~d1 são iguais.
A Figura 3.31 mostra que aplicação sucessiva dos deslocamentos ~d1 e ~d2, a
partir do ponto A, leva ao ponto D.
Figura 3.31: Os deslocamentos se somam pela Regra do Paralelogramo.
Vamos chamar o vetor deslocamento que vai de A até D de deslocamento
~d3, que é, por definição, a soma desses deslocamentos ~d3 = ~d1 + ~d2. A
Figura 3.31 também mostra um paralelogramo que foi construído com uma
reta paralela à direção do deslocamento ~d1 que passa pelo ponto C, e outra
paralela ao deslocamento ~d2 que passa pelo ponto A. A interseção dessas retas
é o pontoD. O vetor deslocamento que vai de A até C é o vetor deslocamento
~d2, porque ele tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo do
vetor deslocamento ~d2. O vetor deslocamento que vai de C até D é o próprio
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Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
vetor deslocamento ~d1, já que ele tem a mesma direção, o mesmo sentido e
o mesmo módulo do vetor deslocamento ~d1. A Figura 3.31 mostra que o
deslocamento ~d2 + ~d1, que vai do ponto A ao ponto D, é o vetor ~d3. Logo,
concluímos que a soma de deslocamentos é comutativa, isto é,
~d1 + ~d2 = ~d2 + ~d1.
Uma forma de indicar que a soma dos deslocamentos é comutativa é dizer
que eles se somam pela Regra do Paralelogramo. Essa regra diz que a
soma dos deslocamentos é obtida construindo-se um paralelogramo com os
dois deslocamentos colocados em um mesmo ponto A e ligando o ponto A ao
vértice do paralelogramo oposto ao vértice A.
Atividade 6
Atende aos Objetivos 6 e 7
Baseado no que você leu nesta aula, responda às seguinte perguntas:
1. Quais são as informações necessárias para caracterizar completamente um
deslocamento?
2. Como se somam dois deslocamentos?
Respostas Comentadas
1. Um deslocamento fica completamente caracterizado quando fornecemos o
seu módulo, a sua direção e o seu sentido.
2. Dois deslocamentos se somam pela Regra do Triângulo ou pela Regra do
Paralelogramo, que são equivalentes. A Regra do Paralelogramo consiste em
colocar os dois deslocamentos em um mesmo ponto A e construir com eles
um paralelogramo. A soma dos deslocamentos é o vetor deslocamento que
vai do ponto A ao vértice oposto ao ponto A.
111 CEDERJ
Aula 3 - A descrição dos movimentos
Atividade 7
Atende aos Objetivos 6 e 7
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
O deslocamento (~d1 + ~d2) é obtido somando-se os deslocamentos ~d1 e ~d2 pela
Regra do Triângulo ou pela Regra do Paralelogramo. Podemos, então, somar
o deslocamento ~d1 + ~d2 com o ~d3 para obtermos um novo deslocamento ~d4.
A representação simbólica desse novo deslocamento é ~d4 = (~d1+ ~d2)+ ~d3. Os
deslocamentos ~d1, ~d2 e ~d3 foram representados na Figura 3.32. Desenhe na
figura a representação geométrica do deslocamento ~d4.
Figura 3.32: Desenhe a soma de três deslocamentos ~d4 = ~d1 + ~d2 + ~d3.
Resposta Comentada
Os deslocamentos foram somados na Figura 3.33.
O deslocamento (~d1 + ~d2) foi obtido pela Regra do Triângulo aplicada aos
deslocamentos ~d1 e ~d2.
O deslocamento ~d4 foi obtido aplicando-se a Regra do Triângulo aos desloca-
mentos (~d1 + ~d2) e ~d3, isto é, colocamos o início do deslocamento ~d3 no final
do deslocamento (~d1 + ~d2) e ligamos o início do deslocamento (~d1 + ~d2) ao
final do deslocamento ~d3.
CEDERJ 112
Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
Figura 3.33: Soma de três deslocamentos.
A Figura 3.34 mostra que a soma de deslocamentos é associativa, isto é,
~d4 = (~d1 + ~d2) + ~d3
~d4 = ~d1 + (~d2 + ~d3)
~d4 = (~d1 + ~d3) + ~d2
Figura 3.34: A soma de deslocamentos é associativa.
Logo, podemos escrever a soma dos três deslocamentos sem os parênteses,
isto é,
~d4 = ~d1 + ~d2 + ~d3.
A Figura 3.34 também mostra que é possível obter o deslocamento ~d4
ligando-se o início do deslocamento ~d2 ao final do deslocamento ~d1 e o início
113 CEDERJ
Aula 3 - A descrição dos movimentos
do deslocamento ~d3 ao final do ~d2. O deslocamento ~d4 vai do início do ~d1 ao
final do ~d3. Essa regra serve para somar um número qualquer de desloca-
mentos. Ela é denominada Regra do Polígono. A Regra do Polígono foi
representada na Figura 3.35.
Figura 3.35: Regra do Polígono.
Multiplicação de um deslocamento por um número real
Além da soma de deslocamentos, existe uma outra operação que rela-
ciona deslocamentos com a mesma direção:
Figura 3.36: Multiplicação de um deslocamento por um número real.
Na Figura 3.36, observamos deslocamentos com a mesma direção e
comprimentos proporcionais a 1:2:3. Os dois menores têm o mesmo sentido
e o maior tem sentido contrário a eles. Podemos representá-los da seguinte
CEDERJ 114
Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
forma:
~d2 = 2 ~d1; ~d3 = −3 ~d1.
Isso significa que, podemos definir uma operação de multiplicação α ~d de um
deslocamento ~d por um número real α da seguinte forma: se α > 0, o des-
locamento α ~d tem a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento ~d e
módulo igual a α |~d|: se α < 0, o deslocamento α ~d tem a mesma direção do
deslocamento ~d, o sentido contrário ao do deslocamento ~d e módulo igual a
|α| |~d|.
Vetores
As grandezas que podem ser representadas por segmentos de retas
orientados , que se somam pela regra do paralelogramo e têm uma ope-
ração de multiplicação por um número real análoga à do vetor deslo-
camento são denominadas vetores . O conjunto de vetores munido dessas
operações é denominado espaço vetorial V .
Além do vetor deslocamento que discutimos anteriormente, você já en-
controu outros vetores quando estudou a Mecânica da Partícula. Entre eles,
podemos citar os vetores velocidade e aceleração e as forças. As operações
de soma de vetores e a de multiplicação de um vetor por um número real
apresentam as seguintespropriedades:
a. ~a+~b = ~b+ ~a;
b. ∃ ~e � V 3 ~a+ ~e = ~a;
c. ∃ ~b � V 3 ~a+~b = ~0, em que o vetor ~b = −~a;
d. ~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c;
e. α (β ~a) = (αβ)~a;
f. (α + β)~a = α~a+ β~a;
g. α (~a+~b) = α~a+ α~b;
h. ||~a| − |~b|| 6 ||~a|+ |~b|| 6 |~a|+ |~b|.
As propriedades a e d já foram demonstradas nesta aula com os vetores
deslocamentos e as outras propriedades estão demonstradas no Complemento
1, ao final deste módulo. As propriedades de a e d permitem escrever a soma
de vetores sem os parênteses, isto é, ~a+ (~b+ ~c) = ~a+~b+ ~c.
115 CEDERJ
Aula 3 - A descrição dos movimentos
É importante ressaltar que os matemáticos não definiram a
divisão entre vetores. Logo, você não pode dividir dois vetores,
isto é, a expressão matemática
~a
~b
não tem significado.
Exemplo 3.1
Simplifique a seguinte expressão vetorial:
3~a+ 4 (5~b+ 2~a)− (7.(8 (~a+~b)) = ~0.
Resolução
1. 3~a+ (20~b+ 8~a)− 56 (~a+ ~b) = ~0⇒
2. 3~a+ 20~b+ 8~a− 56~a− 56~b = ~0⇒
3. ~a (3 + 8− 56) +~b (20− 56) = ~0⇒
4. −45~a− 36~b = ~0⇒ −45~a− 36~b+ 36~b = ~0 + 36~b⇒ −45~a = 36~b
5 . − 1
45
(45~a) =
1
45
(36~a)⇒ ~a = −36
~b
45
.
Na passagem da expressão do exemplo para a expressão 1, foram utilizadas
as propriedades e e g dos vetores. Na passagem da expressão 1 para a ex-
pressão 2, foram utilizadas as propriedades d e g dos vetores. Na passagem
da expressão 2 para a expressão 3, foi utilizada a propriedade f dos vetores.
Na passagem da expressão 3 para a expressão 4, foi utilizada a propriedade
c dos vetores. Na passagem da expressão 4 para a expressão 5, foi utilizada
a propriedade e dos vetores.
Este exemplo mostra que, no que diz respeito à soma de vetores e à multi-
plicação deles por um número real, a simplificação de expressões vetoriais é
muito parecida com a simplificação de expressões algébricas de números reais.
Atividade 8
Atende ao Objetivo 7
Baseado no que você leu nesta aula, faça a seguinte questão:
Na Figura 3.37 estão representados alguns vetores. Faça, na própria figura,
as representações geométricas das operações descritas nos itens a seguir. Con-
sidere que cada quadradinho representa meia unidade de medida.
a. ~d = ~d1 + ~d3;
b. ~d = −2 ~d3;
c. ~d =
~d2
|~d2|
;
d. ~d = ~d1 − 2 ~d3;
e. ~d = ~d2 − ~d1 − ~d3;
f. Qual é a direção, o sentido e o módulo do vetor ~d obtido no item c?
CEDERJ 116
Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
Figura 3.37: Soma de três deslocamentos.
Resposta Comentada
As respostas dos itens de a até e estão na Figura 3.38.
Figura 3.38: Operações com os vetores.
f. O vetor ~d obtido no item c tem a mesma direção e o mesmo sentido do
vetor ~d2 porque ele foi obtido multiplicando-se o vetor ~d2 pelo inverso do
seu módulo, que é um número positivo. O módulo do vetor ~d é igual a 1,
um a vez que |~d| = |
~d2|
|~d2|
= 1. Logo, nesse caso, o vetor ~d é o vetor unitário
que tem a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor ~d2. Como o lado
de cada quadradinho mede meia unidade, um vetor unitário tem módulo
correspondente a dois quadradinhos.
117 CEDERJ
Aula 3 - A descrição dos movimentos
Resumo
1. Partícula é um modelo utilizado na descrição do movimento de um
corpo em que se supõe que toda a sua massa está em um ponto.
2. Um corpo que se desloca no espaço sem girar e sem se deformar pode
ser tratado como uma partícula. Por exemplo: uma caixa rígida que é
empurrada sem girar sobre um piso horizontal.
3. A linha gerada pelo deslocamento de uma partícula é denominada de
trajetória.
4. Referencial é um corpo rígido em relação ao qual se podem especificar
as coordenadas espaciais e temporais de eventos físicos. Para medir
distâncias utilizam-se réguas e para medir tempos utilizam-se relógios.
Um referencial S pode ser visualizado em termos bem concretos, por
exemplo: três barras rígidas definindo um sistema de eixos cartesianos,
que podem ser tomadas como comprimentos unitários, para medidas
das coordenadas e um relógio para medida de tempos (ver Figura 3.6).
É comum representar os referenciais nas figuras dos livros apenas pelo
seu sistema de eixos cartesianos.
5. Observador é um agente físico em um referencial capaz de realizar me-
dições.
6. Os vetores são grandezas que têm módulo, direção e sentido, somam-
se pela Regra do Paralelogramo e são munidos de uma operação que
multiplica o vetor por um número.
7. As operações dos vetores têm as seguintes propriedades:
a. ~a+~b = ~b+ ~a;
b. ∃ ~e ∈ V | ~a+ ~e = ~a;
c. ∃ ~b ∈ V | ~a+~b = ~0, em que o vetor ~b = −~a;
d. ~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c;
e. α (β ~a) = (αβ)~a;
f. (α + β)~a = α~a+ β~a;
g. α (~a+~b) = α~a+ α~b;
h. ||~a| − |~b|| 6 ||~a|+ |~b|| 6 |~a|+ |~b|.
CEDERJ 118
Aula 3 - A descrição dos movimentos
MÓDULO 1 - AULA 3
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula vamos discutir a decomposição dos vetores em bases orto-
gonais. Essa decomposição vai facilitar as operações com vetores.
Referências bibliográficas
ALMEIDA, Maria Antonieta Teixeira. Introdução às ciências físicas I. v. 2,
4. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
PESCO, Dirce Uesu; ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática bá-
sica. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
. Geometria básica. v. 1, 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj,
2010.
119 CEDERJ