119 AP2 GAI 2008 2 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Segunda Avaliação Presencial de Geometria Analítica I - Gabarito 
2/2008 – Prof. Linhares 
 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Pólo:___________________________________________________________ 
 
 
Questão 1: (2,5 pontos) Ache um sistema de três inequações lineares que represente o 
interior do triângulo ABC, onde )2,1(A , )3,5(−B e )1,4( −C 
 
Solução: Reta que passa pelos pontos A e B : 0136 =−+ yx 
Reta que passa pelos pontos A e C : 03 =−+ yx 
Reta que passa pelos pontos B e C : 0794 =−+ yx 
 
 
Logo, o sistema de inequações pedido é: 
 





>−+
<−+
<−+
0794
03
0136
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
Questão 2: (2,5 pontos) Mostre, por uma translação de eixos,que a equação 
 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
 
Representa uma hipérbole e determine o centro e os focos. 
 
Solução: Tomemos as equações de translação de eixos: 



−=
−=
kyy
hxx
´
´
 
Temos: 
1´´ 2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
que representa uma hipérbole com centro )0,0´(c e focos )0,´(1 cF − e )0,´(2 cF , onde 
222 bac += . Logo, a equação dada representa uma hipérbole, com centro ),( khc e focos 
),(1 kchF − e ),(2 kchF + , onde 222 bac += . 
 
Questão 3: (2,5 pontos) Verifique que tipo de cônica representa a equação abaixo: 
 
02424222 =−−−+ yxxyyx 
 
Solução: Eliminando o termo quadrático misto: 



+=
−=
θθ
θθ
´cos´
´´cos
ysenxy
senyxx
 
Substituindo na equação dada e igualando a zero o termo quadráticos misto, obtemos: 
( ) 0cos´´ 22 =− θθsenyx ∴ 0cos22 =− θθsen ∴ 02cos =θ ∴ 
2
2 piθ = ∴ 
4
piθ = 
Logo, 







+=
−=
´
2
2
´
2
2
´
2
2
´
2
2
yxy
yxx
 
Substituindo na equação dada, obtemos ´4´2 xy = , que representa uma parábola. 
 
Questão 4: (2,5 pontos) Dê a equação em coordenadas polares do círculo com centro em 
)0,(aC e raio a . 
 
Solução: A equação do círculo em coordenadas retangulares é: ( ) 222 ayax =+− . 
Tomemos as equações de rotação de eixos, de um ângulo θ : 
 



=
=
θ
θ
senry
rx cos
 
 
Substituindo na equação em coordenadas retangulares, temos: 
 
2222)cos( asenrar =+− θθ ∴ 222222 cos2cos asenraarr =++− θθθ 
 
∴ ( ) 0cos2cos 222 =−+ θθθ arsenr ∴ θcos22 arr = 
 
∴ θcos2ar = 
 
ou ainda: 
 
Temos °= 90ˆ0 AP ∴ 
a
r
2
cos =θ ∴ θcos2ar =