Capitulo25 Conexão com a matemática

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conexões com 
a matemática 
1
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	 3.	 (PUC-RJ) Seja d(P, Q) a distância entre os pontos 
P e Q. Considere A(21, 0) e B(1, 0) pontos do plano. 
O número de pontos X(x, y) tais que 
2
1
( , )d A B é 
igual a:
a) 0 b) l c) 2 d) 3 e) 4
	 4.	 (UFPel-RS) Engenheiros do Instituto Militar de 
 Engenharia (IME) desenvolveram uma argila calcina-
da, material que poderá baratear a construção de es-
tradas. Essa argila não existe em nenhum outro país.
 A pesquisa começou em 1997, com um objetivo: en-
contrar um material que pudesse ser utilizado na 
Amazônia. A região é carente de rochas, e as dificul-
dades no transporte encarecem a brita, comerciali-
zada por mais de R$ 100,00 o metro cúbico. Segundo 
o IME, o custo da argila calcinada fica em torno de 
R$ 40,00.
 Foram estudadas várias famílias de solos da Ama-
zônia, chegando-se a conclusões animadoras nos 
últimos anos. O agregado artificial poderá ser usado 
em pavimentação rodoviária, pois resiste a desgaste. 
compressão e abrasão, e também em obras de con-
creto. Segundo o coordenador da pesquisa, o mate-
rial pode ser utilizado em qualquer região do país.
 http://www1.folha.uol.com.br/folha/ ciência/
ult306u13159.shtml acessado em 6/5/2005. [adapt.]
 Também com o objetivo de baratear custos, na exe-
cução do projeto de novas estradas, deve ser consi-
derada sempre a menor distância entre os pontos a 
serem alcançados.
 As cidades A e B, localizadas no mapa, com coorde-
nadas A(8, 5) e B(12, 8), são ligadas por uma rodovia 
em linha reta.
 
A
B
C
1 cm
1 cm1 : 60.000.000
 A construção de um novo trecho de menor dimen-
são que ligue a rodovia existente à cidade C(10, 5), 
medirá:
a) 720 km c) 648 km e) 126 km
b) 300 km d) 1.200 km f ) I.R.
	 1.	 (Unesp) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que 
nasceram no mesmo dia, fo ram tratadas desde o 
início com adubos diferentes. Um botânico mediu 
todos os dias o crescimento, em centímetro, dessas 
plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que 
o gráfico que representa o cres cimento da planta A 
é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o 
crescimento da planta B pode ser descrito pela lei 
mate mática 5 2y x x
12
24 2 . Um esboço desses gráfi-
cos está representado na figura.
	 	
3
tempo (dia)
Planta B
Planta A
altura (cm)
2
	 		 Determine:
a) a equação da reta;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mes-
ma altura e qual foi essa altura.
	 2.	 (UFMG) Nesta figura, está representado um quadra-
do de vértices ABCD:
	 	 A(0, 0)
B(3, 4)
D(a, b)
x
y
C
 Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos 
A e B são A(0, 0) e B(3, 4).
 Então, é correto afirmar que o resultado da soma 
das coordenadas do vértice D é:
a) 22 c) 2
2
1
b) 21 d) 
2
32
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Geometria analítica: conceitos 
básicos e a reta
capítulo 25
Grau de dificuldade das questões:
Fácil Médio Difícil
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	 5.	 (UFSM-RS) Num plano, são dados 4 pontos atra vés 
de coordenadas: (1, 1), (2, 4), (6, 5) e (5, 2). Li gando-se 
os 4 pontos pela ordem dada e fechando o polígono 
através da ligação de (1, 1) e (5, 2), por meio de seg-
mentos de reta, obtém-se um:
a) quadrado de perímetro 4 17.
b) paralelogramo de perímetro 12 17 2 10.
c) losango de perímetro 4 17.
d) retângulo de perímetro 12 17 2 10.
e) trapézio isÓsceles de perímetro 
1 8
2
17 10 5_ i> H.
	 6.	 (UFRJ) Esboce graficamente as retas 
y 5 x 2 1, y 5 x 2 3, y 5 2x 1 1 e y 5 1 e determine 
a área da região delimitada por essas retas.
	 	
x
y
	 7.	 (UEL-PR) Dois dos pontos A(2, 21), B(2, 23), C(1, 4), 
D(4, 23) estão numa das bissetrizes das retas 
3y 2 4x 2 3 5 0 e 4y 2 3x 2 4 5 0. 
 Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:
a) y 1 x 2 1 5 0 d) x 5 2
b) y 1 7x 2 11 5 0 e) y 1 x 2 5 5 0
c) y 2 x 2 1 5 0
	 8.	 (Uerj) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, 
com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura 
AD, um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE 
e BD. No ponto F, onde o marcenei ro pretende fixar 
um prego, ocorre a intersecção desses segmentos.
 A figura a seguir representa a folha de fórmica no 
primeiro quadrante de um sistema de eixos coorde-
nados.
	 	
x (dm)BA
D
E C
y (dm)
F
	 		 Considerando a medida do segmento EC igual a 
5 dm, determine as coordenadas do ponto F.
	 9.	 (Uerj) Observe o mapa da região Sudeste.
	 	
Belo Horizonte
São Paulo
52°30’ 50° 45°
15°
20°
25°
40°47°30’ 42°30’
17°30’
22°30’
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO Rio de Janeiro
Vitória
 
(Adaptado de BOCHICCHIO, V. R. 
Atlas atual: geografia. 
São Paulo: Atual, 1999.)
 Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo 
das abscissas e o meridiano de 45° como o ei xo das 
ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coorde-
nadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, 
Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente, 
, , , , , e ,2
2
3
0 2
2
1
2
3
4 5
2
7d d d dn n n n, todas medi das em 
centímetros.
a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do 
quadrilátero cujos vértices estão representa dos 
por estas quatro cidades, supondo que a escala 
do mapa é de 1 : 10.000.000.
b) Determine as coordenadas de uma cidade que 
fique equidistante das cidades de São Paulo, Rio 
de Janeiro e Belo Horizonte.
	10.	 (UFC-CE) ABC é o triângulo, no plano cartesiano,
com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5). Determine as
coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma
dos quadrados das distâncias de P aos vértices
de ABC seja a menor possível, e calcule o valor
mínimo correspondente da soma.
	11.	 (UFC-CE) Os vértices do quadrado ABCD no plano 
cartesiano são A(21, 3), B(1, 1), C(3, 3) e D(x, y).
 Então, os valores de x e y são:
a) x 5 1 e y 5 5
b) x 5 5 e y 5 1
c) y1 5 e 1 55 1 5 1x
d) y1 5 e 15 2 5x
e) y1 e 1 55 5 2x
	12.	 (UFC-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem 
vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal AC.
b) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interse ção 
das diagonais AC e BD.
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	13.	 (UFRJ) Determine a área da região R definida pela 
intersecção de R1, R2 e R3, sendo:
• R1 5 {(x, y) Ñ R
2: 4x 1 5y 2 16 < 0}
• R2 5 {(x, y) Ñ R
2: 4x 2 3y > 0}
• R3 5 {(x, y) Ñ R
2: y > 0}
	14.	 (Fuvest-SP) Na figura a seguir, A é um ponto do pla-
no cartesiano, com coordenadas (x, y). 
	 	
–1
1
–2
x
y
A s
r
1
	 	 Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e 
acima da reta s, tem-se:
a) e, ,y x y x
2
12 1 d) , ,x y x1
2
2 1
b) , .y x y x
2
1ou 2 1 e) , ,x y x
2
11
c) e, .x y y x
2
12 1
	15.	 (UEL-PR) A trajetória de um móvel no plano car-
tesiano pode ser descrita, em função do tempo t, 
pelas equações paramétricas 5 1
5
x t
ty
2
3
) . Essa traje-
tória determina uma reta:
a) que contém os pontos (3, 9) e (22, 6).
b) paralela à reta de equação 6x 2 2y 2 1 5 0.
c) perpendicular à reta de equação 3x 2 y 1 1 5 0.
d) que contém os pontos (1, 3) e (7, 3).
e) perpendicular à reta de equação 5x 2 y 5 0.
	16.	 (Unifesp) Considere a reta de equação 
4x 2 3y 1 15 5 0, a senoide de equação y 5 sen x e 
o ponto ,
π
P
2
35 c m, con forme a figura.
	 	
3
x
y
P
—π
2
π
A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:
a) π
5
12 21 c) π
5
14 21 e) π
5
16 21
b) π
5
13 21 d) π
5
15 21
	 17.	 (UFPel-RS) O gráfico abaixo representa a função 
y 5 log2 (x 2 2).
–2
x
A
B
y
Com base nisso, é correto afirmar que a equação 
geral da reta que passa pelos pontos A e B é:
a) 8x 2 3y 2 24 5 0 d) 6x 2 2y 1 6 5 0
b) 2x 1 6y 2 6 5 0 e) 3x 2 8y 1 24 5 0
c) 2x 1 6y 2 24 5 0 f ) I.R.
	18.	 (UEG-GO) Na localização dos imóveis de uma ci-
dade é usado como referência um sistema de co-
ordenadas cartesianasem uma escala adequada. 
Neste sistema, a casa de número 23 de uma de-
terminada rua está localizada no ponto A(22, 0), 
enquanto a loja de número 7, que está na mesma 
rua, coincidiu com o ponto B(0, 6). Determine uma 
equação que relacione as coordenadas x e y de um 
ponto C que indica a localização de um pré dio co-
mercial, de modo que os pontos B, A e C se jam os 
vértices de um triângulo retângulo em C.
	 19.	 (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-
tesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação:
(x2 1 y2 1 1) 8 (2x 1 3y 2 1) 8 (3x 2 2y 1 3) 5 0, pode 
ser representado, graficamente, por:
a) 
x
y d) 
x
y
b) 
x
y e) 
x
y
c) 
x
y
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	20. (UFRN) Sobre as retas y 5 2x 1 3 e y 5 x 1 3, pode-
mos afirmar que elas:
a) Se interceptam no ponto de coordenadas (21, 2).
b) Se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) São perpendiculares aos eixos OX e OY, res-
pectivamente.
d) Estão a uma mesma distância do ponto de co-
ordenadas (3, 3).
	21.	 (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do pla-
no cartesiano que satisfazem t2 2 t 2 6 5 0, onde 
t 5 $ 2 $x y , consiste de:
a) uma reta. d) uma parábola.
b) duas retas. e) duas parábolas.
c) quatro retas.
	22. (Fuvest-SP) Os pontos M(2, 2), N(24, 0) e P(22, 4) são, 
res pectivamente, os pontos médios dos lados AB, 
BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do seg-
mento AB tem a equação:
a) x 1 2y 2 6 5 0 d) 2x 1 y 2 6 5 0
b) x 2 2y 1 2 5 0 e) 2x 1 2y 1 6 5 0
c) 2x 2 2y 2 2 5 0 
	23.	 (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando pelo 
ponto (3, 1) e equidistantes da origem do plano car-
tesiano. Se a equação da reta r é y 5 1, então a equa-
ção da reta s é:
a) x 1 3y 1 2 5 0 d) 3x 2 4y 2 5 5 0
b) 3x 1 y 1 2 5 0 e) 3x 2 4y 1 1 5 0
c) 3x 2 y 2 2 5 0
	24.	 (UFBA) Considerando, no plano cartesiano, os pon-
tos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valo-
res de x para os quais a soma da distância de A a B 
e da distância de A a C seja menor ou igual a 7. 
	25.	 (UFTM-MG) Na figura, tem-se o gráfico da função 
f(x) 5 cos(2x), ao qual pertencem os pontos A e B 
assinalados.
x
f(x)
A
B
Se A pertence ao eixo das abscissas e B tem ordena-
da 21, então o coeficiente angular da reta AB vale:
a) 
π7
42 c) 
6
12 e) 
π
10
2
b) 
3π
52 d) 
π
9
42
	26. (Ibmec) Considere, no plano cartesiano da figura, o 
triângulo de vértices A, B e C.
1
3
4
x
y
A
B
C
r
0 3 2 3
Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABCt , en-
tão o coeficiente angular de r é igual a:
a) 
3
3
 c) 
3
42 e) 32
b) 21 d) 
2
32
	27.	 (UFRS) O conjunto dos pontos P cujas coordenadas 
cartesianas (x, y) satisfazem 
x
y
1
1
1
2
1
< está repre-
sentado na região hachurada da figura:
a) 
1 2
–2
x
y
0
 d) 
1 2
–2
x
y
0
b) 
1 2
–2
x
y
0
 e) 
1
2
–2
x
y
0
c) 
1
2
–2
x
y
0
	28.	 (ESPM) Sobre um segmento de reta de extremida-
des A(29, 1) e B(6, 29) são marcados alguns pon-
tos que o dividem em n partes iguais. Um desses 
pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número 
n pode ser igual a:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	29.	 (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r tem equação 
cartesiana 2 1y x25 1 no plano cartesiano Oxy. 
Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, 
sendo B0(0, 1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo 
Ox com A0 5 O(0, 0). O ponto Di pertence ao segmen-
to A Bi i, para 1 < i < 3.
B0
B1
B2
B3
D1
D2
D3
r
A1 A2 A3 x
y
O
Os segmentos A B1 1, A B2 2, A B3 3 são paralelos ao eixo Oy, 
os segmentos B D0 1, B D1 2, B D2 3 são paralelos ao eixo 
Ox, e a distância entre Bi e B1 1 i é igual a 9, para 
0 < i < 2.
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base A A1 1i i e altura 
A D1 1i i1 1, para 0 < i < 2, calcule a soma das áreas 
dos retângulos R0, R1 e R2.
	30.	 (UFG-GO) Para medir a área de uma fazenda de for-
ma triangular, um agrimensor, utilizando um sis-
tema de localização por satélite, encontrou como 
vértices desse triângulo os pontos A(2, 1), B(3, 5) e 
C(7, 4) do plano cartesiano, com as medidas em km. 
A área dessa fazenda, em km2, é de:
a) 
2
17 c) 2 17 e) 
2
17
b) 17 d) 4 17
	31.	 (UFG-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de 
equações 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respecti-
vamente, se intersectam em um ponto C. Conside-
rando o ponto P(0,24), determine as coordenadas 
de dois pontos, A Ñ r e B Ñ s, de modo que o seg-
mento CP seja uma mediana do triângulo ABC.
	32.	 (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de 
dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em 
torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coorde-
nadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10 29 261 1 d) 17 2 261
b) 16 29 261 1 e) 17 29 261 1
c) 22 261
	33.	 (Unemat-MT) Dado o gráfico da figura abaixo:
x
y = 4 – x
y = x
y
P
Seja o ponto P intersecção das duas retas, seu par 
ordenado será dado por:
a) P(1; 3) c) P(2; 3) e) P(2; 4)
b) P(2; 2) d) ;P
3
2
2d n
	34.	 (Unifesp) Num sistema cartesiano ortogonal, consi-
derados os pontos e a reta exibidos na figura, 
x
A
C
B
E
y = 2x + 1
DD
y
1O t
	 		 o valor de t para o qual a área do polígono OABC é 
igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é:
a) 1 302 1 c) 10 e) 
2
1 112 1
b) 1 52 1 d) 3
	35.	 (Unifor-CE) Duas retas, r e s, perpendiculares entre 
si, interceptam os eixos cartesianos nos pontos A e 
B, como é mostrado na figura abaixo.
x
r
s
C
A B
y
–1 2
 3
Se o ponto C é a intersecção de r e s, a área do triân-
gulo ABC, em unidade de superfície, é:
a) 
8
5 3 c) 
8
7 3 e) 
4
5 3
b) 
4
3 3 d) 
8
9 3
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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta
	36.	 (Ifal) Se as equações das retas suportes dos lados de 
um triângulo ABC são y 5 2x 2 1, y 5 5x 2 4 e x 5 5. 
A área da região triangular ABC é:
a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32
	 37.	 (Fuvest-SP) Duas irmãs receberam como herança 
um terreno na forma do quadrilátero ABCD, repre-
sentado abaixo em um sistema de coordenadas. 
1
x
y
BA
D
C = (2, 3)
1 5
A
D
	 	 Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca 
reta perpendicular ao lado AB e passando pelo pon-
to P(a, 0). O valor de a para que se obtenham dois 
lotes de mesma área é:
a) 5 12 c) 5 22 e) 5 2 21
b) 5 2 22 d) 2 51
	38.	 (UFRGS) Os lados do quadrilátero da figura a seguir 
são segmentos das retas y 5 x 1 2, y 5 2 x 2 2, 
y 5 22x 1 2 e y 5 2x 2 2.
x
y
A área desse quadrilátero é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22