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Geometria Anal´ıtica I EP/02 1
Geometria Anal´ıtica I
EP/02 — 28/02/2005
Aula 1 (vetores no plano – segmentos orientados) e Aula 2 (vetores – operac¸a˜o)
Prezado tutor,
Propomos duas aplicac¸o˜es da notac¸a˜o e operac¸o˜es com vetores nos
exerc´ıcios programados desta semana. E´ muito importante que o aluno
tenha uma boa ide´ia do manuseio do panto´grafo antes dele tentar atacar
o exerc´ıcio correspondente. O applet JAVA (dispon´ıvel na plataforma do
CEDERJ), que simula o panto´grafo, pode ser u´til neste sentido.
Para poss´ıvel uso futuro, por favor, registre as du´vidas mais frequ¨entes dos
alunos! Sucesso em seu trabalho!
Humberto Jose´ Bortolossi
EXERCI´CIO 1
Dado um triaˆngulo de ve´rtices A, B e C, sejam MAB o ponto me´dio do lado AB, MBC o
ponto me´dio do lado BC e MAC o ponto me´dio do lado AC, respectivamente. Como ja´ foi
visto no exemplo 7 na pa´gina 26 do mo´dulo, as medianas
AMBC , BMAC e CMAB
sempre se cruzam no baricentro G do triaˆngulo. Mostre que
−→
AG =
2
3
· −−−−→AMBC , −−→BG = 2
3
· −−−−→BMAC e −→CG = 2
3
· −−−−→CMAB,
isto e´, mostre que o baricentro G divide cada mediana na proporc¸a˜o de 2 para 1.
Soluc¸a˜o. Na figura a seguir, observe que
−−−−→
GMBC =
−−→
GB +
−−−−→
BMBC e
−−−−→
GMBC =
−→
GC +
−−−−→
CMBC .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Anal´ıtica I EP/02 2
A
B C
G
MAB
MAC
MBC
Em particular,
2 · −−−−→GMBC = −−−−→GMBC +−−−−→GMBC = −−→GB +−−−−→BMBC +−→GC +−−−−→CMBC .
Como MBC e´ o ponto me´dio do lado BC do triaˆngulo, segue-se que
−−−−→
BMBC =
−−−−→
MBCC, isto
e´,
−−−−→
BMBC = −−−−−→CMBC ou, ainda, −−−−→BMBC +−−−−→CMBC = −→O . Portanto,
2 · −−−−→GMBC = −−→GB +−→GC.
Mas, sendo G o baricentro do triaˆngulo, vale que
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC =
−→
O
(veja a equac¸a˜o (2) logo acima do exemplo 7 na pa´gina 26 do mo´dulo). Em particular,
−−→
GB +
−→
GC = −−→GA = −→AG.
Consequ¨entemente,
2 · −−−−→GMBC = −→AG.
Mas
−−−−→
AMBC =
−→
AG+
−−−−→
GMBC . Logo,
−−−−→
AMBC =
−→
AG+
−→
AG
2
=
3
2
· −→AG.
e, sendo assim,
−→
AG =
2
3
· −−−−→AMBC ,
como quer´ıamos estabelecer. As relac¸o˜es
−−→
BG = (2/3) · −−−−→BMAC e −→CG = (2/3) · −−−−→CMAB sa˜o
obtidas de maneira ana´loga ou, se preferir, use o argumento de renomear os ve´rtices do
triaˆngulo.
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Geometria Anal´ıtica I EP/02 3
EXERCI´CIO 2
Um panto´grafo e´ um instrumento matema´tico que permite ampliar ou reduzir figuras. Ele
e´ constitu´ıdo por 4 hastes feitas de madeira ou metal conectadas como mostra a figura a
seguir.
O
P
X
Z
Y
Q
As hastes OZ e ZQ possuem o mesmo tamanho que, por sua vez, e´ igual a soma dos
tamanhos das hastes PX e PY . Os pontos de conexa˜o sa˜o escolhidos de forma que XPY Z
seja sempre um paralelogramo.
O ponto O fica preso (fixo) sobre uma superf´ıcie plana. Se queremos ampliar figuras, a ide´ia
e´ que, quando o ponto P percorre o trac¸o da figura original, um la´pis colocado no ponto Q
desenhara´ uma co´pia ampliada. Para reduzir figuras, basta colocar o la´pis no ponto P e
fazer Q percorrer a figura original.
O objetivo deste exerc´ıcio e´ justificar o funcionamento do panto´grafo. Para isto, suponha
que
|PX| = 20 cm e |PY | = 40 cm.
Mostre que, com estas especificac¸o˜es,
−→
OQ = 3 · −→OP.
Em particular, conclua que O, P e Q sa˜o sempre pontos colineares e que este panto´grafo
possui fator de ampliac¸a˜o igual a 3.
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Geometria Anal´ıtica I EP/02 4
Soluc¸a˜o. Temos que
−→
OP =
−−→
OX +
−−→
XP e
−→
OQ =
−→
OZ +
−→
ZQ.
Agora
−→
OZ tem a mesma direc¸a˜o e sentido que
−−→
OX, de forma que
−→
OZ = λ · −−→OX para algum
escalar λ > 0. Como |OZ| = 60 cm e |OX| = 20 cm, conclu´ımos que
−→
OZ = (60/20) · −−→OX = 3 · −−→OX.
Da mesma maneira, como
−→
ZQ tem a mesma direc¸a˜o e sentido que
−→
ZY , |ZQ| = 60 cm
e |ZY | = 20 cm, podemos escrever que
−→
ZQ = (60/20) · −→ZY = 3 · −→ZY .
Mas
−→
ZY =
−−→
XP , pois XPY Z e´ um paralelogramo. Portanto,
−→
OQ =
−→
OZ +
−→
ZQ = 3 · −−→OX + 3 · −→ZY = 3 · −−→OX + 3 · −−→XP = 3 · (−−→OX +−−→XP ) = 3 · −→OP.
O
P
X
Z
Y
Q
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Geometria Anal´ıtica I EP/02 5
ATIVIDADES COM O COMPUTADOR
http://www.cederj.edu.br
Figura 1: o baricentro de um triaˆngulo.
Figura 2: o panto´grafo.
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