Apostila Trigonometria

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UFAM

Rafaelo Almiro da Cruz
09/05/2020
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Trigonometria

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Nota dos Autores1
1Parafraseando Ziraldo.
1
Prefácio
Estas notas foram escritas por ocasião do Curso de Nivelamento para os alunos calouros de 2015
na UFAM. O texto foi organizado em 7 aulas - precisamente a quantidade prevista de aulas de
trigonometria. Outrossim, é muito provável que o conteúdo seja maleável a ponto de se poder
eventualmente fazer outras distribuições, de acordo com a conveniência de cada curso.
Os tópicos nunca passam daquilo que é considerado básico, e isso visa precisamente tentar fornecer
ao aluno recém-ingresso uma quantidade mı́nima da matemática elementar necessária para a boa
compreensão dos assuntos que ele irá enfrentar ao longo do primeiro ano. Ao final de cada caṕıtulo
(aula) são colocados alguns exerćıcios que visam fornecer ao leitor parâmetros para que ele saiba se
realmente absorveu o conteúdo.
2
Poesia Matemática
Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ı́mpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
“Quem és tu?”, indagou ele
em ânsia radical.
“Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, ćırculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
3
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de ćırculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.
Millôr Fernandes
4
Mensagem ao Aluno do
Nivelamento
Caro aluno, seja bem-vindo. Estamos felizes em recebê-lo, e torcemos para que você tenha uma rica
vida acadêmica e cresça como pessoa aqui na UFAM.
O Curso de Nivelamento não é uma ideia nova, mas acreditamos que em essência ela seja boa.
Você com certeza já foi informado sobre os grandes ı́ndices de reprovação e desistência nas disciplinas
de Cálculo I e Álgebra Linear I, presentes no ińıcio da grade de quase todo aluno que entra nos cursos
do Instituto de Ciências Exatas da UFAM. Acreditamos que em grande parte o motivo se deva a
uma grave falta de base em conteúdos do Ensino Fundamental e Médio, mais precisamente em séries
cŕıticas do Ensino Fundamental. É essa triste realidade - no Brasil e especialmente em nosso Estado
- que desejamos mudar.
A boa not́ıcia é que, se feito com empenho e dedicação, um esforço para adquirir essas bases
pode ser muito bem recompensado, e bons resultados podem começar a aparecer mais cedo do que
se imagina. Felizmente a Matemática é algo que requer tão somente um texto acesśıvel e disposição
para estudar. Não precisamos de nenhum outro tipo de material para obtermos um sucesso que está
logo ali, exigindo apenas paciência e autocŕıtica.
Então não pense em desistir quando as dificuldades aparecerem. Como já disse Albert Einstein,
o único lugar onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário. Sabemos que você pode. Sabemos
que você consegue, pois alguns de nós professores do Departamento de Matemática entramos na Uni-
versidade precisamente nessa mesma situação - muito por aprender, quase nada por recordar. Mas,
não sem esforço, corremos atrás das dificuldades e um belo dia - que, acredite, veio surpreendente-
mente rápido - nos descobrimos à frente de uma sala de aula, falando sobre Matemática e tentando
incutir nos alunos a paixão que acabamos adquirindo.
Estas notas foram escritas para você. E portanto é a você que é solicitado dizer o que acha sobre o
modo como elas foram escritas. Será de grande ajuda que você aponte as falhas e/ou bons aspectos,
e sugira como podeŕıamos fazer melhor. Isso nos dará respaldo para contemplar as futuras turmas
com um trabalho cada vez mais eficaz. Então deixamos aqui um endereço de e-mail para que você
possa nos mandar quaisquer comentários: raulrabello@yahoo.com.br.
Desejamos a você um ótimo aproveitamento.
5
Sumário
Introdução 1
1 Medidas Angulares 4
1.1 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Medição Sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Medição Centesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Medição Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Definições Básicas 8
2.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Paralelas e Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Mensuração em Figuras Retiĺıneas 16
3.1 Alguns Ângulos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Distância Entre Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Mensuração no Ćırculo 26
4.1 Ângulo Central e Ângulo Inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 O Ciclo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Semelhança: O que Faz Funcionar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliografia 38
Introdução
Como ocorre com muitas palavras em nosso idioma, a palavra trigonometria deriva do grego. Segundo
um dicionário etimológico, tri (três) + gońıa (ângulo) + métron (medida) e, como podeŕıamos
esperar, trata-se de medidas nos triângulos (tŕıgonon).
Por que tais medidas são importantes? Bem, antes de você ver por conta própria como isso
vai lhe ser útil ao estudar Cálculo I e Álgebra Linear I - decerto as motivações mais imediatas,
talvez seja suficiente dizer que sem isso não seriam posśıveis as viagens espaciais. Mas você pode
argumentar (com alguma razão) que a maioria de nós nunca precisou fazer alguma viagem espacial.
Então podemos lembrar que também não teriam sido posśıveis as viagens intercontinentais nos
grandes transatlânticos. Mais uma vez, você pode dizer, não precisamos necessariamente de viagenstransatlânticas para vivermos bem (talvez até nem tenhamos dinheiro para um tal empreendimento).
Tudo bem. Então afirmamos que também não poderiam ter existido ou sido bem sucedidas as
grandes navegações, na Idade Média, que fizeram a humanidade descobrir novos continentes, conhecer
de perto as verdadeiras formas e dimensões de nosso planeta e desse um salto quantitativo em
conhecimento e mudasse para sempre os rumos da História2.
Da observação dos céus à moderna astronomia, da agrimensura às proezas atuais da engenharia
civil, do estudo dos fenômenos luminosos aos grandes telescópios ópticos, das navegações maŕıtimas
que não se afastavam da costa aos vôos noturnos em grandes aeronaves e às viagens espaciais, e em
cada passo intermediário, algum triângulo teve de ser investigado.
Não é fácil situarmos no tempo e no espaço as origens da trigonometria. O estudo de triângulos
pode remontar a 2000A.C., com eǵıpcios e babilônios. Naqueles tempos a matemática, quando
visitada, era vista apenas como ferramenta para se entender algumas questões bastante concretas
ou resolver problemas práticos. Muito após isso, por volta dos séculos V ou IVA.C., vemos a
trigonometria sendo usada para resolver problemas de navegação, astronomia ou agrimensura.
Aristarco de Samos (310−230A.C.) e Eratóstenes (276−194 A.C.), astrônomos famosos, tratavam
problemas que exigiam uma compreensão mais sofisticada das ideias de arcos e ângulos. Ao primeiro
deve-se uma bem sucedida comparação entre as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol. Mais
ainda, a ele é atribúıdo um feito notável: ter proposto o modelo heliocêntrico (o Sol no centro e os
demais planetas - incluindo o nosso - girando em torno dele), só revisitado seriamente por Copérnico,
cerca de mil e trezentos anos depois3. O segundo é principalmente conhecido por ter idealizado um
engenhoso método para medir a circunferência da Terra, com uma acuracidade espantosa para aqueles
tempos.
Hiparco (190 − 120A.C.) foi quem provavelmente construiu a primeira tabela trigonométrica,
relacionando ângulos e cordas numa circunferência. Hiparco também indicava a localização de pontos
na Terra por meio de latitudes e longitudes. É provavelmente a ele - que é considerado o pai da
trigonometria - que devemos a divisão da circunferência em 360 partes, talvez uma herança babilônica.
Inspirando-se em parte no trabalho de Hiparco, Cláudio Ptolomeu de Alexandria (90 − 168D.C.)
2Antes disso os Vikings se aventuraram oceano adentro - há ind́ıcios de que alguns desses corajosos europeus tenham
de fato chegado à costa da América do Norte no século X, embora não tenham se firmado nem influenciado culturas
posteriores naquele continente - mas, caso o tenham feito, isso muito provavelmente foi mais devido ao acaso do que
a eventuais conhecimentos técnicos sobre rumo e localização - formidável subproduto da mensuração de triângulos.
3Ainda assim, as ideias de Copérnico - propostas no tempo em que a inquisição dizimava pensadores - foram
intensamente atacadas, e defender tais ideias, naquela época, era sinônimo de heresia perante a Igreja - e compreen-
sivelmente considerado perigoso. Galileu Galilei, que nasceu 21 anos após a morte de Copérnico, ainda sofreu muito
com a inquisição defendendo os revolucionários pontos de vista desse cientista.
1
http://www.dicionarioetimologico.com.br/trigonometria/
escreveu uma das mais influentes obras cient́ıficas: O Almagesto. “O Maior” seria uma adaptação
do t́ıtulo para o português, e tal designação dificilmente seria um exagero. Tratando de teoria e
problemas práticos (como na agrimensura) com organização e elegância ı́mpares, esse belo trabalho
versava sobre eclipses, estrelas fixas, planetas e vários outros entes e fenômenos, e permaneceu como
a obra de referência até os tempos de Copérnico.
Muitos de nós, que acabamos o Ensino Médio, tivemos algum contato com a trigonometria. Na
maioria das vezes, esse contato foi doloroso. Não só na própria matemática, mas na f́ısica ou na
qúımica. Por exemplo: as moléculas de CH4 (o metano) estão dispostas no espaço de tal forma que
o ângulo ÖHCH, entre duas ligações com vértice no carbono, é de 109◦28′ (figura 1).
Figura 1: Ângulo entre ligações com vértice no carbono.
No estudo dos planos inclinados, em Estática e em Cinemática, vemos novamente a trigonometria
em ação ao sermos obrigados a decompor a força peso em componentes que dependerão da inclinação
do plano com a direção horizontal (figura 2).
Figura 2: Decomposição de forças no plano inclinado.
Não é novidade para ninguém que as duas aplicaçoes acima (talvez, com mais intensidade, a
última) deram dor de cabeça a muita gente.
E você verá trigonometria novamente. Vamos dar aqui apenas dois exemplos - um em Cálculo
I e outro em Álgebra Linear I, exemplos dentre outros tantos, em que você verá esse assunto. É
claro que são apenas exemplos ilustrativos, e você não é obrigado a entendê-los, mas tão somente é
solicitado a perceber como será necessária uma pequena familiaridade prévia sobre ângulos.
No curso de Cálculo I você irá se deparar com o conceito de integral - não nos interessa aqui
saber o que é isso mas, a t́ıtulo apenas de informação, integrais são comumente representadas com
2
os śımbolos “
Z
” e “dx”. Uma integral muito comum é
Z
cos2xdx,
cuja resolução pode ser muito melhor enxergada quando o estudande sabe fazer a fransformação
cos2x =
1
2
(1 + cos2x).
Em Álgebra Linear I, existem diferentes maneiras de efetuarmos “produtos” entre vetores. Uma
delas é usando o produto interno (ou produto escalar). O produto interno entre dois vetores −→u e −→v ,
comumente denotado por 〈−→u ,−→v 〉 é, por definição,
〈−→u ,−→v 〉 = ‖−→u ‖.‖−→v ‖.cosθ,
onde ‖−→u ‖ e ‖−→v ‖ representam a norma (o tamanho) dos vetores −→u e −→v respectivamente, e θ é o
ângulo entre esses vetores, convenientemente definido.
É provável que você tenha se assustado com essas notações matemáticas obscuras. Mas, repeti-
mos, você não é obrigado a entendê-las agora. Nosso propósito aqui é precisamente lhe fornecer bases
para que você possa aprender tais coisas com a maior naturalidade posśıvel. Esperamos que, ao final
destas aulas, você tenha adquirido uma ideia básica sobre os exemplos que mencionamos acima -
tanto do Ensino Médio quanto do Ensino Superior.
3
Aula 1
Medidas Angulares
1.1 Arcos
Em primeiro lugar é bom falar alguma coisa sobre nomenclatura. Qual a diferença entre ćırculo e
circunferência? Se “O” é um ponto do plano e r > 0 é um número dado a prori, a circunferência
de centro O e raio r é o conjunto dos pontos desse plano, cuja distância ao ponto O é precisamente
r. O que comumente se chama de ćırculo é algo que abrange mais pontos: o conjunto dos pontos
desse plano cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r. Dito de outro modo, a circunferência é
o bordo do ćırculo.
Figura 1.1: À esquerda temos a circunferência. À direita, o ćırculo: a circunferência unida com a
região cinza.
Quando tomamos dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em
duas partes (que contém A e B), cada uma das quais denominada arco ÷AB. Se A e B coincidirem,
um desses arcos será chamado de arco nulo e o outro de circunferência (ou arco de uma volta).
Figura 1.2: À direita temos o arco nulo e o arco de uma volta.
Existem várias maneiras de medirmos os arcos. Vamos aqui mencionar as tres principais. O
que será comum em todas elas é que associaremos ao ângulo central ÕAOB a mesma medida que
4
estivermos associando o arco ÷AB.
1.2 Medição Sexagesimal
A divisão da circunferência em 360 partes iguais é devida muito provavelmente aos babilônios, e
considera-se que teve sua origem na astronomia. A cada uma dessas partes é associada a medida de
um grau, denotada por 1◦. Essa é, portanto, a medida angularcorrespondente a 1360 da circunferência
ou, caso queiramos, do respectivo ângulo ÕAOB.
Se por exemplo um dos arcos ÷AB corresponde a um oitavo da circunferência, dizemos que sua
medida em graus é de quarenta e cinco graus (45◦). Nesse caso (figura 1.3) o outro arco (ou,
equivalentemente, o outro ângulo central ÕAOB) medirá 315◦
Figura 1.3: Dois arcos.
As subdivisões do grau são o minuto ( 160 do grau), denotado por ’ , e o segundo, denotado por ”.
Por exemplo: Dois graus, trinta e cinco minutos e quarenta e sete segundos é uma medida que pode
ser representada por 2◦35′47”.
1.3 Medição Centesimal
Na medição centesimal, a circunferência é dividida em 400 partes iguais, e a cada uma delar é
associada a medida de um grado. Temos também subdivisões (um minuto de grado é 1100 do grado,
e um segundo de grado é 1100 do minuto de grado) mas não vamos nos ater a essas medidas aqui.
1.4 Medição Circular
Podemos dividir a circunferência em quantas partes iguais quisermos e escolher um nome para essa
unidade angular associada. Mas existe uma forma intŕınseca de medir arcos e ângulos.
O radiano (rad) é a unidade de medida angular associada a um arco cujo comprimento é igual ao
raio. Em outras palavras, se o arco ÷AB tiver comprimento r, então sua medida angular em radianos
será de um radiano (que representaremos por 1rad).
Quantas vezes um arco de comprimento igual ao raio caberá na circunferência? Na geometria há
vérios métodos para acharmos essa quantidade. Buscando saber quantas vezes o diâmetro 2r cabe no
comprimento C da circunferência, o que seria o mesmo que indagar sobre o valor de C2r , descobriu-se
primeiramente que é mais do que três, e menos do que quatro vezes. Um pouco mais precisamente,
mais do que 3, 41 e menos do que 3, 42 vezes. O problema é que nunca, absolutamente nunca,
iremos encontrar uma representação exata desse número, com uma quantidade finita de algarismos.
Pior ainda, esse número nem sequer é racional, ou seja, não pode ser escrito como uma fração com
5
Figura 1.4: Arco ÷AB (ou ângulo ÕAOB) de 1rad.
numerador e denominador inteiros, assim como fazemos, por exemplo, com
90604
12375
= 7, 3215353535... .
Esse número C2r é um número irracional. Uma aproximação com um pouco mais de algarismos seria
3, 1415926539897932384626..., que pode ser obtida mediante esses processos geométricos mas, para
nós, esse é um resultado tão grande quanto inútil. Assim como já faźıamos para outros números
irracionais, como por exemplo aquele número cujo quadrado é 2, que é aproximadamente 1, 4142135...,
que representamos por
√
2, atribuimos também um śımbolo a esse estranho número, usando uma
letra grega minúscula: π (lê-se: “pi”). Então temos
C
2r
= π,
o que nos remete ao fato de que o comprimento C de uma circunferência de raio r é dado por
C = 2π.r.
Em suma, π é aquele número irracional que representa quantas vezes o raio cabe em C ou, dito
de outra forma, quantas vezes o comprimento C contém o raio.
Observe que, de acordo com essas considerações, a medida em radianos da circunferência completa
é 2πrad.
Podemos associar medidas angulares em graus com medidas angulares em radianos da seguinte
forma: sabemos que a circunferência completa (que corresponde a 2πrad) equivale a 360◦. Logo a
metade disso (πrad) equivalerá a 180◦, um quarto da circunferência (π2 rad) estará associado a 90
◦ e
assim por diante.
De maneira geral, podemos usar uma regra de três simples e direta. Por exemplo: caso queiramos
saber quanto seria, em radianos, a medida de 150◦, bastará resolver a regra de três
180◦ π rad
150◦ x
e então teremos 180.x = 150.π, o que nos fornece x = 5π6 .
É evidente que podemos também efetuar o caminho inverso: dado um ângulo em radianos,
encontrar sua medida em graus. E o processo serve, com os devidos ajustes, para compararmos
graus com grados e radianos com grados.
6
1.5 Exerćıcios
1. Expresse 160◦ em radianos.
2. Expresse 2π5 rad em graus.
3. Observe o exemplo:
3, 5◦ = 3◦ + 0, 5◦
= 3◦ + 0, 5× 1◦
= 3◦ + 0, 5× 60′
= 3◦ + 30′
= 3◦30′.
(a) Converta 12, 25◦ para graus e minutos.
(b) Converta 7, 375◦ para graus, minutos e segundos.
4. Converta 4◦35′ para minutos.
5. Converta 12◦3′14” para segundos.
6. Observe o exemplo:
2◦15′ = (2× 1◦) + 15′
= (2× 60′) + 15′
= 120′ + 15′
= 135′.
180◦ = 180× 60′ = 10800′
10800′ π rad
135′ x
Logo, x = 135π10800 =
π
80 e portanto 2
◦15′ equivalem a π80rad.
Transforme 1◦45′ em radianos.
7. Observe o exemplo:
2◦
5
=
2× 1◦
5
=
2× 60′
5
=
120′
5
= 24′
32◦
5
=
30◦ + 2◦
5
=
30◦
5
+
2◦
5
= 6◦ + 24′ = 6◦24′
32◦ 5
2◦ 6◦
32◦ 5
2× 60′ 6◦
32◦ 5
120′ 6◦
32◦ 5
120′ 6◦24′
0
Calcule 82
◦
8 , diretamente nas chaves 82
◦ 8 .
7
Aula 2
Definições Básicas
2.1 Definições Básicas
Seja ABC um triângulo retângulo em A, e seja θ a medida do ângulo ÕABC. Lembremo-nos de que,
nos triângulos retângulos, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e que os outros dois
lados são chamados de catetos.
Figura 2.1: Catetos de medidas b e c.
É comum (embora não obrigatório) usarmos letras latinas maiúsculas para denotar os vértices, e
letras latinas minúsculas para denotar os comprimentos dos lados. Geralmente, o comprimento do
lado BC (que é oposto ao vértice A) é denotado por a, o comprimento do lado AC (que é oposto ao
vértice B) é denotado por b e o comprimento do lado AB (que é oposto ao vértice C) é denotado
por c (veja a figura 2.1).
Um erro comum porém muito grave é fazer referência a algum cateto como cateto oposto, sem
dizer a quem ele é oposto. Na figura 2.1, por exemplo, o cateto AB de medida c é oposto ao ângulo
ϕ, mas é adjacente ao ângulo θ. E o cateto AC, de medida b, é oposto ao ângulo θ mas é adjacente ao
ângulo ϕ. Portanto, ao nos referirmos a algum cateto, temos de dizer a quem ele é oposto (ou a quem
ele é adjacente), pois caso contrário teremos, além de uma frase incompleta, uma indeterminaçao
(que cateto seria esse?). Note que a hipotenusa, que se opõe ao (único) ângulo reto, não precisa de
especificação.
• Definimos o seno do ângulo θ (notação: senθ) como a razão entre a medida do cateto oposto
a θ e a medida da hipotenusa:
senθ :=
C.O.θ
HIP.
.
No caso da figura 2.1, temos
senθ =
b
a
.
8
• Definimos o cosseno do ângulo θ (notação: cosθ) como a razão entre a medida do cateto
adjacente a θ e a medida da hipotenusa:
cosθ :=
C.A.θ
HIP.
.
No caso da figura 2.1, temos
cosθ =
c
a
.
• Definimos a tangente do ângulo θ (notação: tgθ) como a razão entre a medida do cateto oposto
a θ e a medida do cateto adjacente a θ:
tgθ :=
C.O.θ
C.A.θ
.
No caso da figura 2.1, temos
tgθ =
b
c
.
Note que, se defińıssemos a tangente de θ como a razão entre senθ e cosθ obteŕıamos o mesmo
valor.
Segundo Elon Lages Lima ([7]), a palavra seno tem origem numa tradução equivocada do árabe,
e provavelmente seu significado original nada tenha a ver com trigonometria. A palavra cosseno, no
entanto, já passa a ter algum sentido, pois se refere ao seno do ângulo complementar.
Há também outras relações importantes:
1. Definimos a cossecante do ângulo θ (notação: cossecθ) como sendo o inverso do seno de θ:
cossecθ :=
1
senθ
.
2. Definimos a secante do ângulo θ (notação: ssecθ) como sendo o inverso do cosseno de θ:
cossecθ :=
1
cosθ
.
3. Definimos a cotangente do ângulo θ (notação: cotgθ) como sendo o inverso da tangente de θ:
cotgθ :=
1
tgθ
.
Será comum você encontrar, na literatura, abreviações inglesas para seno, cosseno e tangente, cosse-
cante, secante e cotangente: sin, cos, tan, csc, sec e ctg, respectivamente.
Observe que, de acordo com a figura 2.1, teremos cossecθ = ab , secθ =
a
c e cotgθ =
c
b .
É evidente que podemos, de maneira inteiramente análoga, definir seno, cosseno, tangente, cosse-
cante, secante e cotangente (as razões trigonométricas) do ângulo ϕ na figura 2.1.
Exemplo 2.1.1 Na figura2.2, temos: senθ = 35 = 0, 6, cosθ =
4
5 = 0, 8 e tgθ =
3
4 = 0, 75.
2.2 Paralelas e Transversal
Em geometria é muito comum (e quase obrigatório) denotarmos retas por letras letinas minúsculas,
de preferência pelas últimas do alfabeto.
Seja t uma reta que corta duas outras retas distintas r e s. A região entre r e s é chamada de
região interna.
Observe a figura 2.3. Oito ângulos são formados.
9
Figura 2.2: Catetos de medidas 3 e 4.
Figura 2.3: Oito ângulos.
Vamos lembrar aqui um resultado que na verdade é muito antigo, e já era presente na obra Os
Elementos de Euclides, em cerca de 300 A.C. É a Proposição XXIX do Livro I. Resumindo o texto em
linguagem moderna, ela em essência diz que quando uma reta t corta duas retas paralelas distintas
r e s, os ângulos de mesma cor assinalados na figura 2.3 terão a mesma medida. No caso da figura
2.3, por exemplo, se r e s são paralelas então os ângulos ε e γ terão a mesma medida, e o mesmo
acontece com o par de ângulos β e ω.
É bom lembrar que proposições matemáticas são afirmações que devem ser acompanhadas de
demonstração, e o caso acima não foge à regra. Aliás, a obra Os Elementos, um dos maiores tesouros
da humanidade, prima por ser um exemplo de rigor demonstrativo que foi imitado por gerações e
gerações de estudiosos, alguns deles bem famosos. São ao todo 465 proposições (divididas em treze
livros1), demonstradas num maravilhoso encadeamento lógico. Em minha modesta opinião, todo
aquele que se interessa por matemática deve ter pelo menos algum contato com essa obra. Nossa
intenção aqui não é detalhar muito, e portanto estaremos omitindo a demonstração desta Proposição,
bem como de algumas outras.
Os dois pares de ângulos assinalados acima são batizados de ângulos alternos (pois cada um está
“de um lado” da reta t) internos (pois estão na região entre as paralelas). Então, quando uma reta
corta outras duas paralelas distintas, os ângulos alternos internos terão mesma medida.
2.3 Aplicações
Como consequência da Proposição XXIX, I de Euclides, podemos deduzir outro fato já bem con-
hecido: o de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de 180◦. Para que você possa
conhecer a verdadeira estrutura de uma proposição, vamos colocá-la de forma completa (incluindo
sua demonstração).
1Isso fica melhor entendido se interpretarmos que, para os antigos, livro poderia significar o que hoje chamamos de
caṕıtulo.
10
Proposição 2.3.1 A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de 180◦.
Demonstração:
Figura 2.4: Ângulos internos de um triângulo.
Seja ABC um triângulo qualquer, e sejam α, β e γ os ângulos internos nos vértices A, B e C,
respectivamente. Tracemos por A uma reta r paralela ao lado BC. Pela Proposição XXIX, I de
Euclides, os ângulos alternos internos são congruentes. Então os ângulos alternos internos que a
transversal AB forma com as paralelas r e BC são congruentes (e portanto ambos têm medida β).
Analogamente, os ângulos alternos internos que a transversal AC forma com as paralelas r e BC são
congruentes (e portanto ambos têm medida γ). Consequentemente, os ângulos α, β e γ em torno
do ponto A na reta r totalizam um ângulo raso (e portanto sua medida é de 180◦). Como essas são
precisamente as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC, segue-se que a soma dos ângulos
internos do triângulo ABC é de 180◦. Uma vez que esse triângulo é arbitrário, concluimos que a
soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de 180◦. X
Examinemos novamente a figura 2.1 (pág. 8). De acordo com as definições das razões trigono-
métricas, temos:
(a) senθ = ba . Logo, b = a.senθ.
(b) cosθ = ca . Logo, c = a.cosθ.
Isso nos indica que, conhecendo apenas o seno e o cosseno de um dos ângulos agudos e a medida da
hipotenusa de um triângulo retângulo, podemos achar as medidas dos catetos.
Exemplo 2.3.1 Podemos achar as medidas dos catetos do triângulo da figura 2.5, se soubermos
que sen30◦ = 0, 5 e que cos30◦ ' 0, 87 (esse sinal ' indica que o número após ele é apenas uma
aproximação, e não é o resultado exato).
Figura 2.5: Achar as medidas dos catetos.
Fazendo b = a.senθ onde a = 10m e sen30◦ = 0, 5 obtemos b = 5m, e fazendo c = a.cosθ onde
a = 10m e cos30◦ ' 0, 87 obtemos c ' 8, 7m.
Exemplo 2.3.2 Agora sobre a figura 2 (pág. 2), vamos inicialmente “limpar o excesso” para obter
um pequena informação.
Como a reta azul é paralela ao plano inclinado, uma reta horizontal fará com essas duas retas
ângulos de mesma medida. Logo, o ângulo entre a reta azul e a horizontal é θ (no ponto B). Veja
que a reta que contém o vetor peso é perpendicular à horizontal. Ora, sendo BAH um triângulo
11
Figura 2.6: Relações angulares.
retângulo (em H), o ângulo ÕBAH tem medida 90◦− θ (basta você usar o fato de que a soma dos três
ângulos internos desse triângulo tem de ser de 180◦). Observe também que o ângulo no vértice A do
triângulo ABC é reto. Isso nos faz concluir que a medida do ângulo ÕCAH é θ.
Assim, voltando à figura 2 temos uma configuração que, com aux́ılio do que vimos no exemplo
2.3.1, nos permitirá encontrar os valores das forças em vermelho nas direções AB e AC, segundo as
quais foi decomposta a força peso.
Antes, porém, vamos fixar uma notação (que você também verá em Álgebra Linear): se −→v é um
vetor, denotaremos por ‖−→v ‖ a sua norma, isto é, o seu “tamanho” (sua intensidade). Assim, ‖
−→
P ‖
denotará a norma do vetor peso.
Figura 2.7: Determinação das componentes.
Observe o triângulo retângulo ALM na figura 2.7. Veja que o cateto LM tem o mesmo tamanho
que AJ (que é a norma da componente vermelha na direção do plano), e que o tamanho do cateto
AL é a norma da componente vermelha normal ao plano (isto é, perpendicular ao plano).
Como no triângulo ALM conhecemos a hipotenusa (‖
−→
P ‖) e um dos ângulos agudos (θ), é só
seguirmos as ideias do exemplo 2.3.1 para concluirmos que
‖
−→
AJ‖ = ‖
−→
P ‖.senθ e que ‖
−→
AL‖ = ‖
−→
P ‖.cosθ.
Exemplo 2.3.3 Sabendo que g = 10m/s2, sen30◦ = 12 e que cos30
◦ =
√
3
2 , determine as
intensidades das componentes da força peso do bloco nas direções paralela e normal ao plano, sendo
m = 3kg a massa desse bloco.
Como
−→
P = m.−→g obtemos que a intensidade do vetor peso é de 30N (lê-se “trinta Newtons”),
isto é, ‖
−→
P ‖ = 30N . Agora do exemplo 2.3.2 obtemos que a componente do peso na direção do plano
terá norma igual a
‖
−→
P ‖.senθ = 30N.1
2
= 15N
e que a componente do peso na direção normal ao plano terá norma igual a
‖
−→
P ‖.cosθ = 30N.
√
3
2
= 15
√
3N.
12
Figura 2.8: Determinação das componentes.
Exemplo 2.3.4 (Relação fundamental da trigonometria.) Vamos por um momento supor con-
hecido Teorema de Pitágoras2: Em todo triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa
é a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Uma vez de posse desse resultado, fica simples e automático deduzirmos fatos importantes. Por
exemplo: Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em A, como na figura 2.9.
Figura 2.9: Determinação das componentes.
Pelo Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos b2 + c2 = a2. Por outro lado, de acordo com
o que vimos, temos senθ = ba e cosθ =
c
a . Então
sen2θ + cos2θ =
�
b
a
�2
+
� c
a
�2
=
b2
a2
+
c2
a2
=
b2 + c2
a2
=
a2
a2
= 1.
Ou seja: o que acabamos de demonstrar foi que, para todo ângulo agudo θ, vale sen2θ + cos2θ = 1.
Na verdade essa relação vale para qualquer angulo (agudo ou não), como podemos facilmente verificar
posteriormente. Essa é, precisamente, a relação fundamental da trigonometria:
Para todo ângulo θ, vale sen2θ + cos2θ = 1.
Em conexão com essa relação, temos também uma outra. Com a notação da figura 2.9 temos tgθ = bc
2Embora esse resultado seja atribúıdo a Pitágoras (570A.C. − 495A.C.), conjetura-se que muito antes disso os
babilônios já sabiam desseresultado - embora nada indique que eles o tenham provado sistematicamente. Em verdade,
até mesmo a existência do famoso Pitágoras é questionada.
13
e secθ = ac . Então
1 + tg2θ = 1 +
�
b
c
�2
= 1 +
b2
c2
=
c2 + b2
c2
=
a2
c2
=
�a
c
�2
= sec2θ.
Afirmamos que esse resultado pode também ser estendido facilmente para todo ângulo (agudo ou
não). Em suma, vale que
Para todo ângulo θ, tem-se 1 + tg2θ = sec2θ.
Exemplo 2.3.5 Uma pessoa, a 20m de uma grande árvore, enxerga o topo dessa árvore segundo
um ângulo de 60◦. Sabendo que tg60◦ =
√
3 e que a linha de visada horizontal da pessoa está 1, 72m
do solo, calcule a altura dessa árvore.
Figura 2.10: Determinar a altura da árvore.
Observe a figura 2.10. Chamemos de d a distância vertical da altura dos olhos da pessoa ao
topo da árvore. No triângulo retângulo ABC, já temos as medidas de um cateto (AB = 20m) e da
tangente do ângulo agudo em A. Observe que a tangente desse ângulo é, por definição, d
AB
, onde
AB representa o comprimento do cateto AB (que é de 20m). Como essa tangente também é
√
3,
obtemos
√
3 = d20 e portanto d = 20
√
3. Mas observe que a altura H dessa árvore é na verdade
d+ 1, 72, em metros. Então H = 20
√
3 + 1, 72.
Caso quiséssemos, podeŕıamos usar uma aproximação para
√
3 para expressar H em forma deci-
mal. Fazendo
√
3 ' 1, 73 obteremos H = 36, 32m.
2.4 Exerćıcios
1. Mostre que, se definirmos a cossecante do ângulo θ como a razão entre a medida da hipotenusa
e a medida do cateto oposto a θ, obteremos o mesmo valor que aquele definido em 1, pág. 9.
2. Mostre que, se definirmos a secante do ângulo θ como a razão entre a medida da hipotenusa e
a medida do cateto adjacente a θ, obteremos o mesmo valor que aquele definido em 2, pág. 9.
14
3. Mostre que, se definirmos a cotangente do ângulo θ como a razão entre a medida do cateto
adjacente a θ e a medida do cateto oposto a θ, obteremos o mesmo valor que aquele definido
em 3, pág. 9.
4. Mostre que também podemos definir cotgθ como a razão entre cosθ e senθ.
5. No triângulo retângulo cujos lados medem 5m, 12m e 13m, calcule as razões trigonométricas
dos dois ângulos agudos.
6. Observando a figura 2.1 (pág. 8), mostre que:
(a) senθ = cosϕ
(b) senϕ = cosθ
(c) tgθ = cotgϕ
(d) tgϕ = cotgθ.
7. Mostre que, seja qual for o ângulo agudo θ, vale
1 + cotg2θ = cossec2θ.
8. Sabendo que certo ângulo θ tem seno positivo e que cosθ = 0, 8, encontre o velor de senθ.
9. Sendo θ um ângulo qualquer, calcule o velor numérico de (senθ + cosθ)2 − 2.senθ.cosθ.
15
Aula 3
Mensuração em Figuras Retiĺıneas
Dois triângulos são ditos congruentes quando se pode estabelecer uma correspondência entre seus
vértices de modo que:
• Os lados de um deles são ordenadamente congruentes aos lados do outro e
• Os ângulos internos de um deles são ordenadamente congruentes aos ângulos internos do outro.
Em essência, isso é apenas uma formalização da ideia que temos de dois triângulos que possuem
exatamente “mesmo tamanho e forma”.
Figura 3.1: Na figura, ângulos da mesma cor terão a mesma medida.
A prinćıpio ficaria algo trabalhoso verificarmos se dois triângulos são congruentes. Precisaŕıamos
constatar seis igualdades: com três pares de lados, e com três pares de ângulos.
Felizmente existem critérios de congruência, que são condições mı́nimas que devem ser satisfeitas
para que se possa garantir essas seis igualdades.
Por exemplo: se os três lados de um triângulo são ordenadamente congruentes aos três lados de
um outro triângulo, então eles são congruentes (isto é, ocorrerão também as igualdades entre os três
pares de ângulos, ordenadamente).
Então é suficiente que sejam verificadas apenas três dessas igualdades, pois o resultado acima
garantirá que nesse caso valerão todas as seis.
Esse critério de congruência de triângulos é chamado de critério lado-lado-lado (L.L.L.), e caso
você deseje pode ver uma demonstração (e aplicações) em [6].
3.1 Alguns Ângulos Notáveis
Seja ABCD um quadrado, e chamemos de ` o comprimento de seu lado. Podemos facilmente achar
o comprimento d da diagonal AC desse quadrado através do Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo ABC.
16
Figura 3.2: Mensuração no quadrado.
De fato, de d2 = `2 + `2 = 2`2 temos d =
√
2`2 = `
√
2 (ou seja: a diagonal de um quadrado de
lado ` mede `
√
2).
Temos então um triângulo ABC com dois lados medindo ` e um lado medindo `
√
2.
Observe agora que o triângulo ACD é um triângulo com exatamente essas medidas! Pelo critério
L.L.L. de congruência de triângulos, concluimos que esses dois triângulos são congruentes... e, em
particular, que os ângulos ÕBAC e ÕDAC têm a mesma medida.
Como 90◦ = ÕBAD = ÕBAD + ÕDAC, concluimos que ÕBAC = ÕDAC = 45◦.
Figura 3.3: Trigonometria no triângulo ABC.
Fixemo-nos no triângulo ABC. Observe que, de acordo com as definições, temos:
• sen45◦ = `
`
√
2
⇒ sen45◦ = 1√
2
• cos45◦ = `
`
√
2
⇒ cos45◦ = 1√
2
• tg45◦ = `` = 1
e a partir disso fica extremamente simples encontrarmos a secante, a cossecante e a cotangente de
45◦ (exerćıcio 1, pág. 25).
Consideremos agora um triângulo equilátero ABC, e chamemos de ` a medida de seu lado. Seja
M o ponto médio do lado BC. Observe que os triângulos ABM e ACM são congruentes, pelo
critério L.L.L. Como consequência, temos as congruências angulares como na figura 3.4.
Veja que, como 2γ = 180◦, então γ = 90◦.
Note agora que, ao tomarmos agora o ponto médio N do lado AC, obteremos a configuração que
se vê na figura 3.5 (vamos manter o nome do ângulo ÕBCA).
Observe (compare as figuras 3.4 e 3.5) que α = 2β. E, como γ = 90◦, trabalhando com a soma
dos ângulos do triângulo ABM teremos
180◦ = α+ β + γ = 2β + β + 90◦
90◦ = 3β ⇒ β = 30◦ ⇒ α = 60◦.
Dáı segue em particular que os três ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60◦.
Mas vamos nos ater ao triângulo ABM , sobre o qual já conhecemos as medidas de um cateto, da
hipotenusa e dos três ângulos internos. Chamemos de h o comprimento de AM .
17
Figura 3.4: Denotamos ângulos com mesma medida pelo mesmo śımbolo.
Figura 3.5: N é ponto médio de BC.
Figura 3.6: Trigonometria no triangulo ABM .
O leitor é solicitado a mostrar, usando o Teorema de Pitágoras, que h = `
√
3
2 (exerćıcio 5, pág.
25).
De acordo com as definições, temos:
• sen60◦ = h
`
=
`
√
3
2
`
=
√
3
2
• cos60◦ =
`
2
`
1
2
• tg60◦ = h
`
2
=
`
√
3
2
`
2
=
√
3
18
• sen30◦ =
`
2
`
1
2
• cos30◦ = h
`
=
`
√
3
2
`
=
√
3
2
• tg30◦ =
`
2
`
√
3
2
=
1√
3
=
√
3
3
e a partir dáı fica muito simples encontrarmos os valores da secante, da cossecante e da cotangente
de 30◦ e de 60◦ (exerćıcio 3, pág. 25).
3.2 Áreas
As considerações que se seguem são de caráter bastante intuitivo e, ao invés de rigor, procuramos
usar a visualização para tentar remeter às ideias centrais.
Em geometria, quando nos perguntamos qual é a área de uma figura plana F , estamos querendo
saber quantas vezes uma determinada figura plana padrão P, conhecida a priori,“cabe dentro” de
F . Por exemplo:
Figura 3.7: 50u2 (cinquenta unidades quadradas).
Na figura 3.7, dada a figura padrão P (que no caso é o quadrado cujo lado tem medida “u”),
saber qual é a área do retângulo ABCD (a figura F) significa saber quantas vezes esse quadrado
cabe nesse retângulo. Associamos a esse quadrado básico uma medida (uma área básica) que será
batizada de uma unidade quadrada. Um racioćınio simples de contagem nos mostra que há 50 desses
quadradinhos dentro de ABCD. Então dizemos que a área do retângulo ABCD é de 50 unidades
quadradas.
Veja que o que acabamos de fazer foi o mesmo que se tivéssemos multiplicado a base pela altura
desse retângulo:
10u|{z}
base
× 5u|{z}
altura
= 50u2|{z}
área
.
É devido a essa ideia que definimos a área de um retângulo como o produto da medida da base
pela medida da altura. Note que, efetuando-seuma rotação no retângulo, o que era base poderá vir
a ser altura, e vice-versa. Mas, devido à propriedade comutativa da multiplicação, o valor da área
permanece o mesmo.
Caso o lado desse quadradinho medisse 1m, a área básica a ele associada seria de um metro
quadrado (que representaŕıamos por 1m2), e então a área do retângulo ABCD seria de cinquenta
metros quadrados (50m2).
Ao descobrirmos que uma determinada figura plana (como por exemplo o contorno irregular da
figura 3.8) tem área de 48, 7m2, por exemplo, estamos constatando que nessa figura caberiam (se
19
recortados e depois colados adequadamente, sem superpor nem deixar lacunas) mais de 48 e menos
de 49 quadrados básicos de 1m de lado.
Figura 3.8: Completando onde falta e tirando de onde sobra...
Na geometria plana, o processo é sempre esse: intuitivamente, caso a figura não se adeque per-
feitamente a um retângulo, os quadrados básicos irão sendo colocados “dentro” delas de modo que o
que sobra é “recortado” e o que falta é “completado”, e isso é feito se necessário em pedaços menores,
de tal forma que a região delimitada pela figura seja completamente preenchida.
Não iremos aqui tratar de contornos arbitrariamente irregulares. A figura de interesse no momento
será para nós o paralelogramo, que por definição é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos1.
É posśıvel provar de maneira fácil que os lados opostos de um paralelogramo têm a mesma medida.
Em matemática, a simples observação de uma figura não pode ser garantia de alguma propriedade.
Por exemplo: todo paralelogramo pode ser transformado num retângulo equivalente (isto é, de mesma
área). Não vamos provar isso aqui, embora seja muito simples. Iremos tão somente exibir na figura
3.9 uma sugestão de como isso pode ser feito:
Figura 3.9: Paralelogramos e retângulo.
Na figura 3.9 o paralelogramo de lados a e b foi transformado no retângulo de lados b e h, onde
h é a altura relativa ao lado b, isto é, a distância entre os dois lados de medida b. Como o retângulo
e o paralelogramo possuem mesma área, e como a área de um retângulo é o produto da medida de
sua base pela medida de sua altura, concluimos que a área do paralelogramo em questão é dada pelo
produto b.h (base × altura).
Mas esse mesmo paralelogramo pode também ser transformado num retângulo equivalente de
outra maneira. Na figura 3.10 é sugerido como se pode fazer isso:
Então esse paralelogramo pôde ser transformado em dois retângulos a ele equivalentes (e portanto
equivalentes entre si): um de lados b e h (altura relativa ao lado b), e outro de lados a e v (altura
1Observe que de acordo com essa definição, um retângulo (em particular, um quadrado) também é paralelogramo.
20
Figura 3.10: Outra maneira.
relativa ao lado a). Em particular, como essas áreas são iguais então b.h = a.v. Note que v é também
a medida da altura desse paralelogramo com respeito ao lado que mede a. Então a igualdade b.h = a.v
nos sugere que, assim como no retângulo, qualquer lado de um paralelogramo pode ser considerado
como base e, obtendo corretamente a altura correspondente, podemos achar a área. Em outras
palavras,
A área de um paralelogramo é o produto da medida de (qualquer) uma de suas bases
pela medida da respectiva altura.
Seja ABC um triângulo qualquer.
Observe a figura 3.11. Ao conduzirmos por A uma reta paralela ao lado BC e, por B, uma
paralela ao lado AC, essas retas (que não são paralelas entre si) se encontrarão num ponto que
chamaremos de P . Observe então que o quadrilátero ACBP é paralelogramo e que portanto os
lados opostos são congruentes (isto é, possuem a mesma medida).
Figura 3.11: Triângulo e paralelogramo.
Nesse paralelogramo, podemos observar que a altura h com relação ao lado AC (que então é
chamado de base) é a mesma altura do triângulo ABC (com relação ao lado AC desse triângulo).
Observemos também que os triângulos ABC e BAP são congruentes (possuem os três lados
respectivamente congruentes).
É natural associarmos triângulos congruentes à mesma área pois, afinal, triângulos congruentes
são em essência triângulos que possuem “exatamente o mesmo tamanho e forma”.
Então, ao triângulo ABC, foi “adicionado” convenientemente outro triângulo de igual área e
obteve-se o paralelogramo ACBP . Segue-se que a área do triângulo ABC é a metade da área do
21
paralelogramo ABCP , que felizmente já sabemos calcular: b.h, onde h é a altura desse paralelo-
gramo com respeito à base AC. Logo a área do triângulo ABC será b.h2 , onde h (que é altura no
paralelogramo) é também a altura do triângulo, com relação à base que mede b.
E se por acaso elegêssemos outro lado desse triângulo como base? Quase que certamente o valor
para a nova altura (a distância entre essa nova base e o vértice a ela oposto) iria mudar. Então a
área, nesse caso, iria mudar? Nesse caso essa ideia de área (que dependeria então da maneira como
escolhemos ver o triângulo) seria inútil. Nossa intuição diz que isso não acontece. E felizmente não
acontece mesmo. Podemos constatar isso de maneira um pouco mais detalhada.
Figura 3.12: Base BC.
Suponhamos que escolhemos o lado BC como base (ver figura 3.12). Completamos o paralelo-
gramo ACBP da mesma forma como o fizemos anteriormente, e atentamos agora para a altura desse
paralelogramo com repeito ao lado BC (que, observe, será também a altura do triângulo ABC com
respeito à base BC), de medida v. A área desse paralelogramo (que é o dobro da área do triângulo
ABC) pode também ser dada, como vimos, por a.v, pois já constatamos acima que a.v = b.h. Assim,
o valor a.v2 que encontraŕıamos para a área do triângulo ABC tomando BC como base será o mesmo
valor numérico de b.h2 , que encontraŕıamos tomando o lado AC como base.
No triângulo ABC que usamos, é comum denotarmos h por hb (a altura relativa ao lado AC ou,
se quisermos, ao vértice B) e v por ha (a altura relativa ao lado BC ou, se quisermos, ao vértice A).
E se escolhêssemos o lado AB para tomar como base? Acompanhando a figura 3.13, onde
novamente se constrói o paralelogramo ACBP , denotamos por w a altura do triângulo ABC com
respeito à base AB (passo (II)). De acordo com nossa representação, note que as duas áreas amarelas
são iguais (pois esses triângulos são congruentes, pelo caso lado-lado-lado2), o mesmo acontecendo
entre as áreas azuis (passo (III)).
Ao chegarmos no passo (IV), temos um retângulo UV XZ, de lados c e w, equivalente ao parale-
logramo ACBP . Logo, a área do triângulo ABC também pode ser expressa por c.w2 .
Segue assim que a área de um triângulo está bem definida, ou seja, que não importa qual dos
lados elejamos como base. Desde que também tomemos corretamente a altura correspondente, a
área - obtida pelo semiproduto da medida da base pela medida da altura - será sempre a mesma.
Na figura 3.14, por exemplo, se S denota a área do triângulo ABC então
S =
a.ha
2
=
b.hb
2
=
c.hc
2
. (3.1)
2Na figura 3.13, sendo ACBP um paralelogramo, os ângulos ÔCAB e ÔPBA têm a mesma medida. Usando seno e
cosseno, podemos concluir que os catetos do triângulo amarelo superior também medem n e w. Então, pelo critério
L.L.L. de congruência os triângulos amarelos são congruentes.
22
Figura 3.13: Base AB.
Figura 3.14: Não importa quem escolhemos por base.
23
3.3 Distância Entre Dois Pontos
É extremamente útil por vezes, estudarmos geometria por meio de coordenadas. Lembremos que
um ponto P do plano cartesiano pode ser determinado por duas coordenadas x e y, denominadas
respectivamente abscissa e ordenada do ponto P . Escrevemos isso como P (x, y). Uma das maneiras
de se fazer isso é traçando por P retas perpendiculares aos eixos.
Figura 3.15: Ponto e suas coordenadas.
Sejam A(xa, ya) e B(xb, yb) dois pontos do plano cartesiano. Caso eles estejam na mesma hor-
izontal ou na mesma vertical, fica fácil obtermos a distânciaentre eles. No primeiro caso faremos
|xb − xa| e, no segundo, |yb − ya|.
Figura 3.16: Segmentos paralelos aos eixos.
Quando no entanto esses pontos determinarem um segmento que não é paralelo a nenhum dos
eixos, precisaremos uma vez mais do Teorema de Pitágoras (ver figura 3.17).
Observe que o triângulo ABC é retângulo em C(xa, yb). Para acharmos a medida da hipotenusa
AB será suficiente acharmos as medidas dos catetos AC e BC.
Como A e C estão numa mesma vertical, o comprimento desse cateto (que denotaremos por AC
será dado por AC = |yb − ya|.
Como B e C estão numa mesma horizontal, o comprimento desse cateto será dado por BC =
|xb − xa|.
Agora, uma vez que AB
2
= AC
2
+BC
2
, teremos
AB
2
= (xb − xa)2 + (yb − ya)2
e portanto a distância d(A,B) entre os pontos A e B será dada por
d(A,B) =
È
(xb − xa)2 + (yb − ya)2.
24
Figura 3.17: Usando Pitágoras.
3.4 Exerćıcios
1. Encontre o valor da secante, da cossecante e da cotangente do ângulo de 45◦.
2. Com relação à figura 3.13 e aos respectivos comentários (pág. 22), mostre (usando seno e
cosseno) por que os triângulos retângulos amarelos são congruentes.
3. Encontre o valor da secante, da cossecante e da cotangente dos ângulos de 30◦ e de 60◦.
4. Monte uma tabela com os valores de seno, cosseno e tangente de 30◦, 45◦ e 60◦.
5. Mostre que a altura h de um triângulo equilátero de lado ` é dada por h = `
√
3
2 .
6. Usando o resultado obtido na questão 5, mostre que a área S de um triângulo equilátero de
lado ` é dada por S = `
2
√
3
4 .
7. Determine a área do triângulo retângulo cujos lados medem 3m, 4m e 5m.
8. Determine a área do triângulo ABC em que AB = 10m, BC = 3m e o ângulo interno no
vértice B é de 30◦.
9. Calcule a distância entre os pontos A(1, 5) e B(−2, 1). Represente essa situação no plano
cartesiano.
10. Calcule a distância entre a origem O(0, 0) e um ponto P (x, y). Represente essa situação no
plano cartesiano.
25
Aula 4
Mensuração no Ćırculo
4.1 Ângulo Central e Ângulo Inscrito
Consideremos um triângulo ABC inscrito numa circunferência (isto é, seus vértices A, B e C são
pontos dessa circunferência). Se O é o centro dessa circunferência, então os segmentos OA, OB e
OC têm o mesmo comprimento R (seu raio).
Na figura abaixo temos situações em que o ponto O está no interior do triângulo (primeiro caso),
o ponto O está sobre o lado BC (segundo caso) e em que o ponto O extá no exterior a esse triângulo.
Afirmamos que, em qualquer dos três casos, o ângulo inscrito ÕBAC tem a metade da medida do
ângulo central ÕBOC.
Figura 4.1: Centro no interior do triângulo, centro sobre um dos lados do triângulo e centro no
exterior do triângulo.
Vamos nos ater ao primeiro caso (os outros dois são deixados como exerćıcio1).
Observe (veja figura 4.2) que o triângulo OBC é isósceles (pois OB = OC = R) e portanto os
ângulos ÕOBC e ÕOCB são congruentes (isto é, possuem medidas iguais). Chamemos de α a medida
comum desses dois ângulos.
Note que o triângulo OAC também é isósceles com OA = OC = R. Então os ângulos ÕOAC eÕOCA são também congruentes. Chamemos de β a medida comum desses ângulos2.
Veja também que o triângulo OAB é isósceles com OA = OB = R. Denotemos por γ a medida
comum dos ângulos ÕOAB e ÕOBA.
1Exerćıcios 1 e 2, pág. 35.
2Nada aqui está nos dizendo que esses ângulos têm a mesma medida α dos ângulos ÔOBC e ÔOCB. Devemos portanto
utilizar outro śımbolo para representar a medida comum dos ângulos ÔOAC e ÔOCA.
26
Figura 4.2: AOB, AOC e BOC são triângulos isósceles.
Atentemos para o triângulo OBC. Quanto ao ângulo ÕBOC, temos
ÕBOC = π − 2α (4.1)
(é só usar o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π).
Por outro lado, veja que a soma dos ângulos internos do triângulo ABC nos fornece
2α+ 2β + 2γ = π. (4.2)
Veja então que, combinando as relações 4.1 e 4.2 obtemos
ÕBOC = 2(β + γ),
isto é, que o ângulo (central) ÕBOC tem o dobro da medida do ângulo (inscrito) ÕBAC. X
4.2 Lei dos Senos
Seja ABC um triângulo qualquer. É fato que todo triângulo admite um ćırculo que o circunscreve
(ou seja, um ćırculo cuja circunferência passa pelos seus três vértices). Aqueles que desejam ver uma
demonstração desse fato podem procurar em [6]. Chamemos de O e de R, respectivamente, o centro
e o raio desse ćırculo (faça um desenho). Esse raio é chamado de circunraio do triângulo ABC.
Pelo que vimos na seção anterior, o ângulo central ÕBOC tem o dobro da medida do ângulo
inscrito ÕBAC. que é o ângulo do vértice A do triângulo. Chamemos de α a medida desse ângulo em
A. Segue então que ÕBOC = 2α.
Seja M o ponto médio do lado BC, cuja medida é a. Observe que esse ponto define dois triângulos
congruentes3 BOM e COM . Isso acarretará, entre outras coisas, que os ângulos em M são retos
(ou seja, que OM é mediana do triângulo BOC) e que os ângulos ÖBOM e ÖCOM possuem a mesma
medida (exerćıcio 3, pág. 36). Como ÕBOC = ÖBOM +ÖCOM , concluimos que ÖBOM = ÖCOM = α.
Vamos agora olhar mais atentamente para o triângulo OBM (figura 4.3). Nesse triângulo
retângulo, note que já temos a medida da hipotenusa OB (que é R) e de um dos ângulos agu-
dos (ÖBOM = α). Pelo que vimos anteriormente podemos então afirmar que o cateto BM mede
BM = R.senα.
Como também temos BM = a2 , chegamos a
a
2 = R.senα, e portanto
a
senα
= 2R. (4.3)
3Critério L.L.L.: OB = OC = R, BM = CM = a
2
e OM é lado comum aos triângulos.
27
Figura 4.3: Trigonometria no triângulo OBM .
Agora você é convidado a fazer a mesma coisa nos lados AC = b e AB = c desse triângulo (exerćıcio
4, pág. 36). Considere o triângulo COB, mostre por que ÕAOC = 2β (onde β é a medida do ângulo
interno do vértice B do triângulo), e então obtenha bsenβ = 2R. O mesmo racioćınio no triângulo
AOB lhe levará a concluir que csenγ = 2R, onde γ é a medida do ângulo interno do vértice C do
triângulo ABC.
Segue dáı a famosa Lei dos senos, que diz que se α, β e γ são as medidas dos ângulos opostos
respectivamente aos lados de medidas a, b e c de um triângulo de circunraio R, então
a
senα
=
b
senβ
=
c
senγ
= 2R. (4.4)
Exemplo 4.2.1 Determine a medida do circunraio de um triângulo, sabendo que a me-
dida de um dos lados é de 3cm e que o seno do ângulo oposto a esse lado é 0, 6.
Usando a notação a = 3cm para o comprimento desse lado, e α para a medida do ângulo a ele
oposto, obtemos pela Lei dos senos que asenα = 2R e que portanto R =
a
2.senα . Substituindo os valores
dados obtemos R = 31,2 e portanto R = 2, 5cm. X
Para quele leitor que tiver sentido dificuldades em fazer contas com os números decimais no exemplo
4.2.1:
3
1, 2
=
3
12
10
=
3
1
.
10
12
=
30
12
=
5
2
= 2, 5.
Esses cálculos acima são comumente omitidos na maioria dos livros de ensino médio, pois já é
pressuposto que o aluno conheça e esteja familiarizado com operações com frações e números decimais
- afinal isso deveria ter sido visto em qualquer 7◦ ano fundamental decente. Infelizmente, no Brasil -
e principalmente no Amazonas - essa base tão necessária não nos é fornecida no ensino fundamental,
e isso é o principal motivo pelo qual o ensino de matemática nas escolas do Amazonas é um dos
piores do mundo.
A boa not́ıcia é que não é dif́ıcil adquirir essa base tão necessária. Mesmo aqueles que não
conseguiram entender os passos detalhados acima poderão, com um pouco de paciência, tomar em
mãos os livros de matemática do ensino fundamental que tratam de operações com frações, números
decimais, etc., e ir exercitando conceitos e corrigindo erros que costumava cometer. Caso seja feito
corretamente, isso leva menos tempo do que se poderia imaginar.
28
4.3 O Ciclo Trigonométrico
Consideremos uma circunferência de raio 1 centrada na origem do plano cartesiano (isto é, seu
centro é o ponto O(0, 0)). Sabemos que os eixos cartesianos dividem o plano em quatro quadrantes,numerados em algarismos romanos de acordo com a ordem mostrada na figura 4.4:
Figura 4.4: O ciclo trigonométrico.
Observe que o sentido de percurso para numerar os quadrantes é convencionado como o sentido
anti-horário (isto é, no sentido de rotação que é contrário ao dos ponteiros do relógio). Aproveita-se
essa convenção para dividir-se automaticamente essa circunferência em quadrantes: aquela porção da
circunferência que está no primeiro quadrante será chamada de primeiro quadrante da circunferência,
e assim por diante. Dizemos assim que estamos orientando essa circunferência.
O ciclo trigonométrico é essa circunferência de raio 1 centrada na origem, orientada da maneira
acima descrita.
Assim, por exemplo:
• O ponto A, que está sobre o eixo dos x (o eixo das abscissas) está portanto no primeiro e
no quarto quadrantes, simultaneamente. É a partir dele que se costuma “caminhar” no cilco
trigonométrico.
• O ponto B está no primeiro quadrante.
• O ponto C está simultaneamente no primeiro e no segundo quadrantes.
• O ponto D está no segundo quadrante.
• O ponto E está simultaneamente no segundo e no terceiro quadrantes.
• O ponto F está no terceiro quadrante.
• O ponto G está simultaneamente no terceiro e no quarto quadrantes.
• O ponto H está no quarto quadrante.
O sentido de percurso adotado aqui será chamado de sentido positivo de rotação. Então uma
rotação no sentido horário será chamada de rotação negativa, ou rotação no sentido negativo.
Marquemos um ponto qualquer P no ciclo trigonométrico (figura 4.5). Vamos novamente chamar
de A aquele “ponto inicial”, ou seja, aquele a partir do qual “começamos a caminhar” no ciclo, o ponto
que está simultaneamente no primeiro e no quarto quadrantes. Denotaremos momentaneamente o
ângulo ÕAOB por θ. Observe que a cada ponto do ciclo corresponde um ângulo central θ entre 0◦ e
360◦. O ponto A corresponde a 0◦ e o ponto Z corresponde a 360◦. Como eles coincidem, não há
motivo para não dizer que o ponto Z corresponde também a 0◦.
Como todo ponto do plano, P possui suas coordenadas x e y. Tais coordenadas são obtidas
projetando-se ortogonalmente o ponto P sobre cada um dos eixos, obtendo-se os pontos Px (projeção
29
Figura 4.5: Ponto no ciclo.
sobre o eixo das abscissas) e Py (projeção sobre o eixo das ordenadas). A abscissa x será então o
comprimento do segmento OPx (precedido de um sinal negativo, caso Px se situe “À esquerda” da
origem O) e a ordenada y será o comprimento do segmento Py (precedido de um sinal negativo, caso
Py se situe “abaixo” da origem O).
Observe que os segmentos orientados4
−−→
OPy e
−−→
PxP possuem exatamente o mesmo tamanho e
orientação.
Por falar em orientação, precisamos informar que ângulos tomados segundo a orientação negativa
(ou seja, no sentido horário) serão precedidos de um sinal negativo. Assim, por exemplo, se estamos
considerando um ângulo de 37◦ (ver figura 4.6) tomado no sentido horário, a maneira de representá-
lo é escrevendo −37◦. Um ângulo tomado no sentido horário que é associado ao mesmo ponto que
−37◦ é o ângulo de 323◦.
Figura 4.6: Ângulos negativos.
4.4 Seno e Cosseno
Olhando mais atentamente para o triângulo POPx, podemos obter uma informação importante.
Já sabemos (pág. 11, itens a e b) que quando dispomos, num triângulo retângulo, do comprimento
da hipotenusa e de um dos ângulos agudos, então os comprimentos dos catetos podem muito bem
ser determinados.
Observe (ver figura 4.7) que também podemos representar o comprimento do cateto PxP por y.
Prosseguindo, podemos encontrar os comprimentos desses catetos fazendo
• OPx = OP.cosθ = cosθ e
• PxP = OP.senθ = senθ.
4Um segmento orientado é um segmento no qual se impôs um “ińıcio” e um “fim”. No presente caso, os segmentos
−−→
OPy e
−−→
PxP estão ambos orientados “para cima”, ou seja, no sentido positivo do eixo das ordenadas.
30
Figura 4.7: Determinação dos catetos no ciclo.
x e y terão então esses valores, a menos que Py esteja abaixo da origem, ou que Px esteja à esquerda
da origem, casos nos quais as medidas devem ser precedidas de um sinal negativo.
Observe então que as coordenadas x e y do ponto P são precisamente x = cosθ e y = senθ.
Então, dedo qualquer ponto P no ciclo trigonométrico, suas projeções sobre os eixos coordenados
nos fornecerão diretamente os valores do seno e do cosseno do ângulo que esse ponto determina
(escrevemos P (cosθ, senθ)). Isso acontece porque o raio é unitário. O eixo das abscissas (o eixo
horizontal) é chamado de eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas (o eixo vertical) é chamado de
eixo dos senos.
Figura 4.8: Seno e cosseno, no ciclo.
Exemplo 4.4.1 Seja P um ponto no ciclo trigonométrico, tal que o ângulo que ele determina é de
30◦. Então podemos escrever P ( 12 ,
√
3
2 ).
Figura 4.9: Trinta graus, no ciclo.
Exemplo 4.4.2 É natural a extensão desses conceitos para ângulos não agudos. Por exemplo: um
angulo de 135◦ pode ser representado no ciclo por um ponto P de forma que ÕAOP = 135◦ ou,
equivalentemente, ÕCOP = 45◦ (ver figura 4.10). Em qualquer hipótese, entretanto, obtemos o seno
e o cosseno do ângulo exatamente da mesma forma: projetando o ponto P sobre os eixos, e verificando
suas coordenadas.
31
Figura 4.10: 135◦, no ciclo.
Observe que os comprimentos OPx e OPy podem ser obtidos simplesmente investigando o triângulo
retângulo PyOP , cuja hipotenusa mede 1 e cujo ângulo agudo ÖPyOP mede 45◦. Esses comprimentos
serão (ambos) de
√
2
2 . Agora, como Px está à esquerda da origem, então devemos atribuir ao cosseno
de 135◦ (que é a medida associada ao segmento orientado
−−→
OPx) o sinal negativo. Quanto ao seno
desse ângulo nada precisamos fazer a respeito do sinal, uma vez que Py está acima da origem.
Uma última observação importante é a de que você pode verificar facilmente que a Relação Fun-
damental da Trigonometria ainda vale para este - e para todo e qualquer ângulo que você queira
assinalar no ciclo trigonométrico. Basta que você encontre as respectivas projeções Px e Py e então
use o Teorema de Pitágoras. Desta forma, seja qual for o ângulo θ -agudo, reto, obtuso, etc. - vale
sempre que
sen2θ + cos2θ = 1.
4.5 Semelhança: O que Faz Funcionar
Na Aula 3 (pág. 16), vimos o importante conceito de congruência de triângulos. E vimos também que
a ideia básica por trás daquilo tudo era expressar matematicamente quando dois triângulos teriam
exatamente a mesma forma e tamanho, como se pudéssemos “recortar um desses triângulos do papel”
e colocá-lo sobre o outro (eventualmente virando a face do papel, se necessário), de modo que eles
ficassem superpostos e não sobrasse nem faltasse nada, ou seja, “se encaixassem perfeitamente”. Essa
ideia não é prerrogativa dos triângulos, e se estende a todas as figuras planas. Figuras que possuem
“mesma forma e tamanho” são congruentes.
Mas existe outra ideia, mais sofisticada, que é important́ıssima para a trigonometria no espaço
euclideano. Existem figuras que “têm a mesma forma”, mas “tamanhos diferentes”. Isso já se
percebia desde a pré-história, ao se observar as circunferências do Sol e da Lua, que para nós, apesar
de terem a mesma forma, quase sempre se afiguram de tamanhos diferentes5
Na figura 4.11 vemos três variações de uma mesma fotografia. No canto superior esquerdo está a
fotografia original. Logo à direita, a variação obtida quando se mantém uma dimensão fixa (no caso,
a “altura”) e duplica-se a outra (digamos, a “base”). No canto inferior esquerdo temos a variação
contrária: duplicou-se a altura e manteve-se a base. Em nenhuma dessas duas variações manteve-se
a fidelidade com respeito à fotografia original. A imagem ficou distorcida. Em outras palavras, não
foi respeitada a proporção. No canto inferior direito, ambas as dimensões - base e altura - foram
5Exceto em certos momentos, principalmente ao testemunharmos eclipses solares,quando essas circunferências
parecerão ter exatamente o mesmo tamanho.
32
Figura 4.11: Semelhança.
alteradas na mesma proporção, e o resultado final foi uma imagem de tamanho diferente da original,
mas sem distorção alguma. Dizemos que essa última imagem é semelhante à primeira, e que a razão
(de semelhança) entre a primeira e a segunda é de um para dois. Veja que em todos os casos,
entretanto, as áreas dos objetos retratados foram afetadas.
As distorções que as variações não proporcionais provocam, não alteram apenas as áreas, mas
também os ângulos nas figuras. A última das variações é a única na qual os ângulos não foram
afetados.
Uma variação na área, portanto, pode dizer respeito apenas a uma alteração no tamanho do
objeto. Mas uma variação angular com certeza indica que houve alteração nas formas desse objeto.
Estamos interessados naquelas variações que eventualmente modificam as áreas (os tamanhos),
mas que mantém os ângulos (as formas). Dizendo isso de forma um tanto rudimentar, estamos
interessados nas ampliações ou reduções das figuras.
Na figura 4.12 a imagem original é a de um triângulo equilátero. As variações são efetuadas
exatamente como na figura 4.11. Veja que no canto superior direito o triângulo conservou a altura
mas teve a base duplicada. Além disso as medidas dos ângulos da base diminuiram, enquanto que a
medida do ângulo do topo aumentou. Com certeza este não é mais um triângulo equilátero.
No canto inferior esquerdo o triângulo também não é equilátero, pois devido ao fato de que as
dimensões também mudaram desproporcionalmente os ângulos foram afetados. Observe que agora a
medida do ângulo do topo diminuiu, enquanto que as medidas dos ângulos da base aumentaram.
A última variação, no canto inferior direito, é a única na qual os ângulos não foram afetados (pois
as dimensões foram alteradas na mesma razão). O triângulo é de fato equilátero novamente. Dizemos
que o primeiro e o último triângulo são semelhantes, e que a razão de semelhança do primeiro para
o último é de um para dois.
33
Figura 4.12: Na última variação, só as áreas foram alteradas.
A medida de cada lado do triângulo original estará para a medida de seu correspondente no
último triângulo na mesma razão de semelhança: um para dois.
Observe os triângulos da figura 4.13. Um deles foi obtido a partir do outro mediante uma
ampliaçao por um fatos 2 (ou seja, são triângulos semelhantes e o primeiro está para o segundo
assim como um está para dois). Cada ângulo foi mantido (manteve-se a forma) e os comprimentos
de lados correspondentes estão na mesma razão:
• hipotenusa do primeirohipotenusa do segundo =
5
10 =
1
2
• cateto oposto a θ no primeirocateto oposto a θ no segundo =
3
6 =
1
2
• cateto adjacente a θ no primeirocateto adjacente a θ no segundo =
4
8 =
1
2
Figura 4.13: Semelhança mantém razões entre lados.
Note que devido a essa consistência o seno de θ no primeiro triângulo é igual ao seno de θ no
segundo:
• No primeiro: senθ = 35 = 0, 6
• No segundo: senθ = 610 =
3.2
5.2 =
3
5 = 0, 6
É claro que os cossenos e as tangentes desse ângulo serão também idênticos entre o primeiro e o
segundo. Você vais reparar imediatamente que cosθ = 0, 8 e tgθ = 0, 75 nos dois triângulos.
34
Definição 4.5.1 Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando for posśıvel estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de forma que:
1. ângulos correspondentes são congruentes e
2. lados correspondentes estão na mesma razão.
Note que a definição 4.5.1 é tão somente uma tradução mais rigorosa das ideias que expusemos acima.
Figura 4.14: Aqui, ângulos de mesma cor são congruentes.
Na figura 4.14, se tivermos ABA′B′ =
AC
A′C′ =
BC
B′C′ então (uma vez que lá já está assinalado que os
ângulos correspondentes são congruentes) esses triângulos são semelhantes.
O número k = ABA′B′ =
AC
A′C′ =
BC
B′C′ é chamado de razão de semelhança entre o triângulo ABC e
o triângulo A′B′C ′.
Observe que a congruência de triângulos é simplesmente uma semelhança cuja razão é 1.
Mas o mais importante aqui é você reparar que se dois triângulos retângulos são semelhantes
então ocorrerá exatamente o que ocorreu na situação da figura 4.13 (pág. 34): Os senos dos ângulos
correspondentes são iguais e os cossenos dos ângulos correspondentes são iguais. Isso nos permite
dizer que triângulos semelhantes conservam os valores dos senos e dos cossenos de seus
ângulos correspondentes. É precisamente isso que nos permite definir o seno e o cosseno de um
ângulo, na geometria euclideana. Se essas coisas variassem com o tamanho do triângulo, não haveria
como defini-las da forma como o fizemos.
Assim como na congruência, devemos aparentemente verificar seis condições para avaliar a semel-
hança entre dois triângulos. Entretanto existem critérios de semelhança que nos permitem verificar,
um mı́nimo de condições que garantem a semelhança. Por exemplo: Se dois triângulos possuem os
três ângulos internos respectivamente congruentes, então esses triângulos são semelhantes. A prova
desse resultado pode ser encontrada em [6]. Esse critério de semelhança costuma ser denotado por
A.A.A. (angulo-ângulo-ângulo).
Existem outros critérios de semelhança, mas para o que se segue iremos precisar apenas deste.
Exemplo 4.5.1 De volta à figura 4.14, se soubermos apenas das congruências angulares lá assi-
naladas, então pelo critério A.A.A. esses triângulos são semelhantes (e por consequência os lados
correspondentes estarão entre si na mesma proporção).
4.6 Exerćıcios
1. Seja ABC um triângulo inscrito numa circunferência6 de centro O e raio R. Se o ponto O
pertence ao lado BC (ver figura 4.1, pág. 26, caso intermediário), mostre que o ângulo ÕBAC
é reto (a metade da medida do ângulo central ÕBOC).
2. Seja ABC um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio R. Se o ponto O é
exetrior a esse triângulo (ver figura 4.1, pág. 26, terceiro caso), mostre que a medida do ângulo
central ÕBOC é o dobro da medida do ângulo inscrito ÕBAC.
6isto é, seus vétices A, B e C são pontos dessa circunferência.
35
3. Mostre cuidadosamente por que, na seção 4.2 (pág. 27), os ângulos em M são retos e os ângulosÖBOM e ÖCOM são congruentes.
4. Encontre o valor de x:
Figura 4.15: Encontrar o valor de x.
5. Marque, no ciclo trigonométrico, um ponto em cada quadrante. Para cada um desses quatro
pontos, diga quais são os sinais do seno e do cosseno associados a esses pontos.
6. Usando o ciclo trigonométrico, determine o seno e o cosseno de:
(a) 120◦
(b) 150◦
(c) 210◦
(d) 225◦
(e) 240◦
(f) 300◦
(g) 315◦
(h) 330◦
(i) 390◦
7. Observe os pontos A, C, E e G da figura 4.4 (pág. 29), no ciclo trigonométrico. Quais seriam
os valores do seno e do cosseno associados a cada um desses pontos?
8. Determine o seno e o cosseno de:
(a) 0◦
(b) 90◦
(c) 180◦
(d) 270◦
(e) 360◦
(f) 450◦
9. Usando o ciclo trigonométrico, obtenha o valor do seno e do cosseno de:
(a) −45◦
(b) −60◦
(c) −90◦
(d) −180◦
(e) −420◦
10. Lembrando que a tangente de um ângulo pode ser definida como o quociente entre o seno e o
cosseno desse ângulo, obtenha os valores das tangentes dos ângulos das questões 6 e 9.
36
11. Por que não é posśıvel encontrarmos a tangente de alguns dos ângulos da questão 8?
12. Na figura abaixo, temos AB = 12cm, BC = 5cm e B′C ′ = 12, 5cm.
(a) Explique detalhadamente por que os triângulos ABC e A′B′C ′ são semelhantes.
(b) Calcule os comprimentos de AC, AC ′, AB′ e B′C ′.
Figura 4.16: Triângulos semelhantes.
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Referências Bibliográficas
[1] ABBOTT, P. Teach Yourself Trigonometry. NTC/Contemporary Publishing Company, 1992
[2] BOYER, C. B. História da Matemática. (Tradução: Elza F. Gomide) Editora Edgard Blücher,
SP, 1974
[3] EVES, H. Introdução à História da Matemática.Editora UNICAMP, SP, 2011
[4] GIBILISCO, STAN. Trigonometry Demystified. McGraw-Hill, USA, 2003
[5] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 3 - Trigonometria. Atual Editora, SP,
1977-1978
[6] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 9 - Geometria Plana. Atual Editora,
SP, 1977-1978
[7] LIMA, E.L. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Coleção do Professor de
Matemática, SBM
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	Introdução
	Medidas Angulares
	Arcos
	Medição Sexagesimal
	Medição Centesimal
	Medição Circular
	Exercícios
	Definições Básicas
	Definições Básicas
	Paralelas e Transversal
	Aplicações
	Exercícios
	Mensuração em Figuras Retilíneas
	Alguns Ângulos Notáveis
	Áreas
	Distância Entre Dois Pontos
	Exercícios
	Mensuração no Círculo
	Ângulo Central e Ângulo Inscrito
	Lei dos Senos
	O Ciclo Trigonométrico
	Seno e Cosseno
	Semelhança: O que Faz Funcionar
	Exercícios
	Bibliografia