ap2 gai 2010 1 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Segunda Avaliação Presencial de Geometria Analítica I - Gabarito
1/2010
Nome:__________________________________________________________
 
Pólo:___________________________________________________________
Questão 1: Mostre, por meio de simplificações e de uma translação de eixos, que a 
equação
b2 x2−a2 y2−2b2h x2 a2 k yb2h2−a2 k 2−a2b2=0
representa uma hipérbole e determine o centro e os focos.
Solução: Simplificando a equação, encontramos
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
Tomemos as equações de translação de eixos:


−=
−=
kyy
hxx
´
´
Temos:
1´´ 2
2
2
2
=−
b
y
a
x
que representa uma hipérbole com centro )0,0´(c e focos )0,´(1 cF − e )0,´(2 cF , onde 
b2=c2−a2 . Logo, a equação dada representa uma hipérbole, com centro ),( khc e focos 
),(1 kchF − e ),(2 kchF + , onde b2=c2−a2 .
Questão 2: Determine um sistema de três inequações lineares que represente o interior do 
triângulo cujos vértices são os pontos )1,0(A , )1,6( −B e )3,2(C .
Solução: A reta que passa pelos pontos )1,0(A e )3,2(C tem equação 01 =+− yx . A 
reta que passa pelos pontos )1,0(A e )1,6( −B tem equação 033 =−+ yx . E a reta que 
passa pelos pontos )1,6( −B e )3,2(C tem equação 05 =−+ yx .



≤−+
≥−+
≥+−
05
033
01
yx
yx
yx
Questão 3: Determine a cônica cuja equação polar é 
θcos1
2
−
=r
Solução: Da equação dada, temos:
( ) 2cos1 =− θr ∴ 2cos =− θrr
Agora, como θcosrx = , temos:
2=− xr ∴ 2+= xr ∴ ( ) 22 2+= xr
Agora, como 222 yxr += , temos:
( ) 222 2+=+ xyx ∴ 44222 ++=+ xxyx ∴ 442 += xy
 Logo, em coordenadas retangulares, a equação dada é:
( )142 += xy
que representa uma parábola com vértice em ( )0,1−C , foco ( )0,0F e diretriz 2−=x .
Questão 4: Verifique que tipo de cônica representa a equação abaixo:
04233 22 =−−+ xyyx
Solução: Eliminando o termo quadrático misto:


+=
−=
θθ
θθ
´cos´
´´cos
ysenxy
senyxx
Substituindo na equação dada e igualando a zero o termo quadráticos misto, obtemos:
( ) 0cos´´2 22 =− θθsenyx ∴ 0cos22 =− θθsen ∴ 02cos =θ ∴ 
2
2 piθ = 
∴ 
4
piθ =
Logo, 



+=
−=
´
2
2´
2
2
´
2
2´
2
2
yxy
yxx
 
Substituindo na equação dada, obtemos 1´
2
´ 22
=+ yx , que representa uma elipse.