AP2-GAII-2015-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito - AP2 – Geometria Anal´ıtica II – 2015/1
Questa˜o 1 (2,5 pontos): Conhecidos os planos
Π1 : x+ 2y + z + 1 = 0 e Π2 : x+ y + z − 2 = 0,
determine as equac¸o˜es cartesianas de todos planos perpendiculares simultaneamente a Π1 e Π2
cujas distaˆncias a` origem e´ 3.
SOLUC¸A˜O
Sejam −→u = (1, 2, 1) e −→v = (1, 1, 1) os vetores normais dos planos Π1 e Π2 respectivamente. O
vetor −→w = −→u ×−→v = (1, 0,−1) e´ ortogonal tanto a −→u quanto a −→v . Portanto ele e´ um poss´ıvel
vetor normal aos planos procurados, que tera˜o equac¸a˜o do tipo
Σ : x− z = d
para algum d ∈ R. A distaˆncia da origem ao plano Σ e´ dada por
d(O,Σ) =
|d|
‖−→w ‖
Como d(O,Σ) = 3 e ‖−→w ‖ = √12 + (−1)2 = √2, temos que |d| = 3√2. Portanto os poss´ıveis
planos sa˜o:
Σ1 : x− z = 3
√
2
Σ2 : x− z = −3
√
2
Questa˜o 2 (2,5 pontos): Dados os planos Π : x− y + 2z + 3 = 0 e Π′ : −x− y + 9z + 1 = 0,
seja r a reta dada por Π ∩ Π′, prove que para quaisquer que sejam os valores de α, β ∈ R, o
plano
Γ(α, β) : α(x− y + 2z + 3) + β(−x− y + 9z + 1) = 0
conte´m a reta r.
SOLUC¸A˜O
Precisamos mostrar que todo ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ r pertence ao plano Γ. Se P0 ∈ r, temos,
pela definic¸a˜o da reta r, P0 ∈ Π e P0 ∈ Π′, logo
x0 − y0 + 2z0 + 3 = 0 e − x0 − y0 + 9z0 + 1 = 0.
Assim,
α(x0 − y0 + 2z0 + 3) + β(−x0 − y0 + 9z0 + 1) = α · 0 + β · 0 = 0
mostrando que P0 ∈ Γ(α, β).
Questa˜o 3 (2,5 pontos):
(a) (1,5 ponto) Determine a equac¸a˜o satisfeita por todos os pontos P = (x, y, z) tais que o
vetor
−→
V P fac¸a um aˆngulo de pi/4 com o vetor ~v = (1, 1, 0), onde V = (0, 1, 2).
(b) (1,0 ponto) Determine a equac¸a˜o do cone de revoluc¸a˜o cujas geratrizes fazem um aˆngulo
de pi/4 com a reta r : (x, y, z) = (t, t+ 1, 2), t ∈ R e tem ve´rtice em V = (0, 1, 2).
SOLUC¸A˜O
(a) As coordenadas do vetor
−→
V P sa˜o (x, y − 1, z − 2). Enta˜o,
〈−→V P ,−→v 〉 = ‖−→V P‖ · ‖−→v ‖ · cos
(pi
4
)
x+ y − 1 =
√
x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 ·
√
12 + 12 ·
√
2
2
(x+ y − 1)2 = x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2
x2 + 2x(y − 1) + (y − 1)2 = x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2
2x(y − 1) = (z − 2)2
(b) A reta r : (0, 1, 2) + t(1, 1, 0) passa pelo ponto V e tem direc¸a˜o do vetor −→v = (1, 1, 0). Seja
P = (x, y, z) um ponto qualquer do cone. A reta que passa por P e pelo ve´rtice V forma
um aˆngulo de pi/4 com a reta r, logo os vetores direc¸a˜o das duas retas formam o mesmo
aˆngulo. Isto e´, o aˆngulo entre
−→
V P e −→v e´ pi/4.
Portanto, trata-se da mesma superf´ıcie do item anterior.
Questa˜o 4 (2,5 pontos): Considere a superf´ıcie qua´drica
S : 36x2 + 9z2 + 4y2 + 8y − 18z = 23.
(a) (1,0 ponto) Escreva a equac¸a˜o de S na sua forma canoˆnica.
(b) (0,5 ponto) Classifique a superf´ıcie descrita por S.
(c) (1,0 ponto) Deˆ a equac¸a˜o dos planos horizontais (isto e´, paralelos a z = 0) tangentes a`
superf´ıcie S.
SOLUC¸A˜O
(a)
36x2 + 9z2 + 4y2 + 8y − 18z = 23
36x2 + 4(y2 + 2y) + 9(z2 − 2z) = 23
36x2 + 4(y2 + 2y + 1− 1) + 9(z2 − 2z + 1− 1) = 23
36x2 + 4((y + 1)2 − 1) + 9((z − 1)2 − 1) = 23
36x2 + 4(y + 1)2 + 9(z − 1)2 = 23 + 13
x2 +
(y + 1)2
9
+
(z − 1)2
4
= 1
(b) Um elipsoide de centro em (0,−1, 1) e eixos medindo 1,3 e 4.
2
(c) Os planos sa˜o da forma {z = k} e devem ter u´nica intersec¸a˜o com S. Substituindo, temos
x2 +
(y + 1)2
9
= 1− (k − 1)
2
4
Essa equac¸a˜o tera´ uma u´nica soluc¸a˜o se, e somente se, o lado direito for nulo. Da´ı,
1− (k − 1)
2
4
= 0⇐⇒ (k − 1)2 = 4⇐⇒ k = 3 ou k = −1.
Sendo assim, os planos procurados sa˜o
z = 3 e z = −1
3