Gabarito Aula 10

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Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 10 1
Geometria Anal´ıtica I
10/05/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 10
Aula 10
Observac¸a˜o: Nos gra´ficos abaixo, uma fronteira preta significara´ fronteira
fechada (que pertence a` regia˜o) e uma linha clara signficara´ fronteira aberta (que
na˜o pertence a` regia˜o, normalmente representada por tracejado ou pontilhado)
1. a. A equac¸a˜o xy = 2 representa a hipe´rbole de focos (2, 2) e (−2,−2),
centro (0, 0) e ass´ıntotas x = 0 e y = 0. Os focos pertencem a` regia˜o
que satisfaz a inequac¸a˜o xy ≥ 2; de fato, 2 · 2 = 4 ≥ 2 e (−2) · (−2) =
4 ≥ 2. O centro (0, 0), por outro lado na˜o pertence a` regia˜o, pois
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0 · 0 = 0 > 1. Assim, a regia˜o definida por xy ≥ 2 e´ dada por
A equac¸a˜o x2 − y2 = 1 representa a hipe´rbole de focos (√2, 0) e(−√2, 0) e centro (0, 0). Para o centro (0, 0), temos x2−y2 = 02−02 =
0 < 1. Os focos, por sua vez, na˜o satisfazem a inequac¸a˜o x2 − y2 < 1,
pois (
√
2)2 − 02 = 2 ≥ 1 e (−√2)2 − 02 = 2 ≥ 1. Assim, a regia˜o
definida por x2 − y2 < 1 e´
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Tomando a intersec¸a˜o destas regio˜es, obtemos
Note que a intersec¸a˜o das curvas que delimitam a regia˜o e´ calculada
fazendo-se {
xy = 2
x2 − y2 = 1
Multiplicando a segunda equac¸a˜o por x2, temos
x4 − (xy)2 = x2.
Como (xy)2 = 4, temos
x4 − x2 − 4 = 0,
que, resolvida em x2 nos dara´
x2 =
1±√17
2
Assim,
x = ±
√
1 +
√
17
2
.
(Note que descartamos x2 = (1 − √17)/2, pois, sendo este valor ne-
gativo, na˜o poderia ser o quadrado de x.) Logo,
y = ±2
x
= ± 2
√
2√
1 +
√
17
.
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Assim, os pontos de intersec¸a˜o sa˜o√1 +√17
2
,
2
√
2√
1 +
√
17
 e
−
√
1 +
√
17
2
,− 2
√
2√
1 +
√
17
 .
b. A regia˜o definida por x + y + 1 ≤ 0 e´
Por outro lado,
(x+1)2+(y−1)2 ≥ 2x⇔ x2+2x+1+(y−1)2 ≥ 2x⇔ x2+(y−1)2 ≥ −1,
que e´ sempre satisfeita, uma vez que a soma de dois quadrados sera´
sempre positiva, logo, maior ou igual a −1. Logo, a regia˜o definida
pela segunda inequac¸a˜o e´ todo o R2. Assim, a regia˜o da intersec¸a˜o e´
a mesma definida por x + y + 1 ≤ 0, ja´ apresentada acima.
c.
x2+y2 ≥ 2x+4y−1⇔ x2−2x+1+y2−4y+4 ≥ 4⇔ (x−1)2+(y−2)2 ≥ 4,
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logo, a regia˜o definida pela primeira inequac¸a˜o e´
x2 ≥ y2+6x−4y−4⇔ x2−6x+9−y2+4y−4 ≥ 1⇔ (x−3)2−(y−2)2 ≥ 1,
logo, a regia˜o e´ dada por
Como y ≥ 0 descreve o semiplano positivo, a intersec¸a˜o das regio˜es
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sera´
2.
x2−2x+y+a > 0⇔ x2−2x+1+y+a−1 > 0⇔ (x−1)2 > −41
4
(y−(1−a)).
Sabemos que
(x− 1)2 = −41
4
(y − (1− a))
representa a para´bola de ve´rtice (1, 1 − a), concavidade para baixo e foco
(1, 1− a− 1/4). Substituindo o foco, temos
(1− 1)2 > −41
4
(1− a− 1/4− (1− a))⇔ 0 > 1/4,
que e´ FALSO! Assim, o foco na˜o pertence a` regia˜o. A regia˜o sera´ enta˜o
dada por
Para que a reta y = 0 pertenc¸a a esta regia˜o, devemos ter, enta˜o, 1−a < 0,
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logo a > 1. Note que na˜o poderia ser a ≥ 1, pois se a = 1, o ve´rtice
(1, 1− a) = (0, 0) na˜o estara´ contido na regia˜o (pois ela e´ definida por um
‘>’, na˜o por um ‘≥’), e assim faltaria um ponto da reta y = 0.
3. a. Seguindo a ide´ia da pa´gina 153, podemos dividir o a primeira equac¸a˜o
|x + y| ≤ 2 em dois sistemas,{
x + y ≤ 2
x + y ≥ 0 ou
{
−x− y ≤ 2
x + y < 0
(onde o “ou” indica que tomaremos a unia˜o das regio˜es). O primeiro
sistema nos da´
e o segundo
A unia˜o das regio˜es sera´ enta˜o
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Note que ate´ agora encontramos apenas a regia˜o correspondente a`
primeira equac¸a˜o. A segunda, |x − y| < 2 pode ser encontrada pelo
mesmo processo, e sera´
A intersec¸a˜o destas regio˜es sera´ enta˜o
Observac¸a˜o: Vamos ver uma outra forma de lidar com inequac¸o˜es
como |x + y| ≤ 2. Se b > 0, sabemos que |a| ≤ b⇔ a2 ≤ b2. Assim,
|x + y| ≤ 2⇔ x2 + 2xy + y2 ≤ 4.
Mas
x2 + 2xy + y2 = 4
que e´ a equac¸a˜o da coˆnica degenerada dada pelas retas
x + y = 2 e x + y = −2.
Testando enta˜o um ponto de cada regia˜o, vemos que
x2 + 2xy + y2 ≤ 4
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sera´ a regia˜o do plano entre as duas retas, esboc¸ada acima ( o terceiro
esboc¸o deste item).
b. Para |x| ≥ y + 1, podemos proceder como acima e obter a unia˜o dos
sistemas {
x ≥ y + 1
x ≥ 0 ou
{
−x ≥ y + 1
x < 0
,
de soluc¸o˜es (respectivamente)
cuja unia˜o sera´
As outras equac¸o˜es nos da˜o
x2 + y2 < 1 :
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x > y :
A intersec¸a˜o das treˆs regio˜es sera´:
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c. A regia˜o sera´
d. A regia˜o sera´
e. A regia˜o sera´
4. a. Como visto no Exemplo 10.9, a regia˜o determinada por
(x− y − 1)(y − x− 2) ≤ 0
e´ a unia˜o das regio˜es definidas por{
x− y − 1 ≤ 0
y − x− 2 ≥ 0 ou
{
x− y − 1 ≥ 0
y − x− 2 ≤ 0
(De fato, para que (x− y − 1)(y − x− 2) seja negativo, e´ necessa´rio e
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suficiente que x−y−1 e y−x−2 tenham sinais diferentes. Os pontos
em que ao menos uma das equac¸o˜es se anula, esta˜o naturalmente na
soluc¸a˜o de algum dos sistemas).
A soluc¸a˜o do primeiro sistema e´
e a do segundo e´
Assim, a unia˜o sera´ dada por
b. A regia˜o determinada por
(9x2 + y2 − 36x + 27)(x2 − 4x + y + 4) > 0
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e´ a unia˜o das regio˜es definidas por{
9x2 + y2 − 36x + 27 < 0
x2 − 4x + y + 4 < 0 ou
{
9x2 + y2 − 36x + 27 > 0
x2 − 4x + y + 4 > 0
(De fato, para que (9x2 + y2− 36x+ 27)(x2− 4x+ y+ 4) seja positivo,
e´ necessa´rio e suficiente que 9x2 + y2 − 36x + 27 e x2 − 4x + y + 4
tenham sinais iguai).
A soluc¸a˜o do primeiro sistema e´
e a do segundo e´
Assim, a unia˜o sera´ dada por
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c. A regia˜o determinada por
(|x| − 4)(4x2 + 9y2 − 40x− 54y + 145) < 0
e´ a unia˜o das regio˜es definidas por{
|x| − 4 < 0
4x2 + 9y2 − 40x− 54y + 145 > 0 ou
{
|x| − 4 > 0
4x2 + 9y2 − 40x− 54y + 145 < 0
Vamos tentar entender a regia˜o definida por |x| − 4 < 0. Note que
|x| − 4 < 0⇔ |x| < 4⇔ −4 < x < 4,
Assim, o primeiro sistema definira´ a regia˜o
Da mesma forma, para que |x| − 4 > 0, e´ necessa´rio e suficiente que
x > 4 ou x < −4. Assim, o segundo sistema define a regia˜o
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A unia˜o delas sera´
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