Gabarito Aula 19

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Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 19 1
Geometria Anal´ıtica I
10/04/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 19
Aula 19
1. a. Trata-se da elipse de centro na origem, semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 4 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
b = 3. Assim, o gra´fico e´
b. Trata-se da elipse de centro na origem, semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 2 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
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b = 1. Assim, o gra´fico e´
c. Trata-se da elipse de centro na origem, semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 3 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
b = 2. Assim, o gra´fico e´
d. Trata-se da elipse de centro em (1,−2), semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 3 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
b = 2. Assim, o gra´fico e´
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Como
16(x− 1)2 + 9(y − 2)2 = 144⇔ (x− 1)
2
9
+
(y − 2)2
16
= 1,
trata-se da elipse de centro em (1, 2), semi-eixo maior vertical de com-
primento a = 4 e semi-eixo menor horizontal de comprimento b = 3.
Assim, o gra´fico e´
e. Trata-se da elipse de centro em (−2, 3), semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 3 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
b = 2. Assim, o gra´fico e´
f. Trata-se da elipse de centro na origem, semi-eixo maior vertical de
comprimento a = 5 e semi-eixo menor horizontal de comprimento
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b = 3. Assim, o gra´fico e´
2. Observac¸a˜o: Antes das respostas, um esclarecimento. O Mo´dulo define
como ve´rtice, apenas os extremos do eixo maior (ou eixo focal). Alguns au-
tores, pore´m, definem como ve´rtice os extremos dos dois eixos, tendo assim
4 ve´rtices (os dois extremos de cada eixo). Na soluc¸a˜o deste exerc´ıcio, ap-
resentaremos os 4 ve´rtices, deixando sempre claro quais deles sa˜o extremos
de que eixo.
Uma vez conhecidos a e b, podemos encontrar c utilizando a relac¸a˜o a2 =
b2 + c2, que, reescrita, nos da´ c =
√
a2 − b2. Note que, como a > b, esta
raiz quadrada esta´ sempre definida. Como todas as elipses do exerc´ıcio
anterior teˆm eixo focal vertical, os focos sera˜o dados por F1 = (x0, y0− c) e
F2 = (x0, y0+c), onde C = (x0, y0) e´ o centro. Da mesma forma, os ve´rtices
sera˜o
• V1 = (x0, y0 − a), V2 = (x0, y0 + a) (extremos do eixo maior) e
• V3 = (x0 − b, y0), V4 = (x0 + b, y0) (extremos do eixo menor).
A excentricidade sera´ dada por c/a.
a. c =
√
42 − 32 = √7. Assim,
• Focos: F1 = (0,−c) = (0,−
√
7), F2 = (0, c) = (0,
√
7),
• Ve´rtices: V1 = (0,−a) = (0,−4), V2 = (0, a) = (0, 4) (extremos
do eixo maior), V3 = (−b, 0) = (−3, 0) e V4 = (b, 0) = (3, 0)
(extremos do eixo menor),
• Excentricidade e = c/a = √7/4.
b. c =
√
22 − 12 = √3. Assim,
• Focos: F1 = (0,−
√
3), F2 = (0,
√
3),
• Ve´rtices: V1 = (0,−2), V2 = (0, 2) (extremos do eixo maior),
V3 = (−1, 0) e V4 = (1, 0) (extremos do eixo menor),
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• Excentricidade e = c/a = √3/2.
c. c =
√
32 − 22 = √5. Assim,
• Focos: F1 = (0,−
√
5), F2 = (0,
√
5),
• Ve´rtices: V1 = (0,−3), V2 = (0, 3) (extremos do eixo maior),
V3 = (−2, 0) e V4 = (2, 0) (extremos do eixo menor),
• Excentricidade e = c/a = √5/3.
d. c =
√
32 − 22 = √5. Assim,
• Focos: F1 = (1,−2−
√
5), F2 = (1,−2 +
√
5),
• Ve´rtices: V1 = (1,−2 − 3) = (1,−5), V2 = (1,−2 + 3) = (1, 1)
(extremos do eixo maior), V3 = (1 − 2,−2) = (−1,−2) e V4 =
(1 + 2,−2) = (3, 2) (extremos do eixo menor),
• Excentricidade e = c/a = √5/3.
e. c =
√
42 − 32 = √7. Assim,
• Focos: F1 = (1, 2−
√
7), F2 = (1, 2 +
√
7),
• Ve´rtices: V1 = (1, 6), V2 = (1,−2) (extremos do eixo maior),
V3 = (−2, 2) e V4 = (4, 2) (extremos do eixo menor),
• Excentricidade e = c/a = √7/4.
f. c =
√
32 − 22 = √5. Assim,
• Focos: F1 = (−2, 3−
√
5), F2 = (−2, 3 +
√
5),
• Ve´rtices: V1 = (−2, 0), V2 = (−2, 6) (extremos do eixo maior),
V3 = (−4, 3) e V4 = (0, 3) (extremos do eixo menor),
• Excentricidade e = c/a = √5/3.
g. c =
√
52 − 32 = 4. Assim,
• Focos: F1 = (0,−4), F2 = (0, 4),
• Ve´rtices: V1 = (0,−5), V2 = (0, 5) (extremos do eixo maior),
V3 = (−3, 0) e V4 = (3, 0) (extremos do eixo maior),
• Excentricidade e = c/a = 4/5.
3. a. Como o centro e´ (0, 0) e o eixo focal e´ vertical, sua equac¸a˜o sera´ da
forma
x2
b2
+
y2
a2
= 1.
Como os comprimentos dos eixos maior e menor sa˜o, respectivamente,
8 e 6, temos 2a = 8 e 2b = 6, logo a = 4 e b = 3. Assim, a equac¸a˜o da
elipse e´
x2
32
+
y2
42
= 1.
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b. A distaˆncia entre os focos e´ 2c = d((0,−3), (0, 3)) = 6, logo c = 3.
A distaˆncia entre os ve´rtices (lembre-se de que o Mo´dulo usa o termo
ve´rtice apenas para os extremos do eixo maior) sera´ o comprimento
do eixo maior, logo 2a = d((0,−5), (0, 5)) = 10, logo a = 5. Como
a2 = b2 + c2, temos b =
√
a2 − c2 = 4.
O centro sera´ o ponto me´dio dos focos (ou dos ve´rtices, o que da´ no
mesmo), logo, o centro e´ (0, 0). Assim, a equac¸a˜o da elipse e´
x2
42
+
y2
52
= 1.
c. O centro e´ o ponto me´dio dos extremos de cada eixo, logo, o centro e´
dado por (1, 6) (ponto me´dio de (1, 3) e (1, 9), ou de (−1, 6) e (3, 6)). O
comprimento dos eixos sa˜o d((1, 3), (1, 9)) = 6 e d((−1, 6), (3, 6)) = 4,
logo, 2a = 6 e 2b = 4, e enta˜o a = 3, b = 2. Assim a equac¸a˜o sera´
(x− 1)2
22
+
(y − 6)2
32
= 1.
d. Como os comprimentos dos eixos maior e menor sa˜o, respectivamente,
2a = 10 e 2b = 6, temos a = 5, b = 3. Assim, como o centro e´ (2,−3)
e o eixo maior e´ vertical,
(x− 2)2
32
+
(y + 3)2
52
= 1.
e. O centro e´ o ponto me´dio dos focos (4,−2) e (4, 6), logo o centro e´
(4, 2). A distaˆncia entre os focos e´ 2c = d((4,−2), (4, 6)) = 8, logo,
c = 4. Ale´m disso, o comprimento do eixo menor e´ 2b = 8, logo b = 4.
Como a2 = b2 + c2, temos a2 = 42 + 42 = 32, logo a = 4
√
2. Assim,
(x− 4)2
42
+
(y − 2)2
(4
√
2)2
= 1.
f. O centro e´ (0, 0), e um dos ve´rtices esta´ em (0,−4). Como o Mo´dulo
chama de ve´rtice apenas os extremos do eixo maior, a distaˆncia entre
o centro e o foco sera´ o comprimento a do semi-eixo maior (que sera´
vertical), assim, a = d((0, 0), (0,−4)) = 4. Logo, a equac¸a˜o da elipse
e´ dada por
x2
b2
+
y2
42
= 1.
Sabendo que o ponto (3
√
3/2, 2) pertence a` elipse, podemos
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determinar b:(
3
√
3
2
)2
b2
+
22
42
= 1⇔ 27/4
b2
+
4
16
= 1⇔ b = 3.
Na u´ltima equivaleˆncia, usamos o fato de que b > 0 para desprezar o
valor negativo. Assim, a equac¸a˜o sera´
x2
32
+
y2
42
= 1.
4. a. Como
16x2+64x+y2−4y+52 = 0⇔ 16(x2+4x+4)−64+y2−4y+4−4+52 = 0⇔
⇔ 16(x+ 2)2 + (y − 2)2 = 16⇔ (x+ 2)
2
1
+
(y − 2)2
42
= 1,
temos a elipse de eixo focal vertical, centro (−2, 2), a = 4, b = 1,
c =
√
42 − 12 = √15. Assim, os focos sa˜o F1 = (−2, 2 −
√
15), F2 =
(−2, 2 + √15). Os ve´rtices sera˜o (−2,−2), (−2, 6) (eixo maior) e
(−3, 2), (−1, 2) (eixo menor).
b.
4x2 − 8x+ 9y2 − 36y + 4 = 0⇔ (x− 1)
2
32
+
(y − 2)
22
= 1
Elipse de eixo focal horizontal, centro (1, 2), focos F1 = (1−
√
5, 2), F2 =
(1 +
√
5, 2), ve´rtices (4, 2), (−2, 2) (eixo maior) e (1, 0), (1, 4) (eixo
menor).
c.
16x2 + 64x+ y2 − 4y + 68 = 0⇔ (x+ 2)
2
1
+
(y − 2)2
42
= 0.
Ponto (−2, 2) (Observe que a u´nica forma de uma soma de quadrados
dar 0, e´ ambos os quadradosserem 0. Assim, x = −2, y = 2).
d.
4x2 − 8x+ 9y2 − 36y + 44 = 0⇔ (x− 1)
2
32
+
(y − 2)
22
= −2
9
.
Assim, a soluc¸a˜o e´ vazia (na˜o podemos ter uma soma de quadrados
negativa).
5. Como
4x2 + 16y2 = 16⇔ x
2
22
+
y2
12
= 1,
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basta seguir o roteiro do Exemplo 19.2 para a = 2, b = 1.
6. Entre va´rias poss´ıveis adaptac¸o˜es do roteiro do Exemplo 19.2, uma pode
ser:
(1) Construa dois c´ırculos C e C ′ conceˆntricos na origem, de raios a e b,
respectivamente. (2) Marque um aˆngulo θ com 0o ≤ θ ≤ 360o, a partir
do semi-eixo y positivo, no sentido anti-hora´rio, definindo uma semi-reta
comec¸ando na origem [Obs: o aˆngulo poderia ser 90o ≤ 90o+θ ≤ 360o+90o
a partir do semi-eixo x positivo, o que da´ no mesmo.]. (3) Este segmento
intersecta C em A e C ′ em B. (4) Construa as retas r horizontal passando
por A e s vertical passando por B. (5) Os pontos da elipse sa˜o a intersec¸a˜o
P de r e s.
7. Como
9x2 + y2 = 9⇔ x
2
32
+
y2
12
= 1,
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basta seguir o roteiro do exerc´ıcio anterior para a = 3, b = 1.
8. Como
4x2 + 9y2 = 36⇔ x
2
32
+
y2
22
= 1.
Um ponto (a, b) sera´ interior a` elipse se, e so´ se,
a2
32
+
b2
22
< 1.
Assim,
ε =
{
(a, b)|a
2
32
+
b2
22
< 1
}
Como
9x2 + y2 = 9⇔ x
2
12
+
y2
32
= 1.
Um ponto (a, b) sera´ interior a` elipse se, e so´ se,
a2
12
+
b2
32
< 1.
Assim,
ε′ =
{
(a, b)|a
2
12
+
b2
32
< 1
}
Substituindo os pontos nas equac¸o˜es, temos
a. A1, A3, A5, A6 e A8.
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b. A5, A6, A8.
c. Estara˜o na unia˜o os pontos que esta˜o em algum dos dois conjuntos,
logo, pelos itens anteriores, esta˜o em ε∪ ε′ os pontos A1, A3, A5, A6 e
A8.
d. Estara˜o na intersec¸a˜o os pontos que esta˜o nos dois conjuntos, logo,
pelos itens anteriores, esta˜o em ε ∪ ε′ os pontos A5, A6 e A8.
9. Como
9x2 + 4y2 + 36x− 24y = −36⇔ (x+ 2)
2
22
+
(y − 3)2
32
= 1
, os pontos com maior ou menor abscissas estara˜o nos extremos do eixo
horizontal. Estes pontos sa˜o (−2−2, 3) = (−4, 3) e (−2+2, 3) = (0, 3), logo,
a menor abcissa e´ −4 e a maior e´ 0. Da mesma forma, os pontos de maior
ou menor ordenada esta˜o sobre o eixo vertical, sendo (−2, 3− 3) = (02, 0)
e (−2, 3 + 3) = (−2, 6); assim, a menor ordenada e´ 0, e a maior e´ 6.
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