Cálculo 3 UFPE - PROVA FINAL - 2018.1 (RESOLVIDA)

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GABARITO DA PROVA FINAL DE CA´LCULO 3
A`REA II-UFPE
1a Questa˜o (2,5 pts): Considere a curva C definida por
r(t) = (t2, cos 2pi t, sen 2pi t)
com 0 ≤ t ≤ 1.
(1.1) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva C no ponto corres-
pondente a t = pi/4.
(1.2) Escreva a integral que representa o comprimento de C.
Soluc¸a˜o da 1a Questa˜o:
(1.1) Queremos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto
r(pi/4) e paralela ao vetor r˙(pi/4). Logo as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
x = (
pi
4
)2 +
pi
2
t, y = cos
pi2
2
− (2pi senpi
2
2
)t, z = sen
pi2
2
+ (2pi cos
pi2
2
)t
(1.2) Como |r˙(t)| = √4t2 + 8pi2, enta˜o
L(C) =
∫ 1
0
√
4t2 + 8pi2 dt
2a Questa˜o: ( 2,5 pts) Use o Teorema de Stokes para calcular∫ ∫
S
rot(F ) · ~n dS
onde F (x, y, z) = (2y cos z, ex sen z, xey) e S e´ o hemisfe´rio x2 +y2 +z2 = 9, z ≥ 0, com
orientac¸a˜o ascendente.
Soluc¸a˜o da 2a Questa˜o: Pelo Teorema de Stokes,∫
∂S
F · dr =
∫ ∫
S
rot(F ) · ~n dS
Basta calcular a integral de linha acima. Como ∂S e´ definida pelas equac¸o˜es x2+y2 = 9
e z = 0, enta˜o ∂S tem a seguinte parametrizac¸a˜o:α(t) = (3cos t, 3sen t, 0) com 0 ≤ t ≤
2pi. Segue-se da´ı que∫
∂S
F · dr =
∫ 2pi
0
F (α(t)) · α˙(t)) dt = −18
∫ 2pi
0
sen2 t dt = −18pi
Date: 13-07-2018.
1
2 A`REA II-UFPE
3a Questa˜o: ( 2,5 pts) Use o Teorema da Divergeˆncia para calcular a integral∫ ∫
S
(2x+ 2y + z2)dS
onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Soluc¸a˜o da 3a Questa˜o: Tendo em vista que o campo normal a S e´ dada por
n(x, y, z) = (x, y, z), temos que encontrar um campo F tal que F (x, y, z) · (x, y, z) =
2x+ 2y + z2. Logo F (x, y, z) = (2, 2, z) e∫ ∫
S
(2x+ 2y + z2)dS =
∫ ∫
S
F · n dS =
∫ ∫ ∫
E
div(F )dV
onde E = {(x, y, z)|x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Como div(F ) = 1, enta˜o∫ ∫ ∫
E
div(F )dV =
∫ ∫ ∫
E
dV = (4/3)pi
4a Questa˜o (2,5 pts):
(4.1) Verifique se a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n−1arctg n
n2
e´ absolutamente convergente.
(4.2) Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie de
poteˆncias
∞∑
n=1
xn
10nn5
.
Soluc¸a˜o da 2a Questa˜o:
(4.1) Como −pi/2 < arctg x < pi/2 para todo x ∈ R, enta˜o
|(−1)n−1arctg n
n2
| ≤ pi
2
1
n2
o que mostra que
∞∑
n=1
|(−1)n−1arctg n
n2
| ≤ pi
2
∞∑
n=1
1
n2
<∞
Consequentemente, a se´rie e´ absolutamente convergente.
(4.2) Temos que
lim
n→∞
| xn+110n+1(n+1)5 |
| xn10nn5 |
=
|x|
10
Logo a se´rie em questa˜o e´ absolutamente convergente quando
|x|
10
< 1
o que e´ equivalente a dizer que a se´rie e´ absolutamente convergente quando
|x| < 10
GABARITO DA PROVA FINAL DE CA´LCULO 3 3
O raio de convergeˆncia e´ 10 e a se´rie converge absolutamente no intervalo (−10, 10).
Posto que
∞∑
n=1
10n
10nn5
=
∞∑
n=1
1
n5
e´ convergente e
∞∑
n=1
(−10)n
10nn5
=
∞∑
n=1
(−1)n
n5
e´ absolutamente convergente, enta˜o a se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
xn
10nn5
e´ absolutamente convergente em todos os pontos de [−10, 10].