topicos AULA6 1909 mod2 [Modo de Compatibilidade]

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Tópicos 
Arturo Rodrigo Ferreira Pardo
1º /2014
Avaliação das Formações
1
EFEITO DE DANO
Condição do 
poço Skin (S)
Razão de Dano 
(DR)
Estimulado S < 0 DR < 1
Sem dano S = 0 DR = 1
Danificado S > 0 DR >1
2
Raio de Drenagem Aparente
� No entanto, a pressão no poço no instante considerado é obtida de:
158( ) [ ] ( )80907,0ln2
1
/ln2
+=− Dwi
wD
tpp
rrBC
kh
µ
� A eliminação da diferença de pressões das equações acima resulta em:
159( ) ( )80907,0ln2
1/ln += DwD trr
� ou então: 160DdD tr 5,1= � onde: 161
w
d
dD
r
r
r =
� Usando variáveis reais a equação 160 pode ser escrita como:
162
t
d
c
ktC
r
ϕµ
15,1=
3
Teste de Fluxo - Interpretação
� A equação 164 passa a ser expressa por:
� Uma análise da equação 166 indica que um gráfico pwf versus log(t) deverá
produzir uma linha reta com coeficiente angular –m, conforme ilustra a
figura:








++





+−= s
rc
kC
tmpp
wt
iwf 8686,03514,0loglog 2
1
φµ 166
4
Teste de Fluxo - Interpretação
� Observa-se nesta figura que para tempos relativamente curtos os dados de
campo podem estar influenciados por efeitos de estocagem no poço. Uma
vez determinada a inclinação da reta do gráfico semilog da figura citada,
pode-se calcular a transmissibilidade da formação a partir da equação a
seguir:
m
qBCkh 2151,1=µ 167
5
Teste de Fluxo - Interpretação
� A equação 166 pode ser manipulada para se explicitar o fator de película:








−





−−






 −
= 3514,0loglog151.1 2
1
wt
wfi
rc
kC
t
m
pp
s φµ 168
� Para calcular o valor de s pela equação 168, toma-se um par (t, pwf)
correspondente a um ponto qualquer sobre a linha reta semilog da Figura.
Pode-se, para efeito de simplificação, escolher um ponto sobre a reta
corresponente ao tempo t = 1, resultando em:








−





−






 −
= 3514,0log151.1 2
1
wt
wfi
rc
kC
m
pp
s φµ
169
� Onde p1 é portanto um ponto sobre a reta
semilog, correspondente a t = 1. 6
Teste de Limite de Reservatório
� O regime de fluxo pseudopermante é alcançado pela produção
de um poço em um reservatório finito por um tempo
suficientemente longo, possibilitando a determinação dos
parâmetros do reservatório, vem como do volume poroso da
região drenada. Um teste de fluxo executado com esta
finalidade de se determinar o volume poroso da região
drenada por um poço é denominado teste limite de
reservatório. Esse tipo de teste foi introduzido por Jones (1958)
7
Teste de Limite de Reservatório
( ) srtP eDDAwD +−+= 4
3ln2pi
179
174 sCr
A
tP
Aw
DAwD +





+





+=
2458,2ln
2
1ln
2
12 2pi 178
� A equação de fluxo do regime pseudopermanente para um poço que produz
com vazão constante é dada, na forma adimensional, por:
Método Convencional
� onde a constante Ca é denominada fator de geometria, sendo portanto uma
função da geometria do sistema poço-reservatório. De acordo com a teoria
apresentada em capítulos anteriores, a equação da queda de pressão
adimensional no poço para um reservatório circular limitado que produz no
regime de fluxo pseudopermanente é:
8
Teste de Limite de Reservatório
07102,02458,2 =
AC 182
( ) se
r
r
tP
w
e
DAwD +−+





+= − pi
pi
pi ln
2
1ln
2
1ln
2
12 24/32
2
180
� que também pode ser escrita como:
Método Convencional
� Comparando-se as equações 178 e 181, verifica-se que:
( ) s
r
A
tP
w
DAwD ++





+= 07102,0ln
2
1ln
2
12 2pi 181
� ou ainda:
62,31=AC 183
� ou seja,
� para o caso de reservatório circular limitado.
9
Teste de Limite de Reservatório
� Uma análise da equação 178 indica que, uma vez atingido o regime de
produção pseudopermanente, a pressão no poço varia linearmente com o
tempo. Assim, um gráfico da pressão de fluxo versus tempo de produção
deve resultar em uma linha reta com inclinação – m’ e coeficiente linear pint
como mostra a figura.
Método Convencional
10
Teste de Limite de Reservatório
� Se colocada em termos de variáveis reais, a equação 178 se transforma
em:
Método Convencional
174
( ) s
Cr
A
Ac
ktCpp
qBC
kh
Awt
wfi +





+





+





=−
2458,2ln
2
1ln
2
12 2
1
2 φµ
pi
µ 184
� ou seja:
t
Ac
qBCC
s
rC
A
kh
qBCpp
twA
iwf 





−










+





−= φµpi
µ 212
1
2
2 22458,2ln 185










+





−= s
rC
A
kh
qBCpp
wA
i
2
1
2
2
int
2458,2lnµ 186
� definindo-se:
Ahc
qBCC
m
tφ
pi 21* 2= 187
11
Teste de Limite de Reservatório
� a equação 185 reduz-se a:
Método Convencional
tmPPwf
*
int −= 188
� que é a equação de uma linha reta. Portanto, o método de análise do teste
limite consiste em se ajustar uma linha reta sobre os dados de campo e
determinar o seu coeficiente angular -m*. Assim o volume poroso é
calculado a partir da equação 187:
t
p
cm
qBCChAV
*
212piφ =≡ 189
12
Teste de Limite de Reservatório
� Para se estimar o fator de geometria CA é necessária a utilização dos
valores de m e de p1 determinados na análise transiente convencional. A
manipulação algébrica das equações 185 e 186 produz:
Método Convencional
( )



 −
=
m
pp
m
mCA 1int* 303,2exp457,5 190
� O tempo necessário para que o reservatório atinja o regime
pseudopermanente de produção é estimado através do início da linha reta
cartesiana dos dados de campo (tpp na figura). Assim:
( ) ppppDA t
m
m
t
*
2
151,1
pi
=
( )
Ac
ktC
t
t
pp
ppDA φµ
1
= 192
� Com os valores de CA e (tDA)pp pode-se estimar a forma da área de
drenagem do poço por meio de comparação com a tabela de valores.
191
13
Teste de Limite de Reservatório
� Jones (1967) desenvolveu também um método de interpretação de teste
limite que possibilita a análise simultânea dos períodos de fluxo transiente e
pseudopermanente. O período transiente é regido pela equação:
Método de Park Jones






++





−= s
rc
ktC
kh
qBCPP
wt
iwf 280907,0ln2
1
2
12
φµ
µ 193
� Diferenciando-se essa equação em relação ao tempo resulta em:
tkh
qBC
dt
dPwf
2
12 µ
=−
q
dt
dP
Y
wf






−=
195
� definindo-se a função Y de Park Jones como sendo:
194
14
Teste de Limite de Reservatório
� tem-se que:
Método de Park Jones
tkh
BCY inito
1
2
2
inf
µ
= 196
� Onde Yinfinito é o valor de Y para o regime transiente, isto é, para o período
em que o reservatório comporta-se como se fosse infinitamente extenso.
Tomando-se o logaritmo decimal da equação 196:
t
kh
BCY inito log2
loglog 2inf −





=
µ
� Então, um gráfico de log Yinfinito contra logt deve resultar em uma linha reta
com coeficiente angular iqual a -1, conforme ilustra a figura.
197
15
Teste de Limite de Reservatório
Método de Park Jones
16
Teste de Limite de Reservatório
� Os valores de Y podem ser calculados numéricamente a partir dos dados
de pressão versus tempo, utilizando-se o conceito de diferenças finitas.
Durante o período pseudopermanente o comportamento de um reservatório
de geometria qualquer é dado pela equação 185. Derivando-se essa
equação em relação ao tempo:
Método de Park Jones






=





−=
Ac
qBCC
q
dt
dP
Y
t
wf
finito φµpi
212
198






−=
Ahc
qBCC
dt
dP
t
wf
φpi
212
� A função Y neste caso passa a ser:
199
� Onde Yfinito refere-se ao regime de fluxo estabilizado (pseudopermanente). A Figura
apresenta o comportamento completo da função Y, tanto para curto quanto para
longo tempo.
17
Teste de Limite de Reservatório
Método de Park Jones
18
Teste de Limite de Reservatório
� O valor da permeabilidade é estimado tomando-se um ponto sobre a reta
de 45º da Figura e utilizando-se a equação:
Método de Park Jones






= 2
212 21
2 rc
BCC
tkh
BC
tpiφµ
pi
µ
200





=
º45º45
2 1
2 Yth
BCk µ
finitoinito YY =inf 201
� O raio de investigação (ri) de van Poollen (1964) é definido admitindo-se
uma distribuição de pressão pseudopermanente em um sistema circular de
raio igual ao raio de investigação, tal que:
202
� Ou seja:
� De onde se obtém:
t
i
c
ktC
r φµ
12=
203
19
Teste de Limite de Reservatório
� O valor máximo de ri o qual será denominado raio de drenagem (ri) e
alcançado quando o reservatório de fato atinge o pseudopermanente, o que
corresponde ao tempo de estabilização (test) indicado na Figura:
Método de Park Jones
t
est
i
c
ktC
r φµ
12=
204
20
Teste de Limite de Reservatório
� Deve-se observar que o raio de drenagem aparente de Aronofsk & Jenkins
é mais conservador que o raio de investigação de van Poollen. O volume
poroso é estimado utilizando-se o valor estabilizado da função Y.
Método de Park Jones








=
finitot
p Yc
BCCV 212pi 204
( )








−= wi
finitot
S
Yc
BCCN 12 21pi 205
( )





−= wi
mínimot
mínimo SYc
BCCN 12 21pi
20621
Teste de Limite de Reservatório
� Deve-se observar que o raio de drenagem aparente de Aronofsk & Jenkins
é mais conservador que o raio de investigação de van Poollen. O volume
poroso é estimado utilizando-se o valor estabilizado da função Y.
Método de Park Jones








=
finitot
p Yc
BCCV 212pi 204
( )








−= wi
finitot
S
Yc
BCCN 12 21pi 205
( )





−= wi
mínimot
mínimo SYc
BCCN 12 21pi
20622
Teste com Vazão Variável
� Um teste com vazão variável pode consistir desde uma série de vazões
diferentes mas constantes durante determinados períodos, até uma
totalmente descontrolada.
� Os métodos a serem apresentados baseiam-se em esquema de vazões
com variações discretas. Caso a vazão tenha sofrido variações continuas, o
esquema real deve ser substituido por uma aproximação composta de
trechos com vazão constante (discretização da curva).
23
Teste com Vazão Variável
� Definindo-se:
Método de Odeh & Jones
[ ]st
kh
qBCPP iwf +−= log151,1 2
µ 208
� Aplicando-se o princípio da superposição de efeitos, a queda de pressão
em um instante t qualquer tj-1< t < tj, 1 < j < N, é dada por:
s
rc
kC
s
wt
8686,03514,0log 2
1 ++





= φµ 208
� Pode-se escrever que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] sqmttqqttqqttqqtqmPP jjjjswfi 'log...logloglog' 1231121 +−−++−−+−−+=− −
209
� Onde to = 0 e qo = 0 e:
kh
BCm µ2151,1'= 210 24
Teste com Vazão Variável
� Dividindo a equação 208 por qj obtém-se:
Método de Odeh & Jones
smtt
q
qq
m
q
PP j
i
i
j
ii
j
iwf
'log'
1
1
1 +








−
−
=
−
∑
=
−
− 211
� A interpretação do teste é efetuada construindo-se o gráfico:
smb ''= 212
hm
BCk
'
151,1 2
µ
= 213






−





−= 3514,0log
'
'151,1 2
1
wtrc
kC
m
b
s φµ
21425
Teste com Vazão Variável
� O teste de fluxo com vazão dupla, um caso particular daquele visto nos
slides anteriores, pode ser analisado pelo método de Russel (1963).
Considere o esquema de vazões mostrado na Figura a seguir:
Método de Russel – vazão dupla
26
Teste com Vazão Variável
� Aplicando-se o princípio da superposição de efeitos e admitindo-se que o
reservatório comporte-se como infinito, que o poço não apresente efeitos de
estocagem e que a aproximação logaritmica seja válida, obtém-se a
expressão:
Método de Russel – vazão dupla
( )[ ] ( ) ( )[ ]stqqmsttqmPP wfi +∆−++∆+=− log'log' 1211
� A figura mostra a interpretação gráfica do teste de fluxo com vazão dupla:
215
( ) sqmt
q
q
t
ttqmPP iwf 2
1
21
1 'loglog' −





∆+





∆
∆+
−=
216
27
Teste com Vazão Variável
� A permeabilidade pode ser
calculada por:
Método de Russel – vazão dupla
11 'qmm −=−
� Definindo-se o coeficiente
angular como:
217 hm
BqCk
1
1
2151,1
µ
=
218( )








−





−




 −






−
=
=∆ 3514,0log151,1 2
1
1
01
21
1
wt
twf
rc
kC
m
PP
qq
q
s φµ
� E o fator de película pela expressão:
219
� onde p1 é a pressão de fluxo
pwf tomada sobre a linha reta
para ∆t = 1 e (Pwf)∆t=0 é a
pressão de fluxo no instante
da mudança da vazão.
28
Teste com Vazão Variável
Método de Russel – vazão dupla
� Neste tipo de teste é possível se estimar a pressão inicial do reservatório,
em função do coeficiente linear () da reta da Figura, que é representação
gráfica da equação 216: sqmPP wfi 20 '+= 220
� ou:
sq
q
mPP wfi 2
1
1
0 +=
221
29
Teste com Vazão Variável
Método de Fluxo com 3 vazões
� q2 é chamada vazão reduzida e q3 vazão
restaurada. Aplicando-se o princípio da
superposição de efeitos durante o
intervalo de t1 a t2 obtém-se:
( ) ( ) ( )[ ] sqmtqqttqmPP iwf 2112111 'loglog' −∆−+∆+−= 222
� onde m’ é definido pela equação 210. A equação 209 é a mesma do teste
de fluxo com duas vazões. Aplicando-se novamente o princípio da
superposição de efeitos, agora para t > t2 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] sqmtqqtttqqttqmPP iwf 322321212221 'logloglog' −∆−+∆+−−+∆+−=
223
30
Teste com Vazão Variável
Método de Fluxo com 3 vazões
� As equações 222 e 223 podem ser analisadas em um mesmo gráfico, com
duas escalas horizontais diferentes, conforme a figura:
31
Teste com Vazão Variável
Método de Fluxo com 3 vazões
� As equações 222 e 223 podem ser analisadas em um mesmo gráfico, com
duas escalas horizontais diferentes, conforme a figura:
( ) sqmPP
extwfi 21 '=−
� As duas retas traçadas devem
ser paralelas, e possuem
inclinação –m’. A permeabilidade
é estimada por:
225
hm
BCk
'
151,1 2
µ
=
224
� Os valores de pi e s podem ser determinados simultaneamente por meio do
sistema de equações:
( ) sqmPP
extwfi 32 '=− 226
32
Teste com Vazão Variável
Método de Fluxo com 3 vazões
� Então: ( ) ( ) ( )[ ] 





−
−+=
23
2
211 qq
qPPPP
extwfextwfextwfi
229
( ) ( )
( )23
21
' qqm
PP
s ext
wfextwf
−
−
=
227






−





−= 3514,0log151,1 2
1
wtrc
kC
ss φµ228
33
Teste de Crescimento de Pressão
� Este teste baseia-se no registro contínuo das pressões de fundo após o
fechamento de um poço que tenha estado produzindo por um determinado
período. Quando bem realizado, um teste de crescimento de pressão deve
fornecer informações a respeito do sistema poço-formação, tais como
permeabilidade efetiva do meio poroso ao fluido produzido, indicação de
dano ou estímulo da formação e pressão média na região drenada do poço.
� A análise de um teste de crescimento de pressão é bastante simplificada
quando se produz o poço com vazão constante antesdo fechamento,
embora sejam possíveis a interpretação de testes com vazão de produção
variável.
34
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� É o método mais utilizado para a interpretação de testes de crescimento de
pressão e exige que a vazão tenha sido razoavelmente constante antes do
fechamento do poço.
� Admitindo-se que o poço tenha produzido com uma vazão constante q
durante um tempo de produção tp, a queda de pressão no poço em um
instante Dt após o fechamento pode ser determinada pela utilização do
princípio da superposição de efeitos. Desse modo, a queda de pressão no
instante de tempo (tp+Dt) após o início da produção seria a resultante da
soma dos efeitos causados pela produção do poço com vazão +q desde o
instante inicial e pela produção do poço com vazão negativa –q desde o
instante do fechamento, ou seja:( ) ( ) ( )[ ] 





−
−+=
23
2
211 qq
qPPPP
extwfextwfextwfi
229
( ) ( )
( )23
21
' qqm
PP
s ext
wfextwf
−
−
= 227






−





−= 3514,0log151,1 2
1
wtrc
kC
ss φµ
228
35
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� É o método mais utilizado para a interpretação de testes de crescimento de
pressão e exige que a vazão tenha sido razoavelmente constante antes do
fechamento do poço.
� Admitindo-se que o poço tenha produzido com uma vazão constante q
durante um tempo de produção tp, a queda de pressão no poço em um
instante Dt após o fechamento pode ser determinada pela utilização do
princípio da superposição de efeitos. Desse modo, a queda de pressão no
instante de tempo (tp+Dt) após o início da produção seria a resultante da
soma dos efeitos causados pela produção do poço com vazão +q desde o
instante inicial e pela produção do poço com vazão negativa –q desde o
instante do fechamento, ou seja:
230( )[ ] ( )[ ] ( )DwDDpwDDpwDs tPttPttP ∆−∆+=∆+ 36
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� A expressão geral da superposição de efeitos para um teste de crescimento
de pressão, equação 230, também pode ser obtida de uma forma mais
elegante por meio do princípio de Duhamel. Segundo este princípio, a
queda de pressão adimensional no poço é dada por:
231( ) ( ) ( ) τττ ∂
∂
−∂
= ∫
D
DwcDt
DDwDs t
tPqtP D
0
� Pressão no poço adimensional e Qd = q/qr, sendo qr uma vazão de
referência. Escolhendo-se qr = q tem-se que durante o período de fluxo qD =
1. Durante o período de fechamento, qD = 0 e t = tp+ ∆tD. Assim a equação
231 simplifica-se para:
232( ) ( )∫ ∂∂
−∆+∂
=∆+ pD
t
D
DDwcD
DpDwDs t
ttpP
ttP
0
τ
τ
37
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Esta equação é idêntica à equação 230. A equação da queda de pressão
adimensional em um poço que produz com vazão constante de um
reservatório infinito, sem efeitos de estocagem, é dada por:
234
( ) ( ) ( ) ( )DwcDDpDwcDt ttwcDDDwDs tPttPPttP D DpD ∆−∆+=−=∆+ ∆= ∆+=ξξξ
� Cujo resultado é:
233( ) ( )∫ ∂∂
∂
−=∆+ pD
t
wcD
DpDwDs
P
ttP
0
ξξ
ξ
235( ) ( )sttP DDwD 280907,0ln2
1
++=
38
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� o que resulta em:
237( ) 





∆
∆+
=∆+
t
tt
ttP pDDwDs ln2
1
� Empregando-se 235 na 230, obtém-se:
236
( ) 





∆
∆+
=−
t
ttppp
qBC
kh
wsi ln2
1
2 µ
238
( )[ ] ( )[ ]ststtP DDpwDs 280907,0ln21280907,0ln21 ++∆−++∆+=
� A equação 238 pode ser escrita na forma:






∆
∆+
−=
t
ttp
mpp iws log 239 kh
qBCm µ2151,1= 240
39
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Empregando-se 235 na 230, obtém-se:
m
qBCkh 2151,1=µ
241
1lim
0
=





∆
∆+
→∆ t
tt p
t
242
( ) iws ptp =∞→∆ 243
40
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Para reservatório depletado:
daestabiliza
p
p q
N
t = 244
246
247
( ) stPP
qBC
kh pD
wffws +





=−
γµ
4
2
1
2
245
( ) s
t
ttt
PP
qBC
kh ppD
wffws +











∆
∆+
−=− ln
4
2
1
2 γµ
� Eliminando pi das equações 245 e 238, resulta em:
� Para ∆t = 1:








−





−







 +
+
−
= 3514,0log
1
log151,1 2
11
wp
pwff
r
C
t
t
m
PP
s
η
248
tc
k
φµη =
41
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Para reservatório depletado:
msP 8686,0=∆
249
251
250
s
ww err
−
=
'
� Quando tp >>1 a equação 247 simplifica-se para:
� A queda de pressão associada ao efeito de película:






−





−
−
= 3514,0log151,1 2
11
w
wff
r
C
m
PP
s
η
� O raio efetivo do poço é determinado pela expressão:
42
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Aproximação para corrigir pressão extrapolada no caso de um reservatório
circular limitado com poço no centro:
( ) 











+





=
D
eD
D
iDwD t
rY
t
EtP
44
1
2
1 2
253
( ) ( ) 





















∆
−








∆+
+





∆
∆+
−=
D
eD
Dp
eDp
iws t
rY
tt
rY
t
tt
mPP
44303,2
1log
22
252
( ) ( ) ξξξξ
−+−= eEY i
1
254
� onde a função Y é definida por:
� Assim, para o período de fechamento a aproximação da queda de pressão
no poço em um instante ∆t é:
43
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� que, para tempos de crescimento razoavelmente pequenos, simplifica-se
para:
p
e
pD
eD
t
r
t
r
η44
22
=
















+





∆
∆+
−=
Dp
eDp
iws t
rY
t
tt
mPP
4303,2
1log
2
255
257
� A extrapolação para uma pressão log {(tp+ ∆t )/ ∆t }=0 determina uma
pressão falsa p* e a equação 255 torna-se:
� Uma vez conhecida a pressão inicial pi, determina-se o valor do argumento
da função Y, que num sistema compativel de unidades é:








−=
Dp
eD
i t
rYmPP
4303,2
2
* 256
� A pressão média na região drenada pelo poço é determinada a partir de um
balanço de materiais:






−= 2
4
303,2 e
P
i
r
tmPP η 258 44
Teste de Crescimento de Pressão
Método de Horner
� Equação 257 generalizada:
( ) pDAi tPPqBC kh piµ 22 =− 259 45