topicos AULA7 1706 mod2 [Modo de Compatibilidade]

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Arturo Rodrigo Ferreira Pardo
1º /2014
Avaliação das Formações
1
� Este teste baseia-se no registro contínuo das pressões de fundo após o
fechamento de um poço que tenha estado produzindo por um determinado
período. Quando bem realizado, um teste de crescimento de pressão deve
fornecer informações a respeito do sistema poço-formação, tais como
permeabilidade efetiva do meio poroso ao fluido produzido, indicação de
dano ou estímulo da formação e pressão média na região drenada do poço.
� A análise de um teste de crescimento de pressão é bastante simplificada
quando se produz o poço com vazão constante antes do fechamento,
embora sejam possíveis a interpretação de testes com vazão de produção
variável.
2
Método de Horner
� É o método mais utilizado para a interpretação de testes de crescimento de
pressão e exige que a vazão tenha sido razoavelmente constante antes do
fechamento do poço.
� Admitindo-se que o poço tenha produzido com uma vazão constante q
durante um tempo de produção tp, a queda de pressão no poço em um
instante ∆t após o fechamento pode ser determinada pela utilização do
princípio da superposição de efeitos. Desse modo, a queda de pressão no
instante de tempo (tp+ ∆t) após o início da produção seria a resultante da
soma dos efeitos causados pela produção do poço com vazão +q desde o
instante inicial e pela produção do poço com vazão negativa –q desde o
instante do fechamento, ou seja:
230( )[ ] ( )[ ] ( )DwDDpwDDpwDs tPttPttP ∆−∆+=∆+
3
Método de Horner
� A expressão geral da superposição de efeitos para um teste de crescimento
de pressão, equação 230, também pode ser obtida de uma forma mais
elegante por meio do princípio de Duhamel. Segundo este princípio, a
queda de pressão adimensional no poço é dada por:
231( ) ( ) ( ) τττ ∂
∂
−∂
= ∫
D
DwcDt
DDwDs t
tPqtP D
0
� Pressão no poço adimensional e Qd = q/qr, sendo qr uma vazão de
referência. Escolhendo-se qr = q tem-se que durante o período de fluxo qD =
1. Durante o período de fechamento, qD = 0 e t = tp+ ∆tD. Assim a equação
231 simplifica-se para:
232( ) ( )∫ ∂∂
−∆+∂
=∆+ pD
t
D
DDwcD
DpDwDs t
ttpP
ttP
0
τ
τ
4
Método de Horner
� Esta equação é idêntica à equação 230. A equação da queda de pressão
adimensional em um poço que produz com vazão constante de um
reservatório infinito, sem efeitos de estocagem, é dada por:
234
( ) ( ) ( ) ( )DwcDDpDwcDt ttwcDDDwDs tPttPPttP D DpD ∆−∆+=−=∆+ ∆= ∆+=ξξξ
� Cujo resultado é:
233( ) ( )∫ ∂∂
∂
−=∆+ pD
t
wcD
DpDwDs
P
ttP
0
ξξ
ξ
235( ) ( )sttP DDwD 280907,0ln2
1
++=
5
Método de Horner
� o que resulta em:
237( ) 





∆
∆+
=∆+
t
tt
ttP pDDwDs ln2
1
� Empregando-se 235 na 230, obtém-se:
236
( ) 





∆
∆+
=−
t
ttppp
qBC
kh
wsi ln2
1
2 µ
238
( )[ ] ( )[ ]ststtP DDpwDs 280907,0ln21280907,0ln21 ++∆−++∆+=
� A equação 238 pode ser escrita na forma:






∆
∆+
−=
t
ttp
mpp iws log 239 kh
qBCm µ2151,1= 240
6
Método de Horner
� Empregando-se 235 na 230, obtém-se:
m
qBCkh 2151,1=µ
241
1lim
0
=





∆
∆+
→∆ t
tt p
t
242
( ) iws ptp =∞→∆ 243
7
Método de Horner
� Para reservatório depletado:
daestabiliza
p
p q
N
t = 244
246
247
( ) stPP
qBC
kh pD
wffws +





=−
γµ
4
2
1
2
245
( ) s
t
ttt
PP
qBC
kh ppD
wffws +











∆
∆+
−=− ln
4
2
1
2 γµ
� Eliminando pi das equações 245 e 238, resulta em:
� Para ∆t = 1:








−





−







 +
+
−
= 3514,0log
1
log151,1 2
11
wp
pwff
r
C
t
t
m
PP
s
η
248
tc
k
φµη = 8
Método de Horner
� Para reservatório depletado:
msP 8686,0=∆
249
251
250
s
ww err
−
=
'
� Quando tp >>1 a equação 247 simplifica-se para:
� A queda de pressão associada ao efeito de película:






−





−
−
= 3514,0log151,1 2
11
w
wff
r
C
m
PP
s
η
� O raio efetivo do poço é determinado pela expressão:
9
Método de Horner
� Aproximação para corrigir pressão extrapolada no caso de um reservatório
circular limitado com poço no centro:
( ) 











+





=
D
eD
D
iDwD t
rY
t
EtP
44
1
2
1 2
253
( ) ( ) 





















∆
−








∆+
+





∆
∆+
−=
D
eD
Dp
eDp
iws t
rY
tt
rY
t
tt
mPP
44303,2
1log
22
252
( ) ( ) ξξξξ
−+−= eEY i
1
254
� onde a função Y é definida por:
� Assim, para o período de fechamento a aproximação da queda de pressão
no poço em um instante ∆t é:
10
Método de Horner
� que, para tempos de crescimento razoavelmente pequenos, simplifica-se
para:
p
e
pD
eD
t
r
t
r
η44
22
=
















+





∆
∆+
−=
Dp
eDp
iws t
rY
t
tt
mPP
4303,2
1log
2
255
257
� A extrapolação para uma pressão log {(tp+ ∆t )/ ∆t }=0 determina uma
pressão falsa p* e a equação 255 torna-se:
� Uma vez conhecida a pressão inicial pi, determina-se o valor do argumento
da função Y, que num sistema compativel de unidades é:








−=
Dp
eD
i t
rYmPP
4303,2
2
* 256
� A pressão média na região drenada pelo poço é determinada a partir de um
balanço de materiais:






−= 2
4
303,2 e
P
i
r
tmPP η 258
11
Método de Horner
� Equação 257 generalizada:
( ) pDAi tPPqBC kh piµ 22 =− 259 12
Método de Bourdet
� A partir do advento da técnica da derivada da curva de pressão
adimensional introduzida por Bourdet (1983), as atividades de avaliação de
testes de formação passaram a utilizar esta técnica de forma intensiva. A
maioria dos métodos utilizados até então passaram a compor também em
suas análises a curva de derivada de pressão, representada em gráficos
log-log, resultando em interpretações adicionais e melhores visualizações
de regimes de fluxo a partir do formato destas curvas. A utilização rotineira
da derivada de pressão, além de ser facilitada a utilização dos diversos
regimes de fluxo, por meio de suas formas características, também tornou
possível a identificação de particularidades do reservatório, tais como
heterogeneidades e limites, devido aos efeitos causados na curva de
derivada para os tempos finais do teste. Esses efeitos normalmente
passariam despercebidos na análise convencional de pressão. 13
Método de Bourdet
� Hoje praticamente todos os softwares de interpretação comercial trazem em
conjunto para análise em um gráfico log-log tanto a curva de pressão
adimensional como sua derivada, principalmente quando o interesse da
interpretação está relacionado com determinação dos regimes de fluxo e/ou
com parâmetros da geometria do reservatório. Os ganhos advindos do uso
das derivadas foram crescendo a cada dia, à medida que novos trabalhos
apresentados pela comunidade acadêmica na área de análise de testes
foram publicados. Desde então, é praticamente impossível relacionar em
um trabalho a infinidade de modelos teóricos já publicados nesta área.
14
Definição
� A definição da derivada aparece de diversas formas, portanto,
apresentaremos apenas as mais comumente encontradas na literatura. De
um modo geral, a derivada da queda de pressão é expressa em função do
logaritmo natural do tempo, conforme a equação 260.
( )
td
dPt
td
t
dP
td
dPPtfP
∆
∆=
∆
∆
=
∆
=∆⇒∆=∆ 1ln
ln ' 260
15
Definição
� Quando a função queda de pressão está relacionada com ln[(tp+∆t)/ ∆t], no
caso do período da estática, nos interessa a definição da derivada em
função da variável citada, conforme equação 261.
td
dP
tp
ttp
t
t
ttpd
dPP
∆−
∆+∆=






∆
∆+
=∆
ln
'
261
� O algoritmo utilizado mais comumente na diferenciação da pressão pode
ser entendido com a ajuda da Figura. Os dados considerados são um ponto
anterior e um ponto posterior ao ponte onde interessa a derivação. É
estimada uma inclinação à esquerda e à direita do ponto de interesse, e
atribuído peso respectivo a estas inclinações. A equação 262 resulta numa
derivação suavizada. 16
Definição
� É recomendável iniciar o algoritmo com pontos consecutivos. Se o resultado
for uma curva com muitos ruídos, convém utilizar um coeficiente de
suavização, incrementando uma maior distância entre o ponto de interesse
e os pontos à direita e à esquerda. O coeficiente definido acima pela letra L
expressa na mesma escala da variável x que visa suavizar a derivada deve
atender á condição ∆t1,2>L.
17
Regimes de Fluxo Clássicos –
Reservatório Homogêneo
� Iniciaremos nossa análise de comportamento da derivada de pressão nos
regimes clássicos e depois analisaremos outros comportamentos de fluxo
em reservatórios fraturados, com falha selante, fluxos esféricos, reservatório
com heterogeneidades e outros.
18
Fluxo radial Infinito
� Considere a equação do comportamento de reservatório infinito ou tempos
curtos para outros tipos de reservatório, selado ou alimentado, desde que o
fluxo ainda se encontre no regime transiente. Quando o regime de fluxo
radial infinito é alcançado, após o efeito de estocagem, a derivada se torna
uma constante, conforme pode ser visto no gráfico da Figura e demostrado
pelas equações 263, 264 e 265. Utilizando-se a aproximação logaritmica
para a solução do modelo da fonte linear, temos que:
263( )stP DwD 280907,0ln2
1
++=
� Em termos de variáveis reais esta equação pode ser reescrita como:
264








++





+∆=∆=− s
rc
kC
t
kh
qBCppp
wt
wfwfi 280907,0lnln2
1
2
1
2 φµ
µ
19
Fluxo radial Infinito
� E, portanto:
265
� O último termo da Equação 265, para um reservatório homogêneo
representa uma constante.
kh
qBC
tkh
qBCt
td
dP
p wfwf
µµ
22
'
2
11
2
1
ln
=
∆
∆=
∆
=∆
20
Fluxo radial Infinito
� Aqui cabe uma observação para que não incorra em erros quanto à
derivada da pressão utilizada em outras expressões. Quando se deriva uma
função, utilizando a definição matemática, estamos derivando a função em
relação a variável independente. Durante o desenvolvimento anterior
utilizamos esta definição matemática para Pwd ‘ , conforme a equação 267:
267
� o que difere um pouco da definição dada na equação 265. Se derivarmos a
queda de pressão adimensional em relação à variável independente ln
(tD/CD), teríamos:
( ) ( )DD
wD
wD
s
DDDwD Ctd
dPpeCCtfp
/
,/ '2 =⇒=
268( ) ')/()/(/)/ln( wDDDDD
wD
DD
DD
wD pCt
Ctd
dPCt
Ctd
dP
⇒=
21
Fluxo radial Infinito
� Independente da forma como se deriva, o resultado será semelhante,
conforme pode ser verificado na Equação 269
269( )
'
'
)(1
)/()/(/)/ln( D
wD
D
D
D
wD
DD
DD
wD
DD
DD
wD
wD dt
p
t
td
C
dPCt
Ctd
dPCt
Ctd
dPp ====
22
Regime Permanente
� Um reservatório homogêneo que possua um aqüífero adjacente ou uma
capa de gás que seja capaz de manter a pressão em seus limites, tem sua
queda de pressão regida pela Equação 270:
270DeDD rrp lnln −=
� Em termos de variáveis reais, a equação de comportamento da queda de
pressão no poço pode ser escrita como:
271
w
e
wf
r
r
kh
qBCp ln2 µ=∆
� cuja derivada é:
2720' =∆ wfp
� A derivada quando o regime de fluxo está estabilizado no regime
permanente tende para o valor nulo, enquanto a pressão tende para um
valor constante. 23
Regime Permanente
24
Regime Pseudo-permanente
� Se considerarmos um sistema homogêneo e fechado, depois de
estabelecido o regime pseudopermanente, em que a queda de pressão no
poço declina proporcionalmente com o tempo e traçarmos uma curva numa
escala log-log da derivada da queda de pressão com o tempo, o
comportamento da curva após o fim do regime radial infinito tenderia para
uma linha reta de inclinação unitária, num teste de fluxo.
� Para o regime pseudopermanente, a equação que rege a queda de pressão
no poço é:
( ) s
Cr
A
Ac
ktCpp
qBC
kh
Awt
wfi +





+





+





=−
2458,2ln
2
1ln
2
12 2
1
2 φµ
pi
µ 273
25
Regime Pseudo-permanente
� Ou, no sistema de unidades Petrobras:
� Se aplicarmos a derivação na equação 274, o resultado será:
( ) 





++−





+∆





=∆ sC
r
A
kh
qB
t
hAc
p A
wt
wf 87,03514,0loglog9,21
0003484,057,119 2
µ
φ 274
t
hAc
p
t
wf ∆





=∆ φ
0003484,057,119' 275
� Numa escala log-log, uma reta com inclinação unitária será estabelecida
para a curva de comportamento da queda de pressão como para a curva da
derivada, conforme mostra a Equação 276 representada na Figura.
tAt
hAc
p
t
wf ∆+=





∆





=∆ log0003484,057,119loglog ' φ 276
26
Regime Pseudo-permanente
27
Estocagem do Poço e Dano
� A queda de pressão em variáveis reais para o período de estocagem pura é,
conforme definido em capítulos anteriores:
� Logo,
C
tqBpwf
∆
=∆ 277
C
tqBpwf
∆
=∆ ' 278
� Pode-se perceber que tanto a queda de pressão como a derivada da queda
de pressão terão os mesmos valores. Se tomarmos o logaritmo de uma
dessas expressões, o gráfico de estocagem pura representada na Figura
será uma reta com inclinação unitária conforme pose ser conforme pode ser
demonstrado pela equação 279.
t
C
qBpwf ∆+=∆ logloglog
' 279
28
Estocagem do Poço e Dano
29
Estocagem do Poço e Dano
� Na Figura um gráfico da pressão adimensional e de sua derivada (log-log)
mostra claramente duas regiões representando os seguintes fluxos,
considerando um reservatório homogêneo com efeito de estocagem para
vários valores de dano:
� a) no tempo curto, todas as curvas são retas com inclinação unitária
� b) durante o fluxo radial infinito, as derivadas se estabelecem num
valor de ½, conforme pode se verificar pela equação 266.
30
Fratura com condutividade Infinita
� Um dos métodos de estimulação mais utilizados para aumento da produção
dos poços é o fraturamento hidráulico vertical da formação produtora. O
contato da superfície poço-reservatório é aumentado significativamente com
o fraturamento, resultando num fator de skin negativo. O modelo de fratura
para esta análise considera que a fratura atinge toda a espessura do
reservatório e é simétrica em relação ao centro do poço, conforme pode ser
observado na Figura, onde o valor xf representa a metade do comprimento
da fratura. No modelo de condutividade infinita, considera-se que a
condutividade da fratura seja tão alta que não resulte em queda de pressão
no interior da fratura. Os regimes que se estabelecem na fratura com o
tempo são: no tempo curto as linhas de fluxo são perpendiculares ao plano
da fratura (fluxo linear), no tempo maior se estabelece um fluxo elíptico e no
tempo longo o reservatório se comporta como um regime radial quase puro.
31
Fratura com condutividade Infinita
32
Fratura com condutividade Infinita
( )fffCD kxlbkF = 280
� As seguintes definições de variáveis adimensionaissão normalmente
utilizadas nas soluções dos regimes de fluxo em poços fraturados, seja com
condutividade finita ou infinita:
� Condutividade da Fratura
� Tempo adimensional baseado na metade do comprimento da Fratura
2
1
ft
fD
xc
ktC
t φµ= 281
33
Fratura com condutividade Infinita
22 ft
fD
xhc
CC
piφ= 282
� As seguintes definições de variáveis adimensionais são normalmente
utilizadas nas soluções dos regimes de fluxo em poços fraturados, seja com
condutividade finita ou infinita:
� Estocagem e posições adimensionais
f
D
x
x
x = 283
f
D y
yy = 284
f
D b
bb = 285
34
Fratura com condutividade Infinita
� A equação 286 é a solução para a queda de pressão no poço num sistema
poço-fratura de condutividade infinita durante o fluxo linear. Solução sem
estocagem e sem fator de película, cuja demonstração pode ser encontrada
no trabalho de Gringarten (1974)
fDwD tP pi= 286
t
kchx
qBC
P
tf
flo
wD ∆−=∆ φ
µ*
287
� que em termos de variáveis reais se torna:
� Cflo* representa a constante (fratura linear óleo) que vale 1/2raiz(pi) num
sistema compatível e 0,63 no sistema petrobrás. O fluxo linear pode ser
analisado num gráfico de DPwf versus a raiz quadrada do tempo, onde
resulta numa linha reta com inclinação mlf interceptando desde a origem. 35
Fratura com condutividade Infinita
lft
f hm
qB
kc
x φ
µ63,0= 288
� De onde se pode deduzir no sistema de unidades Petrobras que:
36
Fratura com Condutividade Finita
� Analisando agora uma fratura em que a condutividade não seja infinita, em
que a queda de pressão na fratura não pode ser negligenciada na análise
do comportamento da queda de pressão no sistema poço-reservatório,
teríamos neste caso um segundo fluxo se estabelecendo na extensão da
fratura. Antes que o final da fratura seja alcançado, a configuração
produzirá um fluxo chamado bilinear, conforme esquema mostrado na
Figura.
37
Fratura com Condutividade Finita
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
1 dtetx tx 290
� A queda de pressão neste caso será proporcional à raiz quarta do intervalo
de tempo, conforme equação
289( )
4/1
224/5 






Γ
=
CD
fD
wD F
t
P pi
( ) 906,04/5 =Γ 291
� Portanto a equação 289 em termos de variáveis reais se torna:
292
4
4
*
t
kcbkh
qBC
P
tff
fbo
wf ∆=∆ φµ
µ
� Onde Cfbo* representa a constante (fratura bilinear óleo), que vale
pi/(0,906.raiz2) num sistema compatível e 6,37 no sistema Petrobrás. O
fluxo linear pode ser analisado num gráfico de DPwf versus raiz quarta do
tempo. 38
Fratura com Condutividade Finita
� De onde se pode deduzir no sistema Petrobrás que:
293
2
16,40








=
blft
ff hm
qB
kc
bk µφµ 39
Fratura com Condutividade Finita
( )nt
n
A
td
dp
t
td
dpPwf
1
ln
' ∆=
∆
∆=
∆
=∆ 295
� Analisando o fluxo linear e bilinear por meio de uma equação geral, a
equação mostrada a seguir pode representar o comportamento da queda
de pressão com o tempo para os dois tipos de fluxo observados nos
modelos de poços fraturados (seja com condutividade infinita ou finita)
( )ntAPwf 1∆=∆ 294
� Se 1/n = ½ temos a representaçao do fluxo linear e se 1/n = ¼ temos a
representação do fluxo bilinear. Fazendo a derivada da equação 294 em
relação a ln (Dt), resulta:
40
Fratura com Condutividade Finita
� Numa escala log-log:
( ) At
n
tAP nwf loglog
1loglog
1
+∆=∆=∆ 296
� Portanto, ambos os casos resultarão numa linha reta com inclinação igual a
1/n, conforme mostra a Figura, sem efeito de estocagem.
( )
n
A
t
n
t
n
AP nwf loglog
1loglog
1
' +∆=∆=∆ 297
41
Fratura com Condutividade Finita
42
Limitado por Falhas
� Neste exemplo, um reservatório é limitado em uma direção por uma falha
vertical plana em uma de suas fronteiras a uma distância L do poço
(costumamos utilizar a letra a para designar a distância do poço a falha).
Durante a produção, o raio de investigação se expande até que a falha seja
atingida. O comportamento de pressão segue o equivalente a um
reservatório infinito sofrendo uma distorção a partir do momento em que a
falha é percebida, conforme pode ser visto no esquema da Figura a seguir.
43
Limitado por Falhas
44
Limitado por Falhas
� No início da produção, a fronteira não é alcançada de imediato e o raio de
investigação é menor que L (parte A da Figura acima). Quando a fronteira é
atingida, há uma distorção no comportamento de pressão no reservatório,
embora esta distorção não seja ainda sentida no poço (parte B). Num
tempo maior e em função do efeito imagem o poço é alcançado e, portanto,
ocorrendo um decréscimo na pressão do poço (parte C), se estabelecendo
um regime semi-radial. A Figura mostra melhor os efeitos da pressão no
poço com tempo de produção.
45
Limitado por Falhas
46
Limitado por Falhas
� É fácil verificar que no momento em que o poço é atingido pelo efeito
imagem, o comportamento da queda de pressão versus o logaritmo do
tempo segue ainda uma linha reta, mas agora com inclinação duas vezes o
valor da inclinação de fluxo radial infinito. A Figura mostra a alteração da
inclinação da reta quando o poço é atingido pelo efeito imagem (regime
pseudo-radial). Lembrando que a inclinação da reta num gráfico semilog é,
em unidades compatíveis, qBµ/2pikh, durante o regime radial infinito. No
regime semi-radial o ângulo da onda de pressão é mudado para pi, tornando
a inclinação em unidades compatíveis igual a qBµ/pikh.
47
Limitado por Falhas
48
Limitado por Falhas
� Tratando a configuração de um poço próximo a uma falha selante utilizando
o príncipio do poço imagem, aplicando o princípio da superposição de
efeitos teremos:
( ) ( ) ( )wDDADDDADDwD rartPrtPtP /2,1, =+== 298
� onde a é a distância do poço à falha. A primeira parte do lado direito da
equação 298 é a queda no poço devido ao poço e a segunda é a queda no
poço devido ao poço imagem.
� Ou seja,
( ) 











−−





+





=
D
w
i
D
DwD t
raESttP
4
/4
2
124ln
2
1 22
γ 299 49
Limitado por Falhas
� Cuja solução no tempo curto é:
( ) 





+++





+−= sC
c
k
tmPP
t
iwf 87,0log3514,0loglog 1φµ
301� que em variáveis adimensionais fica:
( ) 





+





= s
t
tP DDwD 2
4ln
2
1
γ 300
� Onde a inclinação m seria dada pela equação 302:
kh
qBC
m
µ2151,1
= 302
50
Limitado por Falhas
� Já a solução no longo tempo é:






++





−





+−= 3514,04343,02logloglog2 2 S
r
a
rc
k
tmPP
wwt
iwf φµ
304� que em variáveis adimensionais fica:
( ) ( ) 













+





+





= 2/2
4ln
2
124ln
2
1
w
DD
DwD
ra
tSttP
γγ
303
� Para o cálculo da distância do poço a falha, basta igualar as Equações 302
e 299
( ) 













+





+





=





+





2/2
4ln
2
124ln
2
124ln
2
1
w
DDD
ra
t
s
tSt
γγγ
305
51
Limitado por Falhas
� Isolando o valor de a resulta que:
� Um gráfico log-log incluindo o comportamento da queda de pressão no
poço e sua derivada, resulta na seguinte configuração:
tc
tk
a φµ
∆
= 7493,0 306
52
Limitado por Falhas
� Para um tese de crescimento de pressão, aplicando o princípio de Duhamel
para superposição temos:
( ) ( )








−+




∆
∆+
−=
pD
w
i
p
iws t
raEm
t
tt
mPP
4
/2
303,2
log
2
307
� Na solução para curto tempo:
( )[ ] ( )[ ] [ ]DwDDpwDDpwDs tPttPttP ∆−∆+=∆+
308
� Onde a queda de pressão adimensional no poço durante o crescimento foi
denominada PwDs, que pode ser rescrita como:
( )[ ] ( ) ( )
















−−




 ∆
−













 ∆+
=∆+
pD
i
DDp
DpwDs t
saEt
tt
ttP
4
/2
2
14ln
2
14ln
2
1
γγ
309
53
Limitado por Falhas
� Na solução de longo tempo, os efeitos do poço imagem podem ser
sentidos:
( )






∆
∆+
−=
t
tt
mPP piws log2
310
� que após simplificações, se torna:
( )






∆
∆+
=
t
tt
P pwDs ln
311
� Ou
� A Figura mostra o comportamento da curva semilog da pressão do poço
considerando um poço próximo à falha
( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) 




















 ∆
−















 ∆+
+




 ∆
−













 ∆+
=∆+ 22 /2
4ln
2
1
/2
4
ln
2
14ln
2
14ln
2
1
w
D
w
DpDDp
DpwDs ra
t
ra
ttttt
ttP
γγγγ
312
54
Limitado por Falhas
55
Limitado por Falhas
� A permeabilidade pode ser estimada de maneira usual por meio da
inclinação m, enquanto que a distância à falha é estimada a partir do ponto
de insterseção das duas retas. Igualando as equações das duas retas
obtém-se:
313
( )
Dx
p
pD
w
i
Dx
p
t
tt
t
raE
t
tt






∆
∆+
=








−−





∆
∆+
ln
4
/2
2
1ln
2
1 2
� Ou
314( )
Dx
p
pD
w
i t
tt
t
raE 





∆
∆+
=








−− ln
2
1
4
/2
2
1 2
56
Limitado por Falhas
� O lado esquerdo da equação 314 é exatamente a solução da integral
Exponencial para tD=tpD e rD=2a/rw ou seja:
315( ) ( )








−−===
pD
w
ipDDwDD t
raEttrarp
4
/2
2
1
,/2
2
� Portanto, entrando-se em um gráfico da solução da Integral Exponencial
com o valor de Pd = ½ (ln (tp+∆t)/ ∆t), obtém-se o argumento da função
Integral Exponencial:
316( ) 





=







22 /2 w
pD
w
pD
ra
t
r
t
57
Limitado por Falhas
� Da definição de Td, tem-se:
317






=





2
1
2
rc
ktC
r
t
tD
pD
φµ
� ou
318
( )21 /4 DpDt
p
rtc
ktC
a φµ= 319
( ) 




=





2
1
2 2ac
ktC
r
t
tD
pD
φµ
� Desta igualdade isola-se o valor de a:
58
Limitado por Falhas
� O cálculo do fator de película pode ser feito por meio de uma expressão
obtida pela combinação das equações de fluxo e de fechamento. Para o
período de fluxo utiliza-se a equação 298 na sua forma mais geral, isto é,
admite-se que seja válida a aproximação logaritmica para o calculo da
queda de pressão devida ao poço real e para o poço imagem considera-se
a Integral Exponencial. Então:
320
� ou
( ) 











−−





+





=
D
w
i
D
DwD t
raESttP
4
/4
2
124ln
2
1 22
γ
( ) 





−+





++





+−=
ktC
acEms
rc
kC
tmPtP ti
wt
iwf
1
2
2
1
4303,2
8686,03514,0loglog φµφµ
321
59
Limitado por Falhas
� Para o período de crescimento de pressão, utiliza-se a equação da reta de
inclinação 2m:
322
� A equação 323 para ∆t = 1 fornece:






∆
∆+
−=
t
tt
mPP piws log2
( )








+





++





+−=
p
t
i
wt
piwf ktC
acEms
rc
kC
tmPtP
1
2
2
1
4303,2
8686,03514,0loglog φµφµ
323� Avaliando-se a Equação 321 no instante do fechamento:
324( )1log2 +−= piws tmPP
� Combinando-se as Equações 323 e 324? 325
( )
















+−







 +
+





−
−
=
p
t
i
p
p
wt
wfi
ktC
acE
t
t
rc
kC
m
pp
s
1
22
2
1
4303,2
13514,0
1
loglog151,1 φµφµ
� pwf é a última pressão de fluxo ou primeira de crescimento 60
Limitado por Falhas
� Do mesmo modo, é fácil verificar quando temos um poço próximo a duas
falhas ortogonais, conforme Figura.
� Fazendo o mesmo desenvolvimento mostrado por uma falha chegamos a
configuração do comportamento da derivada de um poço próximo a duas
falhas ortogonais ou para poços próximos a duas que formem qualquer
ângulo entre si. Vide Figuras a seguir. 61
Limitado por Falhas
62
Limitado por Falhas
63
Fluxo Canal
� O modelo de fluxo considera um reservatório com um poço entre dois
limites impermeáveis paralelos, sendo o poço centrado no meio do canal.
Nas imediações do poço haverá um distúrbio das linhas de fluxo que
convergirão para o poço, acarretando um pseudoskin. O regime de fluxo
inicial é radial e depois o fluxo linear é estabelecido com a adição do
pseudoskin, conforme pode ser verificada na ilustração da Figura.
64
Fluxo Canal
� Desenvolvendo a formulação para a situação descrita acima é possível
determinar a equação que descreve o fluxo linear em um canal como
sendo:
326
� Uma equação que correlaciona o pseudoskin e aD é:
D
D
wD
a
t
P
pi
=
185,0518,1 Das =
327
� Se considerarmos o pseudoskin a Equação 326 se torna:
328
L
D
D
wD s
a
t
P +=
pi
� Caso exista um dano mecânico no poço denominado por s, então o skin
total será dado por: sss LT += 329 65
Fluxo Canal
� Para identificação dos regimes de fluxo radial e linear que podem ocorrer
num fluxo canal, aplicamos as mesmas técnicas já estudadas para outros
casos, que permitem uma análise comparativa entre os dados reais e as
curvas teóricas através de curvas-tipo. Deve-se observar neste caso que
pequenos valores de largura do canal e grandes de estocagem podem
fazer com que este regime não se desenvolva plenamente ou fique
mascarado pela estocagem. Outra observação é que o gráfico log de pd
versus log td não fornece inclinação ½ , como no caso do fluxo linear entre
fraturas, a não ser para tempos longos, por causa da presença do
pseudoskin. Já no caso da curva de derivada, como é mostrado, o termo
pseudoskin desaparece, por ser constante e a proporcionalidade com o
fator ½ aparece da mesma forma que no caso do fluxo linear em fraturas.
66
Fluxo Canal
� Na equação do fluxo canal se configura a seguinte equação, considerando
o pseudoskin:
330
� Numa escala log-log
( ) BtAP mwf +∆=∆ /1
( ) 2/1'
2ln
t
A
td
dp
t
td
dpPwf ∆=∆
∆=
∆
=∆ 331
� No fluxo canal 1/n = ½. Fazendo a derivada da equação em relação ao
logaritmo, temos:
� que pode ser representada conforme Figura
2
loglog
2
1log ' AtPwf +∆=∆
332
67
Fluxo Canal
68
Fluxo Canal
� Pseudopermanente � Canal
� Canal+Pseudopermanente
69
Penetração Parcial
� Em um poço penetrado parcialmente, depois do fluxo radial muito próximo à
face perfurada, uma linha de fluxo tanto horizontal como vertical se
estabelece até que as fronteiras, topo e base do reservatório, sejam
atingidos. Um fluxo esférico pode ser então observado antes que o fluxo se
torne totalmente radial em toda a extensão da espessura do reservatório.
70
Penetração Parcial� A queda de pressão no sistema de unidade Petrobrás é:
� Se traçarmos um gráfico da queda de pressão no poço versus o inverso da
raiz quadrada do tempo, uma linha reta de inclinação mSPH representaria o
comportamento durante o regime esférico, conforme mostra a Figura.
� Onde ks é a permeabilidade esférica definida como:
3343 23
zHzyxs kkkkkk ==
tk
cqB
rk
qBP
s
t
ss
wf ∆
−=∆
2/3
6,287515,9
φµµµ 333
71
Penetração Parcial
72
Penetração Parcial
� A permeabilidade ks pode ser estimada pela equação a seguir:
� Na equação do fluxo esférico, nos deparamos com uma forma de equação
do tipo:
� Se conhecermos a permeabilidade horizontal, a permeabilidade vertical
poderá ser definida pela Equação 336.
3363






=
H
S
H
V
k
k
k
k








=
SPH
t
s
m
c
qBk
φµµ6,287 335
337( ) BtAP mwf +∆=∆ /1
73
Penetração Parcial
� Neste caso, 1/n = - ½. Fazendo a derivada da equação 337 em relação ao
logaritmo, temos
� Se traçarmos uma gráfico log-log teremos uma linha reta com inclinação -
1/2 para a derivada da pressão durante o regime esférico, conforme pode
ser verificado na Figura.
� Se conhecermos a permeabilidade horizontal, a permeabilidade vertical
poderá ser definida pela Equação 336.
339
338( ) 2/1'
2ln
−∆=
∆
∆=
∆
=∆ tA
td
dp
t
td
dpPwf
AtPwf loglog2
1log ' +∆−=∆
74
Penetração Parcial
75