Resumo Aulas de avaliação de formação

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Teste de formação é um conjunto de operações realizado a poço aberto ou revestido 
visando adquirir informações para caracterização de um reservatório e do seu potencial de 
produção. 
- Poço aberto: 
 - a cabo (RTF, MDT, RDT, RCI, etc) 
 - com coluna 
- Poço revestido 
 - a cabo (MDT, etc) 
 - com coluna: * teste de produção (o fluido do reservatório é produzido) 
 * teste de injeção (um fluido é injetado no reservatório) 
 
 Avaliação das Formações: 
 - o teste de formação ou teste transiente de pressão consiste em se provocar uma 
variação na vazão do sistema poço/reservatório e se medir a variação correspondente na 
pressão do poço ao longo do tempo. 
 
 Objetivos: 
- identificação de fluidos existentes no intervalo poroso 
- pressão inicial ou média do reservatório 
- permeabilidade vertical e horizontal do meio poroso 
- índice de produtividade de poço e dano a formação 
- verificação da existência de descontinuidade (falhas, barreiras de permeabilidade, etc...) 
- comportamento dinâmico do sistema poço/reservatório (modelo de fluxo, IP, etc...) 
- interferência entre poços. 
 
 
 
AULA 2 
 
 Seqüência de Trabalho: 
- tomar conhecimento das informações relacionadas ao teste 
- preparar os dados do teste para uso num sistema de interpretação 
- selecionar o período 
- índice de produtividade de poço e dano à formação 
- traçar o gráfico para diagnóstico de acompanhamento 
- traçar os gráficos específicos para os regimes de fluxo identificados e, por meio de suas 
respectivas inclinações, calcular os parâmetros de cada regime de fluxo 
- fazer uma simulação de todo o teste para validar deste modo interpretação do teste. 
 
 Avaliação e Gerenciamento 
- mecanismo de produção - condutividade do reservatório 
- propriedades rocha-fluido - pressão inicial 
- tamanho do reservatório - limite do reservatório 
 - propriedades dos fluidos 
 
 
 Regimes de Fluxo Típico 
 
- PERMANENTE: fluxo com pressão constante em todos os pontos do reservatório, portanto a 
pressão não se altera com o tempo. Capa de gás ou aqüífero adjacente mantendo a pressão 
 
- PSEUDOPERMANENTE: sistema fechado. Com uma vazão constante de produção da 
formação, a queda de pressão é constante em todos os pontos do reservatório para cada 
intervalo de tempo. 
 
- TRANSIENTE: observado até o momento antes de estabelecer uma pressão constante ou 
antes que os efeitos sejam sentidos nos limites do reservatório. A pressão é função da 
geometria do poço, varia com o tempo, com as propriedades do reservatório, permeabilidade 
e heterogeneidades. 
 
 Conceitos Básicos 
 
 As técnicas utilizadas na interpretação de testes transientes de pressão em poços 
baseiam-se na comparação do comportamento dos dados reais de pressão (medidos) com o 
comportamento típico de modelos teóricos 
 Fluxo de um fluido de pequena compressibilidade através de um meio poroso 
cilíndrico e isotrópico 
 A equação da difusidade é obtida pela combinação de três princípios fundamentais, 
que são: a lei da conservação da massa, uma equação de movimento de fluido e uma equação 
de estado. 
 Aplicando a lei de conservação de massa a um volume elementar de controle, temos 
para o fluxo radial em um intervalo de tempo t: 
EQUAÇÃO 1 
A equação da continuidade = lei da conservação de massa 
 
Uma equação de movimento de fluido relaciona a velocidade de fluxo e o gradiente de 
potencial dentro do volume elementar de controle. Para modelar o fluxo de líquidos, utiliza-se, 
geralmente, a lei de Darcy: 
EQUAÇÃO 2 
O sinal negativo no lado direito indica fluxo no sentindo de maior para menor pressão 
 
Uma equação de estado relaciona volume ou massa específica com a pressão e 
temperatura. Se consideramos que o fluxo é um processo isotérmico e o fluido é pouco 
compressível (compressibilidade constante), pode-se escrever a função em função da massa. 
EQUAÇÃO 3 
 
- Para formular a equação da difusividade, devemos combinar as equações 1, 2 e 3. Além disso, 
deve-se considerar as seguintes premissas: 
 - viscosidade do fluido constante 
 - permeabilidade do meio poroso constante 
 - efeitos gravitacionais desprezíveis 
 - gradiente de pressão é pequeno. 
 
Com essas hipóteses simplificadoras obtêm-se a seguinte equação diferencial parcial 
conhecida como equação da difusividade de um fluxo radial de um fluido de pequena 
compressibilidade num meio poroso isotrópico. 
EQUAÇÃO 4 
 
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO 
 Para resolver a equação da difusividade é necessário se definem as condições inicias 
(no tempo) e de contorno (nas fronteiras interna e externa). As quatro principais soluções para 
área de interpretação de testes (abre o poço, fecha, abre, fecha e observa as informações de 
pressão em relação ao tempo) são: 
 - 1)solução para reservatório infinito com poço considerado uma Lina (rW = 0) 
 - 2) solução para reservatório infinito com poço cilíndrico 
 - 3) solução para o reservatório circular limitado sem manutenção de pressão na 
fronteira externa 
 - 4) solução para reservatório circular limitado com manutenção de pressão na 
fronteira externa. 
 
1 e 2 TRANSIENTE 
3 PSEUDO PERMANENTE 
4 PERMANENTE (alguma coisa mantém a pressão: capa de gás, aqüífero...) 
 
 É importante relembrar as hipóteses que foram consideradas para obter a equação: 
- meio poroso homogêneo e isotrópico, com espessura uniforme e de propriedades constantes 
- fluido de compressibilidade pequena e constante 
- fluido de viscosidade constante 
- pequenos gradientes de pressão no reservatório 
- fluxo radial horizontal 
- efeitos gravitacionais desprezados 
- poço penetrando totalmente a formação 
 
 
 
 
 
AULA 3 
 
 SOLUÇÃO DA LINHA FONTE 
A solução da linha fonte serve para observar a distribuição de pressão no poço. 
 
Pd (tD, rD) = -1/2 * Ei(-rD^2/4tD) 
 
Isso fornece o valor da pressão (Pd) em qualquer ponto do reservatório (rD) em 
qualquer tempo depois do inicio de produção com vazão constante em um único poço de raio 
infinitesimal. 
 
 A figura apresenta a comparação da solução da linha com solução exata para diversos 
valores de rD. Observa-se que a solução da linha fonte é valida nos seguintes casos. 
- para qualquer valor de rD, se tD/r^2 > 25 
- para qualquer valor de tD/r^2 se rD > 20 
 
tD = tempo de teste 
rD = raio adimensional = r/rW 
rW = linha fonte (raio dispresível rW = 0) 
 
O erro da aproximação logarítmica da funçao Integral Exponencial é menor que 1% 
para x < 0,025, onde x = raio muito pequeno. 
 
Pd (tD,rD) = -1/2 [ln(tD/rD^2) + 0,80907)] 
A pressão Pd é proporcional ao logaritmo do tempo tD. 
 
 
SOLUÇÃO PARA POÇO CILÍNDRICO 
Agora iremos usar as mesmas condições de contorno, só que para um poço cilíndrico. 
 
A solução no campo real será: 
 
Pd (tD, rD) = L-1{Pd(s, rD)} 
Onde Pd é Pd traçado em cima. 
 
A transformada inversa não é imediata e o resultado no campo real pode ser obtido 
por meio de um algoritmo de inversão numérica transformada de Laplace. 
Observa-se que para valores de tD/rD > 50, a solução modelo da fonte cilíndrica é 
similar a solução da linha fonte para qualquer valor de rD. 
 
Para rD = 1 : 
Pwd (tD,rD) = -1/2 [ln(tD + 0,80907)] 
 
Essa última equação é a mais importante porque estuda a pressão praticamente na 
parede do poço, pois rD = 1 (muito pequeno). 
 
 
AULA 4 
 
FRONTEIRA EXTERNA SELADA 
O fluxo radial de um fluido de pequena compressibilidade em um meio poroso 
isotrópico de porosidade e espessura constantes, de extensão limitada e com fronteira externa 
selada, produzindode um único poço, com vazão constante, é descrito pelo seguinte sistema. 
Um reservatório selado com um poço produzindo sem influencia externa = pressão cai 
com o tempo = fluxo PSEUDOPERMANENTE. 
 
Resolvendo o sistema por transformadas de Laplace, temos: 
Pd (s, rD) = EQUAÇÃO 84 
 
Para pressão no poço rD=1 
EQUAÇÃO 85 
 
EQUAÇÃO 86 
 
Obs: quanto maior o raio mais tempo demora a chegar no limite do reservatório. 
 
Para tempos curtos (valores pequenos de tD) a equação k1(rED[raiz(s)] tende para zero 
muito rapidamente, podendo a equação 85 se aproximar por: 
EQUAÇÃO 87 
 
Note-se que essa é a solução para reservatório infinito. Portanto é importante 
ressaltar que um reservatório limitado se comporta como infinito até que a influencia da 
fronteira externa seja sentida. (mesmo o fluido e a rocha sendo materiais compressíveis 
demora um tempo para que a perturbação possa afetar todo o reservatório e chegar na 
fronteira.) 
 
Para tempos longos a equação 85 pode ser aproximada por 
EQUAÇÃO 88 
Observa-se que a pressão é proporcional ao tempo. Num gráfico de Pd x tD terá uma 
linha reta (função de grau 1) com inclinação 2/(rED^2). 
O gráfico será plotado com valores retirados de testes feitos no poço. (abre o poço, 
fecha, abre, fecha e observa as informações de pressão em relação ao tempo) 
 
No regime de fluxo pseudopermanente, a pressão é proporcional ao tempo, para 
reservatórios limitados é conveniente uma nova definição de tempo adimensional, já descrita 
anteriormente. 
EQUAÇÃO 89 
 
Para reservatórios limitados é conveniente uma nova definição de tempo adimensional 
(tD). Diferentes reservatórios eu posso ter tD’s iguais, mas eles não significam a mesma coisa. 
E a permeabilidade do reservatório interfere no tempo real, quanto mais permeável o 
reservatório, menor o tempo para a perturbação atingir o limite. tD é diretamente 
proporcional a permeabilidade K e ao tempo de teste T. 
tD = (0,0003484*K*T) / (porosidade*viscosidade*Ct*rW^2) 
tDA = (0,0003484*K*T) / (porosidade*viscosidade*Ct*área) 
 
Para uma geometria qualquer, a equação de Pdw em função de tDA pode ser descrita 
como: 
EQUAÇÃO 94 
 
Onde cA é a forma ou geometria do reservatório. 
 
Usando-se a definição de toda, a equação que descreve o fluxo radial infinito pode ser 
reescrita para reservatório limitado como: 
EQUAÇÃO 95 
 
Obs: a geometria ainda não importa, mas há limite. 
 
FRONTEIRA COM MANUTENÇÃO DE PRESSÃO 
O fluxo radial de um fluido de pequena compressibilidade em um meio poroso 
isotrópico, de porosidade e espessura constante de extensão radial infinita produzindo de um 
único poço, com vazão constante (fronteira com manutenção de pressão, é definido pelo 
seguinte sistema: 
 
EQUAÇÃO 96, 97, 98 e 99 
 
Reservatório com fluxo PERMANENTE. A pressão será mantida constante quando se 
chega no limite do reservatório por causa de uma grande capa de gás ou aqüífero. 
 
EQUAÇÃO 100 e 101 
 
Aqui, como no caso anterior a inversão no campo real também não é imediata. 
Utilizando-se de Stehfest (inversão numérica) pode-se construir um gráfico com os valores de 
Pwd x tD para vários valores de rED. 
 
 
 
Para tempos curtos (valores pequenos de tD) a equação Ko(rED*raiz(s)) tende para 
zero muito rapidamente, podendo a equação 100 ser aproximada por: 
EQUAÇÃO 102 
 
Note-se que a equação 102 é a solução para reservatório infinito. Portanto é 
importante ressaltar mais uma vez que um reservatório limitado se comporta como infinito até 
que a influência da fronteira externa seja sentida. 
 
Para tempos longos (valores grandes de tD) a equação 101 pode ser aproximada por: 
Pwd (tD) = ln(rED) 
 
O gráfico de Pwd x tD terá um valor constante (linha com inclinação zero) 
No regime de fluxo permanente, a pressão é constante, ou seja, independe do tempo. 
Ou seja, a deriva = 0. 
 
ESTOCAGEM 
A estocagem é um fenômeno que ocorre nos tempos iniciais dos períodos de fluxo ou 
estática dos testes de poços e, enquanto dura, o comportamento de pressão é dominado por 
efeitos de poço, não representando a resposta do reservatório. Dois tipos principais de 
estocagem podem ser citados: 
 
- dominado pela compressibilidade dos fluidos 
- dominado pela variação do volume de fluido no poço. 
 
O primeiro tipo ocorre em situações em que o poço (câmara de estocagem) se 
encontra cheio de fluido e, ao se iniciar o teste, esse volume de fluidos é descomprimido, no 
período de fluxo, ou comprimido, no período de estática. 
Ao se abrir o poço a vazão inicial será totalmente dominado pela descompressão dos 
fluidos e com o passar do tempo, a parcela da vazão relativa a descompressão diminui, 
tendendo a zero, e a contribuição do reservatório aumenta, tendendo a dominar. O período 
em que parte da vazão total é fornecida pela descompressão dos fluidos existentes no poço é 
chamado de período de estocagem. Sempre haverá descompressão do fluido na zona de 
canhoneio, mas isso terá pequena importância em frente a contribuição do reservatório. 
Esse período de estocagem mascara o estudo de reservatório, pois é um dado de poço, 
logo iremos descartá-lo. 
Para o período de estática, inicialmente o poço vinha produzindo com vazão constante 
e no instante em que é fechado a vazão de produção se anula. Contudo, devido a 
compressibilidade dos fluidos presentes, o reservatório continua alimentando o poço (o fluido 
vai se comprimindo devido a alimentação do reservatório), com vazão decrescente e tendendo 
a zero. O período em que, apesar do poço estar fechado, o reservatório continua alimentando 
o poço é chamado de período de estocagem. 
O segundo tipo de estocagem dominado pela variação de volume de fluido no poço, 
em geral, ocorre em situações de testes em poço não surgentes, onde o nível de fluido cresce 
até o amortecimento do poço. 
 
O coeficiente de estocagem, Cs, é definido como: 
Cs = ∆V/ ∆P 
 
Para o caso de estocagem dominada pela compressibilidade dos fluidos, a equação 
pode ser descrita como: 
Cs = Vw*C 
 
Onde Vw é o volume total da câmara de estocagem (poço + coluna abaixo da válvula) e 
C é a compressibilidade média do fluido existente no poço. Para a estocagem dominada pela 
variação de volume e de fluido no poço, obtem-se: 
 
Cs = (0,00565*D^2) / (massa específica do fluido*cos(inclinação)) 
 
Manipulando, temos: 
Cd = Cs / (2*pi*porosidade*Ct*altura*rW^2) 
 
Altura = altura da câmara 
 
Temos também: 
Pwd (tD) = tD / Cd 
 
Utilizando-se as definições, podemos descrever: 
∆Pw = 0,041667*t*Q*B / Cs 
Cs = 0,041667*Q*B / mc 
mc = 0,041667*Q*B / Cs 
 
onde: mc = inclinação da reta ∆Pw x tempo 
 B = fator volume de formação 
 
 
EFEITO DE DANO 
 
- freqüentemente a permeabilidade do reservatório nas vizinhanças do poço é alterada 
durante as etapas de perfuração, de completação ou de produção do poço. A invasão da 
formação por fluidos de serviço (fluidos de perfuração e de completação), o inchamente e a 
dispersão de argilas, a movimentação de finos, entre outros, são fatores que podem causar 
redução na permeabilidade original do reservatório, configurando-se o dano de formação. 
- as situações em que a permeabilidade original do reservatório é aumentada nas 
proximidades do poço, como nas acidificações ou nos fraturamentos, configuram-se como 
estímulo à formação. 
- quando a permeabilidade alterada é menor que a original, a queda de pressão será 
mais intensa na região de permeabilidade alterada e, quando a permeabilidade da região for 
maior do que a original, a queda de pressão na região alterada será menos intensa. 
 
 
Condição do poço Skins (S) Razão de dano (DR) 
Estimulado S < 0 DR < 1 
Sem dano S = 0 DR = 1 
danificado S > 0 DR > 1 
 
Aula 5 
 
Soluções com efeitos de estocagem e película 
 
O modelo baseia-senas mesmas equações descritas anteriormente, com exceção da condição 
de contorno interna, que deve ser agora modificada. A vazão total do poço, medida em 
condições de fundo, pode ser descrita como sendo a soma de duas parcelas: 
EQUAÇÃO 116 
 
A parcela de contribuição devido à estocagem pode ser calculada utilizando-se a equação 105. 
EQUAÇÃO 117 E 118 
 
A parcela da vazão proveniente do reservatório é determinada pela lei de Darcy: 
EQUAÇÃO 119 
 
Realizando algumas substituições algébricas, obtemos: 
EQUAÇÃO 120 
 
Utilizando-se as definições das variáveis adimensionais, esta equação assume a forma: 
EQUAÇÃO 121 
 
Ou: 
EQUAÇÃO 122 
 
Ou ainda, em unidades compatíveis: 
EQUAÇÃO 123 
 
Utilizando-se a definição de coeficiente de estocagem adimensional, a equação 120 toma a 
forma: 
EQUAÇÃO 124 
 
A inclusão do efeito de película é feita observando-se o modelo matemático representado na 
figura abaixo: 
FIGURA 1 
Indicação da queda de pressão no poço devido ao efeito de película 
 
EQUAÇÃO 125 E 126 
 
Aplicando-se a Lei de Darcy: 
EQUAÇÃO 127 
 
Na forma adimensional: 
EQUAÇÃO 128 
 
Portanto, o problema completo pode ser posto da seguinte forma: 
EQUAÇÃO 129 ATÉ 133 
 
A solução do sistema composto, aplicando a técnica das transformadas de Laplace, foi 
desenvolvida por Agarwal ET alli (1970) e é dada por: 
EQUAÇÃO 134 
 
Para o cálculo da pressão no poço, a equação é dada pela expressão: 
EQUAÇÃO 135 
 
A solução pelo algoritmo de Stehfest (1970) não funciona bem para valores de s negativos. 
Agarwal ET alli (1970) apresentaram graficamente a solução da equação para diversos valores 
de CD. 
É possível também a obtenção analítica das aproximações de curto e longo prazo. Considera-se 
uma aproximação normalmente válida para tempos de duração de um teste de pressão, dada 
por: 
EQUAÇÃO 136 
 
Para o cálculo da pressão no poço, a equação é dada pela expressão: 
EQUAÇÃO 137 
 
Uma outra aproximação em geral válida para os tempos de teste de interesse é dada pela 
expressão: 
EQUAÇÃO 138 
 
Esta última equivale à aproximação logarítmica. Empregando esta aproximação, obtém-se: 
EQUAÇÃO 139 
 
Para o cálculo da pressão no poço, a equação é dada pela expressão: 
EQUAÇÃO 140 
 
Aproximação para tempo curto (variável de Laplace u torna-se muito grande). A equação 140 
pode ser então simplificada para: 
EQUAÇÃO 141 
 
Cuja inversão para o campo real resulta: 
EQUAÇÃO 142 
 
Uma outra aproximação em geral válida para os tempos de teste de interesse é dada pela 
expressão: 
EQUAÇÃO 138 
 
Aproximação para longo tempo (variável de Laplace u torna-se muito pequena). A equação 
140 pode ser então simplificada para: 
EQUAÇÃO 143 
 
Cuja inversão para o campo real resulta: 
EQUAÇÃO 144 
 
Que ainda pode ser descrita como: 
EQUAÇÃO 145 
 
A aproximação de longo tempo é idêntica à aproximação logarítmica da solução do modelo da 
fonte linear acrescida do efeito de película. A equação 145 indica que para longo tempo a 
queda de pressão adimensional no poço é função do logaritmo do tempo adimensional. No 
longo tempo, as curvas tendem para as curvas correspondentes aos casos de coeficiente de 
estocagem adimensional nulo (CD=0), ou seja, aproximam-se da solução para o caso de um 
poço sem efeitos de estocagem. Na interpretação de testes, em geral, é importante 
determinar o instante em que os efeitos de estocagem não mais afetarão significativamente a 
resposta de pressão. 
Para poços em fluxo, o final do efeito de estocagem pode também ser estimado pela 
correlação: 
EQUAÇÃO 146 E 147 
 
Pode-se observar pelas equações que o período de estocagem é diretamente proporcional ao 
volume da câmara de estocagem e à compressibilidade do fluido existente no interior do poço, 
e inversamente proporcional à transmissibilidade da formação. 
Outra forma de apresentar a equação 145 é: 
EQUAÇÃO 148 
 
Indicando que para longo tempo a solução da queda de pressão adimensional no poço 
correlaciona-se com a variável (tD/CD) por meio do grupo de parâmetros CDe
2s
. 
Posteriormente, Bourdet et alli (1983) desenvolveram uma nova forma de apresentar um 
gráfico log-log a solução dada pela equação 145. As curvas geradas são denominadas curvas-
tipo de Bourdet. 
EQUAÇÃO 149 
 
Denominando: 
EQUAÇÃO 150 
 
Tem-se que: 
EQUAÇÃO 151 
 
Durante o período de estocagem pura, o comportamento da queda de pressão adimensional 
em um poço que produz com vazão constante na superfície é dado pela equação 142. Dessa 
equação obtém-se: 
EQUAÇÃO 152 
 
Assim: 
EQUAÇÃO 153 
 
A solução de longo tempo para um poço que produz com vazão constante na superfície é dada 
pela equação 145, da qual pode-se escrever que: 
EQUAÇÃO 154 
 
Assim: 
EQUAÇÃO 155 
 
As curvas de Bourdet, ao incluírem tanto a queda de pressão adimensional quanto a sua 
derivada, facilitam a caracterização dos vários regimes de fluxo ocorridos durante um teste, e 
portanto, da geometria do reservatório, bem como a estimativa dos parâmetros do sistema 
poço-reservatório. 
 
 
 
 Raio de drenagem aparente 
 
O conceito de raio de drenagem aparente é bastante amplo e existem na literatura inúmeras 
definições para representá-lo. A idéia que parece melhor exemplificar o fenômeno físico do 
comportamento da pressão em um reservatório é a do raio de drenagem aparente, de 
Aronofsky & Jerkins (1954). Uma vez produzida uma excitação dentro de um reservatório, esta 
deverá se propagar com a velocidade do som naquele meio. Entretanto, as hipóteses 
simplificadoras da equação da difusividade não consideram as perdas de energia por atrito ou 
as forças inerciais, resultando em uma solução exponencial típica. Esta solução exponencial 
representa o problema real com boa aproximação e será utilizada para mostrar o fenômeno do 
comportamento da pressão nos reservatórios. 
Para o caso de um poço produzindo com uma vazão constante de um reservatório infinito, a 
queda de pressão em um poço qualquer e em um instante de tempo t, após o início da 
produção, é dada por: 
EQUAÇÃO 156 
 
A equação indica que o perfil da pressão dentro do reservatório, no instante t1, é equivalente 
ao próprio gráfico da função integral exponencial. A figura apresenta o perfl de pressão em um 
reservatório infinito, onde a distância é colocada em escala logarítmica. 
FIGURA 3.19 
Perfil de pressão em um reservatório infinito 
 
Conforme a teoria apresentada para o caso do poço finito, quanto maior a relação TD/rD
2
, mais 
corretamente a função integral exponencial ou sea aproximação logarítmica representando a 
solução exata do problema. Como para grandes valores de TD/rD
2
 a aproximação logarítmica 
equivalente à função integral exponencial, pode-se verificar que, para um dado tempo, a 
queda de pressão no reservatório é diretamente proporcional ao logaritmo do raio para 
valores de rD não muito grandes. 
Note-se que, para um dado tempo, existe um valor de r acima do qual não pode ser 
representada como uma função linear do logaritmo do raio. A extrapolação do trecho onde a 
pressão varia linearmente com o logaritmo do raio, até a pressão inicial do reservatório, 
determina o valor do raio de drenagem aparente (rDd) no instante considerado, conforme 
mostra a figura. Neste instante, a lei de Darcy para o fluxo radial permanente pode ser 
aplicada, gerando a expressão: 
EQUAÇÃO 157 
 
No entanto, a pressão no poço no instante considerado é obtida: 
EQUAÇÃO 158 
 
A eliminação da diferença de pressões das equações acima resulta em: 
EQUAÇÃO 159 
 
Ou então: 
EQUAÇÃO 160 
 
Onde: 
EQUAÇÃO 161 
 
Usando variáveis reais a equação 160 pode ser escrita como: 
EQUAÇÃO 162 
 
De acordo com o desenvolvimento apresentado, o raio de drenagem cresce linearmente com a 
raiz quadrada do tempo. Casoeste raio de drenagem seja considerado com a velocidade 
propagação do efeito de produção com vazão constante q, verifica-se que a área de influência 
deste efeito aumenta diretamente com o passar do tempo. A figura ilustra este fato. 
FIGURA 2 
Variação do raio de drenagem aparente com o tempo 
 
O exame da equação 162 indica que a expansão da área do reservatório influenciada pelo 
distúrbio causado pela produção do poço é função da difusividade hidráulica do meio poroso, 
a qual pode ser considerada como uma velocidade de crescimento da área de influência. Deve-
se ressaltar que o conceito apresentado também é denominado raio de drenagem efetivo. 
 
 Teste de fluxo – Interpretação 
 
Um teste de fluxo consiste na medição das pressões de fluxo durante o período de produção 
de um poço. O objetivo do teste de fluxo é a estimativa de parâmetros do sistema poço-
reservatório, tais como coeficiente de estocagem do poço, fator de película e permeabilidade 
da formação. 
Em regiões onde existe estrutura para armazenamento do óleo, o teste de fluxo apresenta 
vantagens sobre outros tipos de teste, pelo fato de sua interpretação ser mais simples e 
também por não implicar em perda de produção. 
 
Método convencional 
 
A equação da queda de pressão adimensional para um poço que produz com vazão constante 
de um reservatório infinito é, utilizando-se aproximação logarítmica para a solução do modelo 
da fonte linear: 
EQUAÇÃO 163 
 
Onde se admite que inicialmente todo o reservatório encontrava-se à pressão Pi e não são 
considerados efeitos de estocagem no poço. Em termos de variáveis reais essa equação pode 
ser reescrita como: 
EQUAÇÃO 164 
 
Onde Pwf é a pressão no fundo do poço. Definindo-se: 
EQUAÇÃO 165 
 
A equação 164 passa a ser expressa por: 
EQUAÇÃO 166 
 
Uma análise da equação 166 indica que um gráfico Pwf versus log(t) deverá produzir uma linha 
reta com coeficiente angular –m, conforme ilustra a figura: 
FIGURA 3 
Interpretação de teste de fluxo pelo método convencional 
 
Observa-se nesta figura que para tempos relativamente curtos os dados de campo podem 
estar influenciados por efeitos de estocagem no poço. Uma vez determinada a inclinação da 
reta do gráfico semilog da figura citada, pode-se calcular a transmissibilidade da formação a 
partir da equação a seguir: 
EQUAÇÃO 167 
 
 
A equação 166 pode ser manipulada para se explicitar o fator de película: 
EQUAÇÃO 168 
 
Para calcular o valor de s pela equação 168, toma-se um par (t, Pwf) correspondente a um 
ponto qualquer sobre a linha reta semilog da figura. Pode-se, para efeito de simplificação, 
escolher um ponto sobre a reta correspondente ao tempo t = 1, resultando em: 
EQUAÇÃO 169 
 
Onde P1 é portanto um ponto sobre a reta semilog, correspondente a t = 1. 
A queda de pressão devida ao efeito de película é obtida da definição do fator de película: 
EQUAÇÃO 170 
 
O que produz finalmente: 
EQUAÇÃO 171 E 172 
 
A Razão de Dano é definida como: 
EQUAÇÃO 173 
 
Deve ser observado que, para um reservatório infinito que produz com vazão constante, Pwf 
decresce com o tempo. Portanto, a razão de dano diminui com o tempo e é recomendado que 
seja utilizada sempre a última pressão de fluxo para a estimativa de seu valor. 
A razão de produtividade ou eficiência de fluxo é definida como: 
EQUAÇÃO 174, 175 E 176 
 
Para um reservatório que produz com pressão constante no limite externo, a pressão estática 
utilizada no cálculo do índice de produtividade é igual à pressão no limite externo, isto é: 
PM = Pi 
 
AULA 6 
 
 
O regime de fluxo pseudo permanente é alcançado pela produção de um poço em um 
reservatório finito por um tempo suficientemente longo, possibilitando a determinação dos 
parâmetros do reservatório, bem como volume poroso da região drenada. Um teste de fluxo 
executado com esta finalidade de se determinar o volume poroso da região drenada por um 
poço é denominada teste limite de reservatório. Esse tipo de teste foi introduzido por Jones 
(1958). 
 
MÉTODO CONVENCIONAL 
 
 A equação de fluxo do regime pseudopermanente para um poço que produz com 
vazão constante é dada, na forma adimensional, por: 
 
EQUACAO 178 
 
 Onde a constante Ca é denominada fator de geometria, sendo portanto uma função da 
geometria do sistema poço-reservatório. De acordo com a teoria apresentada em capítulos 
anteriores, a equação da queda de pressão adimensional no poço para um reservatório 
circular limitado que produz no regime de fluxo pseudopermanente é: 
 
EQUACAO 179 
 Que também pode ser escrita como: 
EQUACAO 180 
 Ou ainda: 
EQUACAO 181 
 Comparando-se as equações 178 e 181, verifica-se que: 
EQUACAO 182 
 Ou seja, 
EQUACAO 183 
 Para o caso de reservatório circular limitado. 
 
 Uma analise da equação 178 indica que, uma vez atingido o regime de produção 
pseudopermanente, a pressão no poço varia linearmente com o tempo. Assim, um gráfico da 
pressão de fluxo versus tempo de produção deve resultar em uma linha reta com inclinação – 
m’ e coeficiente linear pint, com mostra a figura. 
 
FIGURA 4 
-Teste limite de reservatório – Método convencional de analise 
 
 Se coloca em termos de variáveis reais, a equação 178 se transforma em: 
EQUACAO 184 
Ou seja: 
EQUACAO 185 
Definindo-se: 
EQUACAO 186 EQUACAO 187 
 
 A equação 185 reduz-e a: 
 EQUACÇÃO 188 
 
 Que é a equação de um linha reta. Portanto, o método de análise do teste limite 
consiste em se ajustar um linha reta sobre os dados de campo e determinar o seu coeficiente 
angular –m*. Assim o volume poroso é calculado a partir da equação 187. 
 
EQUACAO 189 
 
 Para se estimar o fator de geometria CA é necessária a utilização dos valores de m e de 
p1 determinados na analise transiente convencional. A manipulação algébrica das equações 
185 e 186 produz: 
 
EQUACAO 190 
 
 O tempo necessário para que o reservatório atinja o regime pseudopermanente de 
produção é estimado através do inicio da linha reta cartesiana dos dados de campo (tpp na 
figura). Assim: 
 
EQUACAO 191 EQUACAO 192 
 
 Com os valores de CA e t(DA)PP pode-se estimar a forma de área de drenagem do poço 
por meio de comparação com a tabela de valores. 
 
 
 
AULA 7 
 
MÉTODO DE PARK JONES 
 
 Jones (1967) desenvolveu também um método de interpretação de teste limite que 
possibilita análise simultânea dos períodos de fluxo transiente e pseudopermanente. O 
período transiente é regido pela equação: 
 
s
rc
ktC
Ln
kh
qBC
PP
wt
iwf 280907,0
²2
12
 (193) 
 
 Diferenciando-se essa equação em relação ao tempo, resulta em: 
 
tkh
qBC
dt
dPwf
2
12
 (194) 
 
 Definindo-se a função Y de Park Jones como sendo: 
 
q
dt
dP
Y
wf
 (195) 
 
 Tem-se que: 
 
tkh
BC
Y inito
1
2
2
inf
 (196) 
 
 Onde Yinfinito é o valor de Y para o regime transiente, isto é, para o período em que o 
reservatório comporta-se como se fosse infinitamente extenso. Tomando-se o logaritmo 
decimal da equação 196: 
 
t
kh
BC
Y inito log
2
loglog 2inf
 (197) 
 
 Então, um gráfico de log Yinfinito contra log(t) deve resultar em uma linha reta com 
coeficiente angular igual a -1, conforme ilustra a figura. 
 
FIGURA 5 
 
 Os valore de Y podem ser calculados numericamente a partir de dados de pressão 
versus tempo, utilizando-se o conceito de diferenças finitas. Durante o período semi-
permanente, o comportamento de um reservatório de geometria qualquer é dado pela 
equação 185. Derivando-se essa equação em relação ao tempo: 
 
Ahc
qBCC
dt
dP
t
wf 212
 (198) 
 
 A função Y neste caso passa a ser: 
 
Ahc
qBCC
q
dt
dP
Y
t
wf
finito
212 (199) 
 
 Onde Yfinito refere-se ao regimede fluxo estabilizado (pseudo-permanente). A figura 
apresenta o comportamento completo da função Y, tanto para curto quanto para longo 
tempo. 
 
FIGURA 6 
 
 O valor da permeabilidade é estimado tomando-se um ponto sobre a reta de 45º de 
Figura e utilizando-se a equação: 
 
º45º45
2 1
2 Yth
BC
k
 (200) 
 
 O raio de investigação (ri) de Van Pollen (1964) é definido admitindo-se uma 
distribuição de pressão pseudo-permanente em um sistema circular de raio igual ao raio de 
investigação, tal que: 
 
finitoinito YYinf
 (201) 
 
 Ou seja: 
 
²
2
1
2
212
rc
BCC
tkh
BC
t
 (202) 
 De onde se obtém: 
 
t
i
c
ktC
r 12
 (203) 
 
 O valor máximo de ri o qual será denominado raio de drenagem (ri) e alcançado 
quando o reservatório de fato atinge o pseudo-permanente, o que corresponde ao tempo de 
estabilização (test), indicado na figura 6. 
 
t
est
i
c
ktC
r 12
 (204) 
 
 Deve-se observar que o raio de drenagem aparente de Aronofsk & Jenkins é mais 
conservador que o raio de investigação de Van Pollen. O volume poroso é estimado utilizando-
se o valor estabilizado da função Y. 
 
finitot
p
Yc
BCC
V 212
 (204a) 
 
wi
finitot
S
Yc
BCC
N 12 21
 (205) 
wi
mínimot
mínimo S
Yc
BCC
N 12 21
 (206) 
 
TESTE COM VAZÃO VARIÁVEL 
 
 Um teste com vazão variável pode consistir desde uma série de vazões diferentes mas 
constantes durante determinados períodos, até uma totalmente descontrolada. 
 Os métodos a serem apresentados baseiam-se em esquema de vazões com variações 
discretas. Caso a vazão tenha sofrido variações contínuas, o esquema real deve ser substituído 
por uma aproximação composta por trechos com vazão constante (discretização da curva). 
 
FIGURA 7 
 
MÉTODO DE ODEH & JONES 
 
 Definindo-se: 
 
s
rc
kC
s
wt
8686,03514,0
²
log 1
 (207) 
 
 Pode-se escrever que: 
 
st
kh
qB
CPP iwf log151,1 2
 (208) 
 
 Aplicando-se o princípio da superposição de efeitos, a queda de pressão em um 
instante qualquer tj-1 ≤ t ≤ tj, 1 ≤ j ≤ N, é dada por: 
 
sqmttqqttqqttqqtqmPP jjjjwfi 'log...logloglog' 12231121
(209) 
 
 Onde t0 = 0 e q0 = 0 e: 
 
kh
B
Cm 2151,1'
 (210) 
 
 Dividindo a equação 208 por qj obtém-se: 
 
j
i
i
j
ii
j
iwf
smtt
q
qq
m
q
PP
1
1
1 'log'
 (211) 
 
 A interpretação do teste é efetuada construindo-se o gráfico: 
 
smb ''
 (212) 
hm
B
Ck
'
151,1 2
 (213) 
3514,0
²
log
'
'
151,1 1
wt rc
kC
m
b
s
 (214) 
 
FIGURA 8 
 
MÉTODO DE RUSSEL – VAZÃO DUPLA 
 
 Aplicando-se o princípio da superposição de efeitos e admitindo-se que o reservatório 
comporte-se como infinito, que o poço não apresente efeitos de estocagem e que a 
aproximação logarítmica seja válida, obtém-se a expressão: 
 
stqqmsttqmPP wfi log'log' 1211
 (215) 
sqmt
q
q
t
tt
qmPP iwf 2
1
21
1 'loglog'
 (216) 
 
 Definindo-se o coeficiente angula como: 
 
11 'qmm
 (217) 
 
 A permeabilidade pode ser calculada como: 
 
hm
Bq
Ck
1
1
2151,1
 (218) 
 
 E o fator de película pela expressão: 
 
3514,0
²
log151,1 1
1
01
21
1
wt
twf
rc
kC
m
PP
qq
q
s
 (219) 
 
 Onde P1 é a pressão de fluxo Pwf tomada sobre a linha reta para Δt = 1 e (Pwf)Δt=0 é a 
pressão de fluxo no instante da mudança de vazão 
 
FIGURA 9 
 
 Neste tipo de teste, é possível se estimar a pressão inicial do reservatório, em função 
do coeficiente linear (m’) da reta da Figura, que é a representação gráfica da equação 216 
 
sqmPP wfi 20 '
 (220) 
 
 Ou: 
 
sq
q
m
PP wfi 2
1
1
0
 (221) 
 
 q2 é chamada vazão reduzida e q3 vazão restaurada. Aplicando-se o princípio da 
superposição de efeitos durante o intervalo de t1 a t2 obtém-se: 
 
sqmtqqttqmPP iwf 2112111 'loglog'
 (222) 
 
 Onde m’ é definido pela equação 210. A equação 209 é a mesma do teste de fluxo com 
duas vazões. Aplicando-se novamente o princípio da superposição de efeitos, agora para t > t2: 
 
sqmtqqtttqqttqmPPwf 3223212122211 'logloglog'
(223) 
 
 As equações 222 e 223 podem ser analisadas em um mesmo gráfico, com duas escalas 
horizontais diferentes, conforme a figura. 
 
FIGURA 10 
 
 As duas retas traçadas devem ser paralelas, e possuem a inclinação –m’. A 
permeabilidade é estimada por: 
 
hm
BC
k
'
151,1 2
 (224) 
 
 Os valores de Pi podem ser determinados simultaneamente por meio do sistema de 
equações: 
 
sqmPP
extwfi 21
'
 (225) 
sqmPP
extwfi 32
'
 (226) 
 
 Então: 
23
3
211 qq
q
PPPP
extwfextwfextwfi
 (227) 
23
21
' qqm
PP
s ext
wfextwf
 (228) 
3514,0
²
log151,1 1
wt rc
kC
ss
 (229) 
 
TESTE DE CRESCIMENTO DE PRESSÃO 
 
 Este teste baseia-se no registro contínuo das pressões de fundo após o fechamento de 
um poço que tenha estado produzindo por um determinado período. Quando bem realizado, 
um teste de crescimento de pressão deve fornecer informações a respeito do sistema poço-
formação, tais como permeabilidade efetiva do meio poroso ao fluido produzido, indicação de 
dano ou estímulo da formação e pressão média na região drenada do poço. 
 A análise de um teste de crescimento de pressão é bastante simplificada quando se 
produz o poço com vazão constante antes do fechamento, embora sejam possíveis a 
interpretação de testes com vazão de produção variável. 
 
MÉTODO DE HORNER 
 
 É o método mais utilizado para interpretação de testes de crescimento de pressão e 
exige que a vazão tenha sido razoavelmente constante antes do fechamento do poço. 
 Admitindo-se que o poço tenha produzido com uma vazão constante q durante um 
tempo de produção tp, a queda de pressão no poço em um instante Δt após o fechamento 
pode ser determinada pela utilização do princípio da superposição de efeitos. Desse modo, a 
queda de pressão no instante de tempo (tp + Δt) após o início da produção seria resultante da 
soma dos efeitos causados pela produção do poço com vazão +q desde o instante inicial e pela 
produção do poço com vazão negativa –q desde o instante do fechamento, ou seja: 
 
DwDDpwDDpwDs
tPttPttP
 (230) 
 
 A expressão geral da superposição de efeitos para um teste de crescimento de 
pressão, equação 230, também pode ser obtida por meio de uma forma mais elegante, por 
meio do princípio de Duhamel. Segundo este princípio, a queda de pressão adimensional no 
poço é dada por: 
 
Dt
D
DwCD
DDwDs
t
tP
qtP
0
 (231) 
 
 Pressão no poço adimensional e Qd = q/qr, sendo qr uma vazão de referência. 
Escolhendo-se qr = q tem-se que durante o período de fluxo qD = 1. Durante o período de 
fechamento, qD = 0 e t = tp + ΔtD. Assim a equação 231 simplifica-se para: 
 
pDt
D
DpDwCD
DpDwDs
t
ttP
ttP
0
 (232) 
pDt
wCD
DpDwDs
P
ttP
0
 (233) 
 
 Cujo resultado é: 
 
DwCDDpDwCD
t
tt
wCDDDwDs tPttPPttP
D
Dp
 (234) 
 
 Esta equação é idêntica à equação 230. A equação da queda de pressão adimensional 
em um poço que produz com vazão constante de um reservatório infinito, sem efeitos de 
estocagem, é dada por: 
 
stLntP DDwD 280907,0
2
1
 (235) 
 
 Empregando-se 235 na 230, obtém-se: 
 
stLnsttLnP DDpwDs 280907,02
1
280907,0
2
1
 (236) 
 
 O que resulta em: 
 
t
tt
LnttP
p
DDwDs
2
1
 (237) 
t
tt
LnPP
qBC
kh p
wsi
2
1
2
 (238) 
 
 A equação 238 pode ser escrita na forma: 
 
t
tt
mPP
piws log
 (239) 
kh
qBC
m 2151,1
 (240) 
 
Figuras a serem adicionadas: