AD1 Calculo 3 gabarito 2018 1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Ca´lculo III – Gabarito – 2018-1
Nome: Matr´ıcula:
Questa˜o 1 (5,0 pontos)
Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = 16x2 + 16y2 − 16x− 8y.
(a) (2,0 ponto) Parametrize a curva de n´ıvel C = 27 da func¸a˜o f ;
(b) (2,0 ponto) Sendo E a curva mencionada no item (a), determine a equac¸a˜o vetorial da reta
tangente a` C, no ponto Q =
(
1
2 ,
1
4 +
√
2
)
;
(c) (1,0 ponto) Utilizando a parametrizac¸a˜o encontrada para E , no item (a), prove que o com-
primento de E e´ dado por
`(E) = 2pi√2.
Soluc¸a˜o:
(a) Completando quadrados, obtemos
f(x, y) = 16
(
x− 12
)2
+ 16
(
y − 14
)2
− 5
para cada (x, y) ∈ R2. Portanto, a curva de n´ıvel C = 27 da func¸a˜o f e´ dada por
E = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = 27} =
{
(x, y) ∈ R2;
(
x− 12
)2
+
(
y − 14
)2
= 2
}
,
isto e´, E e´ o c´ırculo de raio r = √2, centrado no ponto P0 =
(
1
2 ,
1
4
)
. Da´ı, a func¸a˜o vetorial
α : t ∈ [0, 2pi] 7−→
(1
2 +
√
2 cos t, 14 +
√
2sen t
)
∈ R2
e´ uma parametrizac¸a˜o de E .
(b) Seja α a parametrizac¸a˜o de E considerada no item (a), e tomemos t0 ∈ [0, 2pi] tal que(1
2 +
√
2 cos t0,
1
4 +
√
2sen t0
)
= α(t0) = Q =
(1
2 ,
1
4 +
√
2
)
.
Nesse caso, cos t0 = 0 e sen t0 = 1, donde t0 = pi2 . Uma vez que
α′(t) = (−√2sent,√2 cos t),
para todo t ∈ [0, 2pi], segue que α′
(
pi
2
)
= (−√2, 0) e´ o vetor diretor da reta tangente a` curva
E , no ponto Q. Consequentemente, a equac¸a˜o vetorial de tal reta e´
r(λ) = α(t0) + λα′(t0) =
(1
2 ,
1
4 +
√
2
)
+ λ(−√2, 0) =
(1
2 − λ
√
2, 14 +
√
2
)
,
com λ ∈ R.
Ca´lculo III AD1 2
(c) Sendo α a parametrizac¸a˜o de E , encontrada no item (a), conclu´ımos que o comprimento de E
e´ dado por
`(E) =
∫ 2pi
0
‖α′(t)‖dt =
∫ 2pi
0
√
2dt = 2pi
√
2
unidades de comprimento.
Questa˜o 2 (5,0 pontos) Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = 2x+ y.
(a) (1,0 ponto) Identifique as curvas de n´ıvel de f ;
(b) (4,0 ponto) Utilizando as curvas de n´ıvel de f , encontre o menor e o maior valor que a func¸a˜o
f pode assumir, quando restrita ao disco
D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}.
Observac¸a˜o: resoluc¸o˜es que utilizarem o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange na˜o
sera˜o consideradas! O objetivo aqui e´ explorar o Conceito de Conjunto de N´ıvel!
Soluc¸a˜o:
(a) As curvas de n´ıvel da func¸a˜o f sa˜o retas da forma 2x+ y = c, onde c ∈ R.
(b) Nesse caso, encontrar o menor de f em D consiste em verificar a existeˆncia do menor valor c0
de modo que
D ∩ {(x, y) ∈ R2; 2x+ y = c0}
seja um conjunto na˜o-vazio. Observando que retas na fam´ılia de curvas de n´ıvel de f sa˜o duas
a duas paralelas, conclu´ımos que a reta
2x+ y = c0
deve ser tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 1, isto e´, o nu´mero real c0 a ser determinado deve
garantir que o sistema
{
x2 + y2 = 1,
2x+ y = c0,
possua uma u´nica soluc¸a˜o. Substituindo y = c0 − 2x em x2 + y2 = 1, obtemos
1 = x2 + (c0 − 2x)2 = 5x2 − 4c0x+ c20,
isto e´, 5x2 − 4c0x + (c20 − 1) = 0. Para que esta equac¸a˜o polinomial do segundo grau possua uma
u´nica soluc¸a˜o, o seu discriminante
∆ = 16c20 − 20(c20 − 1) = 20− 4c20
deve ser nulo. Logo, c0 = −
√
5 e´ o menor valor que a func¸a˜o f assume em D.
Um ca´lculo extremamente ana´logo mostra que c1 =
√
5 e´ o maior valor que a func¸a˜o f assume em D
(observe que ha´ dois valores que anulam o discriminante ∆, sendo c0 0 menor deles, e c1 o maior!).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ