matemática financeira 2 slide

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MA12 - Unidade 10
Matema´tica Financeira - continuac¸a˜o
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM
31 de Marc¸o de 2013
Se´ries de pagamentos
Uma se´rie uniforme de pagamentos e´ uma sequeˆncia de
pagamentos iguais e igualmente espac¸ados ao longo do tempo.
Teorema: O valor de uma se´rie uniforme de n pagamentos
iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, e´, sendo
i a taxa de juros, igual a A = P
1− (1 + i)−n
i
.
O valor da se´rie na e´poca 0 e´
A =
P
1 + i
+
P
(1 + i)2
+
P
(1 + i)3
+ · · ·+ P
(1 + i)n
=
P
1 + i
1−
(
1
1+i
)n
1− 11+i
= P
1− (1 + i)−n
i
.
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Exemplo
Um bem, cujo prec¸o a` vista e´ R$ 120,00, e´ vendido em 6
prestac¸o˜es mensais iguais, a primeira paga no ato da compra.
Se os juros sa˜o de 10% ao meˆs, determine o valor das
prestac¸o˜es.
Igualando os valores na e´poca −1:
120
1 + 0, 1
= P
1− (1 + 0, 1)−6
0, 1
P ≈ 25, 05.
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Exemplo
Helena tem duas alternativas para obter uma copiadora:
a) Compra´-la por 150. Nesse caso, ja´ que a vida econoˆmica da
copiadora e´ de 5 anos, Helena vendera´ a copiadora apo´s 5
anos. O valor residual da copiadora apo´s 5 anos e´ de 20. As
despesas de manutenc¸a˜o sa˜o de responsabilidade de Helena e
sa˜o de 5 por ano, nos dois primeiros anos, e de 8 por ano, nos
anos seguintes.
b) Aluga´-la por 5 anos, com o locador se responsabilizando pelas
despesas de manutenc¸a˜o.
Se o dinheiro vale 7% ao ano, qual e´ o valor justo do aluguel?
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Soluc¸a˜o
O fluxo de caixa da primeira alternativa:
O da segunda alternativa:
Igualando os valores na e´poca 0:
−150− 5
1, 07
− 5
1, 072
− 8
1, 073
− 8
1, 074
+
12
1, 075
= P
1− 1, 07−5
0, 07
.
Da´ı, P = 39, 78.
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Perpetuidades
Teorema: O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P,
um tempo antes do primeiro pagamento, e´, sendo i a taxa de
juros, igual a
P
i
.
O valor da se´rie perpe´tua e´:
A = lim
n→∞P
1− (1 + i)−n
i
=
P
i
.
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Exemplo
Se a taxa de juros e´ de 1% ao meˆs, quanto deve ser
economizado mensalmente durante 20 anos para assegurar
uma perpetuidade de R$ 1000,00?
O esquema de pagamentos e recebimentos e´:
O valor economizado, na e´poca 240, deve ser igual a
1000
0, 01
= 100.000.
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Na data 0, o valor economizado e´
P
1− (1, 01)−240
0, 01
Levando-se este valor para a e´poca 240, obte´m-se
P
1− (1, 01)−240
0, 01
· (1, 01)240 = P (1, 01)
240 − 1
0, 01
= 494, 63P
Logo, devemos ter 494, 63P = 100.000 e o valor mensal a ser
economizado deve ser igual a R$ 202,17.
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Sistemas de amortizac¸a˜o
Ao se pagar em parcelas um de´bito, cada pagamento Pk tem
dupla finalidade:
uma parte (Jk) quita os juros devidos.
o restante (Ak) amortiza parte da d´ıvida;
Planilha de amortizac¸a˜o
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − D0
. . . . . . . . . . . . . . .
k − 1 Pk−1 Ak−1 Jk−1 Dk−1
k Pk Ak Jk Dk
. . . . . . . . . . . . . . .
Relac¸o˜es:
Pk = Jk + Ak
Jk = i · Dk−1
Dk = Dk−1 − Ak
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Sistema de Amortizac¸a˜o Constante (SAC)
No sistema de amortizac¸a˜o constante (SAC), a parcela de
amortizac¸a˜o Ak em cada pagamento e´ constante.
Em consequeˆncia:
Ak =
D0
n
,
Dk =
n − k
n
D0 ,
Jk = iDk−1,
Pk = Ak + Jk .
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Exemplo
Uma d´ıvida de 100 e´ paga, com juros de 15% ao meˆs, em 5
meses, pelo SAC. Fac¸a a planilha de amortizac¸a˜o.
Como as amortizac¸o˜es sa˜o iguais, cada amortizac¸a˜o sera´ de 15
da d´ıvida inicial.
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 100
1 35 20 15 80
2 32 20 12 60
3 29 20 9 40
4 26 20 6 20
5 23 20 3 −
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Sistema Franceˆs de Amortizac¸a˜o (Tabela Price)
O sistema franceˆs de amortizac¸a˜o e´ caracterizado por
pagamentos Pk iguais.
Em consequeˆncia:
Pk = D0
i
1− (1 + i)−n ,
Dk = D0
1− (1 + i)−(n−k)
1− (1 + i)−n ,
Jk = iDk−1
Ak = Pk − Jk .
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Exemplo
Uma d´ıvida de 150 e´ paga, em 4 meses, pelo sistema franceˆs,
com juros de 8% ao meˆs. Calcule o valor da prestac¸a˜o e fac¸a
a planilha de amortizac¸a˜o.
O valor da prestac¸a˜o e´
P = D0
i
1− (1 + n)−n = 150
0, 08
1− 1, 08−4 = 45, 29.
.
A planilha de amortizac¸a˜o e´:
k Pk Ak Jk Dk
0 − − − 150, 00
1 45, 29 33, 29 12, 00 116, 71
2 45, 29 35, 95 9, 34 80, 76
3 45, 29 38, 83 6, 46 41, 93
4 45, 29 41, 93 3, 35 0
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