matemática financeira

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Matemática Financeira
Sumário
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.3 A Fórmula das Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . 7
9.4 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 9
Unidade 9
Introdução
9.1 Introdução
Nesta unidade e na próxima, serão apresentados rudimentos de Matemática
Financeira, cuja inspiração vem da vida real. Esse conhecimento é fundamental
em sociedades de consumo, como a nossa, e deve fazer parte da bagagem
cultural de todo cidadão que nelas vive para que saiba defender minimamente
os seus interesses.
Quotidianamente, estamos frente a problemas práticos, tais como se deve-
mos ou não parcelar uma compra e, se for o caso, em quantas parcelas? Se
devemos ou não antecipar o pagamento de uma dívida, usando o décimo ter-
ceiro salário? Esses são desafios que, se resolvidos corretamente, nos auxiliam
a tomar decisões que podem proporcionar uma boa economia.
A ferramenta matemática básica que é utilizada nesse tipo de questões são
as progressões geométricas, bastando, para resolvê-las, modelar corretamente
cada problema.
O assunto principal de que tratamos é o cálculo de juros em diversas si-
tuações decorrentes da operação de empréstimo, seja em aplicações (quando
emprestamos), seja em compras a crédito (quando tomamos emprestado).
Esta unidade repousa sobre um resultado (teorema) fundamental que nos
diz como se transforma um capital inicial quando aplicado por um período de
tempo, sendo submetido a um regime de juros compostos.
9.2 Juros Compostos
Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemá-
tica Financeira. A operação básica da matemática financeira é a operação de
empréstimo.
Alguém que dispõe de um capital C (chamado de principal), empresta-o
a outrem por um certo período de tempo, e após esse período, recebe o seu
capital C e volta, acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa
remuneração é chamada de juro. A soma C+J é chamada de montante e será
representada por M . A razão i =
J
C
que é a taxa de crescimento do capital,
será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros.
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Unidade 9
Matemática Financeira
Exemplo 1
Lúcia tomou um empréstimo de R$ 100,00. Dois meses após, pagou R$
140,00. Os juros pagos por Lúcia são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de
40
100
= 0, 40 = 40% ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Lúcia,
é igual a R$ 100,00; o montante, que é a dívida na época do pagamento, é de
R$ 140,00.
Exemplo 2
Manuel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao mês.
Após um mês, a dívida de Manuel será acrescida de 0, 10 × 100 reais de juros
(pois J = iC), passando a 110 reais. Se Manuel e seu credor concordarem em
adiar a liquidação da dívida por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros,
o empréstimo será quitado, dois meses depois de contraído, por 121 reais, pois
os juros relativos ao segundo mês serão de 0, 10× 110 reais = 11 reais. Esses
juros assim calculados são chamados de juros compostos. Mais precisamente, no
regime de juros compostos, os juros em cada período são calculados, conforme
é natural, sobre a dívida do início desse período.
As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que
juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10%
ao mês dão em dois meses de juros de 21%.
Teorema 1
No regime de juros compostos de taxa i, um principal C0 transforma-se,
depois de n períodos de tempo, em um montante Cn = C0(1 + i)
n.
Demonstração
Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante i
e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão 1 + i.
Exemplo 3
Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o montante de
Pedro três meses depois?
Solução. C3 = C0(1 + i)
3 = 150(1 + 0, 12)3 = 210, 74 reais.
É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual
ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês,
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Unidade 9 Juros Compostos
é-me indiferente pagar agora R$ 100,00 ou pagar R$ 110,00 daqui a um mês.
é mais vantajoso pagar R$ 105,00 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00
agora. é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que pagar R$ 120,00 daqui
a um mês.
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar
quantias no tempo.
Outro modo de ler o Teorema 1, Cn = C0(1+ i)
n
, é que uma quantia, hoje
igual a C0, transformar-se-á, depois de n períodos de tempo, em uma quantia
igual a C0(1 + i)
n
. Isto é, uma quantia, cujo valor atual é A, equivalerá no
futuro, depois de n períodos de tempo, a F = A(1 + i)n.
Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter o valor
futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor atual, basta
dividir o futuro por (1 + i)n.
O exemplo a seguir é, pode-se dizer, um resumo de todos os problemas de
Matemática Financeira.
Exemplo 4
Pedro tomou um emprétimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois
meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro
liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?
Solução. Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo, 300 reais,
na data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após, mais um paga-
mento igual a P , na data 3.
Figura 9.1: Esquemas de pagamento
Igualando os valores, na mesma época (0, por exemplo), dos pagamentos nos
dois esquemas, obtemos
300 =
150
(1 + 0, 15)2
=
p
(1 + 0, 15)3
.
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Unidade 9
Matemática Financeira
daí, P = 283, 76. O último pagamento foi de R$ 283,76.
Exemplo 5
Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:
i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada;
ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o
dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?
Solução. Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de paga-
mentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os esquemas de pagamentos
são:
Figura 9.2: Esquemas de pagamento
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na
mesma época. Por exemplo, na época 2, temos,
a = 60(1 + 0, 02)2 + 160(1 + 0, 02) + 160 = 489, 66
b = 70(1 + 0, 02)2 + 70(1 + 0, 02) + 70 +
70
1 + 0, 02
+
70
(1 + 0, 02)2
+
70
(1 + 0, 02)3
+
70
(1 + 0, 02)4
= 480, 77.
Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações.
é um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem que o
primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$ 480,00 ao passo que no
segundo esquema o total pago é de R$ 490,00.
Para fixar, faremos mais alguns exemplos.
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Unidade 9 Juros Compostos
Exemplo 6
Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas pretações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um
mês após a compra.
iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no
ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?
Solução. Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas abaixo
Figura 9.3: Esquemas de pagamento
Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos:
a = 21
b =
15
1 + 0, 25
+
15
(1 + 0, 25)2
= 21.6
c = 10 +
10
1 + 0, 25
+
10
(1 + 0, 25)2
= 24, 4.
A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações.
Exemplo 7
Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo
paga no ato dacompra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
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Unidade 9
Matemática Financeira
Solução. Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de pagamentos
abaixo:
Figura 9.4: Esquemas de pagamento
Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas comparações
é chamada de data focal), obtemos 70 = 50 +
50
1 + i
. Daí, i = 1, 5 = 150%. A
loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo.
Exemplo 8
Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo você
dobrará o seu capital inicial?
Solução. Temos C0(1 + 0, 08)
n = 2C0. Daí,
1, 08n = 2 e n =
log 2
log 1, 08
∼= 9
Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital inicial.
9.3 A Fórmula das Taxas Equivalentes
Um importante resultado que já foi obtido na Unidade 6 e será repetido é a
Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente a um
determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativamente a n
períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i)n.
Exemplo 9
A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I tal que 1 + I =
(1 + 0, 12)12. Daí, I ∼= 2, 90 = 290% ao ano.
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Unidade 9
A Fórmula das Taxas Equivalentes
Um erro muito comum é achar que juros de 12% ao mês equivalem a juros
anuais de 12× 12% = 144% ao ano. Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano
são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre elas é igual à razão
dos períodos aos quais elas se referem.
Taxas proporcionais não são equivalentes. Um (péssimo) hábito em Ma-
temática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como se fossem equi-
valentes. Uma frase como �144% ao ano, com capitalização mensal� significa
que a taxa usada na operação não é a taxa de 144% anunciada e sim a taxa
mensal que lhe é proporcional.
Portanto, a tradução da expressão �144% ao ano, com capitalização mensal�
é �12% ao mês�. As pessoas menos educadas matematicamente podem pensar
que os juros sejam realmente de 144% ao ano, mas isso não é verdade. Como
vimos no Exemplo 9, os juros são de 290% ao ano.
A taxa de 144% ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de 290% ao
ano é chamada de taxa efetiva.
Exemplo 10
�24% ao ano com capitalização semestral� significa �12% ao semestre�; �1%
ao mês com capitalização trimestral� significa �3% ao trimestre� e �6% ao ano
com capitalização mensal� significa �0,5% ao mês�.
Exemplo 11
Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalização
mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de Verônica?
Solução. O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa i = 0, 5% ao mês.
A taxa anual equivalente a I tal que 1+I = (1+i)12. Daí, I = 0, 0617 = 6, 17%
ao ano. A taxa de 6% ao ano é nominal e a taxa de 6,17% ao ano é efetiva.
Exemplo 12
A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com capitali-
zação mensal é I tal que 1 + I = (1 + 0, 04)6. Daí, I = 26, 53% ao semestre.
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Unidade 9
Matemática Financeira
9.4 Exercícios Recomendados
1. Investindo R$ 450,00 você retira, após 3 meses, R$ 600,00. A que taxa
mensal de juros rendeu seu investimento?
2. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimes-
tre.
3. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12% ao trimestre.
4. Determine as taxas efetivas anuais equivalente a:
a) 30% ao ano, com capitalização mensal.
b) 30% ao ano, com capitalização trimestral.
c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano.
5. Qual o limite, quando k tende para infinito, da resposta ao item c) do
problema anterior? Neste caso diz-se que os juros estão sendo capitalizados
continuamente e i é chamado de taxa instantânea de juros.
6. Use a resposta do problema anterior para dar uma definição financeira do
número e.
7. Determine
a) a taxa efetiva trimestral equivalente a 12% ao trimestre com capitalização
contínua.
b) a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de 60%.
c) a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de 60%.
8. A Mesbla, em vários natais, ofereceu a seus clientes duas alternativas de
pagamento:
a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra.
b) pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato
da compra.
Se você fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opção?
9. O Foto Studio Sonora convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes
a liquidarem suas prestações mensais vincendas, oferecendo-lhes em troca um
desconto. O desconto seria dado aos que pagassem, de uma só vez, todas as
prestações a vencer em mais de 30 dias, e seria de 30%, 40% ou 50%, conforme
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Unidade 9
Exercícios Recomendados
fossem pagas uma, duas ou três prestações. Supondo que o dinheiro valia 27%
ao mês, a oferta era vantajosa?
10. Lúcia comprou um exaustor, pagando R$ 180,00, um mês após a compra
e R$ 200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de 25% sobre o saldo
devedor, qual é o preço à vista?
11. Uma geladeira custa R$ 1 000,00 à vista e pode ser paga em três prestações
mensais iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês sobre o saldo devedor,
determine o valor da prestação, supondo que a primeira prestação é paga:
a) no ato da compra;
b) um mês após a compra;
c) dois meses após a compra.
12. Ângela tomou um empréstimo de R$ 400,00, por dez meses. Os juros
foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mês durante
os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último mês. Calcule:
a) a taxa média de juros.
b) o montante pago.
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Referências Bibliográficas
[1] Carmo, Manfredo P.; Morgado, Augusto C., Wagner, Eduardo & Pitom-
beira, João Bosco. Trigonometria e Números Complexos. Rio de Janeiro:
SBM, Coleção Professor de Matemática.
[2] Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. New York:
Holt, Rinehart and Winston, 1964.
[3] Figueiredo, Djairo G. Análise I Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[4] Figueiredo, Djairo G. Números Irracionais e Transcedentes Rio de Janeiro:
SBM, Coleção Iniciação Científica.
[5] Halmos, Paul. Naive Set Theory. New York: Springer, 1974.
[6] Hefez, Abramo e Fernandez, Cecília de Souza. Introdução à Álgebra Linear.
Rio de Janeiro: SBM, Coleção PROFMAT, 2012.
[7] Fernandes, C. S. Hefez, A. Introdução à Álgebra Linear. SBM, Coleção
PROFMAT. 2
[8] Lima, Elon Lages. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: SBM, Coleção
Professor de Matemática.
[9] Lima, Elon Lages. Curso de Análise, Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, Projeto
Euclides, 1976.
[10] Lima, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de
Matemática.
[11] Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Rio
de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.
bibitemelon-analisereal Lima, Elon Lages. Análise Real, Vol. 1. Rio de Janeiro:
IMPA, Coleção Matemática Universitária.
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	Matemática Financeira
	Introdução
	Juros Compostos
	A Fórmula das Taxas Equivalentes
	Exercícios Recomendados
	Referências Bibliográficas