Calculo das Probabilidades I Prova 1

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Ca´lculo das Probabilidades I - Prova 1 - 2018/1
Prof. Hugo Carvalho
20/04/2018
Questa˜o 1: Uma ma˜o de 5 cartas e´ distribu´ıda de um baralho bem embaralhado. Qual e´ a probabilidade de que a
ma˜o tenha pelo menos uma carta de cada um dos quatro naipes?
Questa˜o 2: Em uma linha de produc¸a˜o, 30% dos produtos sa˜o produzidos com algum defeito. Se um produto e´
defeituoso, enta˜o existe uma probabilidade de 90% de que algum inspetor note isso e o remova da linha de produc¸a˜o;
se um produto na˜o e´ defeituoso, enta˜o existe uma probabilidade de 20% do inspetor removeˆ-lo erroneamente da linha
de produc¸a˜o.
a) Se um produto e´ removido da linha de produc¸a˜o, qual e´ a probabilidade de que ele seja defeituoso?
b) Se um consumidor compra um produto, qual e´ a probabilidade de que ele seja defeituoso?
c) Calcule a probabilidade de um produto ser removido da linha de produc¸a˜o.
Questa˜o 3: Considere a tubulac¸a˜o hidra´ulica desenhada no quadro. A probabilidade da torneira i estar aberta e´
igual a pi, para i = 1, . . . , 5. Assuma que as torneiras sa˜o abertas ou fechadas de modo independente. Note que so´
pode haver fluxo de de a´gua do ponto A para o ponto B se as torneiras estiverem em determinadas configurac¸o˜es
adequadas. Qual e´ a probabilidade de que haja um fluxo de a´gua do ponto A para o ponto B?
Questa˜o 4: Na tubulac¸a˜o hidra´ulica da questa˜o acima, assuma que as torneiras esta˜o configuradas de modo que haja
passagem de a´gua do ponto A para o ponto B. Nesse caso, a vaza˜o de a´gua e´ uma varia´vel aleato´ria X, que pode
assumir os valores de 1 `/s, 5 `/s, 7 `/s e 10 `/s, com respectivas probabilidades de 0,2, 0,6, 0,1 e 0,1. Fac¸a o que se
pede abaixo:
a) Esboce a func¸a˜o de probabilidade acumulada dessa varia´vel aleato´ria.
b) Qual a vaza˜o me´dia do fluxo de A para B?
c) Qual o desvio padra˜o da vaza˜o do fluxo de A para B?
Questa˜o 5: Fac¸a o que se pede abaixo:
a) Mostre que
P(B|A)
P(C|A) =
P(B)
P(C)
P(A|B)
P(A|C) .
b) Explique tal resultado intuitivamente.
c) Suponha que, antes que uma nova evideˆncia seja observada, a hipo´tese B tenha treˆs vezes mais probabilidade
de ser verdadeira do que a hipo´tese C. Se a nova evideˆncia e´ duas vezes mais prova´vel quando C e´ verdade do
que quando B e´ verdade, qual hipo´tese e´ mais prova´vel apo´s a observac¸a˜o da nova evideˆncia?