Capitalização composta

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Capitalização composta
Cleia Denise Santos Ciscato
Introdução
Você já ouviu falar de capitalização composta? Sabe dizer qual é o regime de capitalização 
mais utilizado no Brasil? Então fique atento, pois, nesta aula, estudaremos algumas aplicações de 
juros compostos.
Objetivos da aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como calcular a capitalização composta;
 • identificar os tipos de juros empregados em uma operação: simples ou composto, bem 
como resolver problemas de capitalização.
1 Capitalização composta
Diferente da capitalização simples, na capitalização composta, a incidência de juros ocorre de 
forma cumulativa (BRUNI; FAMÁ, 2009). Nesta modalidade de capitalização, o juro incidirá sobre 
o montante de capital e os juros acumulados no final do período anterior. Por período, podemos 
entender dia, semana, quinzena, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre ou ano.
Figura 1 – Dinheiro, calculadoras e planilhas
Fonte: Have a nice day Photo/Shutterstock.com
EXEMPLO
Imagine que uma pessoa queira realizar um empréstimo no banco no valor de 
R$10.000,00, por 4 meses, com pagamento no final deste período e com juros com-
postos de 15% a.m. Nesse empréstimo, os juros de cada período (mês) incidirão 
sempre sobre o montante de capital + juros do final do período anterior. Ao final dos 
quatro meses, quando o capital e os juros forem pagos em uma única parcela, o 
total será de R$17.490,06, composto pelo valor emprestado de R$10.000,00 mais 
R$7.490,06 de juros. Se a capitalização fosse simples, o total acumulado seria de 
R$16.000,00, ou seja, inferior em termos de custo ou adicional financeiro da capi-
talização composta.
Estudaremos, a partir de agora, algumas aplicações da capitalização com juros compostos. 
Acompanhe!
2 O mecanismo da capitalização composta
Considere os seguintes elementos de cálculo:
VP = Valor Presente
VF = Valor Futuro
J= Valor do Juro
i = Taxa de juros
n = Tempo
A taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado, o que significa um montante de 
capital original acrescido de juros acumulados até o início do período considerado. As taxas de 
juros compostas são utilizadas para aplicações financeiras, descontos de títulos, remuneração 
de saldos devedores de cartões de crédito, financiamentos de curto ou longo prazo, definição de 
taxas mínimas de descontos exigidas em investimentos etc. (SOUZA; CLEMENTE, 2015).
O dinheiro deve ser considerado no tempo com determinada remuneração para o período em 
que ele é investido, aplicado ou emprestado. Para melhor compreender os elementos disponíveis, 
confira a utilização do diagrama do dinheiro no tempo, conforme a Figura 2.
Figura 2 - Diagrama do dinheiro no tempo
10.000
VF4 = ?
Meses
0 1 2 3 4
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
FIQUE ATENTO!
Os documentos ou contratos referentes a empréstimos ou aplicações devem con-
ter, em seu teor, o tipo de capitalização utilizada e a exemplificação do cálculo, para 
permitir o conhecimento do tempo, da taxa de juros e do tipo de juros aplicado 
(simples ou composto).
Quando um determinado capital VP é aplicado a uma taxa de juro i durante n períodos de 
tempo, com o objetivo de se obter o valor de resgate VF, na capitalização com juros compostos, a 
fórmula é assim demonstrada:
VF = VP (1+ i)n
O capital ou valor presente (VP) é aplicado no momento “0” e pretende-se saber o valor de 
resgate após 12 meses de aplicação com remuneração por juros compostos de 5% ao mês. Neste 
caso, o juro é sempre calculado sobre a soma do capital mais os juros já calculados no período 
anterior. O juro será utilizado no formato unitário, ou seja, a taxa de 5% será dividida por 100, resul-
tando em 0,05. O valor futuro (VF) será obtido com a aplicação da fórmula:
VF = VP (1+ i) n
VF= 10.000 (1+ 0,05)12
VF= 10.000 (1,05) 12
VF= 10.000 (1,79585632)
VF= 17.958,56
A Tabela 1 demonstra a capitalização do valor investido mês a mês até o valor futuro final.
Taxa e Juros = 15% a.m.
Tabela1 – Capitalização composta
Período Juro Juro acumulado Montante
0     10.000,00 
1 500,00 500,00 10.500,00 
2 525,00 1.025,00 11.025,00 
3 551,25 1.576,25 11.576,25 
4 578,81 2.155,06 12.155,06 
5 607,75 2.762,82 12.762,82 
6 638,14 3.400,96 13.400,96 
7 670,05 4.071,00 14.071,00 
8 703,55 4.774,55 14.774,55 
9 738,73 5.513,28 15.513,28 
10 775,66 6.288,95 16.288,95 
11 814,45 7.103,39 17.103,39 
12 855,17 7.958,56 17.958,56 
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
SAIBA MAIS!
Observe, na tabela abaixo, que o valor dos juros acumulados a cada mês da 
capitalização de uma aplicação de R$10.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, 
considerando a utilização de juro simples e juro composto, apresenta um 
crescimento periódico no caso da capitalização composta.
Período VF do Juro Composto
VF do Juro 
Simples
0 10.000,00 
1 500,00 500,00 
2 1.025,00 1.000,00 
3 1.576,25 1.500,00 
4 2.155,06 2.000,00 
5 2.762,82 2.500,00 
6 3.400,96 3.000,00 
7 4.071,00 3.500,00 
8 4.774,55 4.000,00 
9 5.513,28 4.500,00 
10 6.288,95 5.000,00 
11 7.103,39 5.500,00 
12 7.958,56 6.000,00 
Fonte: elaborada pela autora, 2017. 
Vejamos agora as fórmulas pertinentes ao regime de capitalização composto. 
3 Fórmulas para obtenção de elementos da 
capitalização composta
Para obtenção de elementos da capitalização com juros compostos, a fórmula básica apre-
sentada pode ser modifi cada para que se obtenha qualquer dos quatro elementos (VP, VF, i, n) 
desde que sejam conhecidos três dos elementos, conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3 – Fórmulas da capitalização composta
1
–1 –1 –1 –1 –1 –1= == == =–1 –1= =–1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1
 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
 
 
 
 –1 –1 –1 –1
 
–1 –1 –1 –1
n
n= =n= =
VF VF–1 –1VF VF–1 –1 VF VF –1 –1 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1i
VP VP VP VP    VP VP   
log
log(1 )
 
  
 
 
 
 
 
 
 
=
log(1 )+log(1 )
 VF  
 
 VF 
 
 
 VP    VP   n
log(1 )ilog(1 )
Fonte: BRUNI; FAMÁ, 2009, p. 186.
FIQUE ATENTO!
Ao calcularmos a capitalização com juros compostos, é necessário adequar o tem-
po da operação fi nanceira à taxa. Se a taxa estiver expressa em meses, o tempo 
deverá estar expresso em meses também. O mesmo ocorre com a taxa expressa 
em dias, quinzena, bimestre, trimestre, quadrimestre ou ano. Se você precisar optar 
sobre a modifi cação do tempo ou taxa, escolha modifi car o tempo.
Agora, vamos aplicar a fórmula para conhecer o valor presente (VP)!
Queremos saber o valor que deverá ser aplicado hoje, em determinado banco, para realizar 
a troca de um veículo ao fi nal de um ano. O juro composto do banco escolhido é de 1,2% a.m., e o 
montante necessário para a troca do veículo (capital + juros) é de R$ 20.000,00.
A taxa está expressa em meses e o tempo da aplicação está expresso em anos. Então, modi-
fi ca-se o tempo, transformando 1 ano em 12 meses e, desta forma, teremos taxa e tempo na 
mesma base de cálculo. Os elementos de cálculo que conhecemos são:
VF = 40.000,00
i = 1,2% a.m.
n = 12
VP = ?
Aplicando a fórmula para encontrar o VP, obtemos:
VP = 
 VF 
 (1+ i)n 
VP = 
 40.000 
 (1+0,012)12 
VP = 
 40.000 
 1,15389462 
VP = R$ 34.665,21
Uma vez que aplicamos a fórmula para obter o valor presente, veremos o cálculo para obter o 
valor futuro (VF). Suponhamos que queremos saber qual valor futuro será gerado numa aplicação 
financeira feita em um banco, no valor de R$ 1.000,00, por 12 meses, à taxa de juros compostos 
de 1% a.m. Assim, aplicamos a fórmula para obter o montante eos juros gerados na aplicação:
VP = 1.000,00
i = 1% a.m.
n = 12 meses
VF = ?
J = ?
VF = VP (1 + i )n
VF = 1.000 (1 + 0,01 )12
VF = 1.000 (1,01 )12
VF = 1.000 × 1,12682503 = 1.126,83
J = 1.126,83 − 1.000 = 126,83.
As fórmulas são utilizadas conforme o elemento faltante, ou seja, o que se busca conhecer. 
Lembre-se de que, para o cálculo, o tempo e a taxa devem estar na mesma base. 
EXEMPLO
O tesoureiro da empresa precisa atrasar o pagamento de uma fatura de 
R$100.000,00, por 90 dias corridos (3 meses). O fornecedor lhe cobrará pelo atraso 
um juro mensal composto 3,5% a.m. Porém, para que ele possa obter aprovação de 
sua gerência para postergar a fatura, precisa informar qual é o montante que será 
pago ao final dos 90 dias, assim como o total de juros. Calculando, teremos: 
VP = 100.000,00
i = 3,5% a.m.
n = 3 meses
VF = ?
J = ?
VF = VP (1 + i )n
VF = 100000 (1 + 0,035 )3
VF = 100000 (1,035 )3
VF = 100000 × 1,10871787 = 110.871,78
J = 110.871,78 – 100.000 = 10.871,78
SAIBA MAIS!
A incidência de juros compostos pode ser bastante prejudicial no caso de dívidas, 
uma vez que ocorre a cobrança de juros sobre os juros já calculados, porém não 
liquidados. Os juros brasileiros tem como base a taxa Selic, que é a taxa básica de 
juros defi nida pelo COPOM (Comitê de Política Monetária). Acesse o link e confi ra 
matéria sobre a redução da taxa básica. <http://g1.globo.com/economia/noticia/
analistas-do-mercado-baixam-estimativa-de-infl acao-para-2017.ghtml>.
Agora, vamos aplicar a fórmula para conhecer a taxa de juros (i).
Vamos considerar que uma pessoa realizou uma aplicação fi nanceira em seu banco, no valor 
de R$ 15.000,00, durante 6 meses. O gerente informou que a taxa de juro composto é fi xa e que 
seu cliente resgatará o valor total de R$ 15.922,80. Para saber qual a taxa desta aplicação fi nan-
ceira, utilizamos a seguinte fórmula:
VP = 15.000,00
VF = 15.922,80
n = 6 meses
i =?
1
–1 –1 –1 –1 –1 –1= == == =–1 –1= =–1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1–1 –1
 –1 –1 –1 –1
 –1 –1
 
–1 –1
 
–1 –1 
 
 –1 –1 –1 –1
 
–1 –1 –1 –1
n
n= =n= =
VF VF–1 –1VF VF–1 –1 VF VF –1 –1 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1VF VF–1 –1 –1 –1 –1 –1
 –1 –1i
VP VP VP VP    VP VP   
i = 
1
6
–1 15.922,80 15.922,80  
 
 
 15.922,80 15.922,80
 
15.922,80 15.922,80
 15.000 15.000
 
 
 15.000 15.000 15.000
 15.000
i = (1,061520)0,166666666 – 1
i = 1,00999999999 – 1 
i =0,999999 (x 100) = 1% ao mês.
FIQUE ATENTO!
No caso do cartão de crédito, se o devedor pagar o total a cada vencimento, ocorre 
incidência dos juros compostos sobre os valores de seus gastos com o cartão, os 
quais serão adicionados aos juros não pagos e acumulados. Como os juros men-
sais médios brasileiros no ano de 2016 indicavam uma taxa mensal em torno de 
15,28% a.m., este juro capitalizado para o ano atinge o total anual de 451% a.a. Se 
o devedor não realiza o pagamento mensal, deixando acumular sua dívida de prin-
cipal mais juro mensal por um ano, os juros mensais 15,28% a.m. se transformarão 
em um juro anual de 451% a.a. Sea dívida for de R$100,00, em um ano, o devedor 
do cartão deverá pagar R$451,00 de juros, totalizando R$551,00.
Agora, vamos considerar que não sabemos o tempo que o capital de R$ 15.000,00 levará para 
produzir um montante de R$ 15.922,80, se aplicado com juros compostos fi xos de 1% ao mês. 
Temos os seguintes elementos para cálculo, utilizando a fórmula:
VP = 15.000,00
VF = 15.922,80
i = 1% a.m.
n = ?
log
log(1 )
 
  
 
 
 
 
 
 
 
=
log(1 )+log(1 )
 VF  
 
 VF 
 
 
 VP    VP   n
log(1 )ilog(1 )
log
log 1,01
 15.922,80 15.922,80
  
 
 
 15.922,80 15.922,80
 
15.922,80 15.922,80
 15.000 15.000
 
 
 15.000 15.000 15.000
 15.000=n
0,05970184
0,00995033
=n
n = 6
Assim, solucionamos os exercícios de capitalização composta obtendo os elementos não 
conhecidos em cada caso, como VP, VF, i ou n. Tenha sempre em mente a diferença da aplicação 
do juro simples e juro composto, e como o juro composto aumenta mais o capital investido ou 
emprestado. 
Fechamento
Ao longo deste conteúdo, compreendemos a utilização dos juros compostos na capitaliza-
ção de um determinado valor aplicado ou emprestado. 
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender como são feitos os cálculos usando o regime de capitalização composta;
 • conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização composta.
Referências
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 5 ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
LIS, Laís. Após decisão do Copom, mercado prevê juro de 1 dígito ao final de 2017. G1, 2017. 
Disponível em: <http://g1.globo.com/economia/noticia/analistas-do-mercado-baixam-estimativa-
de-inflacao-para-2017.ghtml>. Acesso em: 19 jan. 2017.
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
SOUZA, Alceu; CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. 6 ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.