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Matemática Discreta – if670
Centro de Informática / UFPE
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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Informática
Anjolina Grisi de Oliveira
Teoria dos Grafos 
Matemática Discreta – if670
Centro de Informática / UFPE
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Relações
O que é uma relação em um conjunto?
Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S
 Em outras palavras, é um subconjunto de S  S
O que é uma relação reflexiva?
 - Uma relação R em um conjunto S é chamada de reflexiva se (s,s)  S para todo elemento s  S.
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Relações
O que é uma relação simétrica?
Uma relação R em um conjunto S é chamada simétrica se (b,a)  R toda vez que (a,b)  R, para a,b  S.
Em outras palavras: Se (a,b)  R → (b,a)  R.
O que é uma relação anti-simétrica?
	 - Uma relação R em um conjunto S é chamada anti-simétrica se quando (a,b)  R e (b,a)  R então a = b, para a,b  S.
	 - Se (a,b)  R Λ (b,a)  R → a = b.
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Relações
O que é uma relação transitiva?
Uma relação R em um conjunto S é chamada transitiva se toda vez que (a,b)  R e (b,c)  R, então (a,c)  R, para a,b,c  S.
Se (a,b)  R Λ (b,c)  R → (a,c)  R.
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Exemplos
Defina uma relação no conjunto {1,2,3,4} que seja:
	a) reflexiva, simétrica e não seja transitiva.
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)}
	b) simétrica, transitiva, e não reflexiva
	R={(1,1)}
	c) reflexiva, anti-simétrica e não transitiva.
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)}
	d) reflexiva, simétrica e transitiva
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	e) reflexiva, anti-simétrica e transitiva
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
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Relações
Explique como uma matriz de bits pode ser usada para representar uma relação em um conjunto finito S.
Liste os elementos de S em uma ordem arbitrária: {s1,s2,...,sn}
 A relação R pode ser representada pela matriz MR = [mij] onde:
[mij] = 1, se (si,sj)  R
[mij] = 0, se (si,sj)  R
S={1,2,3} e R={(1,2),(2,2),(3,1)}
Ordem: {1,2,3}
0	1	0
0	1	0
1	0	0
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Relações
Explique como uma matriz de bits que representa uma relação em um conjunto finito S pode ser usada para determinar se a relação é reflexiva, simétrica, e anti-simétrica.
Reflexiva: se todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1
Simétrica: se a matriz for igual a sua transposta
Anti-simétrica: para i  j, se [mij] = 1 então [mji] = 0. Ou em outras palavras, quando i  j, ou [mij] = 0 ou [mji] = 0 
1	1	0
0	1	0
1	0	1
Reflexiva e anti-simétrica
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Relações de Equivalência
O que é uma relação de equivalência em um conjunto?
É uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva
Que relações no conjunto {a,b,c,d} são relações de equivalência e contêm os pares (a,b) e (b,d) ?
R1={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)}
R2={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)(a,c),(c,a),(b,c),(d,c),(c,b),(c,d),}
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Relações de Equivalência
O que acontece com um conjunto onde é definida uma relação de equivalência ?
É criada uma partição no conjunto
Dê um exemplo de uma relação de equivalência em um conjunto e identifique o conceito de classes de equivalência, relacionando-o com a noção de partição.
 Seja S o conjunto dos inteiros positivos
 R = { (x,y) | x  y (mod 4) }
 Existem quatro classes de equivalência: quando o resto da divisão for 0, 1, 2 ou 3
 Cada classe de equivalência é um subconjunto da partição de S.
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Ordens Parciais
O que é uma ordem parcial
É uma relação em um conjunto que tem as seguintes propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva
Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial.
 Reflexiva: z  Z+, z|z
 Anti-simétrica: Sejam, a,b,m e n  Z+, se a|b e b|a → a.m = b e b.n = a → a.m.n = a → m=n=1 → a=b
 Transitiva: Sejam, a,b,c,m e n  Z+, se a|b e b|c → a.m = b e b.n = c → a.m.n = c → a|c, pois a operação de multiplicação é fechada em Z+. 
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Ordens Parciais
O que é conjunto parcialmente ordenado? 
É um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S,R)
 Também chamamos de poset (do inglês: partially ordered set)
 Usamos a notação (S,) para falarmos de um poset arbitrário
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Por quê o nome ordem parcial?
Em (P(Z),), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa 
Em (Z+,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice-versa 
Os elementos a e b em um poset (S,) são chamados de comparáveis se ou a  b ou b  a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis.
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Se (S,) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e  é chamada de ordem total ou linear. 
Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia
O poset (Z,  ) é uma cadeia
O poset (Z+,|) não é totalmente ordenado 
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Ordem Lexicográfica
As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto.
Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas. 
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Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,1) e (B, 2)
A ordem lexicográfica  em A  B é definida da seguinte forma: 
(a1,b1)  (a2,b2) se 
				ou a1 <1 a2
				ou a1 = a2 e b1 <2 b2
A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A  B 
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Exemplo
Seja o poset (ZZ, ), onde  é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual  no conjunto dos inteiros. Determine se
(3,5) < (4,8); (3,9)<(3,10); (6,8) < (6,9) 
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 Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets:
 (A1, 1), (A2, 2)...,(An, n).
 Defina a ordem parcial em A1A2...An por:
 (a1,a2,...,an) < (b1,b2,...,bn) 
 Se a1<1b1ou se existe um inteiro i>0 t.q. 
 a1=b1...ai=bi e ai+1<i+1 bi+1.
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Ordem lexicográfica de cadeias
Considere as cadeias distintas a1a2...am e b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S;
Seja t o menor dentre m e n
a1a2...am < b1b2...bn se e somente se 
(a1,a2...,at ) < (b1,b2...,bt ) ou
(a1,a2...,at) = (b1,b2...,bt) e m<n 
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Exemplo
Suponha que (S,1) e (T, 2) são conjuntos parcialmente ordenados. Mostre que (S  T, ) é um conjunto parcialmente ordenado onde (s,t)  (u,v) se e somente se s 1 u e t 2 v.
 Reflexiva: (s,t)  S  T, (s,t)  (s,t) pois s 1 s e t 2 t
 Anti-simétrica: se ((s,t),(u,v))   e ((u,v),(s,t))   → s 1 u , t 2 v, u 1 s e v 2 t → s = u e t = v → (s,t) = (u,v)
 Transitiva: se ((s,t),(u,v))   e ((u,v),(w,z))   → s 1 u , t 2 v, u 1 w e v 2 z → s 1 w e t 2 z → ((s,t),(w,z))  
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Diagrama de Hasse
Desenhe o diagrama de Hasse para ({2,3,5,9,12,15,18},|)
2
3
5
9
18
15
12
Elementos maximais?
Elementos minimais ?
Menor elemento?
Maior elemento?
12,15 e 18
2,3,5
Não
Não
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Elementos Maximais e Minimais
2
5
25
4
20
12
10
 Seja um poset (S,).
 O elemento a é maximal nesse poset se não existe b  S de forma que a < b.
 O elemento a é minimal nesse poset se não existe b  S de forma que b < a.
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Maior elemento/ Menor elemento
 a é o maior elemento no poset (S, ) se b  a para todo b  S 
a é o menor elemento no poset (S, ) se a  b para todo b  S
Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos
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Limitante superior/inferior
Seja A um subconjunto do poset (S, ).
Se u  S e a  u para todo a  A, então u é chamado de limitante superior de A.
Se i  S e i  a para todo a  A, então i é chamado de limitante inferior de A.
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Limitante superior/inferior
 Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a,b,c}, {j.h} e {a,c,d,f} do seguinte poset.
a
b
g
d
c
e
f
j
h
 De {a,b,c}: sup= {e,f,h,j}; inf={a}
 De {j,h}: sup=; inf={f,d,e,b,c,a}
 De {a,c,d,f}: sup={f,j,h}; inf={a}
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Supremo e ínfimo
Supremo: o menor dos limitantes superiores
Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores
Quando existem são únicos
Qual o supremo e o ínfimo de {b,d,g} do poset do exemplo anterior?
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Reticulados
Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado
a
b
c
d
e
f
O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles.
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