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Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matema´tica Departamento de Me´todos Matema´ticos 1a Lista de Ca´lculo II - MAA 1. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Caso convirja, encontre o seu limite. (a) { n+1 3n−1 } (b) { 2n 1+ √ n } (c) {cos( 2 n )} (d) {cos(n 2 )} (e) {n2e−n} (f) { sen (2n) 1+ √ n } (g) { en+e−n e2n−1 } (h) {√n−√n2 − 1} 2. Seja an = 2n 3n+1 . Determine se {an} e´ uma sequeˆncia convergente; determine se ∑∞ n=1 an e´ uma se´rie convergente. 3. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Caso convirja, calcule sua soma. (a) 3 + 2 + 4 3 + 8 9 + ... (b) −2 + 5 2 − 25 8 + 125 32 + ... (c) ∑∞ n=1 ( en+4n−1 3n−1 ) 4. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge e calcule a soma da se´rie para estes valores de x. (a) ∑∞ n=1 (x+3)n 2n (b) ∑∞ n=0 cosn x 2n 5. Utilize o me´todo de frac¸o˜es parciais para achar uma expressa˜o conveniente para an, em cada ∑∞ n=1 an abaixo. Utilize esta expressa˜o para achar a soma parcial dos n primeiros termos sn e conclua obtendo a soma da se´rie. (a) ∑∞ n=1 1 (4n+1)(4n−3) (b) ∑∞ n=1 n2+3n+1 (n2+n)2 6. Considere a se´rie ∑∞ n=2 an, com soma parcial sn = n−1 n+1 , para n ≥ 2. Encontre ∑∞n=2 an e encontre an. 7. Seja ∑∞ n=1 uma se´rie convergente, com an 6= 0, para cada n ∈ IN. Mostre que ∑∞ n=1( 1 an ) e´ uma se´rie divergente. 8. Determine o valor de c ∈ IR de modo que ∑∞n=2 1(1+c)n = 2. 9. Uma certa bola tem a propriedade de, a cada vez que ela cai, direto na vertical a partir de uma altura h, em uma superf´ıcie dura e nivelada, ela volta, tambe´m direto na vertical, ate´ uma altura h/2. Suponha que a bola seja derrubada de uma altura inicial 5 metros. Assumindo que a bola continua a pular indefinidamente, determine a distaˆncia total que a bola percorre, isto e´, o comprimento da trajeto´ria da bola. 10. Um triaˆngulo ABC0 retaˆngulo tem o aˆngulo reto no ve´rtice C0, um aˆngulo de θ graus no ve´rtice A, 0 < θ < 90 e o lado AC0 medindo b metros. Suponha que o cateto BC0 fique na horizontal e o cateto AC0 na vertical. Seja C1 o ponto onde a reta que passa pelo ve´rtice C0 e e´ perpendicular a` hipotenusa AB intercepta o lado AB. Seja C2 o ponto onde a reta que passa por C1 e e´ perpendicular ao lado BC0 intercepta o lado BC0. Seja C3 o ponto onde a reta que passa por C2 e e´ perpendicular ao lado AB intercepta o lado AB e assim, sucessivamente. Determine o comprimento dos segmentos de reta C0C1+C1C2+C2C3+ ... em func¸a˜o de b e de θ. 11. Determine se as se´ries sa˜o absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes. (a) ∑∞ n=1 (−1)n√n 1+2 √ n (b) ∑∞ n=1 (−10)n n! (c) ∑∞ n=1 (−1)n 3n+1 (d) ∑∞ n=1 (−1)n n4+1 (e) ∑∞ n=1(−1)n ( 2n2+1 n2+1 )n (f) ∑∞ n=1 ne −n (g) ∑∞ n=1 n! nn (h) ∑∞ n=1 (−1)n (arctg n)n (i) ∑∞ n=2 1 n ln(n) (j) ∑∞ n=1 1+ sen (n) 10n 12. Determine se a afirmativa e´ verdadeira(V) ou falsa(F). Se for (V), justifique porque, se for (F), justifique ou deˆ contra-exemplo: (a) Se limn→∞ an = 0, enta˜o ∑ an converge. (b) Se limn→∞ an = L, enta˜o limn→∞ a2n+1 = L. (c) Se ∑ cn6 n converge, enta˜o ∑ cn(−6)n converge. (d) O Teste da Raza˜o pode ser usado para determinar se ∑ 1 n3 converge. (e) Se 0 ≤ an ≤ bn para cada n e ∑ bn diverge, enta˜o ∑ an diverge. (f) Se as sequeˆncias {an} e {bn} divergem, enta˜o {an + bn} diverge. (g) Se as sequeˆncias {an} e {bn} divergem, enta˜o {an.bn} diverge. 13. Determine se cada se´rie e´ a.c., c.c. ou divergente: (a) ∑ n n3+1 (b) ∑ n3 5n (c) ∑ (−1)n√ n+1 (d) ∑ Ln ( n 3n+1 ) (e) ∑ (−5)2n n29n (f) ∑ √n+1−√n−1 n (g) ∑ (−1)n−1 n1/3 (h) ∑ (−1)n(n+1)3n 22n+1 (i) ∑ (−1)n√n Ln n 14. Mostre que, se ∑ an e´ a.c., enta˜o ∑( n+1 n ) an e´ a.c.
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