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Lista 1 calculo2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
1a Lista de Ca´lculo II - MAA
1. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Caso convirja, encontre o seu limite.
(a)
{
n+1
3n−1
}
(b)
{
2n
1+
√
n
}
(c) {cos( 2
n
)}
(d) {cos(n
2
)}
(e) {n2e−n}
(f)
{
sen (2n)
1+
√
n
}
(g)
{
en+e−n
e2n−1
}
(h) {√n−√n2 − 1}
2. Seja an =
2n
3n+1
. Determine se {an} e´ uma sequeˆncia convergente; determine se
∑∞
n=1 an e´
uma se´rie convergente.
3. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Caso convirja, calcule sua soma.
(a) 3 + 2 + 4
3
+ 8
9
+ ...
(b) −2 + 5
2
− 25
8
+ 125
32
+ ...
(c)
∑∞
n=1
(
en+4n−1
3n−1
)
4. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge e calcule a soma da se´rie para estes
valores de x.
(a)
∑∞
n=1
(x+3)n
2n
(b)
∑∞
n=0
cosn x
2n
5. Utilize o me´todo de frac¸o˜es parciais para achar uma expressa˜o conveniente para an, em
cada
∑∞
n=1 an abaixo. Utilize esta expressa˜o para achar a soma parcial dos n primeiros
termos sn e conclua obtendo a soma da se´rie.
(a)
∑∞
n=1
1
(4n+1)(4n−3)
(b)
∑∞
n=1
n2+3n+1
(n2+n)2
6. Considere a se´rie
∑∞
n=2 an, com soma parcial sn =
n−1
n+1
, para n ≥ 2. Encontre ∑∞n=2 an e
encontre an.
7. Seja
∑∞
n=1 uma se´rie convergente, com an 6= 0, para cada n ∈ IN. Mostre que
∑∞
n=1(
1
an
) e´
uma se´rie divergente.
8. Determine o valor de c ∈ IR de modo que ∑∞n=2 1(1+c)n = 2.
9. Uma certa bola tem a propriedade de, a cada vez que ela cai, direto na vertical a partir
de uma altura h, em uma superf´ıcie dura e nivelada, ela volta, tambe´m direto na vertical,
ate´ uma altura h/2. Suponha que a bola seja derrubada de uma altura inicial 5 metros.
Assumindo que a bola continua a pular indefinidamente, determine a distaˆncia total que
a bola percorre, isto e´, o comprimento da trajeto´ria da bola.
10. Um triaˆngulo ABC0 retaˆngulo tem o aˆngulo reto no ve´rtice C0, um aˆngulo de θ graus no
ve´rtice A, 0 < θ < 90 e o lado AC0 medindo b metros. Suponha que o cateto BC0 fique na
horizontal e o cateto AC0 na vertical. Seja C1 o ponto onde a reta que passa pelo ve´rtice
C0 e e´ perpendicular a` hipotenusa AB intercepta o lado AB. Seja C2 o ponto onde a reta
que passa por C1 e e´ perpendicular ao lado BC0 intercepta o lado BC0. Seja C3 o ponto
onde a reta que passa por C2 e e´ perpendicular ao lado AB intercepta o lado AB e assim,
sucessivamente. Determine o comprimento dos segmentos de reta C0C1+C1C2+C2C3+ ...
em func¸a˜o de b e de θ.
11. Determine se as se´ries sa˜o absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou
divergentes.
(a)
∑∞
n=1
(−1)n√n
1+2
√
n
(b)
∑∞
n=1
(−10)n
n!
(c)
∑∞
n=1
(−1)n
3n+1
(d)
∑∞
n=1
(−1)n
n4+1
(e)
∑∞
n=1(−1)n
(
2n2+1
n2+1
)n
(f)
∑∞
n=1 ne
−n
(g)
∑∞
n=1
n!
nn
(h)
∑∞
n=1
(−1)n
(arctg n)n
(i)
∑∞
n=2
1
n ln(n)
(j)
∑∞
n=1
1+ sen (n)
10n
12. Determine se a afirmativa e´ verdadeira(V) ou falsa(F). Se for (V), justifique porque, se for
(F), justifique ou deˆ contra-exemplo:
(a) Se limn→∞ an = 0, enta˜o
∑
an converge.
(b) Se limn→∞ an = L, enta˜o limn→∞ a2n+1 = L.
(c) Se
∑
cn6
n converge, enta˜o
∑
cn(−6)n converge.
(d) O Teste da Raza˜o pode ser usado para determinar se
∑
1
n3
converge.
(e) Se 0 ≤ an ≤ bn para cada n e
∑
bn diverge, enta˜o
∑
an diverge.
(f) Se as sequeˆncias {an} e {bn} divergem, enta˜o {an + bn} diverge.
(g) Se as sequeˆncias {an} e {bn} divergem, enta˜o {an.bn} diverge.
13. Determine se cada se´rie e´ a.c., c.c. ou divergente:
(a)
∑
n
n3+1
(b)
∑
n3
5n
(c)
∑ (−1)n√
n+1
(d)
∑
Ln
(
n
3n+1
)
(e)
∑ (−5)2n
n29n
(f)
∑ √n+1−√n−1
n
(g)
∑ (−1)n−1
n1/3
(h)
∑ (−1)n(n+1)3n
22n+1
(i)
∑ (−1)n√n
Ln n
14. Mostre que, se
∑
an e´ a.c., enta˜o
∑(
n+1
n
)
an e´ a.c.