Cálculo 1 UFPE - PROVA 3A UNIDADE - 2018.1 (RESOLVIDA)

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CA´LCULO 1: GABARITO TERCEIRA PROVA
PERI´ODO: 2018.1
Questa˜o 1:
a) Fazendo u = 1+lnx, temos que du = dxx . Tambe´m, x = 1⇒ u = 1 e x = 4⇒ u = 1+ln4.
∫ 4
1
√
1 + lnx
x
dx =
∫ 1+ln4
1
u1/2du =
2
3
u3/2
∣∣∣∣1+ln4
1
=
2
3
(√
(1 + ln 4)3 − 1)
b) Usaremos integrac¸a˜o por partes com f = lnx, f ′ = 1x e g
′ = 1
x2
, g = − 1x . Temos
∫ 2
1
lnx
x2
dx = − lnx
x
∣∣∣∣2
1
+
∫ 2
1
1
x2
dx =
1
2
− ln2
2
Questa˜o 2:
a) Fazendo
x
2
= secu, temos dx = 2 secu tanudu
∫
1
x2
√
x2 − 4dx =
1
2
∫
1
x2
√
x2
4 − 1
dx =
∫
1
4 sec2 u
√
sec2 u− 1 secu tanudu
=
1
4
∫
1
secu
du =
1
4
∫
cosu du =
1
4
sen u+ c =
1
4
sen u+ c.
Para voltar a` varia´vel x notamos que cosu =
2
x
, logo sen u =
√
1− 4
x2
. Assim∫
1
x2
√
x2 − 4dx =
1
4
√
1− 4
x2
+ c.
b)
∫
x2 + 2x− 1
x3 − x dx =
∫
x2 + 2x− 1
x(x− 1)(x+ 1)dx
Temos a soma de frac¸o˜es parcias:
x2 + 2x− 1
x(x− 1)(x+ 1) =
1
x
+
1
x− 1 −
1
x+ 1
1
2
Portanto ∫
x2 + 2x− 1
x3 − x dx =
∫ (1
x
+
1
x− 1 −
1
x+ 1
)
dx
= ln |x|+ ln |x− 1| − ln |x+ 1|+ c.
Questa˜o 3:
Primeiro, calculamos a a´rea limitada pelo gra´fico da func¸a˜o y = 1− 14x2 e o eixo x:∫ 2
−2
(1− 1
4
x2)dx =
(
x− 1
12
x3
)∣∣∣∣2
−2
= 2− 8
12
− (−2 + 8
12
) =
8
3
Como o raio do c´ırculo e´ r = 1, a a´rea do semic´ırculo e´ A = pi2 . Assim, a a´rea da regia˜o
hachurada e´ dada por
Ah =
8
3
− pi
2
.
Questa˜o 4:∫ ∞
0
e−x cosx dx = e−xsenx
∣∣∣∣∞
0
+
∫ ∞
0
e−xsenxdx =
∫ ∞
0
e−xsenxdx
= −e−xcosx
∣∣∣∣∞
0
−
∫ ∞
0
e−xcosxdx = 1−
∫ ∞
0
e−xcosxdx.
Portanto
2
∫ ∞
0
e−x cosx dx = 1,
ou seja ∫ ∞
0
e−x cosx dx =
1
2