Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral II

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Avaliação II - Individual (Cod.:687569)
Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)
Prova 35678047
Período para responder 26/08/2021 - 17/09/2021
Peso 1,50
1. No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a área limitada por y = 2x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 4 através da integração.
A) Área = 16.
B) Área = 15.
C) Área = 12.
D) Área = 10.
Resposta:
Integral definida
de a para b ∫ k × xn dx 
= de a para b [ k × x(n+1) / (n + 1)] 
= de a para b [(k/(n+1)) × x(n+1)]
= (k/(n+1)) * [b(n+1) − a(n+1)]
A = de 1 até 4 ∫ 2x dx
A = de 1 até 4 [2x²/2]
A = de 1 até 4 [x²]
A = 4² − 1¹ = 16 − 1 = 15 unidade de área
2 Calculando a área da região limitada pelas curvas y = 9 − x² e y = 0, obteremos:
A) Área igual a 36 u.a.
B) Área igual a 24 u.a.
C) Área igual a 27 u.a.
D) Área igual a 32 u.a.
Resposta:
3. Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com a utilização da geometria clássica, eram inacessíveis. Sendo assim, determine a área entre as curvas y = x² e y = 2x:
I. A área entre as curvas é 4/3.
II. A área entre as curvas é 8/3.
III. A área entre as curvas é 1/6.
IV. A área entre as curvas é 15/4.
Assinale a alternativa CORRETA:
A) Somente a opção II está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção IV está correta.
Resposta:
Por meio da integral encontramos a alternativa I: área igual a 
Queremos obter a área entre essas duas curvas.
A primeira coisa a ser feita é determinar o intervalo de integração.
Como o problema não deu nenhum intervalo em específico, podemos assumir que se deve integrar a região limitada pela interseção das duas curvas (observe a figura em anexo)
podemos encontrar a interseção ao fazer
x² = 2x
x² − 2x = 0
x(x − 2) = 0
Portanto ou x = 0 ou x = 2. Logo é a área entre x = 0 e x = 2
Além disso, podemos ver que, no intervalo de 0 até 2, a reta y = 2x está acima da parábola y = x²
Calcular a área de uma função é sempre em relação ao eixo x (y igual a zero).
portanto, para calcular a área entre as duas, precisamos subtrair da área 2x a área x².
Vamos por etapas:
Primeiro calculamos a área y = 2x:
portanto 
Em seguida vamos calcular a área y=x²
A área entre as duas curvas será a subtração das áreas 
Portanto a alternativa I está correta
portanto
4. Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Determine a área da região limitada pela curva y = x2 − 1 e o eixo x (y = 0).
I. ⅔
II. 4/3
III. ⅓
IV. 1
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.
Resposta:
5. Considerando que a função f(t) calcula a quantidade de gás consumida em uma quantidade t de anos, calculados em bilhões de m3.
Sabe-se também, que em termos de variação de utilização (consumo) podemos utilizar o modelo dado por:
Suponhamos também que a quantidade inicial de gás presente (reserva de gás) é de 1200 bilhões de metros cúbicos e que o gás consumido não é resposto. Lembrando que temos que:
Assinale a opção correta.
A) Daqui a 80 anos, ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás.
B) O gás nestas situações não terá fim.
C) Com 100 anos de utilização, a reserva de gás se extinguirá.
D) A reserva de gás durará mais de 2000 anos.
Resposta:
6 O cálculo de área de figuras irregulares também pode ser analisado pelo conceito de integral. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Abaixo temos o gráfico de uma região limitada pelas funções f(x) = −x2 + 4 e f(x) = x + 2, de x = 0 até x = 1
A área da região pintada é:
I. 1,17
II. -6,14
III. 6,5
IV. 1,25
A) A opção III está correta.
B) A opção II está correta.
C) A opção I está correta.
D) A opção IV está correta.
Resposta:
7. No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Calcule a área da região limitada pela curva y = cos x, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 𝛑/2.
I. 1
II. 21
III. ½
IV. ¼
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção II está correta.
Resposta:
8 A função T(x,y) = 16x² + 32x + 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy. Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis, assinale a alternativa CORRETA:
A) A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo.
B) A função temperatura T tem um ponto de mínimo.
C) A função temperatura T tem um ponto sela.
D) A função temperatura T tem um ponto de máximo.
Resposta:
9 As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste modo, calcule a área da região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4.
A) Área = 1.
B) Área = 3.
C) Área = 2.
D) Área = 0.
Resposta:
10 A construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu no rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai, iniciou-se na década de 1970, mais precisamente em Janeiro de 1975. Nesta época, não existiam ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes à planta de construção da usina e nem para realizar cálculos com tamanha exatidão e rapidez. Na época, a importância dos matemáticos era grande e foi necessária a atuação de um deles para a determinação do comprimento correto da barragem da usina. Sabe-se geometricamente, através do desenho da planta da usina, constatou que a função matemática que mais se aproximava da curva representativa da barragem da Usina era f(x) = ln (cos x) em que f(x) é dado em km. Com base nessas informações, qual das alternativas representa o valor provável do comprimento da barragem da usina, sabendo-se que o valor de x da função f(x) varia de pi/6 a pi/4?
A) 0,8813 km.
B) 0,3320 km.
C) 0,5493 km.
D) 0,6640 km.
Resposta: