Cálculo 3 UFPE - PROVA 1A UNIDADE - 2010.2 (RESOLVIDA)

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Matema´tica - A´rea II
Ca´lculo 3 - 2010.2
Nome:
Professor(a):
CPF: Turma:
1a Prova
13-09-10
Questa˜o 1: [3 pontos]
Considere a ciclo´ide ilustrada na figura abaixo, cuja parametrizac¸a˜o e´ dada por~r(θ) =
(a(θ − senθ), a(1− cos θ)) = a(θ − senθ)i+ a(1− cos θ)j:
(a) [2 pontos] Calcule o comprimento do arco da ciclo´ide para 0 ≤ θ ≤ π.
Sugesta˜o: na integrac¸a˜o, utilize a identidade: sen(θ/2) =
√
1−cos θ
2
.
(b) [1 ponto] Seja ~r(s) = (x(s), y(s)) a reparametrizac¸a˜o por comprimento de arco
da ciclo´ide partindo de θ0 = 0. Encontre y(s).
Soluc¸a˜o:
(a) s(t) =
∫ t
0
√(
dx
dθ
)2
+
(
dy
dθ
)2
dθ =
∫ t
0
||~r′(θ)||dθ
~r′(θ) = (a(1− cos θ), asenθ)⇒ ||~r′(θ)|| = √2a√1− cos θ = 2asen(θ/2)
s(t) = 2a
∫ t
0
sen(θ/2)dθ = 4a(1− cos θ/2)
s(π) = 4a.
(b) θ = 2arccos
(
1− s
4a
)⇒ y(s) = a
[
1− cos
(
2 arccos
(
1− s
4a
))]
= s(1− s/8a).
Questa˜o 2: [21/2 pontos]
Considere o campo vetorial ~F(x, y) =
(
y2
1+x2
, 2y arctan(x)+1
)
= y
2
1+x2
i+(2y arctan(x)+
1)j = P (x, y)i+Q(x, y)j.
(a) [1/2 ponto] ~F(x, y) e´ um campo conservativo? Justifique.
(b) [1 ponto] Determine uma func¸a˜o f tal que ~F = ~∇f .
(c) [1 ponto] Calcule
∫
C
~F· d~r, onde C e´ dado por ~r(t) = t2i+ 2tj, 0 ≤ t ≤ 1.
Soluc¸a˜o:
(a) O dominio de ~F(x, y) e´ todo o R2, que e´ simplesmente conexo; P (x, y) e
Q(x, y) possuem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas. Ale´m disso,
∂Q
∂x
= 2y
1+x2
= ∂P
∂y
. Portanto ~F(x, y) e´ um campo conservativo.
(b) ∂f
∂x
= y
2
1+x2
⇒ f(x, y) = y2 arctan(x) +K(y).
∂f
∂y
= 2y arctan(x)+K ′(y) = 2y arctan(x)+1⇒ K ′(y) = 1⇒ K(y) = y+C.
f(x, y) = f(x, y) = y2 arctan(x) + y + C.
(c)
∫
C
~F· d~r = f(~r(t = 1))− f(~r(t = 0)) = f(1, 2)− f(0, 0).∫
C
~F· d~r = (4.pi
4
+ 2 + C)− (C) = π + 2.
Questa˜o 3: [2 pontos]
(a) [1 ponto] Utilize o teorema de Green e a integral de linha de 1
2
∮
C
xdy−ydx para
mostrar que a a´rea de uma elipse dada por x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e´ igual a πab.
(b) [1 ponto] Use o teorema de Green e o resultado do item anterior para calcular∮
C
exsenydx+ (ex cos y + 3x)dy, onde C e´ a elipse x
2
4
+ y
2
9
= 1.
Soluc¸a˜o:
(a) A elipse e´ parametrizada por~r(t) = a cos(t)i+bsen (t)j, 0 ≤ t < 2π. Portanto
teremos:
1
2
∮
C
xdy − ydx = 1
2
∫ 2pi
0
(a cos(t)b cos(t) − bsen(t)asen(t))dt = 1
2
∫ 2pi
0
ab dt =
πab.
(b)
∮
C
~F· d~r = ∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy.
∂Q
∂x
= exseny. ∂P
∂y
= exseny + 3. Utilizando o teorema de Green temos:
1
2
∮
C
xdy−ydx = ∫∫
D
(exseny)−(exseny+3)dxdy = ∫∫
D
3dxdy = 3πab = 18π.
Questa˜o 4: [21/2 pontos]
Considere o campo vetorial ~F(x, y) =
(
−y
x2+y2
, x
x2+y2
)
= −y
x2+y2
i+ x
x2+y2
j = P (x, y)i+
Q(x, y)j.
(a) [1 ponto] Calcule
∫
Γ
~F· d~r, onde Γ e´ uma circunfereˆncia de raio arbitra´rio a:
~r(t) = (a cos t, a sent) = a cos ti+ a sentj, 0 ≤ t ≤ 2π.
(b) [1/2 ponto] ~F(x, y) e´ conservativo? Justifique.
(c) [1 ponto] Utilize o teorema de Green e o resultado obtido nos itens anteriores
para mostrar que
∫
C
~F· d~r = 2π para todo caminho fechado simples que circunde
a origem.
Soluc¸a˜o:
(a) ~F(~r(t)) = −asen(t)
(a cos(t))2+(asen(t))2
i+ a cos(t)
(a cos(t))2+(asen(t))2
j = − 1
a
sen(t)i+ 1
a
cos(t)j.
~r′(t) = −asen(t)i+ a cos(t)j,
~F(~r(t))·~r′(t) = − 1
a
sen(t)(−asen(t)) + 1
a
cos(t)a cos(t) = 1.
Portanto:
∫
Γ
~F· d~r = ∫ 2pi
0
1dt = 2π
(b) Como
∮
Γ
~F· d~r = 2π 6= 0 e Γ e´ uma curva fechada, o campo na˜o e´
conservativo.
(c) C e´ um caminho fechado arbitra´rio contendo a origem em seu interior.
Logo, e´ dif´ıcil calcular a integral diretamente. Vamos enta˜o considerar
um c´ırculo, percorrido no sentido anti-hora´rio, C ′ ≡ Γ, com centro na
origem e raio a, onde o a escolhido e´ pequeno o suficiente para que C ′
esteja inteiramente contido em C, conforme ilustrado na figura. Seja D
a regia˜o limitada por C e C ′. Aplicando o Teorema de Green, temos:∫
C
Pdx+Qdy+
∫
−C′
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy =
∫∫
D
(
y2−x2
(x2+y2)2
−
y2−x2
(x2+y2)2
)
dxdy = 0.
Portanto
∫
C
Pdx +Qdy =
∫
C′
Pdx +Qdy = 2π, conforme a integrac¸a˜o
ao longo de C ′ que foi calculada na item anterior.
Questo˜es 1 2 3 4 Total
Total de pontos 3 21/2 2 21/2 10
Pontos conseguidos
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