Prova com gabarito EE2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2017 
Segundo Exercício Escolar de Cálculo 4 - 17/05/2017 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: Considere a equação diferencial 
�������������������������� � ��� � �� � ���������������������	
 
. 
a) [1,0 pontos] Defina ���
 � � 
� � ���
� e mostre que ���
 satisfaz à equação: 
��� � � � ��������� 
b) [1,0 ponto] Resolva a equação acima e obtenha a solução geral de �	
 usando ���
� 
Resposta. 
a) ������
 � � 
�����
 �� � ��� � �
�����
 � 
������
� ��� � 
�����
 � �
������
 � 
�������
�� 
Substituindo em �	
 ��� � ��� 
���������
 � ���
�
 � �� Como 
�� � ��para todo � � �� temos o 
resultado pedido. 
b) �� � � � ��� � ��� � ���� � �����
 � �� � ! � � ���!
" � �� � �����
 � #����� � ! � � �� !
" �
�� 
 
2ª Questão: [2,0 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-
homogênea com coeficientes constantes: 
��� � ��� � ��� � #��� 
Resposta. Dada a solução da eq. homogênea associada acima, tentamos então uma solução particular da 
forma �$�%
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e ���
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 � #��� 
 
3ª Questão: [3,0 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-
homogênea com coeficientes constantes: 
��� � ��� � ��� � #�� � ! �� 
Dica. Transforme a equação para ���
, como na 1ª questão. 
Resposta. Como #�� � ! ��pertence ao conjunto solução da equação homogênea obtida na 1ª questão, 
deveríamos tentar 
�$��
 � #������& � ! � � ) !
" �
� 
Mas, em termos de ���
 � � 
� � ���
� temos a equação 
���������
 � ���
�
 � #�� � ! � ��� ���� 
�����
 � ���
 � � ! ���� Novamente �'��
 � �� � ! � � ���!
" � e � ! � pertence ao conjunto solução da 
homogênea. Logo tentamos �$ � ���& � ! � � ) !
" �
 �� � � ���$ � ��)� � �&
 !
" � � ��&� �
�)
 � ! ���� Substituindo na equação para ���
, obtemos �) � ! � � �& !
" � � � ! � ��� � & � �� ) � ��� 
Temos portanto uma solução particular �$ e portanto �$��
 � #���$ e 
���
 � �' � �$ � #����� � ! � � �� !
" �
 � #�� � !(" �� � 
 
4ª Questão: [3,0 pontos] Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea 
com coeficientes lineares, tomando ���
 � �� ����
 � �� 
� *
��
*%� � �%
*�
*% � +�� � �� 
Resposta. Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (uma vez dividida por 2), 
obtemos: 
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 � ����
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,-%��. � � **/ ,-��. � �
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