analise investimentos

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ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Autor:
OSMAR SILVA CARNEIRO
Edição revisada por:
SABRINA TREJES MARENGO
VANESSA MARTINS PIRES
2ª edição
Editora Unisinos, 2014
SUMÁRIO
Apresentação
Capítulo 1 – Conceitos iniciais
Capítulo 2 – Juros e descontos simples
Capítulo 3 – Juros compostos
Capítulo 4 – Taxas de juros (over, inflação, real), indices de preços, taxa
médias e prazos médios
Capítulo 5 – Séries financeiras: fluxo de caixa ou séries de pagamentos
Capítulo 6 – Séries financeiras: fluxo de caixa ou séries de pagamentos
antecipadas
Capítulo 7 – Séries financeiras: série em gradiente
Capítulo 8 – Sistemas de amortização
Referências
Sobre os autores
Informações técnicas
APRESENTAÇÃO
O ensino da matemática financeira é um constante desafio para os
professores que atuam neste campo de atividade, principalmente porque
exige o desenvolvimento de raciocínio lógico, a compreensão da
matemática desde seus conceitos iniciais e ampla dedicação dos
envolvidos em seu aprendizado — professores e alunos. Lidar com esta
ciência exata requer disciplina e dedicação para solução de situações que
envolvem cálculos financeiros que permeiam nosso dia a dia. O livro,
decorrente da experiência de sala de aula e do tempo de atuação em
matemática financeira, tem um único objetivo: dotar os futuros
profissionais de conceituação matemática sólida e indispensável ao
exercício não só de suas atividades profissionais, mas para que avancem,
em muito, nas necessidades de sua vida pessoal. 
Esta edição tem, portanto, o intuito de trazer para os alunos da
UNISINOS a abordagem sequencial utilizada em sua forma programática
da disciplina de Análise de Investimentos em linguagem acessível, prática
e que torne eficiente o modo de aprender matemática financeira, utilizando
metodologia que incentive o aluno ao estudo e que o desafie
constantemente ao aprendizado.
Todo aprendizado, então, depende da boa inicialização dos
conteúdos, pois é no início do contato com os conhecimentos, de qualquer
disciplina, que residem as maiores dificuldades e as grandes
descobertas. Portanto, a solidez dos conhecimentos introdutórios contribui
para: despertar a curiosidade do acadêmico, estimular sua capacidade de
aprender, reconhecer os conteúdos em sua vivência pessoal e
profissional, dando cunho prático à solução dos problemas de cálculos
financeiros.
Este é o firme propósito do ensino da matemática financeira na
UNISINOS, pois espera-se que o acadêmico, ao concluir o semestre,
tenha sólidos conhecimentos sobre regimes de capitalização (simples e
composta), taxas de juros (em suas diversas formas de formação e
apresentação), aplicação dos fluxos de caixa — também denominadas
séries de pagamentos uniformes ou variáveis (postecipadas ou
antecipadas) —, sistemas de amortização de pagamentos (Tabela Price,
amortização constante, mista etc.) e planos de financiamento, que em seu
conjunto refletem a adequada aplicação de cálculos financeiros.
São Leopoldo, outubro 2014.
Os autores
CAPÍTULO 1
CONCEITOS INICIAIS
Neste capítulo, são apresentados os conceitos iniciais abordados em matemática
financeira, a regra de realização das operações, potenciação, logaritmos, percentuais,
simbologia, uti l ização de ferramentas como o Excel e a HP12C, para o
desenvolvimento das operações financeiras.
1.1 Ordem das operações
A ordem das operações em matemática refere-se à convenção que
indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações em uma
expressão.
1. resolvem-se potências e raízes;
2. resolvem-se multiplicações e divisões;
3. resolvem-se somas e subtrações.
Podemos, no entanto, modificar a hierarquia das operações
utilizando parênteses, colchetes ou chaves.
Na matemática, também podemos utilizar sinais nas expressões
numéricas com o objetivo de organizar as expressões como, por exemplo,
( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves, e dar preferência para algumas
operações. Portanto, quando esses sinais aparecerem em uma
expressão numérica, devemos eliminar, ou seja, resolver, na seguinte
ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves.
1.2 Potenciação
Determinamos potenciação a operação que se dá com potências.
Potências são os valores que representam uma multiplicação
sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número
multiplicado várias vezes por si mesmo. Desta forma, as potências
surgiram no intuito de representar multiplicações nas quais os fatores
eram iguais (FRIENDRICH; MANZINI, 2010).
Uma potência é composta por um número, chamado “base”, que é
multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado
“expoente”, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si
mesma. As potências apresentam-se na forma an, em que “n” é o
“expoente” e “a” é a “base”.
Exemplo: a potência 24 indica que a base, o número 2, será
multiplicada sucessivamente quatro vezes por si mesmo, ou seja: 24 = 2 *
2 * 2 * 2 = 16
Ressalte-se que temos como caso particular o expoente unitário.
Por omissão de expoente ele é unitário, elemento neutro da potência,
então o resultado tem o valor da base.
Algumas propriedades foram criadas nas operações envolvendo
potenciações de bases iguais ou diferentes, simplificando os cálculos.
Exemplos:
Multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes
diferentes:
Multiplicação de potência com os expoentes iguais e bases
diferentes:
Divisão de potências com as bases iguais e expoentes diferentes:
Divisão de potências com os expoentes iguais e bases diferentes:
Nas calculadoras, a tecla xy permite o cálculo de potências de
qualquer grandeza.
1.3 Logaritmo
A palavra logaritmo quer dizer número de razão e foi sugerida por
Napier depois de ter usado a expressão número artificial.
Para resolver equações exponenciais, como 3x = 9, basta fatorar o
número 9 e escrevê-lo na forma de potência. Então: 3x = 32
Como temos uma igualdade e nos dois membros da equação as
potências possuem bases iguais, os expoentes dessas potências
também devem ser iguais, ou seja, x = 2.
No entanto, não podemos utilizar o mesmo procedimento para
resolver equações exponenciais do tipo: 2x = 25. Observamos que,
fatorando o número 25, encontramos 52. Então, estas potências (2x = 52)
não possuem bases iguais e, para resolvermos essa equação
exponencial, precisamos fazer uso dos logaritmos.
Basicamente, utilizamos logaritmos para resolver equações
exponenciais, simplificar expressões consideradas “complicadas”, bem
como para facilitar a análise de certas funções com o uso de calculadoras.
1.3.1 Conceito algébrico de logaritmo
O logaritmo de um número N é o expoente x da potência que se
eleva à base a, para obter-se o número dado.
em que:
N = o número, também chamado de antilogaritmo
a = a base do logaritmo
x = o logaritmo
1.3.2 Logaritmo natural ou logaritmo neperiano
O sistema de logaritmos de base é denominado logaritmo natural
ou neperiano “e”, neste caso, o logaritmo de um número N na base “e” é
representado por InN. O “e”, a base do logaritmo natural, é um número
racional, cujo valor é aproximadamente igual a 2,71828182846...
Matematicamente, o logaritmo natural é representado por:
Para encontrarmos o logaritmo natural, fazemos uso da calculadora
científica. Na maioria das vezes, a tecla ln fornece o logaritmo natural do
número N. Vejamos, por meio de exemplos, como proceder com a
calculadora.
ln 10 = digitamos o número 10 e clicamos na tecla ln para obter a
resposta = 2,3026
ln 0,78 = digitamos o número 0,78 e clicamos na tecla ln para obter
a resposta = ‒0,2485
1.4 Percentuais
A percentagem ou porcentagem (do latim percentum , significando
“porcento”, “a cada centena”) é uma medida de razão com base cem. É um
modo de expressar uma proporção ou uma relação entre dois valores (um
é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é
cem, ou seja, dividir um númeropor cem. 
Os números percentuais possuem representações na forma de
fração centesimal (denominador igual a cem) e quando escritos de
maneira formal devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem
(%). Também podem ser escritos na forma de número decimal.
Exemplos:
Porcentagem Razão Centesimal Número Decimal
3% 3/100 0,03
6,2% 6,2/100 0,062
1.5 Simbologia
Nesta seção, apresentam-se algumas variáveis que serão
utilizadas nos conteúdos a serem estudados nesta disciplina.
VP, PV ou C (valor presente, present value ou capital): valor de
referência sobre o qual iniciam os efeitos da quantificação dos
juros.
VF, FV ou M (valor futuro, future value ou montante): valor que
resulta da adição dos juros ao principal ou valor de referência.
n (prazo): número de períodos do exercício de uma taxa.
i (taxa de juros): fração incidente sobre um valor de referência, que
resulta no valor monetário dos juros. Deve ser utilizada na forma
unitária nas fórmulas, como, por exemplo, 3% = 0,03.
j ou J: valor monetário dos juros.
PMT ou P (pagamento ou recebimento): em um diagrama de
fluxos de caixa, representa cada um dos valores de uma série
uniforme de pagamentos ou recebimentos.
VN: valor nominal de um título.
VL: valor líquido proveniente do desconto de um título.
D: valor do desconto de um título.
d: taxa de desconto de um título. Deve ser utilizada na forma
unitária nas fórmulas (3% = 0,03).
Cf (fluxo de caixa): valor do fluxo de caixa no momento t.
NPV ou VPL (valor presente líquido): resultado da soma dos fluxos
de caixa, descapitalizados para o momento presente (zero) com
base no custo de capital do projeto.
IRR ou TIR (taxa interna de retorno): taxa de juros que anula o VPL.
Ou seja, é a taxa que, aplicada aos fluxos de caixa, faz com que o
somatório desses no tempo zero seja nulo.
1.6 Ferramentas como o Excel® e a HP 12C para o desenvolvimento das
operações financeiras
Embora não seja o foco da disciplina e, portanto deste livro, faz-se
necessária a apresentação de duas ferramentas que poderão auxiliar no
desenvolvimento de operações financeiras. São elas: a planilha financeira
Excel® e a calculadora HP 12C.
1.6.1 Excel
Para o desenvolvimento de operações financeiras com o Excel®
utilizam-se fórmulas. As fórmulas constituem-se de endereços de células,
operadores aritméticos e, ocasionalmente, valores.
Os operadores aritméticos que podem ser usados em uma fórmula
são os seguintes:
(+) somar; (‒) subtrair; (*) multiplicar; (/) dividir; ( )^ potenciação.
Uma função, por sua vez, é uma fórmula predefinida que efetua um
tipo de cálculo específico.
Para o cálculo de operações financeiras no Excel, utiliza-se o menu
INSERIR e seleciona-se a opção FUNÇÃO (fx).
Figura 1 – Planilha Excel.
Fonte: domínio público.
Os componentes da função podem ser:
Taxa: taxa de juros do período, devendo estar na mesma base do
tempo (Nper).
Nper: número total de períodos de pagamento em um
investimento.
Pagamento: pagamento efetuado a cada período, não podendo
ser alterado no decorrer do investimento.
Vp: valor presente, ou a quantidade total atual correspondente a
uma série de pagamentos futuros. Quando não especificado, Vp =
0.
Tipo: valor que representa o vencimento do pagamento;
pagamento no início do período (antecipado) = 1; pagamento ao
final do período (postecipado) = 0, ou não especificado.
A maioria das funções relacionadas aos conteúdos desta disciplina
encontra-se na categoria financeira do Excel:
=VP()
=VF()
=NPER()
=TAXA()
=PGTO()
1.6.2 HP 12C
A HP 12C não possui a tecla igual (=), portanto, quando um número
é digitado na calculadora, ele é automaticamente inserido no registrador X
(visor). Ao pressionar a tecla [ENTER], o número é duplicado e seu valor
copiado para o registrador Y.
As operações da máquina são quase sempre efetuadas com os
registradores X e Y. Assim, sugere-se que, antes de iniciar as operações
sucessivas na HP 12C, deve-se fazer uma limpeza da pilha, pressionando
as teclas [F] [REG].
A tecla [ENTER] é o principal mecanismo para a operação de pilhas
da HP 12C. Ao pressionar [ENTER], os registradores são “empurrados”
para cima na pilha e o conteúdo do visor (registrador X) é duplicado.
Quando as operações são efetuadas, a calculadora opera os
registradores X e Y, mantendo o resultado no visor (registrador X).
A operação de adição entre 5 e 7 na calculadora poderia ser
representada como: 5 [ENTER] 6 [+].
Além dos números armazenados na pilha, outros registradores da
HP 12C úteis em operações estatísticas e financeiras podem ser limpos
com o auxílio das seguintes funções:
[f] [REG]: limpa todos os registradores da HP (não apenas a
pilha), incluindo os registradores financeiros e os estatísticos;
[f] [FIN]: limpa apenas os registradores financeiros da HP;
[f] [Σ]: limpa apenas os registradores estatísticos da HP.
Então, o primeiro passo sempre é limpar a memória da HP 12C:
Figura 2 – Limpeza da memória na HP 12C.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 3 – Funções financeiras da HP 12C.
Fonte: elaborada pelo autor.
Siglas utilizadas na figura 3:
[n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros
[PV]: calcula o valor presente
[PMT]: calcula a prestação
[FV]: calcula o valor futuro
[CHS]: troca o sinal
CAPÍTULO 2
JUROS E DESCONTOS SIMPLES
Este capítulo trata do regime de capitalização simples e taxas de juros
(denominado juros simples), que tem como ponto relevante sua linearidade de
aplicação. A compreensão do valor do dinheiro no tempo, a noção sobre fluxos de
caixa, o desenvolvimento prático do regime de capitalização simples e algumas de
suas variações, assim como o custo ou remuneração de capitais empregados (taxa de
juros), são os elementos imprescindíveis para o início do entendimento de cálculos
financeiros. Aborda-se no regime de capitalização simples: o capital, a taxa e o tempo
e, posteriormente, o montante e o valor atual e suas inter-relações. O capítulo insere,
também, o elemento custo ou remuneração de capitais (taxa de juros), abordado no
seu conceito mais simples, que lhe confere um regime de linearidade, ou seja, uma
proporcionalidade simples. Ao final do capítulo, aborda-se o desconto de títulos em
seus dois formatos: “por dentro” e “por fora”.
2.1 Considerações iniciais
A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do
dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises
e comparações dos vários fluxos de entradas e saída de dinheiro
verificados em diferentes momentos.
2.2 Valor do dinheiro no tempo
Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a
mesma coisa. Em princípio, obter uma unidade monetária hoje é preferível
à obtenção da mesma unidade monetária disponível amanhã.
Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo
envolve um sacrifício, o qual deve ser recompensado mediante uma
remuneração denominada juros. De outra forma, adiantar uma entrada de
caixa por certo tempo, para satisfazer uma necessidade de consumo hoje,
envolve uma remuneração. Esta remuneração ou este custo é
denominado juros.
Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento
do consumo, permitindo a formação de poupança, ou o aceleram,
determinando novos investimentos na economia. Neste sentido, as taxas
de juros devem ser eficientes para remunerar/reduzir:
o risco envolvido na operação (aplicação ou empréstimo);
a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação;
o capital aplicado/emprestado.
Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital
e, consequentemente, um custo para o tomador do capital. Este ganho ou
custo é estabelecido basicamente em função das diversas oportunidades
de aplicação ou de investimento definido por um preço (taxa de juros).
2.3 Fluxo de caixa
O fluxo de caixa é a distribuição, no tempo, de um conjunto de
entradase saídas de capital. Pode-se afirmar que em um projeto ou
investimento é o conjunto das entradas e saídas resultantes do capital
aplicado ao longo do tempo. Convenciona-se que as entradas de caixa ou
créditos representam valores positivos para o aplicador/investidor e que as
saídas de caixa ou débitos representam valores negativos. Deve-se
observar que reduções de custo, em termos econômicos, têm o mesmo
significado que um recebimento.
Usualmente, emprega-se a convenção de que os recebimentos
(entradas) e desembolsos (saídas) ocorrem somente no final de um
período, enquanto os investimentos são considerados no início de cada
período.
O fluxo de caixa pode ser apresentado esquematicamente a partir
dos seguintes diagramas, em que a seta indicadora para cima significa
entradas de caixa e a seta indicadora para baixo significa saídas de caixa.
Figura 4 – Diagrama do fluxo de caixa.
Fonte: elaborada pelo autor.
De um modo geral, pode-se afirmar que os eventos econômicos
podem, do ponto de vista financeiro, ser sintetizados a partir do fluxo de
caixa.
2.4 Regimes de capitalização
Regime de capitalização é o processo de formação de capital ao
longo do tempo. Quando se opera com regimes de capitalização discreta
(juros simples ou compostos), os juros gerados são incorporados
(somados) ao capital somente no final de cada intervalo de tempo a que
se refere a taxa de juros considerada.
Quando a taxa de juros incide sobre o capital inicial (capital
simples), aquele que é inicialmente empregado, diz-se que se está no
regime de capitalização simples.
Quando a taxa de juros incide sobre o capital acrescido de juros
(capital composto), aquele que incorpora ao capital “inicial” os juros
obtidos no período anterior (e assim sucessivamente), diz-se que se está
no regime de capitalização composta. Isto significa que a taxa de juros
incide sobre o capital já acrescido dos juros para o novo cálculo de juros.
2.5 Regimes de capitalização simples ou juros simples
No regime de capitalização simples, o capital cresce pela aplicação
da taxa de juros sobre um capital que permanece sempre constante. O
regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão
aritmética (PA), pois aplica-se a taxa de juros sobre um valor de capital
imutável ao longo do tempo.
Nesse regime, o juro terá um comportamento linear em relação ao
tempo. Se o tempo de aplicação dobrar, o valor do juro dobrará; se o tempo
triplicar, o valor do juro triplicará. No exemplo a seguir, pode-se observar o
comportamento do conceito pela aplicação de um capital de R$ 500,00,
em cinco anos, à taxa de juros de 10% ao ano.
Tabela 1 – Regime de capitalização simples: juros simples
Ano Aplicação Taxa de Base de Saldo final
juros cálculo e
juros
do ano
Ano 1 R$ 500 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 = 50
500 + 50 =
550
Ano 2 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 = 50
550 + 50 =
600
Ano 3 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 = 50
600 + 50 =
650
Ano 4 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 = 50
650 + 50 =
700
Ano 5 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 = 50
700 + 50 =
750
Juros 250
Fonte: elaborada pelo autor.
Em termos de representação matemática o que se visualiza é que o
juro está em função de um capital (C ou PV), de uma taxa de juros (i) e de
um tempo (n), o que pode ser expresso pela fórmula:
ou seja, os juros são iguais a 500,00 × 0,10 × 5 = R$ 250,00, o
 que, evidentemente, mostra que o capital acrescido de seus juros gera
um montante de R$ 750,00 (R$ 500,00 + R$ 250,00). Então, o montante é
igual ao capital + juros.
No entanto, deve-se salientar que a base para o cálculo dos juros (o
capital) permaneceu imutável durante todo período, para incidência da taxa
de juros, e isto é o que caracteriza a capitalização simples.
2.5.1 Capitalização simples: determinação dos juros, do capital, da taxa e
do tempo
Antes da determinação dos demais elementos, cabe aqui uma
consideração sobre a taxa de juros. As taxas de juros são representadas
de duas maneiras: sob a forma de taxa percentual (%) ou de taxa unitária
(%/100).
A “taxa percentual” refere-se ao percentual "centos do capital”, ou
seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.
A “taxa unitária” refere-se à expressão matemática da taxa
percentual, refletindo o rendimento de cada unidade de capital em certo
período de tempo. Então, a expressão matemática (taxa unitária) é a
divisão da taxa percentual por cem (1%/100 = 0,01), resultando em 0,01,
que é a taxa unitária, a maneira adequada para utilizar a taxa em cálculos
matemáticos.
Observe o exemplo de quando um capital de R$ 1.000,00 aplicado a
20% a.a. rende de juros ao final de um período de um ano, considerando
juros simples:
A transformação da taxa percentual em unitária se processa
simplesmente pela divisão da notação em percentual (20%) por cem
(20/100); para o inverso, basta multiplicar a taxa unitária por cem. Nas
fórmulas da matemática financeira, todos os cálculos são efetuados
utilizando-se a taxa unitária de juros. Veja os exemplos a seguir:
Tabela 2 – Taxas – Percentual e Unitária
Taxa de juros percentual Taxa de juros unitária
1,5% 0,015
8,0% 0,080
17,0% 0,170
86,0% 0,860
120,0% 1,200
1.500,0% 15,000
Fonte: elaborada pelo autor.
Retomando, no regime de capitalização simples (juros simples)
existem diversos elementos necessários para obter a remuneração de um
capital (juros): o próprio capital, a taxa de juros e um tempo. Todos estes
elementos podem ser calculados e têm estabelecido fórmulas para sua
obtenção.
Partindo-se da fórmula dos juros, pode-se deduzir (obter) todos os
demais elementos. A preparação é simples, basta destacar o que se quer
obter (incógnita) e o J (juros) sempre será colocado como numerador da
fração da fórmula; os demais elementos comporão o denominador.
2.5.2 Capitalização simples: determinação do montante
Até o momento, para obtenção do montante, calculava-se o valor
dos juros e o acrescia ao capital (capital + juros). No entanto, pode-se
obtê-lo de forma direta, recorrendo ao desdobramento da relação original
em que FV = PV + J.
Para isto, o primeiro procedimento é substituir, em FV = PV + J, o J
(juros) pelo seu valor da fórmula para sua obtenção → (PV × i × n). Então,
temos:
colocando-se o PV em evidência, o que significa dividir o PV por
todos elementos que compõem a equação. Divide-se o PV pelo próprio PV
e PV por (PV × i × n), o que resulta em:
Então, PV/PV é igual a 1, e a relação seguinte fica (1 × i × n) ou
apenas i × n, resultando em PV (1 + i × n) e obtendo-se a equação final:
2.5.3 Montante: determinação do capital (valor atual/valor presente), da taxa
e do tempo
Obteve-se, então, a fórmula para o cálculo do montante, quando os
juros forem sob o regime de capitalização simples. Assim, pode-se
calcular o montante sem passar pelo cálculo dos juros. Esta fórmula
também nos permite calcular os demais elementos (capital, taxa e juros) a
partir da equação final.
2.5.4 Capitalização simples: juros exatos, juros comerciais e o método
hamburguês
2.5.4.1 Juros exatos e juros comerciais
Até o momento, para obtenção do montante, determinava-se o valor
dos juros e o acrescia ao valor do capital (capital + juros). No entanto, é
bem comum em operações de juros simples ter prazo (tempo) definido em
dias e características diferenciadas, o que determina uma mudança no
cálculo, considerando os seguintes aspectos:
tempo exato: utiliza-se o ano civil (365 dias);
tempo comercial: utiliza-se o ano comercial, o qual admite que
cada mês possui 30 dias;
pelo critério bancário.
Exemplo: calcular os juros exatos, juros comerciais e pelo critério
bancário de um capital de R$ 50.000,00, aplicado durante os meses de
julho e agosto, a uma taxa de 15% a.a.
Tabela 3 – Métodos para Cálculo de Juros Simples
Juro exato Juro comercial Critério bancário
PV = R$ 50.000,00 PV = R$50.000,00 PV = R$ 50.000,00
i = 15% a.a. (0,15) i = 15% a.a. (0,15) i = 15% a.a. (0,15)
N = 62 dias (62/365) N = 60 dias (60/360) n = 62 dias (62/360)
50.000 × 0,15 ×
(62/365)
50.000 × 0,15 ×
(60/360)
50.000 × 0,15 ×
(62/360)
R = R$ 1.273,97 R = R$ 1.250,00 R = R$ 1.291,65
Fonte: elaborada pelo autor.
2.5.4.2 Método hamburguês
O método hamburguês consiste no cálculo de juros sobre saldos
ou valores não iguais e com diferentes prazos, utilizando uma taxa
constante (diária). Ele é usado pelos bancos para apurar os juros sobre
saldos devedores de contas garantidas e cheque especial, sendo
cobrados sempre ao final do mês. O cálculo dos juros é expresso pela
seguinte fórmula:
Exemplo: calcular o valor dos juros de uma conta garantida (ou
cheque especial) de um cliente, a qual, no mês de maio, apresentou os
seguintes saldos, sabendo-se que a taxa de juros é de 4% a.m.
Tabela 4 – Método Hamburguês
Dia Histórico Retirada Depósito Saldo Número
de dias
01/05 Saldo
Inicial
20.000 C
03/05 Cheque 30.000 10.000 D 8
11/05 Depósito 50.000 40.000 C
15/05 Cheque 55.000 15.000 D 5
20/05 Cheque 4.000 19.000 D 4
24/05 Depósito 39.000 20.000 C
24/05 Cheque 50.000 30.000 D 7
31/05 Depósito 70.000 40.000 C
Fonte: elaborada pelo autor.
A tabela permite compor os saldos devedores e os dias
correspondentes em que o saldo esteve “devedor”, quando é utilizado o
limite concedido cujo cálculo está a seguir:
Saldo devedor:
10.000 × 8 dias (do dia 03 até o dia 11) = 80.000
15.000 × 5 dias (do dia 15 até o dia 20) = 75.000
19.000 × 4 dias (do dia 20 até o dia 24) = 76.000
30.000 × 7 dias (do dia 24 até o dia 31) = 210.000 somatório
441.000
Então, multiplica-se a taxa de juros diária pelo somatório do saldo
devedor (apurado pela multiplicação do saldo devedor pela quantidade de
dias em que permaneceu com este saldo). No cálculo, o somatório é de
R$ 441.000,00.
Juros:
(0,04/30) = 0,0013333 × 441.000 R$ = 587,99
2.5.5 Capitalização simples: equivalência de capitais
A equivalência financeira constitui raciocínio básico para matemática
financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais existentes em suas
respectivas datas dizem-se equivalentes a outro valor (outro capital)
quando, a certa taxa de juros, produzem resultados iguais em uma data
comum.
Considere a seguinte afirmação: R$ 140.000,00 vencíveis daqui a
dois anos e R$ 100.000,00 existentes hoje são equivalentes entre si
considerando uma taxa de juros simples de 20% ao ano. A verdade desta
afirmação é que o capital de R$ 100.000,00 hoje existente, capitalizado em
dois anos (acrescidos de seus juros o que produz um montante),
resultaria em R$ 140.000,00. O mesmo acontece ao se determinar quanto
vale hoje o capital de R$ 140.000,00 a ser recebido daqui a dois anos
(valor atual), o que resultaria em R$ 100.000,00.
No primeiro caso, multiplicar-se-ia o capital pela taxa e pelo tempo
((100.000,00 × (1 + 0,20 × 2) = 140.000,00) e, no segundo caso, dividir-se-
ia o capital pela taxa e pelo tempo ((140.000,00/(1 + 0,20 × 2) =
100.000,00), o que significa utilizar o fator (1 + i × n). A resposta a esta
situação é “tanto faz, pois os capitais são equivalentes entre si”, pois
levando em conta essa taxa de juro e o prazo referido, tanto faz receber o
valor hoje como recebê-lo daqui a dois anos.
O cálculo de equivalência sob o regime de capitalização simples
(juros simples) apresenta uma peculiaridade: dois ou mais capitais só
são equivalentes entre si quando referenciados a uma mesma e única
data. 
Figura 5 – Equivalência de Capitais.
Fonte: elaborada pelo autor.
O fracionamento de prazos em juros simples leva a resultados
discrepantes, pois haveria duas capitalizações, quando ele é um período
único. A discrepância pode ser observada na parte superior da figura, o
que significa capitalizar os juros (calcular montante) a cada período:
Como a equivalência se refere a uma única data, o cálculo deve
observar todo período, como pode ser observado na parte inferior da figura,
o que significa capitalizar os juros (calcular o montante) para todo período:
Em decorrência das distorções produzidas pelo fracionamento do
prazo em juros simples, a equivalência de capitais é dependente da data
comum, ou seja, a data de comparação escolhida, também denominada
data focal. Diz-se, então, que dois ou mais capitais são equivalentes entre
si quando resultam no mesmo valor em determinada data de comparação
(data focal).
O diagrama de fluxo de caixa, a seguir, ilustra a equivalência para
uma data (data focal 1) considerando juros simples de 10% de dois
capitais: um de R$ 3.636,36, que ocorre na data 0 e outro de R$ 5.600,00
que ocorre na data 4.
Figura 6 – Equivalência de Capitais com uma Data Focal.
Fonte: elaborada pelo autor.
A equivalência de capitais se processa da seguinte forma:
capital de R$ 3.636,35 da data 0 equivale a R$ 4.000,00
(3.636,36 × (1+ 0,10 × 1)), na data 1;
capital de R$ 5.600,00 da data 4 equivale a R$ 4.000,00
(5.600,00 / (1 + 0,10 × 4)), na data 1.
Logo, os valores dos capitais são equivalentes entre si.
A utilidade deste conceito é oferecer solução para problemas de
substituição de pagamentos, no regime de juros simples, mostrando
claramente a impossibilidade de fracionamento do prazo, no regime de
capitalização simples. Um problema de cunho prático permite
compreender a substituição de pagamentos.
Exemplo: admita-se que João deve para Felipe os seguintes
pagamentos: R$ 50.000,00 de hoje a quatro meses e R$ 80.000,00 de
hoje para oito meses. A proposta de João é pagar R$ 10.000,00 hoje, R$
30.000,00 de hoje a seis meses, e o restante no final do ano. Sabe-se que
Felipe exige uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Qual o saldo
restante a ser pago?
Primeiramente, admite-se que a data focal (data de comparação
escolhida) seja o momento (0), ou seja, hoje. Então, para igualar os
pagamentos das propostas, para data focal escolhida, tem-se:
Observe-se a igualdade (equivalência dos capitais), considerando
que o valor de R$ 97.310,40 encontra-se no final dos 12 meses e deve ser
trazido para o momento do mês 0 (valor atual) também:
Agora vamos admitir que a data focal (data de comparação
escolhida) seja o momento no mês 12 (final do ano). Então, para igualar
os pagamentos das propostas, para data focal escolhida, tem-se:
2.5.6 Taxas de juros: nominais e proporcionais
2.5.6.1 Taxas de juros nominais
A taxa nominal é expressa em uma unidade de tempo que não
coincide com o período de tempo no qual os juros são capitalizados
(incorporados ao capital). Normalmente, a taxa nominal é expressa ao ano.
6,0% ao ano capitalizados mensalmente significa que a taxa é de
0,5% ao mês, ou seja, 6,0% dividido por 12 meses;
2,7% ao mês capitalizados diariamente significa que a taxa é de
0,09% ao dia, ou seja, 2,7% dividido por 30 dias.
A taxa nominal é usada no mercado financeiro com relativa
frequência, principalmente no exterior. Entretanto, não é usada no cálculo
no mercado financeiro, pois nele o uso mais frequente é a capitalização
composta.
2.5.6.2 Taxas de juros proporcionais ou equivalência de taxa em juros
simples
Duas taxas de juros i1 e i2, expressas em unidades de tempo
distintas, são ditas proporcionais quando, incidindo sobre um mesmo
capital (valor principal), durante um mesmo prazo, produzem o mesmo
montante no regime de capitalização simples. Estes tipos de questões
são resolvidos pela regra de três, envolvendo as variáveis taxa e tempo.
Exemplo: qual a taxa trimestral equivalente a 32% ao ano
(lembrando que o ano tem quatro trimestres)?
Tirando a prova: um capital de R$ 100,00 pode se transformar em
um montante de R$ 120,00 aplicando uma taxa de 20% ao ano (durante
um ano) ou aplicando uma taxa de 1,67% ao mês (durante um ano).
Logo, a taxa de 20% ao ano é proporcional à taxa de 1,66666667%
ao mês.
2.5.6.3 Taxasmédias e prazos médios
A taxa média indica para determinado conjunto de operações
(aplicações ou empréstimos) a taxa de juro média e periódica
representativa das operações em determinado período de tempo. A
expressão básica da taxa média é:
A “taxa média” resulta, pois, da ponderação das taxas pelos valores
atuais aplicados e pelos seus respectivos prazos.
O “prazo médio” de uma operação reflete o número médio de
períodos que compõem determinado conjunto de operações. A equação
básica do prazo médio é:
O “prazo médio” é obtido pela ponderação dos valores atuais das
aplicações pelos respectivos prazos. Para visualizar os dois conceitos,
propõe-se um exemplo.
Exemplo: um banco emprestou dinheiro a três empresas nas
condições de valores, taxas de juros e prazos a seguir especificadas,
desejando-se calcular a taxa média e o prazo médio destas operações,
sabendo-se que o valor tomado emprestado e os juros serão pagos em
seus vencimentos, e o regime é de juros simples.
Empresa PV emprestado Taxa a.m. Prazo
A R$ 12.000,00 7,0% 3 meses
B R$ 7.000,00 8,0% 4 meses
C R$ 10.000,00 9,0% 5 meses
2.6 Descontos simples ou comercial
2.6.1 Considerações iniciais
As empresas que necessitam de recursos por poucos dias,
geralmente menos de um mês, tem a sua disposição a possibilidade de
efetuar o desconto de duplicatas ou efetuar operações de hot money
(curtíssimo prazo). No primeiro caso, a operação conta com a garantia das
duplicatas dadas em caução. No segundo, não há garantia vinculada ao
empréstimo, apenas a expectativa de que haverá fluxo de caixa na
empresa. Para empresas que exportam, há outros produtos para o
financiamento do capital de giro: o desconto de export notes, que
geralmente é feito com prazo superior a trinta dias, os adiantamentos de
contratos de câmbio (ACC), os adiantamentos de contratos de exportação
(ACE) etc.
2.6.1.1 Desconto simples “por fora”
O desconto simples de duplicatas e notas promissórias é um tipo
de operação bancária tradicional também conhecido como “desconto por
fora”, “desconto comercial” ou “desconto bancário”, realizado sob o
conceito de juros simples.
Normalmente, o desconto de duplicatas é realizado considerando
títulos com prazo máximo de 120 dias e prazo médio de trinta dias. O IOF
(Imposto sobre Operações Financeiras) é calculado sobre o valor principal
(capital), com alíquota de 0,0041% ao dia para pessoa jurídica (1,5% ao
ano, ano civil) e 0,0329% ao dia para pessoa física (12% ao ano, ano civil),
limitado aos valores anuais, caso o prazo seja maior que 12 meses.
Na operação de desconto de duplicatas, notas promissórias,
cheques e boletos de cartões de crédito, a instituição financeira fica com o
título. Quando o sacado (quem deve pagar o título) paga o título, o banco se
ressarci. Se o sacado não efetua o pagamento, o cedente (quem cedeu e
descontou o título antes do vencimento) paga o valor do título ao banco e
empreende as ações de cobrança pertinentes contra o sacado. Este
pagamento feito pelo cedente ao banco significa o direito de regresso, ou
seja, caso o título não seja pago a responsabilidade pelo pagamento é de
quem fez o desconto. 
Como existe similaridade entre os juros simples e o desconto
simples, a seguir demonstra-se um quadro de correspondência entre os
dois conceitos.
Quadro 1 – Conceitos de Juros Simples e Descontos Simples
Variáveis Conceitos em
descontos
simples
Símbolo nas
operações de
desconto
Símbolo nas
operações de
juros simples
Capital, valor
atual ou valor
presente, valor
líquido
É o valor
recebido por
quem desconta
o título.
VL PV
Valor nominal,
valor de face,
valor de resgate
ou valor futuro
É o valor
expresso no
título de crédito,
ou valor
expresso no
cheque.
N FV
Desconto É o valor cobrado
pelo banco e
assemelha-se
ao juro.
D J
Taxa de desconto É a taxa cobrada d i
Taxa de desconto É a taxa cobrada
pela instituição
financeira para
fazer a operação
de desconto.
Nos cálculos, é
utilizada a forma
unitária.
d i
Prazo É o prazo a
decorrer em dias
corridos, desde
o início da
operação até a
data de resgate
do título.
n n
Fonte: elaborada pelo autor.
Portanto, a fórmula básica do desconto comercial é semelhante a
dos juros simples, diferenciando-se pelo fato de o desconto ser feito sobre
o valor expresso no título de crédito (valor de face). Comparando-se as
duas fórmulas:
Para obtenção dos demais elementos — valor do título (N), taxa de
desconto (d) e o tempo (n) — basta seguir o mesmo regramento utilizado
em juros simples, ou seja, tratar o item a ser determinado como incógnita
e o valor do desconto (D) sempre será o numerador da fração, compondo
os dois outros elementos o denominador. Então:
Exemplo: vamos examinar o desconto admitindo-se o desconto de
um título no valor nominal de R$ 4.000,00, vencível em um ano, em três
meses antes de seu vencimento, e sabendo-se que a taxa de desconto é
de 42% ao ano. Calcular o valor do desconto e o valor descontado desta
operação.
Pode-se obter o valor líquido ou valor descontado, utilizando-se a
fórmula VL = N × (1 – d × n):
É importante destacar que a taxa de juros efetiva (que não é o
mesmo que taxa de desconto) cobrada na operação não equivale à taxa de
desconto do período 10,5%, ou seja, 0,42/12 × 3. Observe que são pagos
R$ 420,00 de juros sobre o valor atual (valor líquido ou valor liberado) de
R$ 3.580,00, o que resulta na taxa de juros de:
No desconto “por fora” é importante separar a “taxa de desconto” (d)
e a “taxa efetiva de juro” (i), porque neste tipo de operação a taxa de juros
sempre é superior à taxa de desconto declarada em razão de que o cálculo
é feito sobre o valor liberado.
Compreender o valor da taxa de juros contida em uma taxa de
desconto, ou a taxa de desconto contida em uma taxa de juros, é ponto
relevante nesta abordagem.
A conversão é bastante simples, e pode ser resolvida com a ajuda
do seguinte exercício.
Exemplo: determinar tanto a taxa de juros referente a uma taxa de
desconto de 5%, para um mês quanto a taxa de desconto referente a uma
taxa de juros de 5,36316%, para um mês. A solução é obtida pela seguinte
fórmula:
Converter taxa de desconto em taxa de juros:
Converter taxa de juros em taxa de desconto:
Nas operações de desconto, outras despesas associam-se à
operação. Nos descontos simples, além do desconto (D), incidem: o IOF
(Imposto sobre Operações Financeiras, que vai para os cofres da União) e
a TAC (Taxa de Abertura de Crédito, correspondente às despesas
administrativas da instituição financeira). Nessa hipótese, o valor presente
ou atual do título (VL) é determinado pela expressão em que o valor
liberado é o valor nominal menos o desconto (IOF e TAC):
No caso de duplicatas e notas promissórias para empresas, o IOF é
calculado sobre o valor liberado ou o líquido recebido pelo cliente. O
cálculo é o número de dias multiplicado pelo valor nominal menos o
desconto, multiplicado pela alíquota do IOF:
O desconto simples pode ser realizado por empresas de factoring.
Essas empresas, respaldadas por dispositivos legais, adquirem o
faturamento de pessoas jurídicas representado por duplicatas, sem a
incidência de IOF ou TAC. No entanto, a taxa de desconto utilizada (d)
incorpora um ganho em relação às taxas em vigor no mercado financeiro,
para remunerar os riscos inerentes à operação.
Exemplo: suponha-se que uma empresa realiza uma operação de
desconto simples de duplicata, à taxa de desconto de 3,6% a.m., pelo
prazo de 28 dias corridos, correspondendo a 19 dias úteis. O valor nominal
da duplicata é de R$ 50.000,00. A alíquota do IOF é 0,0041% ao dia e a TAC
de R$ 100,00. Determinar o valor líquido para a empresa:
Embora a instituição financeira declare a taxa de 3,6% de taxa de
desconto, o custo efetivo da operação para quem descontou a duplicata
antes do prazo de vencimentofoi de 3,81% para 28 dias. Este acréscimo
deve-se à cobrança do IOF e da TAC, além do fato de a incidência do
desconto ocorrer sobre o valor nominal do título. 
Outro modo de encontrar o custo efetivo desta operação é somar
todos os custos (desconto, IOF e TAC), totalizando R$ 1.835,47, e dividir
pelo valor líquido liberado, que foi de R$ 48.164,53:
Além de se encontrar a taxa para o período, outros cálculos de taxas
podem ser associados, quais sejam: a taxa efetiva mensal e a taxa over
mensal da operação.
2.6.1.2 Descontos simples para série de títulos de mesmo valor
Em algumas ocasiões, ocorre a apresentação de uma série de
títulos de mesmo valor (uniformes) para desconto, com vencimentos
sequenciais, e que, em princípio, deveriam ser calculados um a um. No
entanto, pode-se obter o valor do desconto e o valor líquido globalmente.
Exemplo: admita-se que sejam apresentados cinco títulos, no valor
de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos sequenciais de trinta a 150
dias (de um a cinco meses), e que a taxa cobrada tenha sido de 3% ao
mês. Determinar o valor do desconto global e o valor líquido à disposição
do cedente. Para isto, utiliza-se a seguinte fórmula:
Esta fórmula é válida somente para desconto de série de títulos ou
de prestações com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de
periodicidade constante, a partir do primeiro vencimento.
Exemplo: calcular o valor líquido correspondente ao desconto de 12
títulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencíveis de trinta a 360 dias,
sendo a taxa de desconto de 2,5% ao mês.
O valor líquido para quem está efetuando o desconto é de:
2.7 Descontos simples “por dentro”
O desconto racional ou denominado “por dentro” utiliza o mesmo
conceito do desconto “por fora”, mas os juros incidem sobre o valor atual
do título, ou seja, sobre o valor liberado na operação. Isto significa que taxa
de desconto cobrada representa o custo efetivo de todo período, pois
incide sobre o valor efetivamente recebido.
Exemplo: para um título no valor nominal de R$ 4.000,00, vencível
em um ano e que está sendo liquidado três meses antes de seu
vencimento, a uma taxa de desconto de 42% ao ano, qual é o valor do
desconto e do valor liberado? Utiliza-se a seguinte fórmula para atender a
questão (valor liberado):
Cálculo do desconto:
Cálculo do valor liberado:
No cálculo, atendeu-se a premissa de que o valor liberado é o valor
de face do título (R$ 4.000,00) menos o desconto (R$ 380,10), o que
resulta em um valor liberado de R$ 3.619,00. Ao se apurar a taxa da
operação (380,10/3.619,00), observa-se que ela reflete a taxa de desconto
declarada na operação, de 10,5% no período, ou seja, 3,5% ao mês
(0,42/12).
Para complementação de estudos
Para conhecer um pouco mais da formação dos juros e descontos,
indica-se a leitura dos livros: Matemática financeira e suas aplicações, de
Alexandre Assaf Neto, e Matemática financeira, de Carlos Patrício
Samanez.
Termos-chave
Capitalização simples: regime de aplicação dos juros em que a
remuneração ou cobrança dos juros é sobre um capital sempre constante.
Desconto: operação de crédito que consiste na antecipação do
recebimento de um título de crédito (duplicata, nota promissória etc.).
Equivalência de capitais: conceito fundamental em cálculos
financeiros, pois trata da forma de igualar dois capitais, com datas de
vencimento diferentes, para determinada data (data focal) e intermediados
por uma mesma taxa de juros.
Juros: remuneração obtida por aplicar um capital ou o custo pago
por utilizar um capital (operações de empréstimos).
Matemática financeira: ramo da matemática que aborda cálculos
financeiros do dia a dia, especificamente utilizados no mercado financeiro
e em finanças pessoais.
Taxas de juros: expressão percentual dos juros a serem obtidos ou
cobrados pela utilização de capital. Apresenta diversas conceituações:
nominal, proporcional etc.
CAPÍTULO 3
JUROS COMPOSTOS
Este capítulo trata do regime de capitalização composta e taxas de juros, cujo
aspecto relevante é o uso exponencial do tempo. Neste regime de capitalização, há
mudança sistemática da base para o cálculo dos juros, diferentemente da capitalização
simples, o que muda e amplia os conceitos até aqui vistos. Os aspectos principais se
referem à formação da taxa de juros, sua equivalência no tempo e a repercussão nos
cálculos financeiros. Aborda-se, também, os componentes do regime de capitalização:
capital, taxa e tempo e montante, valor atual e suas inter-relações, apresentando
conceituações específicas para taxa de juros.
3.1 Considerações iniciais
Para nos familiarizar com os termos utilizados, far-se-á referência a
partir de agora, e de forma indistinta, a “montante ou valor futuro” e a
“capital ou valor presente”. As conceituações no regime de capitalização
composta abrangem mais o estudo do valor do dinheiro no tempo.
O regime de capitalização composta é a forma de cálculo de juros
mais utilizada nas práticas financeiras no país. O cálculo é realizado sobre
o montante existente no início de cada período de tempo: os juros são
gerados pela soma do capital inicialmente investido acrescido dos juros
acumulados até o fim do período imediatamente anterior, e assim
sucessivamente.
3.2 Regime de capitalização composta (juros compostos)
A fluência dos juros compostos ao longo do tempo faz com que o
valor futuro cresça de forma exponencial, como uma progressão
geométrica (PG), pois com a incidência de “juros sobre juros” o valor do
rendimento é crescente ao longo do tempo. Lembre-se de que, no regime
de juros simples, a base para o cálculo dos juros era imutável (fixa) ao
longo do tempo, e no regime de capitalização composta isto é diferente.
Tabela 5 – Regime de capitalização composta, sem decimais
Ano Aplicação Taxa Juros Juros Saldo no
final do ano
1
500,00 10% ao ano R$ 500 ×
0,10 × 1 =
50,00
500,00 +
50,00 =
550,00
2
0,00 10% ao ano R$ 550 ×
0,10 × 1 =
55,00
550,00 +
55,00 =
605,00
3
0,00 10% ao ano R$ 605 ×
0,10 × 1 =
60,50
605,00 +
60,50 =
665,50
4
0,00 10% ao ano R$ 665 ×
0,10 × 1 =
66,55
665,50 +
66,50 =
732,05
5
0,00 10% ao ano R$ 732,05 ×
0,10 × 1 =
73,21
732,00 +
73,20 =
805,26
Juros 305,26
Fonte: elaborada pelo autor.
Em termos de representação matemática, os juros compostos
estão em função de um capital (C ou PV), de uma taxa de juros (i) e de um
tempo (n):
Tendo um capital de R$ 500,00 (veja a Tabela 5) aplicado a juros
compostos de 10% a.a. em cinco anos, obtêm-se juros de R$ 305,26. Note
que a taxa é aplicada sobre o capital acrescido dos juros de cada período
imediatamente anterior. Utilizando-se a fórmula apresentada, obtém-se o
mesmo resultado.
3.3 Valor futuro (montante) e valor atual (capital) na capitalização
composta
Reitera-se, aqui, que para se obter o montante soma-se o capital
mais os juros, ou a mesma equação de juros simples:
Para se obter diretamente o montante (M ou FV), aplica-se a fórmula
geral dos juros compostos (a soma dos R$ 500,00 mais os juros de R$
305,26):
Esta é a fórmula para o cálculo do montante, quando os juros forem
sob o regime de capitalização composta, destacando-se que o tempo (n)
se apresenta de forma exponencial. Assim, calcula-se o montante precisar
determinar os juros. A partir desta fórmula calcula-se todos os demais
componentes dela: o capital, a taxa e o tempo, ou seja, utilizando a
equação FV = PV (1 + i)n.
A expressão (1 + i)n quando multiplica um capital é denominada
fator de capitalização ou fator acumulação de capital. A expressão1/(1 + i)n
quando divide um montante é denominada fator de descapitalização ou
fator de atualização de capital. É importante ter sempre presente que:
O regime de capitalização composta incorpora ao capital não
somente os juros referentes a cada período, mas também os
juros acumulados até o momentoanterior. É um comportamento
equivalente a uma progressão geométrica (PG), na qual os juros
incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período
imediatamente anterior.
No primeiro ano, o juro incide sobre o capital inicial, de R$ 500,00.
No segundo ano, o juro incide sobre o capital inicial, de R$
500,00, e sobre os juros do período imediatamente anterior.
No Ano 1, os juros simples e compostos sempre se igualam, ou
seja, são o mesmo valor de R$ 50,00, tornando também idêntico
o montante em ambos regimes, no Ano 1 e apenas no Ano 1.
A diferença se estabelece em operações que contenham mais de
um período de capitalização, ou seja, a partir do Ano 2, dado que
no regime composto ocorrem juros sobre juros, como
demonstrado anteriormente.
Para se obter diretamente o capital (valor atual ou valor presente),
representado por C ou por PV, aplica-se a fórmula modificada de juros
compostos, que pode ser usada das duas maneiras a seguir dispostas:
3.4 Determinação da taxa e do tempo no regime de capitalização
composta
As demais variáveis da capitalização composta são encontradas por
dedução da fórmula básica FV = PV (1 + i)n e, para determinar a taxa de
juros composta, necessita-se utilizar os recursos da raiz e da
exponenciação.
Para obter o tempo, precisa-se usar o logaritmo, ou o logaritmo
natural (neperiano) ou o logaritmo base 10. As calculadoras, dependendo
do tipo, podem oferecer um dos tipos de logaritmos, o que é indiferente
para obtenção dos resultados, pois as duas formas de logaritmo
determinam os mesmos resultados.
3.5 Comparação entre os regimes de capitalização simples e composta
A comparação é proposta pela seguinte situação: João empresta a
Marcos a quantia de R$ 10.000,00 por cinco meses à taxa de 5% a.m., no
regime de juros compostos. Marcos repassa a mesma quantia para um
amigo, nas mesmas condições, só que agora no regime de juros simples.
Vamos analisar as duas situações.
Figura 7 – Capitalização Simples e Composta.
Fonte: elaborada pelo autor.
A comparação mostra que Marcos incorrerá em prejuízo se
emprestar o valor a juros simples. O valor do prejuízo seria de R$ 262,82.
3.6 Taxa nominal, taxa efetiva, períodos de capitalização, equivalência de
taxas
Quando se emprega taxa de juros nominal admite-se que a
capitalização ocorre por juros proporcionais simples, o que significa, por
exemplo, que uma taxa de 36% ao ano, capitalizada mensalmente,
determina proporcionalidade mensal — período de capitalização.
A taxa de 36% ao ano representa a taxa nominal para um período
inteiro, mas sobre a qual deve ser atribuído um período de capitalização.
Então, utiliza-se a proporcionalidade para capitalização, que é mensal.
Simplesmente divide-se 36% por 12 meses e apura-se a taxa de 3% ao
mês, que é a taxa proporcional ou linear.
No entanto, em juros compostos, muda o conceito de taxa nominal
para taxa efetiva, isto é, a taxa de juros para um prazo “n” formado
exponencialmente (período de capitalização). A diferença em relação à taxa
nominal reside na forma de capitalização (linear ou exponencial). Enquanto
na taxa nominal o fator de capitalização é linear (1 + i × n), na taxa efetiva o
fator de capitalização é uma exponenciação (1 + i)n.
Se a taxa de juros for de 3% ao mês e o período da operação for um
ano, e a capitalização for mensal, a formação da taxa efetiva é por
exponenciação, devendo-se capitalizar a taxa mensal pelo período
pretendido, no caso ano, ou seja, (1 + 0,03)12 ‒ 1 × 100 = 42,576% ao ano.
Então, a fórmula para se obter a taxa efetiva é (1 + i)n ‒ 1, o que terá
mais ampla abordagem nos tópicos seguintes.
3.6.1 Períodos de capitalização
O período de capitalização tem estreita relação com o conceito de
“taxa efetiva”, a taxa formada exponencialmente por meio de períodos de
capitalização. À medida que a quantidade de períodos de capitalização
(“n”) de uma taxa nominal aumenta, a taxa efetiva aumenta, ou seja, quanto
maior for a frequência de capitalização de uma mesma taxa nominal, mais
alto é o rendimento acumulado (ASSAF NETO, 2001).
Admita-se uma taxa nominal de 18% ao ano, para diferentes
períodos de capitalização. Na tabela a seguir apresenta-se esta taxa
efetiva para diferentes períodos de capitalização.
Tabela 6 – Taxas Efetivas
Períodos de
capitalização
Número de
períodos
Fórmula Taxa efetiva
anual
Anual 1 (1 + 0,18/1) ^1 –1 18,00%
Semestral 2 (1 + 0,18/2) ^2 –1 18,81%
Quadrimestral 3 (1 + 0,18/3)^3 – 1 19,10%
Trimestral 4 (1 + 0,18/4)^4 – 1 19,25%
Mensal 12 (1 + 0,18/12)^12‒ 1 19,56%
Diário 360
(1 +
0,18/360)^360 ‒
1
19,72%
Fonte: elaborada pelo autor.
3.6.2 Conversão da taxa nominal em taxa efetiva
Para converter taxas nominais em taxas efetivas, assim como taxas
efetivas em taxas nominais, é preciso compreender a formação destas
conceituações de taxas. Em muitas operações do mercado financeiro
expressa-se a taxa para linhas de crédito, tanto em taxa nominal, como em
taxa efetiva, causando alguma dificuldade de compreensão. Entretanto, os
custos normalmente são equivalentes, ou seja, uma taxa nominal pode
expressar uma equivalência a uma taxa efetiva.
Para ilustrar esta situação, apresenta-se a seguinte situação: o
Banco X afirma que o custo de um empréstimo pessoal é de 4,2% efetivo
ao mês; o Banco Y afirma que o custo desta mesma linha de crédito é de
4,12% ao mês. Qual dos bancos aplica a menor taxa em suas aplicações?
Para compreender as taxas, vamos examinar as duas ofertas:
Banco X tem taxa efetiva e para comparar ao Banco Y precisa-se
da taxa nominal, então:
Banco Y tem taxa nominal e para comparar ao Banco X precisa-se
da taxa efetiva, então:
Apropriando-se dos dados da Tabela 6, verifica-se que quando se
possui taxa nominal, e no caso examinado ela era anual, para se obter a
taxa efetiva, primeiro deve-se trazer a taxa para o período de capitalização
(dia, mês, trimestre etc.) e a partir daí utilizar a capitalização (exponencial)
para o período pretendido. Para exemplificar, quando se determinou a taxa
efetiva trimestral dividiu-se a taxa de 18% por quatro (o ano tem quatro
trimestres) para obter a taxa de um trimestre e, então, pela capitalização de
quatro trimestres obteve-se a taxa efetiva anual de 19,25%.
O conceito de taxa efetiva é tratado mais especificamente no tópico
que se segue, de modo a ampliar a compreensão deste conceito.
3.6.3 Equivalência de taxas em juros compostos
A equivalência de taxas em juros compostos é quando duas ou
mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos, aplicadas a um
capital, produzem o mesmo montante ao final de determinado tempo.
A taxa de juros vem sempre acompanhada de um tempo que a
referencia: 2% ao mês, 4% ao trimestre, 52% em dois anos, ou seja, a taxa
tem sempre um tempo à ela associado. Em muitas operações e cálculos,
o tempo associado à taxa é igual à unidade de tempo do período
pretendido, por exemplo, 2% ao mês aplicado em dois meses; 4% ao
trimestre aplicado em quatro trimestres. Verifica-se que o tempo pretendido
é o mesmo do que está associado à taxa (mês com mês; trimestre com
trimestre) etc.
No entanto, é comum que os tempos sejam diferentes: 2% ao mês
aplicado em 37 dias; 4% ao trimestre aplicado em oito meses, ou seja, os
“tempos” têm unidades diferentes de medida (mês e dias: trimestre e
meses). Para efetuar o cálculo de operações, é obrigatório que estes dois
elementos estejam na mesma base (mês com mês; dia com dia; ano com
ano etc.).
Para obter esta equivalência, pode-se usar, em princípio, duas
alternativas: ou se faz a equivalência do tempo “n” ao período pretendido,
ou se faz a equivalência da taxa para o período referido. As duas situações
são abordadas por meio de um exemplo.
Exemplo: calcular o montante de aplicação de R$ 2.000,00 em 37
dias à taxa de juros compostos de 2% ao mês.
Na primeira alternativa, iguala-se (equivale-se)o tempo “n”, que está
em dias, para o período da taxa, que é mês. Transformam-se os 37 dias
em meses, ou seja, como o mês tem 30 dias faz-se uma simples divisão
(37/30 = 1,233333 mês). Agora temos o tempo em mês e a taxa em mês.
Na segunda alternativa, iguala-se (equivale-se) a taxa “i”, que está
ao mês, para o período do tempo, que é dia. Transforma-se a taxa de 2%
para dias, o que requer que se efetue o que se denomina equivalência de
taxas, utilizando-se para isto a seguinte fórmula, em que “q” significa o que
eu quero e “t” significa o que eu tenho.
substituindo:
it = a taxa que eu tenho, no caso, 2%;
nq = o tempo que eu quero, no caso 37 dias;
nt = o tempo que eu tenho, no caso 30 dias (mês tem 30 dias).
A taxa diária é de 2,47239% em 37 dias, ou seja, 1,021,23333, o que
resulta em 1,0247239 menos um multiplicado por cem (para obter a taxa).
Embora se possa determinar a taxa para o período pretendido,
normalmente determina-se a taxa para o período unitário (um dia, um mês,
um trimestre) e, posteriormente, capitaliza-se para o período pretendido.
Então, obter-se-ia a taxa, no exemplo, para um dia e se capitalizaria a taxa
encontrada para 37 dias.
Para melhor compreensão, apresentam-se algumas situações de
conversão de taxas:
3.7 Capitalização contínua
Até então tratou-se a taxa de juros ocorrendo de forma finita e
discreta ao final de cada período de tempo, o que é o mais usual,
apresentando-se situações de capitalização abordadas na equivalência de
taxas, com capitalização com frequência de intensidades diversas: anual,
semestral, trimestral, mensal, diária.
No entanto, pode-se também efetuar capitalização infinitamente
grande, a qual ocorre em cada instante infinitesimal, conhecida como
capitalização contínua, e que tem a seguinte formulação matemática:
em que:
e = número constante, base dos logaritmos neperianos =
2,7182818284
I = taxa de juros periódica, conhecida como taxa instantânea
n = período de tempo
Para entendimento do uso deste tipo de capitalização, realizada
para o cálculo da rentabilidade de títulos de mercado, preço de venda de
ações etc., exemplifica-se com o seguinte exemplo.
Exemplo: calcular o montante admitindo uma aplicação de R$
1.000,00 por dois anos, à taxa de 10% ao ano, com capitalização discreta e
com capitalização contínua.
Para complementação de estudos
A formação dos juros compostos é parte relevante no estudo da
matemática financeira. Recomenda-se como leitura complementar o livro
de matemática financeira, de Alexandre Assaf Neto.
Termos-chave
Capitalização composta: regime de aplicação dos juros em que a
remuneração ou cobrança dos juros é sobre um capital acrescido dos
juros de períodos antecedentes.
Taxa contínua: taxa empregada para o cálculo de períodos
infinitamente grandes.
Taxa efetiva: taxa que já contempla o regime de capitalização
composta, para o período que está a ela especificado.
e: número constante, base do logaritmo neperiano, cujo valor fixo é
2,718281284.
Equivalência de taxas: conceito fundamental para converter a taxa
para período homogêneo, ou seja, se o período da operação é em dias,
converte-se a taxa para dia, se é ano, converte-se para ano etc.
CAPÍTULO 4
TAXAS DE JUROS (OVER, INFLAÇÃO, REAL), INDICES DE
PREÇOS, TAXA MÉDIAS E PRAZOS MÉDIOS
Este capítulo trata de especificações relativas às taxas de juros (taxa over, taxa
real etc.), abordando também os índices de preços e sua relação com as taxas de
inflação. Um dos temas pouco abordados em cursos de matemática financeira é o
cálculo da taxa média e do prazo médio, aqui destacado em razão de sua util idade
para orçamento e planos de financiamento. Ao final do capítulo inserem-se
conceituações para séries de títulos de mesmo valor, além de comentários sobre
operações comuns no mercado financeiro: hot money, export notes. Outro aspecto
relevante é a abordagem sobre reciprocidade bancária.
4.1 Taxas de juros over
A taxa over, uma taxa nominal que o mercado financeiro incorporou
no cálculo de suas operações (cheques especiais, fundos de
investimentos etc.), precisa para sua formação do número de “dias úteis”
em que os juros serão capitalizados, de forma que se possa apurar a taxa
efetiva do período.
Tome-se, por exemplo, que a taxa over em determinado momento
esteja definida em 5,4% ao mês, e que para o período da taxa estejam
previstos 22 dias úteis. Como a taxa over é, em geral, definida por juros
simples (taxa nominal), calcula-se, inicialmente, a taxa proporcional diária:
Sabendo-se que no período dessa taxa existem 22 dias úteis, a taxa
efetiva é obtida pela capitalização composta:
i = (1 + 0,0018)22 - 1 = 4,04%
Isto quer dizer que 4,04% representa a taxa over efetiva para 22 dias
úteis. Então, os procedimentos para apurar a taxa efetiva over, dada uma
taxa nominal de juros over, são os seguintes:
dividir a taxa over, geralmente mensal, pelo número de dias
corridos no período, para se obter a taxa nominal diária;
capitalizar a taxa diária pelo número de dias úteis previsto na
operação;
calcular a taxa efetiva pela fórmula (quando taxa over é mensal):
em que:
taxa over – taxa nominal mensal over
du = número de dias úteis previstos no prazo da operação
Entretanto, muitas vezes é interessante e necessário transformar
uma taxa efetiva over em taxa de juros over.No exemplo anterior, havia
uma taxa nominal over de 5,4% ao mês para um período de 22 dias úteis
e, com isto, calculou-se a taxa efetiva over de 4,04% ao mês. Se fosse
dada a taxa efetiva over de 4,04% ao mês para transformar em taxa over, o
procedimento do cálculo seria o inverso:
descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia útil
previsto na operação;
por ser nominal, e definida mensalmente, a taxa over é obtida
pelo produto da taxa descapitalizada pelo número de dias corridos
do mês;
o cálculo é obtido pelo seguinte procedimento:
a fórmula básica de cálculo da taxa over é:
taxa over = [(1 + 0,0404)^1/22 ‒ 1]*30 = 5,4% ao mês
O raciocínio desenvolvido para taxa over pode ser aplicado também
para avaliação de aplicações de títulos de renda fixa (CDBs e RDBs), cujos
vencimentos ocorrem em feriados ou fins de semana. As taxas nominais
de juros desses títulos costumam elevar-se, dando por vezes a impressão
de um aumento na rentabilidade, sem que necessariamente esse ganho
maior tenha ocorrido.
Para compreender o que está sendo afirmado, propõe-se a
aplicação em um título prefixado, pelo prazo de trinta dias corridos, o qual
contém 22 dias úteis, à uma taxa bruta (efetiva) de 30% ao ano. Então, a
taxa efetiva mensal é de (1 + 0,30)^30/360 ‒ 1 = 2,21% ao mês, ou para
trinta dias. No entanto, ao se verificar a data de resgate do título, o seu
vencimento ocorre em um sábado, o que eleva o prazo em dias corridos de
trinta para 32 dias. Porém, os 22 dias úteis continuam sendo mantidos.
A taxa efetiva mensal equivale não a trinta dias, mas sim a 32 dias
corridos, então a taxa efetiva para os 32 dias deveria ser de: (1 + 30) ^
32/360 ‒ 1 = 2,36% para 32 dias. Isto significa que a taxa equivalente anual
de juros, para aplicação dos 32 dias (que o prazo correto da aplicação) e
correspondentes a 22 dias úteis (período da aplicação), se reduz dos 30%
ao ano para apenas 27,9% ao ano, como se pode observar no cálculo:
(1,0221) ^360/32 ‒ 1 = 27,9%. O que se afirma é que a taxa é para trinta
dias, mas de fato ela corresponde a 32 dias. 
Outra aplicação prática relevante é determinar, a partir da taxa de
juros definida para um período, a taxa equivalente correspondente a outro
intervalo de tempo, com diferente número de dias úteis. Admita, então, que
um título tenha sua aplicação em 30 dias corridos e que a taxa (efetiva)
bruta seja de 26% a.a., e no período haja 22 dias úteis. Qual a taxa de
juros equivalente para uma aplicação de 34 dias corridos com 24 dias
úteis?
Taxa diária correspondente a30 dias
Taxa para um dia útil, relativo aos 22 dias úteis
Taxa correspondente a 24 dias
Taxa correspondente a 34 dias corridos
4.2 Índices de preços e taxas e inflação
Os índices de preços decorrem de procedimentos estatísticos que
permitem medir as variações ocorridas, no nível geral de preços, de um
período para outro. No Brasil, são utilizados inúmeros índices de preços,
elaborados por diferentes instituições de pesquisa, sendo as mais
importantes a Fundação Getúlio Vargas (FGV), o Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), o Banco Central do Brasil (Bacen) e a Bolsa
de Valores, Mercadorias e Futuros de São Paulo (BM&F/Bovespa).
Ao se utilizar índices, deve-se selecionar o mais adequado ao
propósito da atualização pretendida, e considerar a sua representatividade,
seja para a economia do país, ou especificamente para o segmento ou
setor de atividade em análise.
Os índices podem ser calculados para se comprovar sua evolução
ou involução, quando tomados um período de tempo (de janeiro a
dezembro de determinado ano, por exemplo). Também para se obter sua
acumulação quando ele é divulgado de forma mensal, a forma mais
comum, mas pode ser até diário (TR – Taxa Referencial).
4.2.1 Evolução ou involução de índices
A evolução ou involução de índices pode ser observada ao se tomar
como exemplo o Índice Geral de Preços, Disponibilidade Interna (IGP-DI),
publicado pela FGV, que é acumulado desde 1993. Da série, retirou-se o
período de janeiro a dezembro de 2008, conforme especificado na Tabela 7
a seguir.
Tabela 7 – Evolução Índice IGP-DI
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
IGP 988,5335 992,2899 999,2360 1.010,4274 1.029,4235 1.048,8796
Mês Jul Ago Set Out Nov Dez
IGP 1.060,6270 1.056,5966 1.060,4004 1.071,9587 1.072,7091 1.067,9892
Fonte: elaborada pelo autor.
Pelos valores acumulados deste índice de preço, constata-se que
os preços gerais da economia variaram no período, aumentando ou
diminuindo. A partir destas informações pode-se empreender os seguintes
questionamentos: (a) qual a taxa de variação de preços do segundo
semestre de 2008? (b) qual a variação para o período de outubro a
dezembro do ano de 2008? (c) qual variação de preço no mês de
outubro/2008? (d) qual a variação de preço no mês de agosto/2008
(quando houve redução do índice)?
É bastante simples calcular a variação do índice, o qual vai refletir a
inflação do período pretendido. Seguindo os questionamentos, temos as
seguintes variações:
Inflação 2º semestre = 1.067,9892/1.048,8796 ‒ 1, igual a
1,821906%
Inflação out a dez = 1.067,9892/1.060,4004 ‒ 1, igual a 0,715654%
Inflação em outubro = 1.071,9587/1.060,4004 ‒ 1, igual a
1,089994%
Inflação em agosto = 1.056,5966/1.060,6270 ‒ 1, igual a ‒
0,380002%
A taxa de inflação pode ser expressa a partir dos índices de preço,
utilizando-se a seguinte relação: preço na data da determinação da taxa
dividido pelo preço na data do período considerado, menos um, ou seja:
Outra forma de operar com índices é a partir do índice mensal,
efetuando sua acumulação para o período que for necessário. No
exemplo, a seguir, estão os índices do IGP-DI, mensais, de janeiro a
dezembro de 2008. As questões envolvem sua acumulação para períodos:
(a) qual o valor acumulado para os meses de janeiro, fevereiro, março,
abril, até dezembro? (b) qual o valor acumulado para o período de junho a
setembro?
Tabela 8 – Evolução Índice IGP-DI Mensal
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
IGP 0,99 0,38 0,70 1,12 1,88 1,89
Mês Jul Ago Set Out Nov Dez
IGP 1,12 (0,38) 0,36 1,09 0,07 (0,44)
Fonte: elaborada pelo autor.
Neste caso, o processo envolve o que foi estudado sobre taxa de
juros e apenas sua acumulação, que é sua multiplicação contínua:
Mês de janeiro: (1 + 0,009900), que é a própria;
Mês de fevereiro: (1 + 0,009900) * (1 + 0,0038) ‒ 1 = 1,3738%
Mês de março: (1 + 0,013738) * (1 + 0,0070) ‒ 1 = 2,0834%
Mês de abril: (1 + 0,020834) * (1 + 0,0112) – 1 = 3,2267%
Mês de agosto: (1 + 0,083552) * (1 + -0,0038) – 1 = 7,9434%
No quadro a seguir, apresenta-se todos valores acumulados de
janeiro a dezembro de 2008 para o índice IGP-DI:
Tabela 9 – Evolução Índice IGP-DI: Janeiro a Dezembro/2008
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
IGP 0,9900 1,3738 2,0834 3,2267 5,1674 7,1550
Mês Jul Ago Set Out Nov Dez
IGP 8,3552 7,9434 8,3320 9,5128 9,5895 9,1073
Fonte: elaborada pelo autor.
4.2.2 Valores monetários em inflação
Os valores monetários envolvidos em operações sofrem sempre a
ação da perda do poder aquisitivo da moeda, a inflação, devendo-se
abandonar os resultados nominais e determinar o verdadeiro valor
envolvido.
Exemplo: adquire-se um imóvel por R$ 60.000,00 em certa data, e
dois anos depois vende-se por R$ 80.000,00, sabendo-se que no período
a inflação foi de 40%. Houve um ganho nominal de R$ 20.000,00 (R$
80.000,00 menos R$ 60.000,00), porém, houve valorização real (ganho
real) na operação?
Para isto, deve-se atualizar o valor original do imóvel e compará-lo
com o valor de venda:
60.000 * (1 + 0,40) = 84.000,00 – 80.000,00 = (4.000,00)
O que se constata é um prejuízo real de R$ 4.000,00, o que mostra
que para comparar valores em diferentes datas deve-se dissociar o ganho
nominal, no caso, R$ 20.000,00, que representa uma rentab ilidade
nominal de 33,3% (20.000/60.000) do ganho/prejuízo real da operação. Ao
se obter o resultado com o valor corrigido, observa-se que não houve
ganho e sim prejuízo real de 6,7% (4.000/60.000). Para obter a taxa da
operação, faz-se a seguinte operação, incluindo-se a inflação no cálculo,
em que se constata a involução de preços na ordem de 4,76%:
4.2.3 Taxa de desvalorização da moeda
A inflação representa a elevação do nível de preços, demonstrando a
perda do poder de aquisição da moeda, ou seja, significa que a moeda em
nosso poder perde seu poder de compra. É importante medir a queda do
poder de compra causada pelos aumentos de preços. A taxa de
desvalorização da moeda para diferentes taxas de inflação pode ser obtida
a partir da seguinte fórmula (ASSAF NETO, 2001):
Por exemplo, se a taxa de inflação for de 8%, a queda na capacidade
de compra será de 7,4%, ou seja, ao se ter R$ 100,00 para comprar um
bem, agora ter-se-á somente R$ 92,60. Houve uma perda de R$ 7,40
(100,00 × 0,074), e em termos reais, somente se possui a diferença de R$
92,60 (100,00 – 7,40).
4.3 Taxa real
A taxa real deve ser determinada para descontaminar a taxa dos
efeitos da inflação, o que demonstra que a taxa de juros tem uma parte de
“remuneração legítima” e outra parte referente ao “efeito inflacionário”.
No entanto, em matemática financeira, sempre se espera obter a
parte “real” de remuneração ou do custo que se está pagando em alguma
operação. Então, o objetivo do cálculo da taxa real é expurgar o efeito da
inflação que se encontra indexada na taxa total de juros, para expressar o
valor “real” dos juros na operação.
Admita-se um título que ofereça remuneração de 12,0%, para
determinado período, e sabe-se que a inflação no período foi de 8,75%.
Alguém aplicou R$ 100.000,00 e obteve uma remuneração nominal de R$
12.000,00, recebendo um montante de R$ 112.000,00, que corresponde ao
valor nominal obtido na aplicação.
No entanto, o poder de compra do valor aplicado em razão da
inflação era de R$ 108.750,00 (100.000,00 * (1 + 0,0875)), e seu resgate foi
de R$ 112.000,00. Houve um ganho nominal de R$ 12.000,00, mas o
ganho real foi de apenas R$ 3.250,00 (112.000,00 ‒ 108.750,00). Desta
forma, para determinar o ganho efetivo (real) da operação, deve-se dividir o
ganho real de R$ 3.250,00 pelo valor da aplicação já corrigida em seu
poder de compra (R$ 108.750,00), obtendo-se, assim, a taxa real da
aplicação de 2,9885%. A fórmula geral para apuração da taxa real (ASSAF
NETO, 2001) é a seguinte:
No exemplo, substituindo os dados de taxas na fórmula, tem-se:
4.4 Taxas médias e prazos médios no regimede capitalização composta
A taxa média indica a taxa de juro médio e periódico que representa
as operações em determinado período de tempo. Este conteúdo tem
merecido substancial atenção dos gerenciadores do mercado financeiro e
de capitais, à medida que eles avançam e se desenvolvem, exigindo
controles mais seguros e adequados em operações cada vez mais
complexas e específicas. Veja o seguinte exemplo.
Exemplo: qual a taxa média de três aplicações efetuadas na mesma
data, nos valores de R$ 16.700,00, R$ 9.200,00 e R$ 12.500,00, às taxas
de 6,0%, 5,0% e 3,5% ao mês, sendo o prazo de oito meses nas três
operações? Nota-se que a soma dos capitais é de R$ 38.400,00 (R$
16.700,00 + R$ 9.200,00 + 12.500,00).
Cálculo da taxa a partir do montante:
Cálculo da taxa a partir do valor presente:
Quando a operação tem prazos diferentes, a taxa média é obtida a
partir de um cálculo conhecido como “taxa interna de retorno”, a qual pode
ser obtida com máquina financeira ou por “tentativa e erro”.
Exemplo: qual a taxa média de três aplicações: R$ 260.000,00, R$
85.000,00 e R$ 100.000,00, com prazos de 15 meses, cinco meses e dez
meses, e taxas de 3,4%, 1,8% e 2,6%, respectivamente? A soma dos
capitais é de R$ 445.000,00 (R$ 260.000,00 + R$ 85.000,00 + R$
100.000,00), e para iniciar o cálculo, determinam-se os respectivos
montantes e, na sequência, obtém-se o valor presente pela fórmula de
juros compostos:
Para o cálculo, ordenam-se os prazos para formar uma sequência
de crescimento, ou seja, cinco meses, dez meses e 15 meses.
Resolvendo esta expressão, chega-se à taxa média de 3,13% ao
mês, o que foi apurado com uma calculadora financeira.
O segundo método, de “tentativa e erro”, pressupõe que se atribua
ao “i” valores que possam por aproximação estimar a taxa. Neste sentido,
escolhe-se duas taxas próximas às taxas envolvidas, tendo sido
escolhidas as taxas de 3% e 4%. Para obter a taxa, adotam-se os
seguintes passos/procedimentos:
Calcula-se o montante com a taxa de 3%:
Calcula-se o montante com a taxa de 4%:
Observe que o primeiro montante é menor e o segundo maior do
que o montante original (R$ 651.513,50). A taxa, então, encontra-
se realmente entre 3% e 4%. Se isto não acontecer, deve-se
procurar outras taxas que satisfaçam tal condição.
Faz-se a diferença entre os montantes obtidos:
Faz-se a diferença entre os montantes obtidos e o montante
original:
Faz-se a diferença das taxas escolhidas: 4% ‒ 3% = 1%
Utiliza-se a equação (com a taxa do maior montante: 4%):
Utiliza-se a equação (com a taxa do menor montante: 3%):
O prazo médio reflete o número médio de períodos que compõem
um fluxo de caixa, o que significa a quantidade de períodos que as
parcelas de caixa (ou montantes) remuneram um capital (emprestado ou
aplicado). Outro entendimento é que é o tempo que um ou mais fluxos de
caixa, dada uma taxa de juros e o regime de capitalização, produz uma
única parcela equivalente a todo fluxo, determinada por uma ou mais
operações financeiras.
Exemplo: determinar o prazo médio de um financiamento de R$
18.700,00 a ser liquidado em dez prestações mensais de R$ 2.147,70
cada, sabendo-se que a taxa da operação é de 2,6%.
Outro exemplo refere-se a quando se examina duas ou mais séries
de pagamentos iguais, mas cada uma delas com prestações e taxas de
juros diferentes.
Tabela 10 – Evolução Índice IGP-DI: Janeiro a Dezembro/2008
Nº Valor Taxa
mensal
Número de
prestações
Valor da
prestação
Somatório
das
prestações
1 250.000,00 6,125% 6 51.040,50 306.243,00
2 110.200,00 5,295% 10 14.476,57 144.765,70
3 80.000,00 3,854% 12 8.452,12 101.425,44
4 340.800,00 4,235% 15 31157,73 467.365,95
781.000,00 1.019.800,09
Fonte: elaborada pelo autor.
Calcula-se, inicialmente, a taxa média, como visto no item
precedente, o que resulta em 4,706459%. Após a determinação da taxa,
emprega-se a mesma lógica antes utilizada para obter o prazo médio, ou
seja:
4.5 Hot money – taxas equivalentes
Hot money é um empréstimo de curtíssimo prazo (em geral, de um
dia a uma semana) para atender às necessidades de capital de giro das
empresas. A taxa de juros cobrada neste produto toma por base a taxa do
Certificado de Depósito Interbancário (CDI) do dia da operação acrescida
dos custos fiscais e do spread do banco. Em geral, essa taxa é expressa
na linguagem de taxa over e repactuada diariamente, sendo que a cada
operação há incidência de IOF sobre o valor inicial da operação diária.
Exemplo: uma pessoa jurídica solicita a um banco um empréstimo
de R$ 500.000,00, em hot money, para pagamento no dia seguinte. A taxa
over mensal da instituição, neste dia, está cotada a 3,5% ao mês over e o
IOF de 0,0041% ao dia. Determinar o valor liberado e o valor pago pela
empresa no dia seguinte, assim como a taxa efetiva mensal da operação:
Valor liberado:
Montante pago pela empresa no dia seguinte:
Taxa efetiva mensal da operação em mês de 21 dias úteis:
4.6 Export notes
É o nome dado aos contratos de cessão de créditos de exportação.
Trata-se, em linhas gerais, da seguinte operação: um exportador fecha um
contrato de exportação e, para obter os recursos que lhe permitam realizá-
la, transfere os direitos de venda a um investidor local, recebendo, em
troca, os reais equivalentes ao valor da operação em moeda estrangeira.
Como houve a transferência do título, o investidor é pago pelo importador,
extinguindo-se nesta hora a nota promissória (export notes).
Na prática, esta operação sofre a incidência de outros impostos,
taxas e correção monetária do capital emprestado que não serão aqui
abordados, pois o objetivo é demonstrar a aplicação de juros simples em
produtos financeiros. Nos cálculos em moeda estrangeira, as export notes
são regidas pela capitalização simples.
Exemplo: um investidor (geralmente um banco) desconta uma
export note emitida por um exportador. O valor nominal do título é de US$
100,000.00, o prazo da operação de 120 dias, a taxa de desconto de 12%
ao ano (base 360 dias), a taxa de câmbio no dia da aplicação é de R$
1,0479/US$ e a taxa de câmbio de conversão no dia do resgate de R$
1,0690/US$. A alíquota do Imposto de Renda Retido na Fonte (IRRF) no
momento do desconto é de 20% sobre o rendimento bruto, em reais.
Determinar:
a. valor do capital em dólares (US$);
b. valor do capital em reais (R$);
c. rendimento bruto do investidor;
d. taxa efetiva em reais no período, do ponto de vista do investidor;
e. taxa efetiva líquida da operação, do ponto de vista do investidor;
f. taxa over líquida no período (84 dias úteis).
A seguir, a solução e os cálculos da operação aqui identificada.
a. N = US$ 100,000.00
i = 12% ao ano
n = 120 dias (ano comercial)
VL = ? (US$)
Desconto simples do desconto por dentro
N = VL (1 + i × n)
100.000 = VL (1 + 0,12/360 × 120)
100.000 = VL (1,04)
N = 100.000/1,04 = US$ 96,153.85
b. VL (reais) = VL (dólar) × taxa de câmbio
VL = US$ 96,153.85 × 1,0479 R$/US$ = R$ 100.750,62
Valor pago pelo investidor a quem emitiu a export
notes.
c. Na data do resgate, o investidor recebe:
N (reais) = N (dólares) × taxa de câmbio
N (reais) = 100.000,00 × 1,069 R$/US$ = R$
106.900,00
d. Rendimento bruto no período
i = (N/VL) ‒ 1 = (106.900,00/100.759,62) ‒ 1 =
1,06094088 ‒ 1= 0,06094088
i = 0,06094088 × 100 = 6,09%
e. Rendimento líquido de IR
taxa líquida % = taxa bruta % × ( 1 – alíquota IR)
taxa líquida % = 6,09% × (1 – 0,20)
taxa líquida % = 4,87%
f. Taxa over da operação
i over diária = (1 + 0,0487)1/84 ‒ 1 
i over diária = (1,0487)0,01190476 ‒ 1 
i over diária = 1,00056625 ‒ 1 = 0,00056625 (taxa
diária)
i over diária = 0,00056625 × 100 = 0,0567%
i over mensal = 30 × 0,0567% = 1,70% ao mês over
4.7 Reciprocidade bancária (floating)
É bastante comum nas operações de crédito junto ao sistema
financeiro a entrega de duplicatas para cobrança em volume igual ou
superior