Aula 2

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Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA-IV [TURMA 1 (9922) & TURMA 2 (9925)] 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2018/1
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Velocidade de propagação e Revisão sobre Ondas (1D); 
• Ondas Planas Monocromáticas (Senoidais); 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Velocidade de propagação e Revisão sobre Ondas (1D); 
• Ondas Planas Monocromáticas (Senoidais); 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Revisão da Aula 1:
• Apresentação do Curso; 
• Avaliações Extras, Provas de 2 Chamada, vistas de 
provas, inscrição no AVA, site do curso, monitoria, etc; 
• Revisão Matemática; 
• Discussão sobre Divergente e Rotacional de um Campo 
Vetorial.
Interpretação física do divergente:
O significado do divergente e do rotacional aparece diretamente 
na análise do escoamento de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O divergente desse vetor 
fornece a taxa com que a densidade desse fluido diminui.
O gráfico do campo vetorial, com divergente não nulo e rotacional 
nulo, é~F (~r) = xiˆ+ yjˆ
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Interpretação física do rotacional:
O significado do divergente e do rotacional aparece diretamente 
na análise do escoamento de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O rotacional desse vetor possui 
a direção do eixo de rotação instantâneo do fluido.
O gráfico do campo vetorial, com divergente nulo e rotacional não 
nulo, é~F (~r) = �yiˆ+ xjˆ
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Exercício: Calcule todas as primeiras derivadas parciais, em 
relação a x, y, z e t, o divergente e o gradiente do campo
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
~F (~r, t) = ~f0 cos (kxx+ kyy + kzz � !t) = ~f0 cos
⇣
~k • ~r � !t
⌘
Como esse campo se comporta no espaço e no tempo? O que 
significa o vetor que faz o produto escalar com o vetor posição? 
O que significa fisicamente a constante que multiplica o tempo?
• Revisão da Aula 1. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Velocidade de propagação e Revisão sobre Ondas (1D); 
• Ondas Planas Monocromáticas (Senoidais); 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Introdução:
• A interação eletromagnética é essencial para entendermos a 
dinâmica/física dos elementos em nossa volta, a estrutura 
da matéria (+ física quântica), os processos físicos e 
biológicos etc; 
• Intensidade das interações: Forte (nuclear), 1 ; 
Eletromagnética, 10^(-2); Fraca (decaimentos), 10^(-5); 
Gravitacional, 10^(-38);
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Introdução:
• Gregos já conheciam o Ambar (resina amarela - filme Parque dos 
Dinossauros), que se eletrizava, e os ímãs; 
• Antes de ~1700: Eletricidade e Magnetismo eram separados; 
• Eletricidade: Cavendish (1771-1773) e Coulomb (1785); 
• Magnetismo: W. Gilbert (1600 - Terra é um ímã); 
• Eletromagnetismo: H.C. Oersted (1820) -corrente elétrica e ímãs, 
A.M. Ampère (~1820) -lei de Ampère (entre fios); M. Faraday 
(~1831) -indução eletromagnética; 
• Reformulação do Eletromagnetismo: J.C. Maxwell (1831-1879) -
existência de ondas eletromagnéticas (demonstrado 1888, Hertz).
Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria 
conhecida é: Interação Eletromagnética.
A interação eletromagnética está relacionada com uma 
propriedade fundamental: a carga elétrica (positiva ou negativa e 
quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan).
Q = Ne
e = 1, 602110�19C ' 1, 610�19C
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria 
conhecida é: Interação Eletromagnética.
A interação eletromagnética está relacionada com uma 
propriedade fundamental: a carga elétrica (positiva ou negativa e 
quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan).
Q = Ne
e = 1, 602110�19C ' 1, 610�19C
Dada uma partícula com carga q, a força sentida por essa carga 
devido à presença de outras é (Força de Lorentz):
~F = q[ ~E + ~v ⇥ ~B]
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Eletromagnéticas no vácuo.
Interpretação: partículas carregadas eletricamente produzem 
campos elétrico e magnético no espaço, os quais afetam o 
movimento de outras partículas com carga elétrica.
Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos 
elétrico e magnético no espaço?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Interpretação: partículas carregadas eletricamente produzem 
campos elétrico e magnético no espaço, os quais afetam o 
movimento de outras partículas com carga elétrica.
As equações de Maxwell são a resposta para essa questão. Além 
disso, as quatro equações de Maxwell explicam toda a interação 
e létr ica , magnét ica , e letromagnét ica e a rad iação 
eletromagnética.
Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos 
elétrico e magnético no espaço?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS = Q(t)
✏0
Lei de Gauss para o campo magnético:
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
Lei de Faraday-Henry:I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �d�B(t)
dt
Lei de Ampére-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0 d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
Corrente de Deslocamento
+
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS = Q(t)
✏0
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
O fluxo total do campo elétrico sobre uma superfície fechada é 
proporcional à CARGA TOTAL no interior dessa superfície: 
, ✏0 = 8, 854⇥ 1012 C
2
Nm2
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS = Q(t)
✏0
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
O fluxo total do campo elétrico sobre uma superfície fechada é 
proporcional à CARGA TOTAL no interior dessa superfície: 
, ✏0 = 8, 854⇥ 1012 C
2
Nm2
Lei de Gauss para o campo magnético:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
O fluxo total do campo magnético sobre uma superfície fechada é 
sempre nulo! O que isso quer dizer?
Lei de Gauss para o campo magnético:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
O fluxo total do campo magnético sobre uma superfície fechada é 
sempre nulo! O que isso quer dizer?
Interpretação física: Não existem monopolos magnéticos. Até o 
momento, nunca se
observou essas cargas de campo magnético. Se 
existissem, poderíamos explicar/demonstrar teoricamente a 
quantização da carga elétrica.
Lei de Faraday-Henry:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �d�B(t)
dt
A variação temporal do fluxo magnético, sobre uma superfície "S" 
de contorno "L", produz um campo elétrico.
Lei de Ampère-Maxwell:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0 d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
Ampère: a corrente elétrica I total que atravessa uma superfície 
“S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
+
µ0 = 4⇡ ⇥ 10�7 N
A2
A =
C
s
Maxwell: a variação temporal do fluxo elétrico, sobre uma 
superfície “S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
Lei de Ampère-Maxwell:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0 d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS+
Maxwell: a variação temporal do fluxo elétrico, sobre uma 
superfície “S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
Lei de Ampère-Maxwell:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0 d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS+
As três primeiras equações do eletromagnetismo são válidas 
tanto nos casos eletro e magnetostáticos quanto na 
eletrodinâmica. Como Maxwell percebeu que as equações do 
eletromagnetismo estavam incompletas e como resolveu esse 
problema?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser 
transformadas na forma diferencial através dos teoremas de 
Gauss (divergência) e de Stokes/Green (demonstração no fim): I
S
~A(~r) • uˆNdS =
Z
V
~r • ~A(~r)dV
O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, 
que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do 
divergente do campo.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser 
transformadas na forma diferencial através dos teoremas de 
Gauss (divergência) e de Stokes/Green (demonstração no fim): I
S
~A(~r) • uˆNdS =
Z
V
~r • ~A(~r)dV
O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, 
que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do 
divergente do campo.I
L
~A(~r) • d~l =
Z
S
h
~r⇥ ~A(~r)
i
• uˆNdS
O fluxo do rotacional do campo A sobre uma superfície “S”, com 
contorno “L", é igual à integral (fechada) de linha do campo.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Obtemos o resultado:
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
Z
V
~r • ~E(~r, t)dV =
I
S
~E(~r, t) • uˆNdS = Q(t)
✏0
=
1
✏0
Z
V
⇢(~r, t)dV
Lei de Gauss para o campo elétrico:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Obtemos o resultado:
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
Z
V
~r • ~E(~r, t)dV =
I
S
~E(~r, t) • uˆNdS = Q(t)
✏0
=
1
✏0
Z
V
⇢(~r, t)dV
Lei de Ampère:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t) = µ0
Z
S
~J(~r, t) • uˆNdS =
Z
S
~r⇥ ~B(~r, t) • uˆNdS
Obtemos o resultado:
~r⇥ ~B(~r, t) = µ0 ~J(~r, t)
Qual a conexão entre a densidade de carga e o vetor densidade 
de corrente elétrica?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Z
S
~J(~r, t) • uˆNdS = I(t) = �dQ(t)
dt
= �
Z
V
@⇢
@t
(~r, t)dV
I
S
Qual a conexão entre a densidade de carga e o vetor densidade 
de corrente elétrica?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Z
S
~J(~r, t) • uˆNdS = I(t) = �dQ(t)
dt
= �
Z
V
@⇢
@t
(~r, t)dV
Ou seja, vale a lei da conservação local de carga elétrica:
~r • ~J(~r, t) + @⇢
@t
(~r, t) = 0
I
S
Qual a conexão entre a densidade de carga e o vetor densidade 
de corrente elétrica?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Z
S
~J(~r, t) • uˆNdS = I(t) = �dQ(t)
dt
= �
Z
V
@⇢
@t
(~r, t)dV
Ou seja, vale a lei da conservação local de carga elétrica:
~r • ~J(~r, t) + @⇢
@t
(~r, t) = 0
Tome o divergente da lei de Ampère para obter:
~r •
h
~r⇥ ~B(~r, t)
i
= 0 = µ0~r • ~J(~r, t)
Logo, a lei de Ampère não pode estar completa!
I
S
Vamos considerar o processo de carga de um capacitor com fios 
longos. O contorno L (círculo preto da figura) que escolhemos 
para usarmos está na figura. Escolhemos a superfície "S" de tal 
forma a não encostar no fio e nenhuma corrente elétrica a 
atravessa. Como modificar a Lei de Ampère para obtermos um 
campo magnético não nulo?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0 @
~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0 @
~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0 vetor Densidade de 
Corrente de deslocamento.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0 @
~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0
O solução formal dos problemas da eletrodinâmica consiste em 
determinar (i) os campos elétricos e magnéticos, a partir da 
densidade de carga e da densidade de corrente e (ii) determinar 
o movimento das cargas, com a força de Lorentz, a partir dos 
campos elétricos e magnéticos. 
vetor Densidade de 
Corrente de deslocamento.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Exercícios:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
1) Demonstre que a equação de Ampère-Maxwell satisfaz a 
equação da conservação local da carga (relação entre o vetor 
densidade de corrente e a densidade de carga); 
2) Considere um capacitor de placas 
circulares de raio “R" carregando. A 
corrente elétrica que passa pelo circuito é 
i_c, cujo valor é igual ao da corrente de 
deslocamento. Mostre que o módulo do 
campo magnético no ponto “a" da figura 
(raio r) vale: (dica: encontre E primeiro).
B =
µ0
2⇡
r
R2
iC
• Revisão da Aula 1. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Velocidade de propagação e Revisão sobre Ondas (1D); 
• Ondas Planas Monocromáticas (Senoidais); 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético devem satisfazer:
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético devem satisfazer:
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Quais seriam as soluções para os campos 
elétrico e magnético? Seriam sempre nulos?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético devem satisfazer:
~r • ~E = 0
~r •
~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Quais seriam as soluções para os campos 
elétrico e magnético? Seriam sempre nulos?
Vamos estudar algumas soluções para essas quatro equações.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@zAs eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
Portanto, os campos elétrico e magnético satisfazem a uma 
equação de onda no espaço tridimensional.
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas.
Quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam camadas 
de ar adjacentes. Essas camadas perturbam outras 
sucessivamente, até perturbarem o ar próximo ao ouvido de outra 
pessoa, que irá escutar se o tímpano for excitado.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas.
Quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam camadas 
de ar adjacentes. Essas camadas perturbam outras 
sucessivamente, até perturbarem o ar próximo ao ouvido de outra 
pessoa, que irá escutar se o tímpano for excitado.
Numa corda tencionada, uma pessoa balança a corda em uma 
extremidade. A modulação imposta propaga-se em direção a outra 
extremidade.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
y(x, t1) = f(x� l1)
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
y(x, t2) = f(x� l2)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda
se propaga 
no sentido negativo?
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido negativo?
y(x, t1) = f(x+ l1)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido negativo?
y(x, t2) = f(x+ l2)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(x,t)
Nesses casos, não é a matéria que é transportada, mas apenas a 
perturbação, com velocidade bem definida.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Equação de onda 
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = iˆ@x + jˆ@y + kˆ@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Portanto: Os campos elétrico e magnético propagam-se 
com a velocidade: c =
1p
µ0✏0
' 3 . 108m/s
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Velocidade de propagação e Revisão sobre Ondas (1D); 
• Ondas Planas Monocromáticas (Senoidais); 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com
frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = � !
c2
~E0
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = � !
c2
~E0
Note que os vetores k, E e B são 
perpendiculares entre si e, no caso 3D:
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = � !
c2
~E0
Note que os vetores k, E e B são 
perpendiculares entre si e, no caso 3D:
k =
q
k2x + k
2
y + k
2
z =
!
c
~k = kxiˆ+ ky jˆ + kz kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
• A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são 
perpendiculares à direção de propagação, e entre si; 
• Existe uma razão bem definida entre os módulos de E0 e B0: E=cB. 
Note que os vetores E0, B0 podem ser determinados com as 
expressões; 
• A onda eletromagnética viaja no vácuo com velocidade constante e 
bem definida: a velocidade da luz; 
• Ondas eletromagnéticas, ao contrário de ondas sonoras, não 
precisam de um meio material para se propagarem.
~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~k ⇥ ~B0 = � !
c2
~E0
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma 
idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação 
para algumas situações reais, onde o observador está afastado da 
fonte de radiação. Um exemplo é mostrado a seguir:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma 
idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação 
para algumas situações reais, onde o observador está afastado da 
fonte de radiação. Um exemplo é mostrado a seguir:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Note que a constante k é introduzida, primeiramente, para deixar 
o argumento da função seno adimensional. 
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Note que a constante k é introduzida, primeiramente, para deixar 
o argumento da função seno adimensional. 
"k" é chamado, nesse caso unidimensional, de "número de onda" da 
onda eletromagnética. A sua unidade é rad/metro.
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Num dado instante de tempo, a forma espacial da onda é
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
�1  sen[k(x� ct)]  1
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
�1  sen[k(x� ct)]  1 !
Portanto, a constante "E" é a 
amplitude do campo elétrico. 
Usualmente é definida como um 
número positivo e fornece os 
valores máximos e mínimos para 
o campo. Idem para B.
Aula 2: Equações de Maxwell
e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física para o número de onda k?
Ep(x+
2⇡
k
, t) = Esen[k(x� ct) + 2⇡] = Ep(x, t)
O número de onda, portanto, é inversamente proporcional ao 
comprimento de onda, lambda, da onda:
� =
2⇡
k
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física do termo kc?
Ep(x, t+
2⇡
ck
) = Esen[k(x� ct)� 2⇡] = Ep(x, t)
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física do termo kc?
Ep(x, t+
2⇡
ck
) = Esen[k(x� ct)� 2⇡] = Ep(x, t)
Portanto, o período de oscilação da onda eletromagnética é
T =
2⇡
ck
=
�
c
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
As definições de frequência natural “f" e frequência angular, 
omega, são:
f =
1
T
! = 2⇡f
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Note que para uma onda senoidal regressiva, temos:
E = �cB
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]jˆ
~B(~r, t) = Bsen[kx+ !t]kˆ
Conforme mostrado 
anteriormente, a relação 
entre E e B é
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Note que para uma onda senoidal regressiva, temos:
E = �cB
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]jˆ
~B(~r, t) = Bsen[kx+ !t]kˆ
Conforme mostrado 
anteriormente, a relação 
entre E e B é
É comum escrever os campos 
em função das amplitudes:
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]jˆ
~B(~r, t) = (E/c)sen[kx+ !t� ⇡]kˆ
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
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Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
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Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
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Eletromagnéticas no vácuo.
Exercícios:
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Eletromagnéticas no vácuo.
1) Considere a questão de prova P1 dada abaixo e responda o que 
se pede. 
PARTE EXTRA DA AULA 2
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Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Gauss para o campo elétrico na forma diferencial:
I
S
~E(x, y, z, t) • ~uNdS = [Ex(x+ dx, y, z, t)� Ex(x, y, z, t)]dydz
+[Ey(x, y + dy, z, t)� Ey(x, y, z, t)]dxdz
+[Ez(x, y, z + dz, t)� Ez(x, y, z, t)]dxdy
= [
@Ex
@x
+
@Ey
@y
+
@Ez
@z
]dV =
dQ
✏0
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
div[ ~E(x, y, z, t)] =
⇢(x, y, z, t)
✏0
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Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Gauss para o campo magnético na forma diferencial:
div[ ~B(x, y, z, t)] = 0
~r • ~B(x, y, z, t)] = 0
O argumento é igual ao utilizado para o campo elétrico. A 
diferença é que não se tem "cargas" magnéticas.
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Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =� ddt [Bz(x, y, z, t)dxdy]
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =� ddt [Bz(x, y, z, t)dxdy]
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
Portanto, encontra-se:
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
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Eletromagnéticas no vácuo.
O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
@Ex
@z
� @Ez
@x
= �@By(x, y, z, t)
@t
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
@Ex
@z
� @Ez
@x
= �@By(x, y, z, t)
@t
Uma forma mais simples de escrever essas equações é dada por
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = � @
@t
~B(x, y, z, t)
rot[ ~E(x, y, z, t)] = � @
@t
~B(x, y, z, t)
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Ampére-Maxwell na forma diferencial.
Pode-se usar o resultado anterior, com a definição do vetor 
DENSIDADE DE CORRENTE:
I(t) =
Z
S
~J(x, y, z, t) • ~uNdS
Aula 2: Equações de Maxwell e Ondas 
Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Ampére-Maxwell na forma diferencial.
Pode-se usar o resultado anterior, com a definição do vetor 
DENSIDADE DE CORRENTE:
I(t) =
Z
S
~J(x, y, z, t) • ~uNdS
Encontra-se:
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0 @
~E
@t
(x, y, z, t)]
rot[ ~B(x, y, z, t)] = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
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Eletromagnéticas no vácuo.