Aula2_fisica4_2019_1

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Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA IV-A 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2019/1
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Apresentação do curso; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Revisão da Aula 1:
• Apresentação do Curso; 
• Confira o site do curso; 
• Avaliações Extras; 
• Provas de 2 Chamada; 
• Vistas de provas, inscrição no AVA, site do curso, 
monitoria, etc.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Apresentação do curso; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS =
Q(t)
✏0
Lei de Gauss para o campo magnético:
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
Lei de Faraday-Henry:I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �
d�B(t)
dt
Lei de Ampére-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
Corrente de Deslocamento
+
Aula 2: Equações de Maxwell.
As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser 
transformadas na forma diferencial através dos teoremas de 
Gauss (divergência) e de Stokes/Green (demonstração no fim): I
S
~A(~r) • ûNdS =
Z
V
~r • ~A(~r)dV
O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, 
que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do 
divergente do campo.
I
L
~A(~r) • d~l =
Z
S
h
~r⇥ ~A(~r)
i
• ûNdS
O fluxo do rotacional do campo A sobre uma superfície “S”, com 
contorno “L", é igual à integral (fechada) de linha do campo.
Aula 2: Equações de Maxwell.
As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0
O solução formal dos problemas da eletrodinâmica consiste em 
determinar (i) os campos elétricos e magnéticos, a partir da 
densidade de carga e da densidade de corrente e (ii) determinar 
o movimento das cargas, com a força de Lorentz, a partir dos 
campos elétricos e magnéticos. 
vetor Densidade de 
Corrente de deslocamento.
Aula 2: Equações de Maxwell.
Qual a conexão entre a densidade de carga e o vetor densidade 
de corrente elétrica?
Z
S
~J(~r, t) • ûNdS = I(t) = �
dQ(t)
dt
= �
Z
V
@⇢
@t
(~r, t)dV
Ou seja, vale a lei da conservação local de carga elétrica:
~r • ~J(~r, t) + @⇢
@t
(~r, t) = 0
Exercício: Demonstre que a lei de Ampère-Maxwell satisfaz a lei 
da conservação local da carga elétrica. 
I
S
Aula 2: Equações de Maxwell.
• Revisão da Aula 1. 
• Apresentação do curso; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento; 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Vamos considerar o processo de carga de um capacitor com fios 
longos. O contorno L (círculo preto da figura) que escolhemos 
para usarmos está na figura. Escolhemos a superfície "S" de tal 
forma a não encostar no fio e nenhuma corrente elétrica a 
atravessa. Como modificar a Lei de Ampère para obtermos um 
campo magnético não nulo?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exercícios:
1) Demonstre que a equação de Ampère-Maxwell satisfaz a 
equação da conservação local da carga (relação entre o vetor 
densidade de corrente e a densidade de carga); 
2) Considere um capacitor de placas 
circulares de raio “R" carregando. A 
corrente elétrica que passa pelo circuito é 
i_c, cujo valor é igual ao da corrente de 
deslocamento. Mostre que o módulo do 
campo magnético no ponto “a" da figura 
(raio r) vale: (dica: encontre E primeiro).
B =
µ0
2⇡
r
R2
iC
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Revisão sobre Ondas (1D): equação de onda; 
• Velocidade de propagação 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc
Para o som: quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam 
camadas de ar adjacentes. Essas camadas afetam outras camadas 
vizinhas de forma sucessiva, até agitar o ar próximo ao ouvido de 
outra pessoa, que irá escutar através do movimento do tímpano.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de 
uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc
Para o som: quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam 
camadas de ar adjacentes. Essas camadas afetam outras camadas 
vizinhas de forma sucessiva, até agitar o ar próximo ao ouvido de 
outra pessoa, que irá escutar através do movimento do tímpano.
Numa corda tencionada, uma pessoa balança a corda em uma 
extremidade. A modulação imposta propaga-se em direção a outra 
extremidade.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
y(x, t1) = f(x� l1)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido positivo do eixo x?
y(x, t2) = f(x� l2)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
Aula2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido negativo?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido negativo?
y(x, t1) = f(x+ l1)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função 
da posição x para cada instante é dada por Y:
No instante t=0, imagine a 
corda dada por 
y(x, 0) = f(x)
Como descrever a modulação 
na corda se a onda se propaga 
no sentido negativo?
y(x, t2) = f(x+ l2)0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y(
x,
t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas 
a propagação da perturbação com velocidade bem definida.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga 
sem se deformar é representada por
y(x, t) = f(x� vt)
Reconhecemos, com o sinal colocado, v como a velocidade de 
propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo 
(negativo) do eixo x.
A dependência da função com x e t não é qualquer. Qual equação 
y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da 
cadeia): 
@2y(x, t)
@x2
=
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@t2
= v2
d2f(u)
du2
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Equação de onda 
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Revisão sobre Ondas (1D): equação de onda; 
• Velocidade de propagação 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais);
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Equação de onda 1D 
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exercício: Dada a equação de onda (termo central), qual a 
dimensão e o significado físico da letra “v"?
Exercício: Como você generalizaria a equação de onda 1D para os 
casos 2D e 3D? 
@2y(x, t)
@x2
=
1
v2
@2y(x, t)
@t2
Equação de onda 1D 
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Exercício: Considere as equações de onda a seguir e determine a 
direção de propagação e o valor da velocidade de propagação. 
a) (4
m2
s2
)
@2y(x, t)
@x2
=
@2y(x, t)
@t2
<latexit sha1_base64="AuT6HbD4B9IuNHPJZaPAXpb6vo8=">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</latexit><latexit sha1_base64="AuT6HbD4B9IuNHPJZaPAXpb6vo8=">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</latexit><latexit sha1_base64="AuT6HbD4B9IuNHPJZaPAXpb6vo8=">AAACXHicbZHNS8MwGMbTOnUfTqeCFy/BIWwwRjsGehGGXjxOcB+wbiPN0i0saUuSykbpP+ltF/8VTbci6nwh8ON5n3y8T9yQUaksa2OYB7nDo+N8oVg6KZ+eVc4v+jKIBCY9HLBADF0kCaM+6SmqGBmGgiDuMjJwl09pf/BGhKSB/6rWIRlzNPepRzFSWppWJKpDpwFrbWfmCYTj2BEc8mTSSnYoU6xnTSdEQlHEJi24rq0aqp58S3ClfQ97vj2b0rZppWo1rW3BfbAzqIKsutPKuzMLcMSJrzBDUo5sK1TjOD0SM5IUnUiSEOElmpORRh9xIsfxNpwE3mplBr1A6OUruFV/7ogRl3LNXe3kSC3k314q/tcbRcq7H8fUDyNFfLy7yIv0iAFMk4YzKghWbK0BYUH1WyFeIJ2P0v9R1CHYf0feh36raWt+aVc7j1kceXANbkAN2OAOdMAz6IIewGADPo28UTA+zJxZMss7q2lkey7BrzKvvgCI8bVB</latexit><latexit sha1_base64="AuT6HbD4B9IuNHPJZaPAXpb6vo8=">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</latexit>
b)
@2z(y, t)
@y2
= (16
s2
m2
)
@2z(y, t)
@t2
<latexit sha1_base64="PmAdfyqQjP+w+VV6pUR8QfBCMeM=">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</latexit><latexitsha1_base64="PmAdfyqQjP+w+VV6pUR8QfBCMeM=">AAACXXicbZFPS8MwGMbT6nSbU6cePHgJDmEDkXaIehFELx4nuE1Y50izVINJW5K3Qi39kt704lcx3Yro5guBH8/7J3mf+LHgGhznw7JXVitr69VafaOxubXd3Nkd6ChRlPVpJCL14BPNBA9ZHzgI9hArRqQv2NB/uSnyw1emNI/Ce0hjNpbkKeQBpwSMNGmC38HeMfamgSI082KigBPx2MVv7fQYOvmPhNPHbn7Zds/K0sxTEuvciHOUBXaW5iyNAVM2abacE2cWeBncElqojN6k+e5NI5pIFgIVROuR68QwzoqRVLC87iWaxYS+kCc2MhgSyfQ4m7mT4yOjTHEQKXNCwDP1d0dGpNap9E2lJPCsF3OF+F9ulEBwMc54GCfAQjq/KEjMihEurMZTrhgFkRogVHHzVkyfifEHzIfUjQnu4srLMOieuIbvTltX16UdVXSADlEbuegcXaFb1EN9RNGnhayaVbe+7IrdsLfmpbZV9uyhP2HvfwP5T7SF</latexit><latexit sha1_base64="PmAdfyqQjP+w+VV6pUR8QfBCMeM=">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</latexit><latexit sha1_base64="PmAdfyqQjP+w+VV6pUR8QfBCMeM=">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</latexit>
Exercício: Calcule todas as primeiras derivadas parciais, em 
relação a x, y, z e t, o divergente e o gradiente do campo
~F (~r, t) = ~f0 cos (kxx+ kyy + kzz � !t) = ~f0 cos
⇣
~k • ~r � !t
⌘
Como esse campo se comporta no espaço e no tempo? O que 
significa o vetor que faz o produto escalar com o vetor posição? 
O que significa fisicamente a constante que multiplica o tempo?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais); 
• Equação de onda no vácuo e velocidade de propagação; 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético satisfazem:
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético satisfazem:
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Quais seriam as soluções para os campos 
elétrico e magnético? Seriam sempre nulos?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere a propagação de uma onda eletromagnética no vácuo. 
Os campos elétrico e magnético satisfazem:
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Quais seriam as soluções para os campos 
elétrico e magnético? Seriam sempre nulos?
Vamos estudar algumas soluções para essas quatro equações.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@zAs eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
Portanto, os campos elétrico e magnético satisfazem a uma 
equação de onda no espaço tridimensional.
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos 
eletromagnéticos se propagarem. Contudo, elas compartilham 
certas características em comum.
~r • ~E = 0
~r • ~B = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
Definições e Propriedades:
~r = î@x + ĵ@y + k̂@z
~r⇥ (~r⇥ ~A) = ~r(~r • ~A)� (~r • ~r) ~A
Aplica-se o rotacional nas eqs 3 e 4:
r2 ~B = (@2x + @2y + @2z ) ~B =
1
c2
@2t ~B
r2 ~E = (@2x + @2y + @2z ) ~E =
1
c2
@2t ~E
As eqs. de Maxwell no vácuo:
Portanto: Os campos elétrico e magnético propagam-se 
com a velocidade: c =
1
p
µ0✏0
' 3 . 108m/s
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• Revisão da Aula 1. 
• Equação de Onda para o campo eletromagnético; 
• Ondas Eletromagnéticas Monocromáticas (Senoidais); 
• Equação de onda no vácuo e velocidade de propagação; 
• Relações entre os campos Elétrico e Magnético.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direçãoé
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = �
!
c2
~E0
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = �
!
c2
~E0
Note que os vetores k, E e B são 
perpendiculares entre si e, no caso 3D:
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Considere uma onda eletromagnética plana propagando-se no 
vácuo com frequência bem definida. A solução de uma onda que 
propaga na direção é
~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r � !t] ~k • ~r = kxx+ kyy + kzz~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r � !t]
Novamente, nem toda solução da Eq. de onda satisfaz as eqs. de 
Maxwell. Os vetores constantes E0 e B0 devem satisfazer:
~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0
~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0
~r⇥ ~E = �@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~r⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t ! ~k ⇥ ~B0 = �
!
c2
~E0
Note que os vetores k, E e B são 
perpendiculares entre si e, no caso 3D:
k =
q
k2x + k
2
y + k
2
z =
!
c
~k = kxî+ ky ĵ + kz k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
• A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são 
perpendiculares à direção de propagação, e entre si; 
• Existe uma razão bem definida entre os módulos de E0 e B0: E=cB. 
Note que os vetores E0, B0 podem ser determinados com as 
expressões; 
• A onda eletromagnética viaja no vácuo com velocidade constante e 
bem definida: a velocidade da luz; 
• Ondas eletromagnéticas, ao contrário de ondas sonoras, não 
precisam de um meio material para se propagarem.
~k ⇥ ~E0 = ! ~B0
~k ⇥ ~B0 = �
!
c2
~E0
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma 
idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação 
para algumas situações reais, onde o observador está afastado da 
fonte de radiação. Um exemplo é mostrado a seguir:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma 
idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação 
para algumas situações reais, onde o observador está afastado da 
fonte de radiação. Um exemplo é mostrado a seguir:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Note que a constante k é introduzida, primeiramente, para deixar 
o argumento da função seno adimensional. 
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a 
“frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
E = cB
Qual a interpretação física de cada termo?
Note que a constante k é introduzida, primeiramente, para deixar 
o argumento da função seno adimensional. 
"k" é chamado, nesse casounidimensional, de "número de onda" da 
onda eletromagnética. A sua unidade é rad/metro.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Num dado instante de tempo, a forma espacial da onda é
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
�1  sen[k(x� ct)]  1
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física das constantes E e B?
�1  sen[k(x� ct)]  1 !
Portanto, a constante "E" é a 
amplitude do campo elétrico. 
Usualmente é definida como um 
número positivo e fornece os 
valores máximos e mínimos para 
o campo. Idem para B.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física para o número de onda k?
Ep(x+
2⇡
k
, t) = Esen[k(x� ct) + 2⇡] = Ep(x, t)
O número de onda, portanto, é inversamente proporcional ao 
comprimento de onda, lambda, da onda:
� =
2⇡
k
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física do termo kc?
Ep(x, t+
2⇡
ck
) = Esen[k(x� ct)� 2⇡] = Ep(x, t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
Qual a interpretação física do termo kc?
Ep(x, t+
2⇡
ck
) = Esen[k(x� ct)� 2⇡] = Ep(x, t)
Portanto, o período de oscilação da onda eletromagnética é
T =
2⇡
ck
=
�
c
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem 
definido e é dada por:
Ep(x, t) = E sen[k(x� ct)]
Bp(x, t) = B sen[k(x� ct)]
As definições de frequência natural “f" e frequência angular, 
omega, são:
f =
1
T
! = 2⇡f
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que para uma onda senoidal regressiva, temos:
E = �cB
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]ĵ
~B(~r, t) = Bsen[kx+ !t]k̂
Conforme mostrado 
anteriormente, a relação 
entre E e B é
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Note que para uma onda senoidal regressiva, temos:
E = �cB
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]ĵ
~B(~r, t) = Bsen[kx+ !t]k̂
Conforme mostrado 
anteriormente, a relação 
entre E e B é
É comum escrever os campos 
em função das amplitudes:
~E(~r, t) = Esen[kx+ !t]ĵ
~B(~r, t) = (E/c)sen[kx+ !t� ⇡]k̂
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
As relações ente comprimento de onda, frequência angular, 
período, número de onda e velocidade de propagação são:
�f = c
!
k
= c
Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o 
comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do 
espectro eletromagnético da onda
Ep(x, t) = Esen[k(x� ct)] = Esen[kx� !t]
= Esen[2⇡(
x
�
� t
T
)] = Esen[!(
x
c
� t)]
Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas:
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
A frequência típica de uma onda de rádio FM é 10^8Hz = 
100MHz. Determine o comprimento de onda dessa onda.
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A frequência típica de uma onda de rádio FM é 10^8Hz = 
100MHz. Determine o comprimento de onda dessa onda.
� = 3m
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
~B(x, t) =
~k
!
⇥ ~E(x, t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-ze possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
~B(x, t) =
~k
!
⇥ ~E(x, t)
~B(x, t) = ĵ
E0
c
cos (kxx+ !t)
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
~B(x, t) =
~k
!
⇥ ~E(x, t)
~B(x, t) = ĵ
E0
c
cos (kxx+ !t)
B0 =
E0
c
= 510�3T
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Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
~B(x, t) =
~k
!
⇥ ~E(x, t)
~B(x, t) = ĵ
E0
c
cos (kxx+ !t)
B0 =
E0
c
= 510�3T
k = 5, 93 105rad/m
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Um laser de dióxido de carbono emite uma onda eletromagnética 
que viaja no sentido negativo do eixo-x no vácuo. O comprimento 
de onda é 10,6 micrometros (infravermelho). O campo elétrico é 
paralelo ao eixo-z e possui amplitude máxima 1,5 MV/m. Encontre 
os campos elétricos e magnéticos.
~E(~r, t) = ~E0 cos (~k • ~r � !t)
~E(x, t) = ẑE0 cos (kxx+ !t)
~B(x, t) =
~k
!
⇥ ~E(x, t)
~B(x, t) = ĵ
E0
c
cos (kxx+ !t)
B0 =
E0
c
= 510�3T
k = 5, 93 105rad/m
! = 1, 78 1014rad/s
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
Nos exercícios a seguir, determine as seguintes propriedades de 
uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo: o vetor 
número de onda, o comprimento de onda, a frequência angular, a 
frequência natural e o período de oscilação. Além disso, se o 
vetor campo elétrico (magnético) é dado, determine o vetor 
campo magnético (elétrico)
a) ~E(~r, t) =
✓
1, 0
V
m
◆
ŷ cos

2⇡
150
rad
nm
x� 4⇡ ⇥ 1015 rad
s
t
�
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b) ~B(~r, t) = (1, 0T) ŷsen

2⇡
300
rad
nm
z + 2⇡ ⇥ 1015 rad
s
t
�
Aula 2: Ondas Eletromagnéticas no vácuo.
c) ~E(~r, t) =
✓
2, 0
V
m
x̂� 3, 0V
m
ẑ
◆
sen

2⇡
200
rad
m
y + 3⇡ ⇥ 106 rad
s
t
�
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d) ~B(~r, t) =
�
3, 0⇥ 10�5Tẑ
�
cos

2
rad
m
x+ 5
rad
m
y � !t
�
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Exercícios:
1) Considere a questão de prova P1 dada abaixo e responda o que 
se pede. 
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