Equações de Maxwell

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EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
Prof.: Dr. José Roberto Viana Azevedo
 Professor do Departamento de Física 
As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, 
juntamente com a lei da força de Lorentz, compõem a base do eletromagnetismo 
clássico no qual está inserida toda a óptica clássica
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, 
juntamente com a lei da força de Lorentz, compõem a base do eletromagnetismo 
clássico no qual está inserida toda a óptica clássica
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
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Maxwell percebeu uma contradição da Lei de Ampère, quando aplicado num 
capacitor em que o meio entre as placas seja vácuo. Neste temos um problema no 
divergente do rotacional do campo magnético, pois veja que
Mas as cargas livres entre as placas estão variando com o tempo, desta forma é 
esperado que que seja respeitada a seguinte equação da continuidade:
  J   t
    B    J    J, mas     B  0
logo   J  0
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
Da equação de Poisson
  o  E
Então

t  o 
E
t
E portanto
  J  o  Et
que corrige a lei de Ampére.
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
No eletromagnetismo, a corrente de deslocamento é taxa de variação do fluxo do vetor 
deslocamento elétrico. Tem dimensão de corrente elétrica e, portanto, é expressa em 
amperes no Sistema Internacional de Unidades.
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
EQUAÇÕES DE MAXWELLEQUAÇÕES DE MAXWELL
Vetor densidade de corrente de deslocamento
D  oE  P  Dt  o
E
t 
P
t
logo no meio dielétrico
  B   J  Et 
P
t
e no meio vácuo
  B  o J o Et , pois aqui P  0
O vetor de corrente de deslocamento é o grande mérito de Maxwell, pois a partir disto 
foram desenvolvidos estudos e tecnologias de telecomunicação no vácuo.
EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUOEQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO
  E  0
  B  0
  E   Bt
  B oo Et
EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUOEQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO
EQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUOEQUAÇÕES DE MAXWELL NO VÁCUO
Rotacional de um vetor campoRotacional de um vetor campo
Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície 
infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se 
aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a 
uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou 
seja, a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional ele será dado por um 
vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como 
eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.
Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o 
rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma 
superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a 
velocidade deste fluido gira e a direção deste rotacional será a da normal à 
superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita.
Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos 
vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e 
pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob 
a ação exclusiva destes campos.
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
ONDAS ELETROMAGNÉTICASONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Torres de transmissão de geradorasTorres de transmissão de geradoras
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Para o caso da ondas transversais na direção de progação z
B  Bz, t
E  Ez, t
Usando a informação do vetor nabla
  x i 

y j 

z k
então para o caso de vetor campo V (Vx ,Vy,Vz)
  V  Vzz
  V   Vyz i 
Vx
z j
Portanto são obtidas as seguinte equações a partir das equações
de Maxwell:
Ez
z  0  Ez  0 (pois E não é estático)
Bz
z  0  Bz  0 (pois B não é estático)
 Eyz i 
Ex
z j  

t Bx i  Byj  Bzk 
Bz
t  0
 Byz i 
Bx
z j oo

t Ex i  Eyj  Ezk 
Ez
t  0
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Estudando o comportamento do campo magnético então da
equação do rotacional deste campo temos que:
By
z  oo
Ex
t 
2By
z2
 oo 
2Ex
t2
Bx
z oo
Ey
t 
2Bx
z2
oo
2Ey
t2
Temos ainda que do rotacional do campo elétrico
Ey
z 
Bx
t 
2Ey
z2
 
2Bx
t2
Ex
z 
By
t 
2Ex
z2
 
2By
t2
No caso em que a oscilação do campo magnético ocorre na direção y
então temos que Bx  0 e ainda que
Bx
z oo
Ey
t  Ey  0
e ainda sendo
Ex
z 
By
t  Ex  0
onde Ex  By indicando que os campos devem ser transversos.
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Agora veja que
By
z  oo
Ex
t 
2By
zt  oo
2Ex
t2
Ex
z  
By
t 
2Ex
z2
  
2By
tz
Como 
2By
tz 
2By
zt então
2Ex
z2
oo
2Ex
t2
Que corresponde a uma equação de onda transversal com o formato
2
z2
 1
v2
2
t2
onde v  1/ oo  c! Indicando que as ondas eletromagnéticas se
propagam com a velocidade da luz. Daqui foi concluido por Maxwell que
luz também é uma onda eletromagnética, fazendo a conexão da áreas
eletromagnetismo e ótica.
Da mesma forma podemos obter as EDO para a função de onda campo By.
Essas funções de onda são do tipo z, t  Pz  vt  Rz, t,
composta das ondas progressivas e regressiva.
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
De modo geral temos as seguintes equações de onda para uma onda eletromagnética 
para um meio não magnético:
Onde temos aqui o operador Laplaciano dado por:
2      2
x 2
 
2
y2
 
2
z2
2E  
2E
t2
,
2B  
2B
t2
,
E  B
A função de onda plana é dada por
ou ainda usando a relação de Euler e desprezando a parte imaginária
expix  cosx  i sinx
r, t  o cost  k  r  o
r, t  o expit  k  r  o
r, t  E,B, k  kkx ,ky,kz, r  rrx , ry, r z,k  r kxrx  kyry  kzr z
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas
Vetor de PoyntingVetor de Poynting
Vetor de PoyntingVetor de Poynting
Vetor de PoyntingVetor de Poynting
Vetor de PoyntingVetor de Poynting
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