Polarização da Luz em Física

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Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA-IV [TURMA 1 (9922) & TURMA 2 (9925)] 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2018/1
Aula 6: Polarização da Luz: feixes linear, 
circular e elipticamente polarizados..
• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
No estudo inicial da reflexão e refração, a discussão feita foi 
independente da natureza vetorial das ondas eletromagnéticas. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No estudo inicial da reflexão e refração, a discussão feita foi 
independente da natureza vetorial das ondas eletromagnéticas. 
Para ondas transversais, a polarização da onda indicará a direção 
dos deslocamentos da perturbação que caracteriza a onda. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No estudo inicial da reflexão e refração, a discussão feita foi 
independente da natureza vetorial das ondas eletromagnéticas. 
Para ondas transversais, a polarização da onda indicará a direção 
dos deslocamentos da perturbação que caracteriza a onda. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No estudo inicial da reflexão e refração, a discussão feita foi 
independente da natureza vetorial das ondas eletromagnéticas. 
Para ondas transversais, a polarização da onda indicará a direção 
dos deslocamentos da perturbação que caracteriza a onda. 
Definição: ONDA LINEARMENTE POLARIZADA é uma onda 
cujas perturbações variam ao longo de uma única direção bem 
definida. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No caso de uma onda eletromagnética linearmente polarizada, a 
direção de polarização é dada pelo CAMPO ELÉTRICO. 
~E(x, t) = jˆEmaxcos(kx� !t)
~B(x, t) = kˆBmaxcos(kx� !t)
Onda plana monocromática 
linearmente polarizada na 
direção y. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No caso de uma onda eletromagnética linearmente polarizada, a 
direção de polarização é dada pelo CAMPO ELÉTRICO. 
~E(x, t) = jˆEmaxcos(kx� !t)
~B(x, t) = kˆBmaxcos(kx� !t)
~E(x, t) = �kˆEmaxcos(kx� !t)
~B(x, t) = +jˆBmaxcos(kx� !t)
Onda plana monocromática 
linearmente polarizada na 
direção z. 
Onda plana monocromática 
linearmente polarizada na 
direção y. 
Aula 6: Polarização da Luz.
No caso de uma onda eletromagnética linearmente polarizada, a 
direção de polarização é dada pelo CAMPO ELÉTRICO. 
~E(x, t) = jˆEmaxcos(kx� !t)
~B(x, t) = kˆBmaxcos(kx� !t)
~E(x, t) = �kˆEmaxcos(kx� !t)
~B(x, t) = +jˆBmaxcos(kx� !t)
Onda plana monocromática 
linearmente polarizada na 
direção z. 
Onda plana monocromática 
linearmente polarizada na 
direção y. 
Note que a luz pode ser ou não ser polarizada. 
Aula 6: Polarização da Luz.
A luz advinda do sol é um exemplo de luz não polarizada. Pode-se 
gerar luz polarizada a partir de luz não polarizadas com o auxílio 
de materiais anisotrópicos. 
Aula 6: Polarização da Luz.
A luz advinda do sol é um exemplo de luz não polarizada. Pode-se 
gerar luz polarizada a partir de luz não polarizadas com o auxílio 
de materiais anisotrópicos. 
Para um meio anisotrópico, a interação com a radiação 
eletromagnética pode depender da polarização da onda, já que o 
material pode apresentar uma estrutura interna com direções 
preferenciais. Logo, a velocidade de propagação é uma função da 
polarização da onda incidente. 
Aula 6: Polarização da Luz.
A luz advinda do sol é um exemplo de luz não polarizada. Pode-se 
gerar luz polarizada a partir de luz não polarizadas com o auxílio 
de materiais anisotrópicos. 
Para um meio anisotrópico, a interação com a radiação 
eletromagnética pode depender da polarização da onda, já que o 
material pode apresentar uma estrutura interna com direções 
preferenciais. Logo, a velocidade de propagação é uma função da 
polarização da onda incidente. 
Certos materiais, como a TURMALINA (borossilicato de 
alumínio), a HERAPATITA (sulfato de iodoquinino) e o álcool 
polivinil, absorvem quase completamente a radiação polarizada 
numa certa direção, sendo quase transparente para polarização 
complementar. 
Aula 6: Polarização da Luz.
A luz advinda do sol é um exemplo de luz não polarizada. Pode-se 
gerar luz polarizada a partir de luz não polarizadas com o auxílio 
de materiais anisotrópicos. 
Aula 6: Polarização da Luz.
Um material polarizador é ideal quando absorve completamente a 
onda eletromagnética polarizada numa dada direção. O 
polarizador produz ondas linearmente polarizadas na direção 
denominada “eixo de polarização”. 
Aula 6: Polarização da Luz.
A intensidade da luz, em geral, diminui ao passar por um 
polarizador. A relação entre a intensidade da luz incidente e a 
intensidade da luz após passar pelo polarizador é dada pela Lei de 
Malus. 
I = I0 cos
2(�)
Aula 6: Polarização da Luz.
A intensidade da luz, em geral, diminui ao passar por um 
polarizador. A relação entre a intensidade da luz incidente e a 
intensidade da luz após passar pelo polarizador é dada pela Lei de 
Malus. 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
A intensidade do feixe após o primeiro polarizador pode ser 
obtida via argumento de conservação de energia: apenas a 
metade da energia continua se propagando como radiação 
eletromagnética. Logo: 
I1 =
I0
2
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
A intensidade do feixe após o primeiro polarizador pode ser 
obtida via argumento de conservação de energia: apenas a 
metade da energia continua se propagando como radiação 
eletromagnética. Logo: 
I1 =
I0
2
Através da lei de Malus, obtemos que a intensidade após o segundo 
polarizador é: 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
A intensidade do feixe após o primeiro polarizador pode ser 
obtida via argumento de conservação de energia: apenas a 
metade da energia continua se propagando como radiação 
eletromagnética. Logo: 
I1 =
I0
2
Através da lei de Malus, obtemos que a intensidade após o segundo 
polarizador é: 
I2 =
I0
2
cos2 30�
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
A intensidade do feixe após o primeiro polarizador pode ser 
obtida via argumento de conservação de energia: apenas a 
metade da energia continua se propagando como radiação 
eletromagnética. Logo: 
I1 =
I0
2
Através da lei de Malus, obtemos que a intensidade após o segundo 
polarizador é: 
I2 =
I0
2
cos2 30� =I0
2
3
4
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. Na figura anterior, a luz não polarizada possui 
intensidade I0. Determine as intensidades dos feixes 
transmitidos pelos dois polarizadores tal que phi=30 graus. 
A intensidade do feixe após o primeiro polarizador pode ser 
obtida via argumento de conservação de energia: apenas a 
metade da energia continua se propagando como radiação 
eletromagnética. Logo: 
I1 =
I0
2
Através da lei de Malus, obtemos que a intensidade após o segundo 
polarizador é: 
I2 =
I0
2
cos2 30� =
I0
2
3
4
=
3I0
8
Aula 6: Polarização da Luz.
• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
Verifica-se que a energia da inda incidente se distribui nas ondas 
refletidas e refratadas. E a energia das ondas refletidas e 
refratadas são distribuídas nas diferentes polarizações. 
Aula 6: Polarização da Luz.
Verifica-se que a energia da inda incidente se distribui nas ondas 
refletidas e refratadas. E a energia das ondas refletidas e 
refratadas são distribuídas nas diferentes polarizações. 
Verifica-se que a ONDA REFLETIVA se torna parcialmente 
polarizada ou totalmente polarizada, dependendo do ângulo de 
incidência. 
Aula 6: Polarização da Luz.
Verifica-se que a energia da inda incidente se distribui nas ondas 
refletidas e refratadas. E a energia das ondas refletidas e 
refratadas são distribuídas nas diferentes polarizações. 
Verifica-se que a ONDA REFLETIVA se torna parcialmente 
polarizada ou totalmente polarizada, dependendo do ângulo de 
incidência. 
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Pode-se argumentar que o raio 
refletido não possui uma das 
polarizações por causa da natureza 
dipolar da radiação emitida que 
produz a onda refletida. 
✓b = 90
� � ✓p
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Pode-se argumentar que o raio 
refletido não possui uma das 
polarizações por causa da natureza 
dipolar da radiação emitida que 
produz a onda refletida. 
✓b = 90
� � ✓p
nasen(✓p) = nbsen(90
� � ✓p)
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Pode-se argumentar que o raio 
refletido não possui uma das 
polarizações por causa da natureza 
dipolar da radiação emitida que 
produz a onda refletida. 
✓b = 90
� � ✓p
nasen(✓p) = nbsen(90
� � ✓p)
nasen(✓p) = nbcos(✓p)
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Pode-se argumentar que o raio 
refletido não possui uma das 
polarizações por causa da natureza 
dipolar da radiação emitida que 
produz a onda refletida. 
✓b = 90
� � ✓p
nasen(✓p) = nbsen(90
� � ✓p)
nasen(✓p) = nbcos(✓p)
tan(✓p) =
nb
na
Aula 6: Polarização da Luz.
O ângulo do feixe incidente que produz um feixe refletido 
linearmente polarizado é chamado de ângulo de Brewster. 
Pode-se argumentar que o raio 
refletido não possui uma das 
polarizações por causa da natureza 
dipolar da radiação emitida que 
produz a onda refletida. 
✓b = 90
� � ✓p
nasen(✓p) = nbsen(90
� � ✓p)
nasen(✓p) = nbcos(✓p)
tan(✓p) =
nb
na
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
Exemplo. A luz solar reflete na superfície calma de uma piscina 
sem banhistas. a) Qual é o ângulo de reflexão para que a luz 
refletida seja completamente polarizada? b) Qual é o ângulo de 
refração correspondente? c) Durante a noite, uma lâmpada no 
fundo da piscina é acessa. Refaça os itens a) e b). 
Aula 6: Polarização da Luz.
• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
O vetor de Poynting é dado pela expressão:
~S =
~E⇥ ~B
µ0
Considere uma onda plana senoidal polarizada linearmente na 
direção do eixo y. O vetor de Poynting dessa onda é:
~S(x, t) =
1
µ0
~E(x, t)⇥ ~B(x, t)
Aula 6: Polarização da Luz.
O vetor de Poynting é dado pela expressão:
~S =
~E⇥ ~B
µ0
Considere uma onda plana senoidal polarizada linearmente na 
direção do eixo y. O vetor de Poynting dessa onda é:
~S(x, t) =
1
µ0
~E(x, t)⇥ ~B(x, t)
=
1
µ0
[Esen(kx� !t)jˆ]⇥ [Bsen(kx� !t)kˆ]
Aula 6: Polarização da Luz.
O vetor de Poynting é dado pela expressão:
~S =
~E⇥ ~B
µ0
Considere uma onda plana senoidal polarizada linearmente na 
direção do eixo y. O vetor de Poynting dessa onda é:
~S(x, t) =
1
µ0
~E(x, t)⇥ ~B(x, t)
=
1
µ0
[Esen(kx� !t)jˆ]⇥ [Bsen(kx� !t)kˆ]
Sx(x, t) =
EB
µ0
sen2(kx� !t)
Aula 6: Polarização da Luz.
O vetor de Poynting é dado pela expressão:
~S =
~E⇥ ~B
µ0
Considere uma onda plana senoidal polarizada linearmente na 
direção do eixo y. O vetor de Poynting dessa onda é:
~S(x, t) =
1
µ0
~E(x, t)⇥ ~B(x, t)
=
1
µ0
[Esen(kx� !t)jˆ]⇥ [Bsen(kx� !t)kˆ]
Sx(x, t) =
EB
µ0
sen2(kx� !t)
I(x) =
EB
2µ0
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixoy e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Emax =
p
2E0
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Emax =
p
2E0 Bmax =
p
2B0
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
~S(x, t) = iˆ
2E0B0
µ0
cos2 (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Emax =
p
2E0 Bmax =
p
2B0
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
~S(x, t) = iˆ
2E0B0
µ0
cos2 (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Emax =
p
2E0 Bmax =
p
2B0
I =
E0B0
µ0
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Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, em fase com a primeira, conforme expressões 
que seguem:
~E(x, t) = jˆE0 cos (kx� !t)� kˆE0 cos (kx� !t)
~B(x, t) = kˆB0 cos (kx� !t) + jˆB0 cos (kx� !t)
Questões: a onda resultante é polarizada linearmente? Se sim, em 
qual direção? Determine a Amplitude máxima, o vetor de Poynting 
e a intensidade dessa onda.
~E(x, t) = E0(jˆ � kˆ) cos (kx� !t)
~B(x, t) = B0(jˆ + kˆ) cos (kx� !t)
~S(x, t) = iˆ
2E0B0
µ0
cos2 (kx� !t)
nˆ =
jˆ � kˆp
2
nˆ0 =
�jˆ + kˆp
2
Emax =
p
2E0 Bmax =
p
2B0
I =
E0B0
µ0
=
EmaxBmax
2µ0
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• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, com diferença de fase de -90 graus:
~E(x, t) = jˆE0cos(kx� !t) + kˆE0sen(kx� !t)
~B(x, t) = �jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)
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Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, com diferença de fase de -90 graus:
~E(x, t) = jˆE0cos(kx� !t) + kˆE0sen(kx� !t)
~B(x, t) = �jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)
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Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, com diferença de fase de -90 graus:
~E(x, t) = jˆE0cos(kx� !t) + kˆE0sen(kx� !t)
~B(x, t) = �jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)
Essa onda possui POLARIZAÇÃO CIRCULAR DIREITA ("sentido" 
horário). Note, que o campo elétrico gira como os ponteiros de um 
relógio. Uma onda com polarização circularesquerda (“sentido" 
anti-horário ) é
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Considere uma onda plana senoidal dada pela superposição de uma 
onda com polarização linear na direção do eixo y e outra, na 
direção do eixo z, com diferença de fase de -90 graus:
~E(x, t) = jˆE0cos(kx� !t) + kˆE0sen(kx� !t)
~B(x, t) = �jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)
Essa onda possui POLARIZAÇÃO CIRCULAR DIREITA ("sentido" 
horário). Note, que o campo elétrico gira como os ponteiros de um 
relógio. Uma onda com polarização circular esquerda (“sentido" 
anti-horário ) é
~E(x, t) = +jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)
~B(x, t) = +jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
µ0~S = iˆE0B0[cos
2(kx� !t) + sen2(kx� !t)]
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
µ0~S = iˆE0B0[cos
2(kx� !t) + sen2(kx� !t)]
~S = iˆ
E0B0
µ0
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
µ0~S = iˆE0B0[cos
2(kx� !t) + sen2(kx� !t)]
~S = iˆ
E0B0
µ0
I =
E0B0
µ0
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
µ0~S = iˆE0B0[cos
2(kx� !t) + sen2(kx� !t)]
~S = iˆ
E0B0
µ0
I =
E0B0
µ0
Emax = E0
Note que a amplitude máxima dos campos é 
dada por
Bmax = B0
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Exercício: Determine o vetor de Poynting e a intensidade de uma 
onda polarizada circularmente.
µ0~S = [+jˆE0cos(kx� !t)� kˆE0sen(kx� !t)]
⇥[+jˆB0sen(kx� !t) + kˆB0cos(kx� !t)]
µ0~S = iˆE0B0[cos
2(kx� !t) + sen2(kx� !t)]
~S = iˆ
E0B0
µ0
I =
E0B0
µ0
Emax = E0
Note que a amplitude máxima dos campos é 
dada por
Bmax = B0
Uma onda possui polarização elíptica quando as amplitudes de 
cada componente do campo elétrico são diferentes.
Aula 6: Polarização da Luz.
Um feixe de luz com certa frequência possui um comprimento de 
onda de 526nm e se propaga na água (1,33). Se essa mesma luz se 
propagasse no benzeno (1,5), qual seria seu comprimento de onda? 
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Um feixe de luz com certa frequência possui um comprimento de 
onda de 526nm e se propaga na água (1,33). Se essa mesma luz se 
propagasse no benzeno (1,5), qual seria seu comprimento de onda? 
�a
�b
=
nb
na
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Um feixe de luz com certa frequência possui um comprimento de 
onda de 526nm e se propaga na água (1,33). Se essa mesma luz se 
propagasse no benzeno (1,5), qual seria seu comprimento de onda? 
�a
�b
=
nb
na
� =
1, 33
1, 5
526nm ' 466nm
Aula 6: Polarização da Luz.
• Luz polarizada linearmente e polarizadores. Lei de Malus; 
• Polarização por reflexão e Lei de Brewster; 
• Vetor de Poynting da luz polarizada linearmente; 
• Polarização circular e elíptica. Intensidade da luz polarizada 
circularmente; 
• Princípio de Huygens e princípio de Fermat para a propagação 
da luz;
Aula 6: Polarização da Luz.
As leis da reflexão e refração da luz podem ser deduzidas através 
das Eqs. de Maxwell, considerando as condições de contorno para 
os campos elétricos e magnéticos na interface.
Contudo, é mais ilustrativo usar o princípio de Huygens e de 
Fermat para deduzir as três leis da reflexão e refração.
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As leis da reflexão e refração da luz podem ser deduzidas através 
das Eqs. de Maxwell, considerando as condições de contorno para 
os campos elétricos e magnéticos na interface.
Contudo, é mais ilustrativo usar o princípio de Huygens e de 
Fermat para deduzir as três leis da reflexão e refração.
Princípio de Huygens: Método para passar 
de uma frente de onda para outra. Todos 
os pontos de uma frente de onda podem 
ser considerados fontes de ondas 
secundárias que se espalham em todas as 
direções.
Aula 6: Polarização da Luz.
Demonstração da primeira lei: Utiliza-se o argumento da simetria. 
Como o raio incidente e a normal formal um plano, não existe a 
priori razão para os raios refletidos e refratados estarem fora 
desse plano.
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Demonstração da primeira lei: Utiliza-se o argumento da simetria. 
Como o raio incidente e a normal formal um plano, não existe a 
priori razão para os raios refletidos e refratados estarem fora 
desse plano.
Demonstração da segunda lei: Considere as ondas secundárias 
geradas por uma frente de onda que atinge a fronteira em 
instantes distintos.
Aula 6: Polarização da Luz.
Demonstração da terceira lei: Considere as ondas secundárias 
geradas por uma frente de onda que atinge a fronteira em 
instantes distintos.
Aula 6: Polarização da Luz.
Demonstração da terceira lei: Considere as ondas secundárias 
geradas por uma frente de onda que atinge a fronteira em 
instantes distintos.
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
Aula 6: Polarização da Luz.
Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
Aula 6: Polarização da Luz.
Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
v1
v2
Aula 6: Polarização da Luz.
Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
Exercício: demonstre que a trajetória 
ótima (com menor tempo) em vermelho 
satisfaz a lei de Snell para refração.
v1
v2
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Princípio de Fermat (1657): De todos os caminhos possíveis para ir 
de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor 
tempo possível (menor caminho ótico).
Como ilustração, mostre que o caminho percorrido no menor tempo 
satisfaz as leis da reflexão e refração.
Exercício: demonstre que a trajetória 
ótima (com menor tempo) em vermelho 
satisfaz a lei de Snell para refração.
A demonstração da segunda lei é 
imediata, já que a luz não muda de 
meio (velocidade) e deve tocar na 
interface.
v1
v2
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Exemplo. O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um 
laser hélio-neônio é 633nm no ar, mas, no humor aquoso no interior 
do globo ocular, é 474 nm. Calcule o índice de refração do humor 
aquoso e a velocidade e frequência da luz nesse líquido.
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Exemplo. O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um 
laser hélio-neônio é 633nm no ar, mas, no humor aquoso no interior 
do globo ocular, é 474 nm. Calcule o índice de refração do humor 
aquoso e a velocidade e frequência da luz nesse líquido.
� =
�0
n
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Exemplo. O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um 
laser hélio-neônio é 633nm no ar, mas, no humor aquoso no interior 
do globo ocular, é 474 nm. Calcule o índice de refração do humor 
aquoso e a velocidade e frequência da luz nesse líquido.
� =
�0
n
n =
633nm
474nm
= 1, 34
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Exemplo. O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um 
laser hélio-neônio é 633nm no ar, mas, no humor aquoso no interior 
do globo ocular, é 474 nm. Calcule o índice de refração do humor 
aquoso e a velocidade e frequência da luz nesse líquido.
� =
�0
n
n =
633nm
474nm
= 1, 34
v =
3108m/s
1, 34
= 2, 25 108m/s
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Exemplo. O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um 
laser hélio-neônio é 633nm no ar, mas, no humor aquoso no interior 
do globo ocular, é 474 nm. Calcule o índice de refração do humor 
aquoso e a velocidade e frequência da luz nesse líquido.
� =
�0
n
n =
633nm
474nm
= 1, 34
v =
3108m/s
1, 34
= 2, 25 108m/s
f = f0 = 4, 74 10
14Hz
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