T2 2013 09 17 T Gabarito

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Ma-
rio, Milton, Monique e Paulo
Data: 17 de setembro de 2013
Segundo Teste
1. Considere o conjunto
S =
{
(x, y) ∈ R2, x ∈ R e y = 1
}
, com as operações
de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas
por:
(x1, 1) + (x2, 1) = (x1 + x2, 1),
k(x, 1) = (kx, 1).
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) S é um espaço vetorial
(b) (0, 0) ∈ S
(c) S é um subespaço vetorial de R2
(d) {(0, 1), (1, 1)} é um conjunto LI em S
2. Assinale a solução geral do sistema linear represen-
tado pela matriz aumentada

 1 3 3 10 1 2 1
0 0 0 0


(a) (1,−1, 1) + t(6,−4, 2)
(b) (1,−1, 2) + t(6,−4, 2)
(c) (−2, 1, 0) + t(3, 2, 0) + s(0, 0, 1)
(d) (−2, 1, 0)
3. Assinale o conjunto que é um subespaço vetorial de
R
3:
(a) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x− 4z}
(b) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x+ 1}
(c) {(a, b, c) ∈ R3|4a+ 4b = 5c+ 2}
(d) {(a, b, c) ∈ R3|b = 4c+ 3}
4. Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto fi-
nito de vetores {v1,v2, . . . ,vn}. Assinale a afirmativa
FALSA.
(a) Nem todo conjunto linearmente indepen-
dente (LI) de vetores do espaço V pode ser
completado de modo a formar uma base
de V .
(b) Qualquer subconjunto linearmente independente
(LI) de V tem no máximo n vetores.
(c) Cada vetor v ∈ V pode ser escrito como combi-
nação linear de v1,v2, . . . ,vn.
(d) Qualquer conjunto de n+1 vetores é linearmente
dependente (LD).
5. Considere as seguintes bases de R3,
α = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}
Dado um vetor v ∈ R3 sejam [v]α e [v]β as coorde-
nadas de v nas bases α e β respectivamente. Se
[v]α =

 11
1


calcule a soma das entradas de [v]β
(a) 3
(b) 5
(c) −2
(d) 0
6. Considere as afirmativas:
I O espaço vetorial U =
〈
x2 + 1, x2 + x, x+ 1
〉
possui dimensão 3.
II O espaço vetorial V =〈[
1 1
1 1
]
,
[
1 0
1 1
]
,
[
1 0
0 1
]
,
[
1 0
0 0
]〉
possui
dimensão 4.
(a) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa
II é verdadeira
(b) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é
falsa
(c) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é verda-
deira
(d) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é falsa
7. Seja S = {v1,v2, · · · ,vk} ⊂ R
n e seja
A =
[
v1 v2 · · · vk
]
a matriz cujas colunas são os vetores de S e seja
B =


v1
v2
· · ·
vk


a matriz cujas linhas são os vetores de S. Considere
as afirmativas:
I Se S é um conjunto linearmente independente
(LI) então escalonando a matriz A não se obtém
nenhuma linha de zeros.
II Se S é um conjunto linearmente independente
(LI) então escalonando a matriz B não se obtém
nenhuma linha de zeros.
(a) A afirmativa I é falsa e II é verdadeira
(b) A afirmativa I é verdadeira e II é falsa
(c) A afirmativa I é falsa e II é falsa
(d) A afirmativa I é verdadeira e II é verdadeira
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